2024-2025學年山東省德州市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設(shè)復數(shù)z=l+i,則三=（）

Z

A.-iB.iC.-2iD.2i

2.已知（1,2）是角a終邊上一點，則比1712a=（）

4334

A--3B.-彳C.-D-3

3.在某次模擬考試后，數(shù)學老師隨機抽取了8名同學的第一個解答題的得分，得分為：10,5,7,8,7,

9,4,2,閱這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）

A.6.5B.8C.8.5D.9

4.在正方體ABC。-中，E,F分別是CC「CD的中點，則直線4F與BE所成角的余弦值為（）

A型B㈣C3D2

A-1005U-5

5.已知a,￡是兩個不同的平面，m,n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）

A.若?n〃7i,nua,則m〃aB.若m〃a,m//p,貝!Ja〃S

C.若m1n,nca,則ni1aD.若?nua,n1a,則m1九

6.某次物理競賽，得分在［120,130）的有15人，他們的平均分為128,方差為2.得分在［130,140］的有9人，

他們的平均分為136,方差為1,則得分在［120,140］的平均分與方差為（）

參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

叫天,SK7123，S幺記總的樣本平均數(shù)為9樣本方差為S2,則力=恐+（希,s2=

九1K+。-3）2］+九26+（丫-3）勺

幾1+九2,

A.130,16.625B.131,17.875C.131,16.625D.130,17.875

7.若0VaV7T,cos］=則sin（a+"）=（）

Z1U4

7匯/2訝772

B.-而C.正D.—

8.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是個半圓，利用斜二測畫法畫此圓錐時，直觀圖的底面曲線中心在原點。',

底面曲線與久'軸、V軸正半軸分別交于4,B兩點，已知△ONB面積為W.若圓錐被平行于底面的平面所

截，截去一個底面半徑為2的圓錐，則所得圓臺的體積為（）

A7<3TTB.等CV37T

Q-D.71

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)f(%)=Acos(a)x+9)(/>0,3>0,0<RV兀)的部分圖象如圖所示，則J()

A.3=3

B.0=]

。/(%)關(guān)于點(也0)對稱

D./(%)的一條對稱軸為直線％=與

10.復數(shù)z=cos。+is譏。(其中i為虛數(shù)單位,0G7?),則()

A.\z\=1

B.|z+4-34的最大值為6

C.當8=X兀時，復數(shù)Z對應(yīng)的點在第四象限

O

D.當0=；時,z是實系數(shù)方程/+px+1=0的一?個虛數(shù)根，貝Up=

11.如圖，在棱長為2的正方體4BCD-4tBic中，M,N,P分另1J是44],

CCi，GQ的中點，Q是線段上的動點，R是線段BN上的動點，貝")

A.存在點Q,使PQ〃平面MBN

B.MN與PB為異面直線

C.線段QR的最小值是2

D.經(jīng)過M,B,C,N四點的球的表面積為97r

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量,=(-2,2),b=(m+1,2m),c=(2,-1),若(2五+石)〃落則實數(shù)m.

13.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，先投中者獲勝，一直到有人獲勝或者每人都已投球3次時投籃

結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為小乙每次投籃投中的概率為：，且各次投籃互不影響.若甲先投，則甲獲勝

的概率為?

14.已知AaBC中，AB=AC=4,BC=2,將頂點C繞棱AB旋轉(zhuǎn)到C',當CC'=時，三棱錐4一BCC'

的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某中學為研究本校高一學生在市聯(lián)考中的數(shù)學成績，隨機抽取了100位同學的數(shù)學成績作為樣本，得到以

[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]分組的樣本頻率分布直方圖,如圖所

示.

(1)求直方圖中a的值，并估計本次聯(lián)考該校數(shù)學成績的中位數(shù)；

(2)現(xiàn)在從分數(shù)在[80,90)和[90,100)的學生中采用分層隨機抽樣的方法共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2

人，求抽取的兩人恰好一人分數(shù)在[80,90)內(nèi)，另一人分數(shù)在[90,100)內(nèi)的概率.

16.（本小題15分）

如圖.在三棱錐P-48c中，241底面ABC,AC1BC,PA=<2,AC=BC2,M是PB的中點.

(1)求三棱錐P—ABC的表面積；

(2)求二面角M—AC-8的平面角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知直三棱柱4BC—4/16，AB1AC,D,￡分別是邊ZB,4G的中點.

(1)證明：DE〃平面ACCiA；

(2)若三棱錐G-&CB體積為2且48=2,設(shè)BG與平面2CG4形成的線面角為凡求tcmJ的最大值.

18.(本小題17分)

在ZiABC中，角2,B,C所對的邊分別為a,b,c,m=(a,b+c),n=(yTisinC+cosC,1),m-n=

2b+3c.

⑴求4

(2)已知麗=2標，AM=2.

①若SAABC=?展，求c+26的值；

(ii)若。為△ABC的外接圓的圓心，且而?俞=6,求AABC的面積.

19.(本小題17分)

甲、乙兩人玩擲骰子游戲，由甲先擲一次骰子，記向上的點數(shù)為a,接下來甲有2種選擇：

①甲直接結(jié)束擲骰子，換由乙擲骰子一次，向上的點數(shù)記為6,若a+bW6,則乙贏，否則甲羸，游戲結(jié)

束；

②甲再擲一次骰子，向上的點數(shù)記為c,若a+c>6,則乙贏，游戲結(jié)束；

若a+cW6,甲結(jié)束擲骰子，換由乙擲骰子一次，向上的點數(shù)記為d,若a+c+dW6,則乙贏，否則甲

胸，游戲結(jié)束.

問：(1)若甲只擲骰子1次，求甲贏的概率；

(2)若甲擲骰子2次，求甲贏的概率；

(3)當甲第一次擲骰子向上的點數(shù)為多少時，甲選擇①贏得游戲的概率更大？

參考答案

1.71

2.A

3.C

4.0

5.D

6.C

1.B

8.X

9.AB

1Q.ABD

11.ABD

12.-1

13—

°-27

142

3

15.（1）由頻率分布直方圖可得（0.006+0.012+0.04+0.026+a+0.006）X10=1,

解得a=0.01,

本次聯(lián)考該校數(shù)學成績在［80,90）的頻率為0.006X10=0.06,

在［90,100）的頻率為0.012x10=0.12,

在［100,110）的頻率為0.04x10=0.4,

因為0.06+0.12=0.18<0.5,0.06+0.12+0.4=0.58>0.5,

所以中位數(shù)在［100,110）之間，設(shè)為

貝U0.06+0.12+（m-100）x0.04=0.5,

解得m=108,

所以本次聯(lián)考該校數(shù)學成績的中位數(shù)為108；

（2）成績在［80,90）的人數(shù)與成績在［90,100）的頻率的人數(shù)之比為1：2,

抽取的6人中成績在［80,90）的有2人，成績在［90,100）的頻率的有4人，

假設(shè)成績在［80,90）的2人分別記為41，A2,成績在［80,90）的4人分別記為B2,B3,a.隨機抽取兩人的

樣本空間為：

｛4I42,Z/i，41殳，/I%,4/4,A2B1，A2B2,&B3,

A2B49B1B2fB1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B384｝共15個，

兩人中恰好一人分數(shù)在［80,90)內(nèi)，另一人在［90,100)內(nèi)包含:

//zp%2殳1①^,^當｝共8個,

所以p=w

16.⑴因為P21平面ABC,BCu平面4BC,

所以P41BC,

又因為力C18C,ACQPA=A,AC,PAcffiPXC,

所以8C1面/MC.

又PCu面P4C,所以BC1PC,

又因為PA_L平面4BC,ABu平面4BC,

HPA1AB,

即AABC中,AC1BC,PA=72MC=BC=2,

所以4B=272,PC=<6>

所以S&P4B=1x2\/~2xV~2=2,S4PBe=Ix2xV-6=-\Z-6,ShPAC=|x2xV_2=V-2,S^ABC=1x2x

2=2,

所以三棱錐P-ABC的表面積S=<6+72+4;

(2)取力C中點N,取AB中點E,連接MN,ME,EN.

由(1)知PC1BC,

因為M是PB的中點，

所以在RtAPCB中，MC=^PB,

又PA1AB,

在RtAPAB中，MA=：PB,

所以MC=MA,

所以MN_LAC,

又因為NE〃BC,AC1BC,

所以NE1AC,

又因為面MACn面力BC=AC,

所以4MNE為二面角M-AC-B的平面角.

在RtAMEN中，ME=3PA=4,EN=3BC=1,MN=乎，

所以sin/MNE=黑=

即二面角M-AC-B的平面角的正弦值為子.

17.(1)證明：取41cl中點F,連接EF,FA,

則EF為AaiBiCi中位線，

所以EF〃41/，EF=

又AD11A\B、AD=基/1，

所以EF〃4D,且EF=AD,

所以四邊形4DEF為平行四邊形，

所以DE〃AF,

又因為力Fu平面ACC14,DEC平面4CC12,

所以DE〃平面4CC14；

所以力B1面44",

因為三棱錐G—4CB即三棱錐B—AGC,

所以“=棱錐B-41cle="SA&CC-=]

所以4BX4CxA4]=8,^ACxAA1=4,

連接4Ci，貝此BCM為BG與平面4CC14所成的角。，且BAIAG，

G

由均值不等式力。2+AA2>2AC-44]=8,

?2^2<2

所以=J4c2+4屑而=二，(當且僅當4C=A①時等式成立)，

故tan。的最大值為苧.

18.(1)根據(jù)題意可知，m-n=2b+3c,得73as譏C+acosC+b+c=2b+3c,

???y/~3asinC+acosC=b+2c,

根據(jù)正弦定理得4s譏C+sinAcosC=sinB+2sinC,

i^y/~3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+2sinC,

???yJ~3sinAsinC=sinC{cosA+2),

CE(0,7i),sinCH0,???ypisinA—cosA=2,整理得sin(4—^)=1,

又???ae（0,兀）,4Ye（一烷兀）,4Y=3a=等

（2）根據(jù)題意可知，JM=2MC,貝?。荻?=彳屈+|前，

得|福|2=?歷+|前）2=+^AC2+^AB-AC,

■：AB=c,AC=b,AM=2,即|萩|=2,

4=-cz++-D-ccos—=-cz+g-o--b-c,

即36=c2+4b2-2bc=（c+2b）2—6bc,

（i）根據(jù)題意可知，S〉A(chǔ)BC=根據(jù)三角形面積公式，則從而be=18,

???c+2匕=12；

（譏）令邊ZB,AC的中點分別為E,F,根據(jù)題意可知，點。為△ABC的外接圓圓心，

得OE148,OFLAC,

XO-=(XE+￡0)-AB^AE-AB^^AB=#，

AO-AC^(AF+FO)-AC=AF-AC==>,

：.AO-AM=AO-(^AB+|xC)=-AB+|40-^4C=1(2/?2+c2)=6,

即2b2+c2=36,

Xc2+4b2-2bc=36,

聯(lián)立方程組，解得b=0(舍)或6=c—2-\/-3,

1_

SAABC—2bcsinA=3-/3.

19.(1)如果甲只擲骰子1次，甲贏的情況如下，

如果甲擲出向上的點數(shù)為1,乙擲出向上的點數(shù)為6,此時有1種情況，

如果甲擲出向上的點數(shù)為2,乙擲出向上的點數(shù)為6、5,此時有2種情況，

如果甲擲出向上的數(shù)點為3,乙擲出向上的點數(shù)為6、5、4,此時有3種情況,

依此類推，甲贏的情況共有1+2+3+4+54-6=21種，

根據(jù)古典概型概率公式，

將m=21,幾=36代入公式，可得甲贏的概率P=2="

3。1Z

綜上，如果甲只擲骰子1次，甲贏的概率為

(2)如果甲擲骰子2次，甲贏的情況如下,

①甲第1次擲骰子向上的點數(shù)為1,

如果第2次擲骰子向上的點數(shù)為1,乙擲骰子向上的點數(shù)為6,5,此時有2種情況，

如果第2次擲骰子向上的點數(shù)為2,乙擲骰子向上的點數(shù)為6、5、4,此時有3種情況，

依此類推

如果第2次擲骰子向上的點數(shù)為5,乙擲骰子向上的點數(shù)為6、5、4、3、2、1,此時有6種情況,

以上有2+34-4+5+6=20種情況，

②甲第1次擲骰子向上的點數(shù)為2,

如果第2次擲骰子向上的點數(shù)為1,乙擲骰子向上的點數(shù)為6、5、4,此時有3種情況，

如果第2次擲骰子向上的點數(shù)為2,乙擲骰子向上的點數(shù)為6、5、4、3,此時有4種情況，

如果第2次擲骰子向上的點數(shù)為3,乙擲骰子向上的點數(shù)為6、5、4、3、2,此時有5種情況,

如果第2次擲骰子向上的點數(shù)為4,乙擲骰子向上的點數(shù)為6、5、4、3、2、1,此時有6種情況,

以上有3+4+5+6=18種情況,

依此類推，甲第1次擲骰子向上的點數(shù)為3時，甲贏的情況有4+5+6=15種,

如果甲第1次擲骰子向上的點數(shù)為4時，甲贏的情況有5