2024-2025學年山東省威海市高一(下)期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

會是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.已知角a的終邊經(jīng)過點P(—3,2),貝心譏a=()

A2/13「2/13「3/133VT3

卞

AFB.—c.--13

33

vlwoaG

H.CT1,2-則tan(a+-)=()

4

11

A.2B.-2C.1D.

4.已知cos(a—。)=—sinasinp=一意，則cos(a+夕)=()

1iii

A-3B-3CyD.--

5.已知曲線Ci：y—sinx,C2：y—cos(2x-則()

A.把白上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模罕?再把得到的曲線上的所有點向左平移汐單位長

度，得到曲線

B.把G上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼腡倍,再把得到的曲線上的所有點向右平移與個單位長

度，得到曲線C2

C.把G上的所有點,縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再把得到的曲線上的所有點向左平移［個單位長

O

度，得到曲線

D.把G上的所有點,縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再把得到的曲線上的所有點向右平移工個單位

長度，得到曲線。2

6.一個圓臺上、下底面的半徑分別為1,2,母線所在直線與軸的夾角為45。，則該圓臺的側(cè)面積為()

A.37rB.6兀C.3/2TTD.67271

7.記△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若三=cosB=YZs譏4則角C=()

2a

BjC.年D.^

OODD

8.已知P是△48C所在平面內(nèi)一點，滿足您+而+麗=6,若4B14C,AB=6,則葩?方=()

A.-12B.12C.-18D.18

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知2,3為非零向量，則()

A.若|2五+石|=|五一21|,則213

B.若五+3=20-母，貝皈〃至

C.若江不>0,則<落(>為銳角

D.若盾|=|a||K|,貝囁〃3

10.已知函數(shù)/'(%)=2sin(x+弓),則()

A.y=f(x)的圖象關于直線x=g對稱

B.f(x)在(-輔)上單調(diào)遞增

C.y=/(%)的圖象關于點(-告,0)對稱

D.當x6[0,4兀]時,曲線y=sin]與y=f(x)的交點個數(shù)為4

11.在正三棱柱43。一&4&中，AB=AAr=2,P,Q分別為棱CQ,上的動點，貝U()

A.AABP的周長為定值B.三棱錐B-力PQ的體積為定值

C.若&Q=2PC,貝IJPQ1ACrD.若ZU〃平面2GQ,則&Q=QB1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量2=(1,1),b=(2,%),若石〃(3—4砂，則％=.

13.函數(shù)/'⑺=AsinQcox+卬)(4>0,co>0,\<p\<])的部分圖象如圖所示，則

7

下(一百兀)=?

14.已知三棱錐P-2BC的各頂點都在表面積為127r的球面上，PA1平面

ABC,PA=AB,BC=岳,^BAC=45°,則該三棱錐的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/(X)=4sin(x+^)sinx.

(1)求〃久)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當％e[0,同時,求f(x)的最值.

4

16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P-4BC中，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，AC1BC,E,尸分別為2B,BC的中點.

(1)證明：EF〃平面P4C；

(2)證明：平面PEF1平面PBC；

(3)若4C=3,二面角P—BC—A的大小為30。，求24.

17.（本小題15分）

如圖，在五面體ABCDEF中，平面ABC。1平面CDEF,DC//EF,AB1BE,AD1DC,AB=DC=2,

AD=1.

(1)證明：AB“DC；

(2)若直線BE與平面CDEF所成角的正切值為求直線4E與DC所成角的余弦值.

18.(本小題17分)

在平行四邊形2BCD中，E為48的中點，點F,G滿足麗=2荏，GC=2BG.

(1)用方，而表示阮，EG；

(2)若EF1EG,求泰

(3)若4B=AD=1,求3(前+蔚)?前+|而|的取值范圍.

19.(本小題17分)

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,P是△2BC內(nèi)一點，且PE148,PFLAC,PG1BC,

E,F,G為垂足，記PE=p,PF=q,PG=r.

(1)若乙4=60。，6=2,c=3,p=q,4P的延長線交BC于點。，求4D；

(2)若/—C=pa+c=2b,p=2r=2,求sinB及PB；

(3)證明：PA-\-PB+PC>2(p+Q+r),當且僅當a=b=c且p=q=廠時，等號成立.

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：一年兀=一6兀+鎮(zhèn),

OO

???—稱兀是第四象限角.

O

故選：D.

—名兀=—6兀+當，由此能求出結(jié)果.

66

本題考查角所在象限的求法，考查任意角的概念等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想,

是基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：因為角a的終邊經(jīng)過點尸(—3,2),

所以sina=—2<13

J—#

故選：A.

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.

本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：因為Sina=—嚼，a￡(7T,y),

所以cosa=tana=3,

所以tan(a+9=留=一2.

'4，1—tana

故選：B.

根據(jù)sina的值以及a的范圍，可求汝九仇，再由兩角和的正切進行求解.

本題主要考查三角函數(shù)求值，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：cos(a—S)=cosacosfi+sinasin/3=—sinasinp=一.

所以cosacos￡=一2，

1

所以cos(a+0)=cosacos^—sinasin^=

故選：A.

根據(jù)兩角差的余弦公式和兩角和的余弦公式可進行求解.

本題主要考查三角函數(shù)求值，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：把Q：y=sinx的所有點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y=s譏2久，

再把得到的曲線上的所有點向左平移沖單位長度可得y=sin(2x+今=sin(2x一(+/=cos(2x-?

故選：A.

結(jié)合正弦函數(shù)圖象的伸縮變換及平移變換即可求解.

本題主要考查了三角函數(shù)圖象的伸縮變換及平移變換，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：???上底面的半徑為1,下底面半徑為2,

母線所在直線與軸的夾角為45。，

故圓臺的母線I=~=a為=72，

cosBcos45

則圓臺的側(cè)面積為+r)Z=TTX(2+1)xV-2=3V-27T.

故選：C.

若圓臺的上底面的半徑為丁，下底面半徑為R,圓臺的軸與母線所在直線的夾角為。，則圓臺的母線1=

與，代入己知條件，可得答案.

COS0

本題考查了圓臺的幾何特征，是中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：由正弦定理3=—),

sinAsinC

可得￡=*,因此*=普，

asinA2a2smA

又因為A=COSB,所以察§=COSB,

2a2sinA

即sinC=2sinAcosB,由于A+B+C=TT,故C=TI—A—B,

因此sinC=sin(7l+B),

所以sin14cosB+cosAsinB=IsinAcosB,

整理得cos/s譏8=sinAcosB,

即sin(B-A)=0,

由于4Be(0,TT),

故=0,即8=4

代入cosB=y/3sinA,故cos/=y/~3sinA,

兩邊除以cos/(cos/W0,否則V3si7h4=0,矛盾)得：1=\/~3tanA=tanA=^=,

因此故B=

66

從而C=7i—A—B=7_,一、=今,

OOD

.27rV3

驗證小由正弦定理;鬻sm手~T

cosB,~T-jF

sin^r1

O2

故點=?和c°sB=cos爛苧，等式成立,

綜上，角c的大小為手

故選：C.

先由正弦定理得出白=普與，再根據(jù)題意得出sinC=2sinAcosB,結(jié)合C=TI-A-B,變形得出BA,

2a2sinA

代入cosB=Vasina,求出tcmA的值，進而確定力角的大小，再檢驗滿足等式，以及求解.

本題考查正余弦定理與三角恒等變換的應用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由題意，ABLAC,AB=6,

故可建立平面直角坐標系，如圖所示：

則2(0,0),8(6,0),設C(0,b),

則由同+而+而=6，

可知點P為三角形ABC的重心，則P(2,g),

故48=(6,0)，CP=(2,—,

所以四?前=6x2=12.

故選:B.

由題意，可得點P為三角形重心，建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算即可求解.

本題考查平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解:已知出月為非零向量，

對于4,若|2五+3|=la-2bl，

—.?_.—>—^2.o_.—>—>2

則4a+4a,b+b=a—4a,b+4b,

不能得出五?h=0,

即不能得出五，丸

即A錯誤；

對于8,若五+b=A(a—b),

當日與B不共線時，

<：-r

即；i無解，

則必/點

即B正確；

對于c,若a-b>o,

則<a,3>為銳角或a與加同向共線，

即c錯誤；

對于。，若I4不I=\a\\b\,

則cos<a,b>=+1,

即a與石共線，

則必加

即。正確.

故選：BD.

由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合共線向量的定義逐一判斷即可得解.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了共線向量的定義，屬中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于4因為居)=2s出?+

分=2,所以/⑺的圖象關于直線x=冠

稱，選項A正確；

對于3,%勺時，％+.￡(—也力

336o2

單調(diào)遞增，選項B正確；

對于C，/(-y)=2sin(-y+^)=—2豐

0,所以/(久)的圖象不關于(-竽,0)對稱，選項C錯誤；

對于D,在同一坐標系內(nèi)畫出Xe[0,4捫時y=2sin(x+$和y=sin]的圖象，

由圖象知，兩函數(shù)的圖象有4個交點，選項。正確.

故選：ABD.

選項A,計算/6)的即可判斷；選項8,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可；選項C,計算f(—年)的即可判

5o

斷；選項。，在同一坐標系內(nèi)畫出兩函數(shù)的圖象即可.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應用問題，是基礎題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于4由點P為CG上的動點，設PCI=K,PC2-x(0<x<2),

所以力止=、4+久2.pc=J4+(2—獷,ArB=272,

所以力iB+&P+PB=2/1+V4+x2+J4+(2-〃)2不為定值,故A錯誤；

對于BSAABQ=^AB-AA1=^x2x2=2,因為CC1〃平面ABQ,

所以點P到平面A8Q的距離為JW，所以/_APQ=VPTBQ=,XS41BQx%2x，5=等，故2正

確；

對于C：取力iG的中點M,連接BiM,過Q作QN〃/M交4G于點N,連接PN,

設PC=t,所以&Q=2PC=2t,

因為修=然，所以胃紇所以&N=PC=t,

所以PN〃&C,又力1C14G，所以PN1AC1，

在正三棱柱ABC—4B1G中，4411平面&B1G，

因為當Mu平面力i&Ci，所以力41B±M,

又GA1BIM,AA1nArC1-A1,AAr,A±Cru平面44停1。，

所以BiM1平面441QC,因為QN〃Bi”,

所以QN_L平面A41GC,又a/u平面441GC,

所以QN1AC]又QNCPN=N,QN,PNu平面PQN,所以AQ_L平面PQN,因為PQu平面PQN,所以

PQiac「故c正確；

對于D：連接&C交2C1于點0,連接。Q,

由B1C〃平面4C1Q且平面4/1。C平面4GQ=0Q,BrCu平面2/1。，

所以。Q〃aC,又。為&C中點，所以Q為A/1中點，即&Q=QB「故。正確.

故選：BCD.

對于4設PCi=x,PC=2-x,計算2止，PC即可判斷；對于B,由VB-APQ=5-ABQ即可判斷；對于

C,取4Q的中點M,連接過Q作QN〃B】M交41cl于點N,連接PN,證明1平面PQN,即可判斷;

對于D,由線面平行的性質(zhì)定理得0Q〃B]C進而即可判斷.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

12.【答案】2

【解析】解:b-4a=(2,x)-4(1,1)=(-2,x-4),

則2(x-4)=-2x,解得久=2.

故答案為：2.

利用平面向量的加減法和數(shù)乘，以及平面向量的平行運算求解.

本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題.

13.【答案】-簽

【解析】解：根據(jù)/（X）的最大值為3,可得4=3,

函數(shù)的周期T滿足/=答-（4*，可得74=兀，解得3=2,

因為刀=修時，/（久）有最小值,

所以2X*+<=/+2/OT（/CeZ）,結(jié)合|w|</解得卬=或

可得/（久）=3sin（2x+》

則/（-17r）=3s譏（一號+g）=3s譏（一4兀一g）=—3s譏^=-

故答案為：-等.

根據(jù)/⑶的最大值求出4=3,運用三角函數(shù)的周期公式算出3=2,然后根據(jù)x=工時，"X）有最小值,

列式算出9=*可得/（?的解析式，進而根據(jù)誘導公式求出兀）的值.

本題主要考查由y=2s出（wc+s）的部分圖象確定其解析式、利用誘導公式求值等知識，屬于基礎題.

14.【答案】苧

【解析】解：設三棱錐P-4BC外接球的半徑為R,

由題意得4兀/?2=12兀，

解得R=g

設△力BC外接圓半徑為r,

則s"=而BC礪Fy/~S=Er—?

2

即r=手，

又因為PA_L平面力BC,

所以廢=產(chǎn)+（爭2,

即3="竺!，

24

解得4尸=V2,

所以24=48=，！，

在△ABC中，因為叱=AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC,

所以5=2+AC2-272X與AC，

即心一24(7-3=0,

解得4c=3,

所以三棱錐P-ABC的體積為/S-BC?AP=《XMX，IX3X?XYI=?.

DD乙乙乙

故答案為：苧.

根據(jù)球的表面積公式求出球半徑R,利用正弦定理求出AABC外接圓半徑為r,結(jié)合勾股定理求出2P,在三

角形4BC中，利用余弦定理求出力C,代入錐體體積公式即可求解.

本題考查錐體體積的計算，以及正余弦定理的應用，屬于中檔題.

15.【答案】為[卜兀+kn+,k&Z；

最小值為1-C，最大值為3.

【解析】(1)/(久)=4(|sinx+號cosx)stnx=2sin2x+2y/~3sinxcosx

1—cos2xj—

=2x----------------H\3sin2x

—2(苧sin2x—|cos2x)+1=2sin(2x-.)+1,

由題意知,2/OT+^<2x—<2kn+苧，解得Mr+^<x<kn+(kGZ),

所以/'(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[k兀+1,Mr+著],kG.Z；

(2)設t=2*Y，則y=2sint+l,因為久e[0,引

所以te

所以Sinte[-苧,1],所以f(x)的最小值為1-，百，最大值為3.

(1)結(jié)合和差角公式，二倍角公式，輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(2)結(jié)合正弦函數(shù)取得最值的條件即可求解.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，屬于中檔題.

16.【答案】證明見解答；證明見解答；2.

【解析】(1)證明：因為E,F分別為AB,BC的中點，

所以EF〃71C,

又因為EF，平面P4C,ACu平面PAC,

所以EF〃平面P"；

(2)證明：因為PB=PC,F為8C的中點，所以PF1BC,

因為ACIBC,EF11AC,所以EF1BC,

又PFCEF=F,所以BC1平面PEF,

因為BCu平面PBC,

所以平面PEF1平面PBC；

⑶因為PF1BC,EF1BC,

所以NPFE為二面角p-BC-a的平面角，

貝ikPFE=30°,

由題意知，PF=<3,EF=|,

在小PFE中，PE2=PF2+EF2-2PF-EF-coszPFF,

所以叱=3+^-2x1x73x^=p

可得PE=苧，

在直角△ABC中，AB=/9T4=>A13,

又因為PB=2,BE=號,PE=?,

所以PB2=PE?+BE2,所以NPEB=90。，

即PE1AB,

因為E為4B的中點，

所以PA=PB=2.

(1)根據(jù)三角形中位線得出EF〃4C,即可得證；

(2)先證BC，平面PEF,再利用面面垂直的判定定理即可得證；

(3)先證NPFE為二面角P-BC—4的平面角,再解三角形即可.

本題考查線面位置關系的判定，以及二面角有關計算，屬于基礎題.

17.【答案】證明詳見解析；

/14

【解析】(1)證明：因為DC〃EF,DCC平面ZBFE,EFu平面力BFE,所以DC〃平面4BFE,

又因為DCu平面48CD,平面ABC。C平面4BFE=AB,所以4B//DC；

(2)因為AB〃DC,所以NB4E為直線2E與DC所成的角，

因為28=DC=2,ABHDC,所以ABC。為平行四邊形，所以4D//8C,

因為平面2BCD1平面CDEF,平面4BCDC平面CDEF=DC,AD1DC,所以AD1平面CDEF,

所以8c1平面CD￡T,

連接CE,貝UCE為直線BE在平面CDEF內(nèi)的射影，所以NCEB為直線BE與平面CDEF所成的角,

貝配anNCEB=可得sin/CEB=梁，

310

因為8c=AD=1,所以BE=YIU，

因為4B1BE,所以=彳，

可得cosNBAE=

所以直線4E與DC所成角的余弦值為號1

(1)根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可證明；

(2)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得8C，平面CDEF,連接CE,貝iJ/CEB為直線BE與平面CDEF所成的角，可

求得BE,在直角三角形4BE中，可解得直線力E與DC所成角的余弦值.

本題主要考查線面平行的判定和性質(zhì)、直線與平面所成角、異面直線所成角，屬于中檔題.

18.【答案】EF=^AD-^AB,EG=^AB+^AD；

2

3；

(百17

【解析】(1)已知在平行四邊形4BCD中，E為48的中點，點F,G滿足麗=2荏，GC=2BG.

則前=布一荏=稱而一g福FG=EB+BG=|AB+|AD；

(2)若EF1EG,

則前.宙=0,

所以?初-g四)??而+T南)=0,

可得而|2一；|荏『=0,

即皿=3

|利29,

r-r-1^1AB2

所以而

(3)設NBA。=e,e6(O,TT),

因為前+EG=^AD--AB+^AB+=|ZP,

所以3(前+麗)?前+|芯|=2而?(同一宿)+J(AB+AD)2

=2(1—cosd)+V2+2cos9

n/nnnnn

=2x2sin2-+J2x2cos2-=4(1—cos2-)+2cos-=-4cos2-+2cos-+4,

令cosg=t,

則3(市+前)?前+|前|=-4t2+2t+4,te(0,1),

i17

因為一4r+2t+4=—4(t——)2+—jtG(0,1),

可得一4r+2t+4E(2,-1,

4

所以3(前+宙)?筋+|尼|的取值范圍是(2；］.

(1)結(jié)合平面向量的線性運算求解即可；

(2)結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算求解即可；

(3)由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合二次函數(shù)值域的求法求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題.

19.【答案】|73；

8AA14

7；

證明過程見詳解.

【解析】(1)因為PE14B,PF14C,E,F為垂足，記PE=p,PF=q,

又因為p=q,可得a。為角a的角平分線，

因為N4=60°,所以ZBAD=ZCXD=30°,

因為S/MBC-^AABD+^AACD'

1111

所以X2X3XX3XXDX+

2-2-2-2-x2xXDxI，

解得2D=9

(2)因為力+C=TT—B,A—C=—)

所以a昔V，c=

因為a+c=2b,由正弦定理可得：sinA+sinC=2sinB,

即sin(與一?)+sing-1)=2sinB,

^A2B,.B,V2B/2.B

即nn彳cos5+-^-sm2+-^-cos,--^-sm5=2nsinnB,

BPV-2cos^=4sin^cosp

因為cos5Ho，所以sin5=苧,

ZZ4