2024-2025學年廣東省深圳中學九年級（下）開學數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

L（3分）實數-5的相反數是（）

A.-5B.AC.-AD.5

55

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.V18-Vs=V10B.（-3a3）2=-9a6

C.（a-1）2=CT-1D.6a2-r3a=2?

3.（3分）截至2023年12月底，全國累計發(fā)電裝機容量約2920000000千瓦，這個容量用科學記數法可表

示為（）

A.0.292X1（）9千瓦B.2.92X109千瓦

C.0.292X1010千瓦D.2.92X1010千瓦

4.（3分）如圖是一個長方體柜子的俯視圖，柜子長（不計柜門厚度），當柜門打開的角度為

a時，柜門打開的距離班的長度為（）

A.msinaB.mcosaC.—————D.—————

sinQ.cosCL

5.（3分）如圖，在已知△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以A,C為圓心，以大于虱C的長為半徑作

2

弧，兩弧相交于兩點N；②作直線交AC于點E,交BC于點R連接AE若4B=AC,ABAC

6.（3分）下列命題中是假命題的是（

第1頁（共25頁）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

7.（3分）如圖①，將矩形ABCO置于平面直角坐標系中，其中AD邊在x軸上，AB=2.將直線/沿x軸

負方向以每秒1個單位長度的速度平移.已知直線/在起始位置的解析式為>=尤-4.設在平移過程中

該直線被矩形ABC。的邊截得的線段長度為山，平移時間為3機與f的函數圖象如圖②所示，則矩形

ABCD的面積為（）

圖②

C.5V2D.8

8.（3分）如圖,正方形的邊48=2,弧2。和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面積之

71

C.—_1D.2TT-4

3

二、填空題：本題共5小題,每小題3分，共15分。

9.（3分）若點尸（5,2-b）關于原點的對稱點為。Q-2,5）,貝U-2。+6=.

10.（3分）已知一組正整數a,1,6,6,3有唯一眾數8,中位數是5,則這一組數據的平均數為.

11.（3分）某課外植物研究小組有3名女生，2名男生，若從中隨機抽取兩名學生交流研究成果，則抽取

的兩名學生中恰好是一名女生和一名男生的概率為.

第2頁（共25頁）

12.（3分）如圖，Rt^ABC的直角頂點A在反比例函數（x>0）的圖象上，點C在y軸上，AC//

X

x軸，延長BC交x軸于點D,連接AD,A0,當AB=4-且△40。的面積為26時，點A的坐標

A,M,N分別在邊AO,8c上，將四邊形AMNB沿翻折,

3

使4B的對應線段石尸經過頂點。，當EfUA。時，理的值為

CN

三、解答題：本題共7小題，共61分。

14.(8分)(1)計算：^2-(3.14-^)°-3tan60°+1l-Vs|+(-2)-2;

(2)化簡：a(a+2)-(a+6)(。-6)-b(6-3).

15.（9分）某校為了初步了解學生的勞動教育情況，對九年級學生“參加家務勞動的時間”進行了抽樣調

查，并將勞動時間無分為如下四組（A：尤<70；B：70Wx<80；C：8OW尤<90；D：x290,單位：加譏）

扇形統(tǒng)計圖

第3頁（共25頁）

根據以上信息，解答下列問題：

(1)本次抽取的學生為人,扇形統(tǒng)計圖中m的值為;

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

(3)已知該校九年級有600名學生，請估計該校九年級學生中參加家務勞動的時間在80機譏(含80〃加)

以上的學生有多少人？

16.(9分)2024年植樹節(jié)來臨之際，某學校計劃采購一批樹苗，參加“保護環(huán)境，遠離霧霾”植樹節(jié)活

動.已知每棵甲種樹苗比每棵乙種樹苗貴10元.用1200元購買甲種樹苗的棵數恰好與用900元購買乙

種樹苗的棵數相同.

(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

(2)學校決定購買甲，乙兩種樹苗共100棵，實際購買時，甲種樹苗打九折，乙種樹苗的售價不變.學

校用于購買兩種樹苗的總費用不超過3200元，求最多可購買多少棵甲種樹苗.

17.(8分)圖1,圖2均是4X4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上,

在圖1,圖2給定的網格中按要求畫圖(保留作圖痕跡，并寫出簡要的文字說明).

(1)在圖1中，在線段AB上畫出點M,使

(2)在圖2中，畫出一個格點C,使△A2C是以為斜邊的等腰直角三角形.

18.(9分)如圖，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,點E在AC上，以CE為直徑的經過上的點D,

與OB交于點F,且BD=BC.

(1)求證：A3是O。的切線；

(2)若AD=M，AE=1,求靜的長.

第4頁(共25頁)

B

19.(9分)綜合與實踐

【主題】優(yōu)化灑水車為公路兩側綠化帶澆水效率

【問題背景】如圖1,灑水車沿著平行于公路綠化帶方向行駛，同時向右側綠化帶澆水.數學興趣小組

的同學想了解灑水車要如何控制行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水能澆灌到整個綠化

帶，為解決這個問題，數學興趣小組同學通過建立數學模型進行探索.

【數學建模】如圖2,建立平面直角坐標系，可以把灑水車噴出水的內、外邊緣抽象為平面直角坐標系

中兩條拋物線的部分圖象；噴水口X離地豎直高度08為15小把綠化帶橫截面抽象為矩形。跖G,

其水平寬度。￡=3相，豎直高度所=0.5m，0。表示灑水車和綠化帶之間的距離.內邊緣拋物線”是

由外邊緣拋物線ji向左平移得到，外邊緣拋物線yi最高點A離噴水口的水平距離為2m,高出噴水口

0.5m.

【解決問題】

(1)求外邊緣拋物線”的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC；

(2)請求出內邊緣拋物線”與x軸的正半軸交點B的坐標；

(3)要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出。。的取值范圍.

20.(9分)如圖，在矩形ABCD中，AB=3,連接AC,過點8作B"LAC,垂足為R延長8尸交AO于

點E,連接DF.

(1)若BC=4,求DE的長；

(2)若DC=DF,求處的值；

AD

第5頁(共25頁)

(3)過點C作CMLAC且CMJAC連接AM交射線CD于點N,若AACN為等腰三角形，求此時

3c的長.

4|--------------------------\D

B^-------------------ff1--------------------------1

備用圖

第6頁（共25頁）

2024-2025學年廣東省深圳中學九年級（下）開學數學試卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案DDBACBDD

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.（3分）實數-5的相反數是（）

A.-5B.AC.-AD.5

55

【分析】直接利用相反數的定義得出答案.

【解答】解：實數-5的相反數是：5.

故選：D.

【點評】此題主要考查了相反數，正確掌握相反數的定義是解題關鍵.

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.718-V8=V70B.（-3a3）2=-9a6

C.（a-1）2=cr-1D.6a2-v-3a=2a

【分析】利用二次根式的性質，基的乘方與積的乘方的性質，完全平方公式和同底數幕的除法法則對每

個選項的結論進行逐一判斷即可.

【解答】解：-我=3&-2M=近,

??.A選項的結論不正確，不符合題意；

"/（-3a3）2=9a6,

選項的結論不正確，不符合題意；

（a-1）2=a2-2a+l,

；.C選項的結論不正確，不符合題意；

6a2+3a=2。，

選項的結論正確，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了二次根式的性質，整式的乘除，完全平方公式，累的乘方與積的乘方，熟練掌

握上述法則與性質是解題的關鍵.

第7頁（共25頁）

3.（3分）截至2023年12月底，全國累計發(fā)電裝機容量約2920000000千瓦，這個容量用科學記數法可表

示為（）

A.0.292X1（）9千瓦B.2.92義1（）9千瓦

C.0.292X1010千瓦D.2.92X1010千瓦

【分析】科學記數法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,w為整數.確定〃的值時，要看把

原數變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，n

是正整數，當原數的絕對值<1時，"是負整數.

【解答】解：2920000000千瓦=2.92*1。9千瓦，

故選：B.

【點評】本題主要考查了科學記數法的表示方法，掌握形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,”為整

數是關鍵.

4.（3分）如圖是一個長方體柜子的俯視圖，柜子長AB=CZ）=〃z（不計柜門厚度），當柜門打開的角度為

a時，柜門打開的距離EF的長度為（）

A.msinaB.mcosaC.—————D.—————

sinCIcosCL

【分析】在RtAAEF中利用直角三角形的邊角間關系得結論.

【解答】解：由題意可知，AE^AB^m.

在RtZXAEF中，

VsinZEAB=^-f

AE

EF=sina?m=msina.

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系是解決本題的關鍵.

5.（3分）如圖，在已知AABC中，按以下步驟作圖：①分別以A,C為圓心，以大于的長為半徑作

2

弧，兩弧相交于兩點N；②作直線MN交AC于點E,交BC于點F,連接A足若AB=AC,ZBAC

=120°,則/硼B(yǎng)的大小為（）

第8頁（共25頁）

C.90°D.100°

【分析】由等腰三角的性質和三角形內角和定理求出/C,根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的

性質求出/物C,即可求出答案.

【解答】解：'：AB=AC,ZBAC=12O°,

180

ZB=ZC=0-ZBAC=30°,

2

由作圖的步驟可知，直線是線段AC的垂直平分線,

：.AF=CF,

：.ZFAC=ZC=30°,

：.ZFAB=ABAC-ZFAC=120°-30°=90°.

故選：C.

【點評】本題主要考查了基本作圖，線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質，綜合運用這些知識是

解決問題的關鍵.

6.（3分）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【分析】利用三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質分別判

斷后即可

【解答】解：A、三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選

項不符合題意；

平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故原命題是假命題，本選項符

合題意；

C、從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，

第9頁（共25頁）

是真命題，故此選項不符合題意;

D,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意;

故選：B.

【點評】本題考查了命題與定理的知識，掌握三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長定理以及直角三

角形斜邊上的中線的性質是解題的關鍵.

7.（3分）如圖①，將矩形ABCO置于平面直角坐標系中，其中AD邊在x軸上，AB=2.將直線/沿x軸

負方向以每秒1個單位長度的速度平移.已知直線/在起始位置的解析式為>=尤-4.設在平移過程中

該直線被矩形ABC。的邊截得的線段長度為山，平移時間為3機與f的函數圖象如圖②所示，則矩形

ABCD的面積為（）

圖①圖②

A.4A/2B.6C.5V2D.8

【分析】由圖象可知，當f=3時,m=Q,此時直線/平移后過點A,圖②中點￡時，直線/平移后過點

B；點尸時，直線/平移后過點。，當r=9時，771=0,此時直線/平移后過點C,如圖①，當，=3時,

平移后的解析式為y=x-1,進而可得A（1,0）,當/從7變化到9時，直線/從點。平移到點C,則

CD=9-7=2,直線/從點A平移到點8,f從3變化到5時，進而可得8C=9-5=4,根據S矩形ABCD

=BCXCD,計算求解即可.

【解答】解：由圖象可知，當f=3時，m=0,此時直線/平移后過點4

圖②中點E時，直線/平移后過點8；點尸時，直線/平移后過點。,

當/=9時，加=0,此時直線/平移后過點C,如圖①,

第10頁（共25頁）

圖①

???當￡=3時，平移后的解析式為y=x-4+3=x-1,

令y=0,則％=1,即A（1,0）,

當/從7變化到9時，直線/從點。平移到點C,

：.CD=9-7=2,

???直線/從點A平移到點5,%從3變化到5時，

：.BC=9-5=4,

?'?S矩形A58=3CXC0=4X2=8,

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數圖象的平移，函數圖象.從函數圖象中獲取正確的信息是解題的關鍵.

8.（3分）如圖，正方形的邊A3=2,弧3。和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面積之

71

cT-1D.2n-4

【分析】假設左邊空白部分的面積設為。，右邊空白部分的面積設為b,根據對稱性，上下兩片陰影部

分面積都設為c,則a+c=扇形的面積，6+c=正方形面積一扇形面積，兩個算式作差即為所求.

【解答】解：設左邊空白部分的面積設為a,右邊空白部分的面積設為6,

根據對稱性，上下兩片陰影部分面積設為c,

則a+c=扇形的面積，b+c=正方形面積一扇形面積，兩式作差:

a+c-(Z?+c)=a+c-b-c=a-b

第11頁（共25頁）

=扇形面積-（正方形面積一扇形面積）=2扇形面積-正方形面積=2XLXJTX22-22=214,

4

答：無陰影的兩部分的面積之差為2n-4,

故選：D.

【點評】本題主要考查了圓中求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握扇形的面積公式及拱形面積的計算方法是

解題的關鍵.

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

9.（3分）若點尸（5,2-6）關于原點的對稱點為。Q-2,5）,則-2a+b=13.

【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得匕的值，再代入求值即可.

【解答】解：點尸（5,2-6）關于原點的對稱點為QQ-2,5）,

.'.a-2=-5,2-b=-5,

'.a=-3,b=1,

-2a+b=6+7=13.

故答案為：13.

【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標、代數式的求值，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律.

10.（3分）已知一組正整數a,1,6,b,3有唯一眾數8,中位數是5,則這一組數據的平均數為5.

【分析】根據眾數、算術平均數和中位數的概念求解.

【解答】解：：這組數據有唯一眾數8,

為8,

???中位數是5,

?.aTE5，

，這一組數據的平均數為1+3+5+8+8

5$

故答案為：5.

【點評】本題考查了眾數、算術平均數和中位數的知識.熟練掌握眾數、算術平均數和中位數的概念是

解題的關鍵.

11.（3分）某課外植物研究小組有3名女生，2名男生，若從中隨機抽取兩名學生交流研究成果，則抽取

的兩名學生中恰好是一名女生和一名男生的概率為旦.

一5一

【分析】列表可得出所有等可能的結果數以及抽取的兩名學生中恰好是一名女生和一名男生的結果數，

再利用概率公式可得出答案.

【解答】解：列表如下：

第12頁（共25頁）

男男女女女

男（男，男）（男，女）（男，女）（男，女）

男（男，男）（男，女）（男，女）（男，女）

女（女，男）（女，男）（女，女）（女，女）

女（女，男）（女，男）（女，女）（女，女）

女（女，男）（女，男）（女，女）（女，女）

共有20種等可能的結果，其中抽取的兩名學生中恰好是一名女生和一名男生的結果有12種，

.?.抽取的兩名學生中恰好是一名女生和一名男生的概率為絲=3.

205

故答案為：1.

5

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關鍵.

12.（3分）如圖，RtA4BC的直角頂點A在反比例函數（x>0）的圖象上，點C在〉軸上，AC//

X

X軸，延長交無軸于點。，連接AD,AO,當AB=4且△AO。的面積為2愿時，點A的坐標為（30,

【分析】延長&L交x軸于點E,可知SACOD=SAAOD=2JE，設A（〃Z,工2）,利用相似三角形面積比

m

4X4Xm4

等于相似比的平方列出---------------------=（―^-）2求出機值即可得到點A坐標.

12+2V3+^X4Xm4喈

【解答】解：延長BA交x軸于點E,

?：AC//DE,

第13頁（共25頁）

..?點A在反比例函數y=」2圖象上，

X

??S矩形ACOE=12，

?*?5梯形ACOE=12+2退，

設A（m,衛(wèi)■）,

m

'：AC//DE,

：.△ABCs/\EBD,

S

.AABC（AB）2,

^AEBDBE

￡x4Xm

2

-------------------=（士）

12+273+|x4Xm4T

解得m=3e，

A（3如，J^_）.

3

【點評】本題考查了反比例函數上值幾何意義，熟練掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是關鍵.

13.（3分）如圖，在菱形ABCD中，tanA=2,M,N分別在邊ADBC±,將四邊形AMNB沿翻折,

3

使的對應線段所經過頂點。，當EFLAD時，現(xiàn)的值為2.

CN~7~

第14頁（共25頁）

【分析】首先延長NF與。C交于點進而利用翻折變換的性質得出NHLDC,再利用邊角關系得出

BN,CN的長進而得出答案.

【解答】解：延長NF與DC交于點/1,

VZADF=90°,

；.NA+NFDH=90°,

VZDFN+ZDFH=180°,ZA+ZB=180°,ZB=ZDFN,

：.ZA=ZDFH,

：.ZFDH+ZDFH=9Q°,

：.NH±DC,

設OM=4Z,DE=3k,EM=5k,

:.AD=9k=DC,DF=6k,

tanA=tanZDFH——,

3

則sinZDFH=A,

5

:.DH=&DF=@k,

55

C8=9左一處發(fā)=21比

55

COSC=COSA=-^-=A,

NC5

：.CN=^-CH=1k,

3

：.BN=2k,

?BN=2

"CN7'

【點評】此題主要考查了翻折變換的性質以及解直角三角形，正確表示出CN的長是解題關鍵.

三、解答題：本題共7小題，共61分。

14.（8分）（1）計算：-（3.14-K）0-3tan60°+1l-Vs|+（-2）-2;

第15頁（共25頁）

(2)化簡：a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(6-3).

【分析】(1)根據實數的運算法則進行計算即可；

(2)去括號，合并同類項即可.

【解答】解：(1)^12-(3.14-H)°-3tan60°+|1-73|+(-2)-2;

=2V3-1-3V3W3-14

4

=.7.

4

(2)a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(ft-3)

=/+2a-cr+lr-b^+3b

=2a+3b.

【點評】本題主要考查了整式的混合運算和實數的運算，熟練掌握公式和性質的應用是解題關鍵.

15.(9分)某校為了初步了解學生的勞動教育情況，對九年級學生”參加家務勞動的時間”進行了抽樣調

查，并將勞動時間x分為如下四組(A：x<70；B：70W尤<80；C：80Wx<90；D：x290,單位：加沅)

(1)本次抽取的學生為50人,扇形統(tǒng)計圖中冽的值為30；

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

(3)已知該校九年級有600名學生，請估計該校九年級學生中參加家務勞動的時間在80"歷?(含80mm)

以上的學生有多少人？

【分析】(1)由。組的人數除以所占百分比得出本次抽取的學生人數，即可解決問題；

(2)求出C組的人數，補全條形統(tǒng)計圖即可；

(3)由該校九年級學生人數乘以參加家務勞動的時間在80分鐘(含80分鐘)以上的學生所占的比例

即可.

第16頁(共25頁)

【解答】解：（1）本次抽取的學生人數為5?10%=50（人）,

Am%=154-50X100%=30%,

.,.m=30,

故答案為：50,30；

（2）C組的人數為：50-10-15-5=20（人）,

補全條形統(tǒng)計圖如下：

50

答：估計該校九年級學生中參加家務勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生約有300人.

【點評】此題考查頻數（率）分布直方圖，用樣本估計總體，扇形統(tǒng)計圖；要充分運用數形結合思想來

解決由統(tǒng)計圖形式給出的數學實際問題.

16.（9分）2024年植樹節(jié)來臨之際，某學校計劃采購一批樹苗，參加“保護環(huán)境，遠離霧霾”植樹節(jié)活

動.已知每棵甲種樹苗比每棵乙種樹苗貴10元.用1200元購買甲種樹苗的棵數恰好與用900元購買乙

種樹苗的棵數相同.

（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

（2）學校決定購買甲，乙兩種樹苗共100棵，實際購買時，甲種樹苗打九折，乙種樹苗的售價不變.學

校用于購買兩種樹苗的總費用不超過3200元，求最多可購買多少棵甲種樹苗.

【分析】（1）根據用1200元購買甲種樹苗的棵數恰好與用900元購買乙種樹苗的棵數相同，可以列出

相應的分式方程，然后求解即可；

（2）根據題意和（1）中的結果，可以列出相應的不等式，然后求解即可.

【解答】解：（1）設乙種樹苗每棵的價格是x元、則甲種樹苗每棵的價格是（x+10）元，

由題意可得：1200=^22,

x+10x

解得x=30.

第17頁（共25頁）

經檢驗，x=30是原方程的根，

.*.x+10=40,

答：甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是40元和30元；

(2)設可購買a棵甲種樹苗，

由題意可得:0.9aX40+30X(100-a)W3200.

解得：a<33,

o

為正整數，

：.a的最大值為33,

答：最多可購買33棵甲種樹苗.

【點評】本題考查分式方程的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的

分式方程和不等式.

17.(8分)圖1,圖2均是4X4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上,

在圖1,圖2給定的網格中按要求畫圖(保留作圖痕跡，并寫出簡要的文字說明).

(1)在圖1中，在線段A3上畫出點使

(2)在圖2中，畫出一個格點C,使△ABC是以為斜邊的等腰直角三角形.

A

圖1

【分析】(1)取格點C,D,^AC//BD,且AC：BD=3：1,連接CD交A2于點則點M即為所

求.

(2)結合勾股定理、勾股定理的逆定理畫圖即可.

【解答】解：(1)如圖1,取格點C,D,itAC//BD,且AC：BD=3：1,連接CO交AB于點M,

此時

???AM=AC-Do,

BMBD

：.AM=3BM,

則點M即為所求.

第18頁(共25頁)

A

B

圖1

(2)如圖2,點Ci，C2均滿足題意.

【點評】本題考查作圖一應用與設計作圖、勾股定理、勾股定理的逆定理，解題的關鍵是理解題意，靈

活運用所學知識解決問題.

18.(9分)如圖，在中，/ACB=90°,點E在AC上，以CE為直徑的經過4B上的點O,

與OB交于點F,且BD=BC.

(1)求證：AB是OO的切線；

(2)若AE=1,求存的長.

【分析】(1)連接。。，證明瓦屋△02C,得到/。。2=/。。=90°,根據切線的判定定理即可

證得結論；

(2)RtZ\OA。中，解直角三角形求得00=1,ZAOD=60°,進而求得4857=60°,根據弧長公式

即可求得答案.

【解答】(1)證明：連接O。，

在△080和△0BC中，

第19頁(共25頁)

BD=BC

-OD=OC，

OB=OB

:.AOBD/AOBC（SSS）,

：.ZODB=ZOCD=90°,

：.OD±AB,

是。。的半徑，

.?.AB是O。的切線；

（2）解：設0O的半徑為R,

在RtZkOAD中，AD=M，A￡=l,AO^AE+OE=1+R,OD=R,AD1+OD1=AO2,

：.（V3）2+R2=（1+7?）2,

解得R=l,

OD=\,

tanZAOZ）=-^5-=V3>

OD

AZAOD=60°,

：.ZCOD=120°,

由（1）知△08。之△OBC,

/.ZBOD=ZBOC=^ZCOD=60°,

【點評】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，全等三角形的性質和判定，弧長公式，綜合運用

相關知識是解決問題的關鍵.

19.（9分）綜合與實踐

【主題】優(yōu)化灑水車為公路兩側綠化帶澆水效率

【問題背景】如圖1，灑水車沿著平行于公路綠化帶方向行駛，同時向右側綠化帶澆水.數學興趣小組

第20頁（共25頁）

的同學想了解灑水車要如何控制行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水能澆灌到整個綠化

帶，為解決這個問題，數學興趣小組同學通過建立數學模型進行探索.

【數學建模】如圖2,建立平面直角坐標系，可以把灑水車噴出水的內、外邊緣抽象為平面直角坐標系

中兩條拋物線的部分圖象；噴水口”離地豎直高度?！睘?5%把綠化帶橫截面抽象為矩形DE/G,

其水平寬度。E=3m,豎直高度EF=0.5〃z,表示灑水車和綠化帶之間的距離.內邊緣拋物線”是

由外邊緣拋物線yi向左平移得到，外邊緣拋物線yi最高點A離噴水口的水平距離為2根，高出噴水口

0.5m.

圖1圖2

【解決問題】

(1)求外邊緣拋物線yi的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC；

(2)請求出內邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；

(3)要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出。。的取值范圍.

【分析】(1)易得yi的頂點A的坐標，用頂點式表示出yl的解析式，進而把點H的坐標代入可得a

的值，取y=0,可得。C的長度；

(2)設出平移后”的解析式，進而把點〃的坐標代入可得機的值，取y=0,求得相應的x的值可得

拋物線”與無軸的正半軸交點B的坐標；

(3)要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，點。與點8重合或點尸在yl上，分別求得對

應的的長，可得OD的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意得：點A(2,2)是外邊緣拋物線的頂點，

,設yi=a(尤-2)2+2,

:拋物線過點8(0,1.5),

工1.5=4。+2,

?〃一-1

8

外邊緣拋物線的函數解析式為：yi=-1(x-2)2+2,

-8

當y=0時，0=-—(x-2)2+2,

-8

第21頁(共25頁)

解得：X1=6,X2=-2(舍去)，

，噴出水的最大射程OC為6m；

(2)由yi左右平移得到，

/.設”=-—(x-2+m)2+2,

8

?.?經過點，(0,1.5),

-?.1.5=-A(-2+m)2+2,

8

解得：〃“=4,7"2=0(舍去),

；.、2=-—(x+2)2+2,

,8

把丫2=0代入，得：0=-—(x+2)2+2

8

解得：尤1=2,X2=-6(舍去)，

.?.點3的坐標為(2,0)；

(3):要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，

點。與點8重合或點F在”上，

當點。與點8重合時，OD=OB=2,

當點尸在yi上時，0.5=--1(x-2)2+2,