13.3.1三角形的內(nèi)角（第2課時(shí)）（原卷版）

目錄

類型一、直角三角形的兩個(gè)銳角互余.............................................................1

類型二、銳角互余的三角形是直角三角形.........................................................4

夯基礎(chǔ)

類型一、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

1.如圖，將一塊含有30。的直角三角板放于兩條平行線上，若4=55。，則N2=（）

2.如圖，已知AB〃CDDE_L3C,NA3C=70°,則等于（）

3.一束平行光線經(jīng)過水面后折射的光線也是平行的.如圖，若杯底與水面平行，折射角4=15。，則N2的

4.將一副三角板按照如圖方式擺放，則ZBGE的度數(shù)為（）

E

B

FACD

A.65°B.75°C.85°D.105°

5.如題圖，AB//CD,AELBC于點(diǎn)E,若NC=37。，則NA的度數(shù)是()

上

C4-----------------D

A.37°B.53°C.63°D.143°

6.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,NB=34。，則NA的度數(shù)為（）

R

L

A.50°B.54°C.56°D.i6°

1.已知點(diǎn)E為VABC中A3邊上一點(diǎn)，連接CE,ZA=10°,4=50。,當(dāng)《BCE為直角三角形時(shí)，則/ACE

的度數(shù)是______.

8.如圖，直線。b,直線Zl=130°,則N2的度數(shù)為_________.

9.如圖，直線a.b,AB1AC,若/2=35。，則Nl=______°

_________-a

BC

10.利用平行線的知識證明“直角三角形中兩銳角互余”的一種證法如下:

DA

求證：ZB+ABAC=90°.

證明：如圖，過點(diǎn)A作ADLAC,(①)

貝l」NZMC=90。.

ZC=90°,

ZDAC+ZC=90°+90°=l80°.

:.DA//BC.(②)

:.ZB=ZDAB.

:.ZB+ABAC=NDAB+ABAC=ZDAC=90°.

上述證法中，為說明輔助線的做法合理，①處應(yīng)填寫的依據(jù)是—；

證明過程中，②處應(yīng)填寫的依據(jù)是—.

【注】本題結(jié)論可以作為推理的依據(jù)，用于本試卷其它題目的推導(dǎo)過程.

11.如圖，在RtZXABC中，NC4B=90。，于點(diǎn)E,CD_LA產(chǎn)交AF于點(diǎn)。，ZABE=20°,則

ZACD=.

12.如圖，竹竿與BC斜靠在墻上，ZOAB=20,ZOCB=30,則,ABC的度數(shù)為

13.直角三角形ABC中，ZABC=90°,8。是斜邊AC上的高，ZA=35°,請求出圖中所有銳角的值，并

找出其中所有相等的銳角。

B

14.如圖1是一種躺椅，如圖2是其簡化示意圖.扶手A8與底座CD都平行于地面，靠背。M與前支架OE平

行，前支架0E與后支架0P分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)O,AB與DM交于息N,當(dāng)OELOP,ZODC=30°

時(shí)，人躺著最舒服，求此時(shí)/AOE和/AW的度數(shù).

圖I圖2

類型二、銳角互余的三角形是直角三角形

15.如圖，直線直線所分別與直線AB,CO相交于點(diǎn)E,F,于點(diǎn)M,若Nl=40。,

C.60°D.70°

16.如圖，AB//CD,過點(diǎn)8作BEJ_O尸于8,Za=38°,則乙夕的度數(shù)為（）

C.58°D.38°

17.如圖，已知直線/j〃4，9，8于點(diǎn)。，/2=40。，則N1的度數(shù)是（）

C.50°D.60°

18.如圖，直線AB〃皿N,線段⑷V和線段垂直于點(diǎn)Q,若/ABM=65。,則NAW的度數(shù)是（）

19.滿足下列條件的VABC不是直角三角形的是()

A.ZA=90°B.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.ZC=ZA+ZBD.ZA+ZC=90°

20.如圖，在RtABC中，ZACB=90°,ZA=/BCD,貝ljBDC是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

21.具備下列條件的VABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=3ZCB.ZA-ZB=ZC

C.ZA^ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=1:2:3

22.如圖，在VABC中，4。是BC邊上的高，E是A5邊上一點(diǎn)，C￡交AD于點(diǎn)M,^ZDCM=ZMAE.求

證：/\AEM是直角三角形.

BD（、

23.如圖，在VABC中，。為48上一點(diǎn)，ZA=Z2,Z1=ZB.

⑴判斷VA3C的形狀；

(2)判斷CZ)是否與垂直.

24.如圖，在VABC中，ZACB=90°,CD是VA2C的高.

(1)圖中有幾個(gè)直角三角形？是哪幾個(gè)？

(2)/2和/A有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

——?B?——

1.在下列條件：?ZA+ZB=ZC；②ZA:ZB:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；（4）ZA=|zB=1zC；⑤

ZA=/B=g/C中，能確定VABC為直角三角形的條件有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

2.下列條件不能判定VA2C是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=1:2:3B.ZB-ZC=ZA

C.ZA=2/3=3/CD.ZA=40°,ZB=50°

3.下列條件：?ZA+ZB=ZC；②ZA:N氏NC=1:2:3；③ZA=90。一ZB；@ZA=ZB=ZC；⑤

ZA=2ZB=3ZC,其中能確定VABC是直角三角形的條件有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

4.如圖，在VA5c中，ADJ.BC,垂足為D,AE平分-54C.

(1)已知NB=74。，ZC=26°,求N1ME的度數(shù);

(2)已知N3>NC,猜想N7ME與4,NC之間的關(guān)系，并證明.

5.如圖，在VABC中，ZA=90°,D,E分別是A3,AC上的點(diǎn)，已知NADE+NC=90。.

(1)試說明DE〃3c.

⑵若EF平分NDEC,ZB=56°,求/DEF的度數(shù).

1.如圖，在VABC中，ABLBC,點(diǎn)。在邊BC上(不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合).

(1)若點(diǎn)尸在邊AC上，且/PDC=NBAC,求證：PD1AC；

(2)請用尺子在圖中畫出△AOC的邊AD上的高CE,若AB=4cm,AD=5cm,DC=6cm,求CE的長度.

2.已知ZACB=NE=90。，ZB=30°,ZD=45°.

(1)如圖①，當(dāng)/3CD=15。時(shí)，請判斷AB與CE之間的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)如圖②，若CEJ.AB,求/BCD的度數(shù).

3.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、2、。在格點(diǎn)上，請用無刻度的直尺用連線的方法畫出如下圖形(保留畫

圖痕跡).

圖1

(1)在圖1中，找一個(gè)格點(diǎn)H連接PAPB,使V為直角三角形;

⑵在圖2中，找一個(gè)格點(diǎn)”,連接使NHQ8=NA3Q.

13.3.1三角形的內(nèi)角（第2課時(shí)）（解析版）

目錄

類型一、直角三角形的兩個(gè)銳角互余.............................................................1

類型二、銳角互余的三角形是直角三角形.........................................................9

夯基礎(chǔ)

類型一、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

1.如圖，將一塊含有30。的直角三角板放于兩條平行線上，若4=55。，則N2=（）

【答案】C

【分析】本題考查了與三角板有關(guān)的計(jì)算題，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)題意得

Z3=60°,Z5=Z2,Z4=Z1=55°,再結(jié)合對頂角相等，得N6=N2,把數(shù)值代入/3+/4+/6=180。，進(jìn)行

計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：如圖所示：

???將一塊含有30。的直角三角板放于兩條平行線上,

Z3=60°,Z5=Z2,Z4=Z1=55°,

?/Z5=Z6,

/.Z6=Z2,

?/Z3+Z4+Z6=180°,

Z.60°+55°+Z2=180°,

解得N2=65。，

故選：C.

2.如圖，已知AB〃CDDE_L3C,NA3C=70°,則N￡?C等于（）

C.20°D.10°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先根

據(jù)平行線性質(zhì)求出N38,再在直角三角形DEC中利用直角三角形兩銳角互余求出/EZJC.

【詳解】解：AB//CD,

ZBCD=ZABC=10°,

DELBC,

：.ZDEC=90°,

ZEDC=90°-NBCD=90°-70°=20°,

故選：C.

3.一束平行光線經(jīng)過水面后折射的光線也是平行的.如圖，若杯底與水面平行，折射角4=15。，則N2的

B.65°C.75°D.85°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)及直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根

據(jù)互余及平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由題意可知，法線與杯底垂直，4的余角為75。,

由平行線的性質(zhì)可知：/2=75。.

故選C.

4.將一副三角板按照如圖方式擺放，則NBGE的度數(shù)為（）

C.85°D.105°

【答案】B

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的定義，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)自己三角形的性質(zhì)求出ZBCF=90°-ZF=90°-30°=60°,ZEAD=90°-ZAED=90°—45。=45。，根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理求出NAGC=180O-N3CF-ZE4r>=75。，得到N3GE=NAGC=75。，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得々5=90。一/斤=90。-30。=60。，Z.EAD=90°-AAED=90°-45°=45°,

ZAGC=180°-NBCF-ZEAD=75°，

ZBGE=ZAGC=75°,

故選：B.

AEL8c于點(diǎn)E,若NC=37。，則NA的度數(shù)是（）

53°C.63°D.143°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，則4=37。，

運(yùn)用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：：CD，

ZB=ZC=37°,

AE_L8c于點(diǎn)E,

：.ZAEB=90°,ZA=900-ZB=53°,

故選：B

6.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,4=34。，則/A的度數(shù)為（）

A.50°B.54°C.56°D.66°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算解答即可.

本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；及△ABC中，ZC=90°,ZB=34°,

：.ZA=90°-ZB=56°,

故選：C.

7.已知點(diǎn)E為VABC中A3邊上一點(diǎn)，連接CE,44=10。，4=50。,當(dāng)MCE為直角三角形時(shí)，則/ACE

的度數(shù)是.

【答案】30。或80°

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

分情況討論：當(dāng)/3CE=90?；虍?dāng)/8EC=90。時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和，和直角三角形的兩個(gè)銳角互余分別求

解即可.

【詳解】解：；ZA=10。，4=5。。,

ZBCA=180°-10°-50°=120°,

當(dāng)N3CE=90。時(shí)，3CE為直角三角形，

止匕時(shí)ZACE=ZACB—ZBCE=120O—90o=30。，

當(dāng)/3EC=90。時(shí)，BCE為直角三角形，

此時(shí)ZBCE=900-ZB=90°-50°=40°

ZBCA=180°-10°-50°=120°

ZACE=ZACB-ZBCE,=120°-40°=80°,

故答案為：30。或80。.

8.如圖，直線。b,直線/，4，4=130。，則/2的度數(shù)為

【答案】40。/40度

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn).

首先得出/，匕，然后求出/I的鄰補(bǔ)角，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可.

【詳解】因?yàn)椤,l±a,

所以Ub,

則/I的鄰補(bǔ)角為180。-130。=50。，

所以/2=90°-50°=40°.

故答案為：40°.

9.如圖，直線。b,AB1AC,若/2=35。，則4=。

【答案】55

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及垂直的定義，屬于中考?？碱}.掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

根據(jù)垂直的定義和余角的定義計(jì)算得到再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得？1TABC55?.

【詳解】解：

ZBAC=90°,

?：/2=35°,

乙鉆C=90。一N2=55。，

ab,

Z.?1?ABC55?.

故答案為：55

10.利用平行線的知識證明“直角三角形中兩銳角互余”的一種證法如下:

已知：VA5c中，ZC=90°.

求證：ZB+ABAC=90°.

證明：如圖，過點(diǎn)A作ADLAC,(①)

貝l」NZMC=90。.

ZC=90°,

ZDAC+ZC=90°+90°=l80°.

:.DA//BC.(②)

:.ZB=ZDAB.

:.ZB+ABAC=NDAB+ABAC=ZDAC=90°.

上述證法中，為說明輔助線的做法合理，①處應(yīng)填寫的依據(jù)是—；

證明過程中，②處應(yīng)填寫的依據(jù)是—.

【注】本題結(jié)論可以作為推理的依據(jù)，用于本試卷其它題目的推導(dǎo)過程.

【答案】在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，

先根據(jù)“平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”可得4MC=90。，再根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線

平行”得DABC,可得NB=ZDAB,則結(jié)論可證.

【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)4作ADLAC,(在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直)

貝ljNZMC=90。.

“=90°,

ZDAC+ZC=90°+90°=180。.

:.DA//BC.(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)

:.ZB=ZDAB.

:.ZB+ABAC=NDAB+ABAC=Z.DAC=90°.

故答案為：在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

11.如圖，在RtZXABC中，NC4B=90。，BELAF于點(diǎn)E,CD_LA產(chǎn)交AF于點(diǎn)。，ZABE=20°,則

ZACD=_________

【答案】70。no度

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余計(jì)算即可.

【詳解】解：QBE1AF,

:.ZAEB=90°,

NBAE=90°-ZABE=90°-20°=70°,

ZCAB=90°,

ACAD=ZCAB-Z.BAE=20°,

CD±AF,:.ZADC=90°,

ZACD=90°-ZAD=70°,

故答案為：70°.

12.如圖，竹竿AB與BC斜靠在墻上，ZOAB=20,NOCB=3。,則/ABC的度數(shù)為

【答案】10/10度

【分析】本題考查了直角三角形兩銳角互余，掌握直角三角形兩個(gè)銳角相加等于90。是解題的關(guān)鍵.先計(jì)算

出和/CB。的度數(shù)，再根據(jù)ZABC=ZABO-ZCBO即可求解.

【詳解】解：,ZAOB^9Q0,ZQ4B=20°,NOC8=30。，

ZABO=90°一ZOAB=90°-20°=70°,

Z.CBO=90°一ZOCB=90°-30°=60°,

ZABC=ZABO-ZCBO=70°-60°=10°.

故答案為：10。.

13.直角三角形ABC中，NABC=90。，是斜邊AC上的高，/A=35。，請求出圖中所有銳角的值，并

找出其中所有相等的銳角。

【答案】ZA=ZCBD=35°ZC=ZABD=55°；相等的銳角有：ZA=ZCBD,ZC=ZABD

【分析】本題主要考查直角三角形兩銳角互余，直接根據(jù)直角三角形兩銳角互余進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZASC=90°,

，NA+/C=90。，

；/A=35。，

A?C90??A90?35?55?；

在RtAABD中，VBDLAC,即NAZ)3=90。，

ZA+ZABD=90°,

'：ZA=35°,

ZABD=90°-ZA=90°-35°=55°；

在RtADBC中，VBD1AC,即NADC=90。，

ZC+ZCBD=90°,

"："=55。，

Z.CBD=90°-ZC=90°-55°=35°；

二相等的銳角有：ZA=ZCBD,ZC=ZABD.

14.如圖1是一種躺椅，如圖2是其簡化示意圖.扶手AB與底座CD都平行于地面，靠背加與前支架OE平

行，前支架OE與后支架0尸分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)。，AB與DM交于點(diǎn)、N,當(dāng)OELOB,ZODC=30°

時(shí)，人躺著最舒服，求此時(shí)—AOE和/AW的度數(shù).

圖1圖2

【答案】NAOE=60。，NAW=120。

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，由OELO/,/8。=30。可得/。6。=60。，進(jìn)

而根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可求解，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：...OELOb，

NE。尸=90°,

,/ZODC=30°,

???ZOGD=90°-ZODC=90°-30°=60°,

?：AB//CD,

???ZAOE=ZOGD=60%

*.?OE//DM,

：.ZCDM=180°-ZOGD=180°-60°=120°,

■:AB//CD,

：.ZANM=ZCDM=120°.

類型二、銳角互余的三角形是直角三角形

15.如圖，直線AB〃CD,直線E廠分別與直線AB,CO相交于點(diǎn)E,F,次/，印于點(diǎn)"，若Nl=40。,

則N2的度數(shù)是（）

M/

【答案】B

【分析】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，平行線的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得出

/3=50。，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解.

???/3=50。，

???AB//CD,

：.N2=N3=50。

故選：B.

16.如圖，AB//CD,過點(diǎn)B作的，。小于3,/。=38。，則48的度數(shù)為（）

A.62°B.52°C.58°D.38°

【答案】B

【分析】根據(jù)互余得出/班組的度數(shù)，進(jìn)而利用兩直線平行，同位角相等解答即可；

此題考查平行線的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，關(guān)鍵是利用兩直線平行，同位角相等解答.

【詳解】解：BELDF于B,Za=38°,

NEBD=90°,NBDE=90°-38°=52°,

AB//CD,

:.N0=4BDE=5〉,

故選：B.

17.如圖，已知直線4〃如48,8于點(diǎn)。，Z2=40°,則/I的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂直線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線的性質(zhì)

和垂直的定義，可以求出NABC的大小，最終確定N1的度數(shù).

【詳解】解：AB1CD,/2=40。，

ZABC=90°-40°=50°,

lA//l2

..Nl=ZABC=50。.

故選：C.

18.如圖，直線線段AN和線段8〃垂直于點(diǎn)。，若/ABM=65。，則/AW的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，先根據(jù)線段AN和線段8N垂直于點(diǎn)。得出ZAQB=90。，再由

乙但0=65?？傻贸龅亩葦?shù)，由即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???線段4V和線段3M垂直于點(diǎn)。，

ZAQB=9Q°,

,：ZABM=65°,

??.ZBA2=90°-65°=25°,

???AB//MN,

：.AANM=ABAQ=25°,

故選：A.

19.滿足下列條件的VABC不是直角三角形的是（）

A.ZA=90°B.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.ZC=ZA+ZBD.ZA+ZC=90°

【答案】B

【分析】本題考查直角三角形的識別，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及直角三角形的判定逐項(xiàng)判斷，即可得到

結(jié)論.

【詳解】解：A,NA=90。，VABC是直角三角形，不合題意；

B,NA:N8:NC=3:4:5時(shí)，最大的角NC=:年180。=75。,VABC不是直角三角形，符合題意；

C,NC=ZA+/B,則NC=gxl80o=90。，VABC是直角三角形，不合題意；

D,ZA+ZC=90°,貝90?,VABC是直角三角形，不合題意；

故選B.

20.如圖，在RtABC中，ZACB=90°,ZA=ZBCD,貝隆8￡2是（）

H

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，利用三角形內(nèi)角和定理，找出/班心=90。是解題的關(guān)鍵.

在RtABC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可得出ZA+ZB=90°,結(jié)合NA=NBCD,可得出ZB+ZBCD=90°,

再利用三角形內(nèi)角和定理，可得出/3DC=90。，進(jìn)而可得出..8OC是直角三角形.

【詳解】解：在RtABC中，ZACB=90°,

：.ZA+ZB=180°-ZACB=180°-90°=90°,

又；ZA=ZBCD,

ZB+ZBCD=90°,

：.ZBDC=180°-（ZB+/BCD）=180°-90°=90°,

9c是直角三角形.

故選：C.

21.具備下列條件的VABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=3NCB.ZA-ZB=ZC

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=1:2:3

【答案】A

【分析】本題主要考查了直角三角形以及三角形的內(nèi)角和定理.根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，ZA=4=3NC,

54001Qn°

得到==1廠，ZC=^~,得到具備條件A的VABC不是直角三角形；根據(jù)NA-/3=/C,得到

ZA=90°,得到具備條件B的VA3C是直角三角形；根據(jù)NA+N3=NC得到NC=90。，得到具備條件C

的VABC是直角三角形；根據(jù)NA:N3:NC=1:2:3得到NC=90。，得到具備條件D的VABC是直角三角

形.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，直角三角形定義，是解決問題的關(guān)鍵.

54001

【詳解】A、由ZA=ZB=3NC及NA+/B+NC=180。可得/A=/2=—1，ZC=—,VABC不是直角三

角形，故符合題意；

B、由NA-/3=/C及NA+N8+/C=180?？傻肗A=90。，VABC是直角三角形，故不符合題意；

C、由NA+N3=NC及/A+/3+NC=180?？傻肗C=90。，VABC是直角三角形，故不符合題意；

D、由NA:ZB:NC=1:2:3及/A+/3+NC=180?？傻肗C=90。，/A=30。，ZB=60°,VABC是直角三

角形，故不符合題意.

故選：A.

22.如圖，在VABC中，是8C邊上的高，E是A8邊上一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)M,S.XDCM=^MAE.求

證：是直角三角形.

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)與判定；由AD是BC邊上的高，得NDMC+"CM=90。；再由

ADCM=ZMAE,ZDMC=ZAME,即可得結(jié)論成立.

【詳解】解：是BC邊上的高，

ZADC=90°,

Z.DMC+ZDCM=90°.

ZDCM=ZMAE,ZDMC=ZAME,

：.ZAME+ZMAE=90°,

A4EM是直角三角形.

23.如圖，在VABC中，。為A3上一點(diǎn)，N4=N2,Z1=ZB.

⑴判斷VA3C的形狀；

⑵判斷CD是否與垂直.

【答案】（l）VABC是直角三角形

（2）C￡）±AB

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是

解題的關(guān)鍵，（1）證出NACB=90。即可得到結(jié)論，（2）求出/CD3=90。，可得出CDLAB.

【詳解】（1）解：VABC是直角三角形，理由如下：

VZA=Z2,Z1=ZB,

ZA+Z2+Z1+ZB=18O°,

ZA+ZB=90°,

ZACB=90°,

；.VABC是直角三角形.

（2）解：CDLAB,理由如下：

VZA+ZB=90°,ZA=N2,

/.Z2+ZB=90°,

NCDB=90°,

：.CD.LAB.

24.如圖，在V"C中，ZACB=90°,CD是VABC的高.

（D圖中有幾個(gè)直角三角形？是哪幾個(gè)？

（2）/2和NA有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【答案】（1）圖中有3個(gè)直角三角形，分別是“ACD,BCD,ABC

（2）Z2=NA,理由見解析

【分析】（1）由題中已知條件/ACB=90。，CD是高，可以得到/ADC、/BDC、/AC3都是直角.

（2）由（1）得到/CDBCDABC是直角三角形，且NADC、/BDC、/ACB是直角，所以/I+/A=90。,

Nl+N2=90°,由此可以得到N2=NA.

【詳解】（1）vZACB=90°,C。是高，

ZADC=NBDC=ZACB=90°,

圖中有3個(gè)直角三角形，分別是二ACD,BCD,ABC；

(2)AACD,BCD,ABC是直角三角形，且/ADC、NBDC、ZAC3是直角，

.-.Zl+ZA=90°,Zl+Z2=90°,

:.Z2=ZA.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形高的定義，熟練掌握直角三角形的定義是解題的

關(guān)鍵.

——?B?——

1.在下列條件：@ZA+ZB=ZC；②ZA:ZB:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；@ZA=|zB=1zC；⑤

ZA=/B=：NC中，能確定VABC為直角三角形的條件有()

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的判定對各個(gè)條件進(jìn)行分析，從而得到答案.

本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180。是解答此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：ZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°

：.2ZC=180°,

...ZC=90°,

；.VABC是直角三角形，

故本小題符合題意；

②：ZA:NB:NC=1:2:3,ZA+ZB+ZC=180°,

3

.?.最大角為/。=江三與'180。=90。，

...VABC是直角三角形，

故本小題符合題意；

@VZA=ZB=2ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

/.2ZC+2ZC+ZC=180°,

ZC=36°,

Z.ZA=72°,

；.VABC是銳角三角形，

故本小題不符合題意;

@VZA=-ZB=-ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

23

3

???最大角為NC=—x180。=90°,

1+2+3

.,.VA3C是直角三角形，

故本小題符合題意；

@VZA=ZB=1ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

2

???最大角為NC=---><180。=90°,

1+2+1

.?.VABC是直角三角形，

故本小題符合題意.

綜上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4個(gè).

故選：B.

2.下列條件不能判定VA5C是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=1:2:3B.NB-NC=ZA

C.ZA=2ZB=3ZCD.ZA=40°,ZB=50°

【答案】C

【分析】本題考查了直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的判定逐

項(xiàng)判斷即可，掌握三角形內(nèi)角和定理及直角三角形的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A、由題意可設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x、2x、3x,

x+2x+3x=180。，

.?.x=30。，故三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為30。、60。、90°,

此選項(xiàng)中是直角三角形，不符合題意；

B、VZB-ZC=ZA,

ZB=ZA+ZC,

：.?B90?,

.??此選項(xiàng)中是直角三角形，不符合題意；

C、設(shè)NB=3x,Z.C—2x,/A=6x（x為正數(shù)），

ZA+ZB+ZC=180°,

,:6x+3x+2x=180°,

,,x=-1-8-0--°,

11

?10800540°360°

??NA=-------,Z-D=------,ZC=-------,

???此選項(xiàng)中不是直角三角形，符合題意;

D、VZA=40°,ZB=50°,ZA+ZB+ZC=180°

ZC=90°,

???此選項(xiàng)中是直角三角形，不符合題意；

故選：C.

3.下列條件：?ZA+ZB=ZC；②ZA:N3:NC=1:2:3；③ZA=90?！?3；?ZA=ZB=ZC；⑤

ZA=2ZB=3ZC,其中能確定VABC是直角三角形的條件有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和是180。和有兩個(gè)角互

余的三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵；根據(jù)直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理逐項(xiàng)計(jì)算判定即可。

【詳解】解：①，ZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

\2?C180?,

:.ZC=90°,

ABC是直角三角形，

故本選項(xiàng)符合題意；

②[ZA:ZB:ZC=1:2:3,

ABC是直角三角形，

故本選項(xiàng)符合題意；

③.ZA=90°-ZB,

:.ZA+ZB=90°,

：.ABC是直角三角形，

故本選項(xiàng)符合題意；

?-ZA=ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.?.ZA=ZB=ZC=60°,

ABC不是直角三角形，

故本選項(xiàng)不符合題意；

??ZA=2ZB=3ZC,

,3

，設(shè)NC=x,則NA=3x,N8=]X,

ZA+ZB+ZC=180°,

3

/.x+3x+—x=180°,

2

解得：x=

1080)。有。

NA=11「,,/B=

：.ABC不是直角三角形,

故本選項(xiàng)不符合題意;

能確定VABC是直角三角形的條件有①②③，共有3個(gè),

故選：C.

4.如圖，在VABC中，ADJ.BC,垂足為O,AE平分ZBAC.

⑴已知NB=74。，ZC=26°,求S4E的度數(shù)；

(2)已知N3>NC,猜想ZZME與4,NC之間的關(guān)系，并證明.

【答案】(1)NZME=24。；

(2)Zr>AE=1(ZB-ZC),見解析

【分析】本題考查角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義.

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及垂直的定義進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及垂直的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：?/Z.BAC+ZB+ZC=180°,ZB=74°,ZC=26°,

???ABAC=180。—74°-26°=80°,

AE平分N&LC.

NBAE=/CAE=-ZBAC=40°,

2

又,:AD±BC,

：.ZADC=90°,

?.?ZC=26°,

???ZCAD=90°-26°=64°,

Z.NH4￡=64。-40。=24。；

(2)解：ZDAE=1(ZB-ZC),理由如下，

???ZBAC+ZB+ZC=180°,

ABAC=180°-ZB-ZC,

AE平分/B4C.

Z.NBAE=ZCAE=|ABAC=90°-1(ZB+ZC),

又；ADJ.BC,

：.ZADC=90°,

ZCAD=90°-ZC,

：.ZDAE=90°-1(ZB+ZC)-(90°-ZC)=|(ZB-ZC).

5.如圖，在VA5c中，/A=90。，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)，已知NADE+NC=90。.

（1）試說明OE〃3C.

⑵若EF平分NOEC,ZB=56°,求NDE尸的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）73°

【分析】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的兩個(gè)銳角

互余，平行線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)直角三角形性質(zhì)得/3+/C=90。，再根據(jù)/ADE+/C=90。得=然后根據(jù)同位角相

等兩直線平行即可得出結(jié)論；

（2）先求出NC=34。，再根據(jù)（1）的結(jié)論得WC=180。-NC=146。，然后根據(jù)角平分線的定義即可得

出NDEF的度數(shù).

【詳解】（1）證明：在11ABe中，NA=90。，

ZB+ZC=90°,

ZADE+ZC=90°,

:.ZB=ZADE,

DE//BC^

(2)解：ZB=56°,ZB+ZC=90°,

.-.zc=90°-ZB=34°

由(1)可知：DEBC,

,-.ZD￡C+ZC=180°,

Z.DEC=180。一NC=180°-34°=146°,

EF平分/DEC,

ZDEF=-NDEC=-xl46°=73°.

22

1.如圖，在VABC中，ABLBC,點(diǎn)。在邊BC上（不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合）.

（1）若點(diǎn)尸在邊AC上，^.ZPDC=ZBAC,求證：PDLAC；

（2）請用尺子在圖中畫出△AOC的邊AD上的高CE,若AB=4cm,AD=5cm,DC=6cm,求CE的長度.

【答案】（1）證明見解析；

24

（2）CE的長為gem.

【分析】（1）由ABLBC,則ZABC=90。，故有/BAC+NC=90。，從而可得/PDC+NC=90。，根據(jù)直

角三角形的判定方法即可求證；

（2）先畫出圖形，再根據(jù)34次=；8/5=3人。。石即可求解；

本題考查了直角三角形的性質(zhì)和判定，等面積法，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：???A6_L5C,

???ZABC=90°,

???ZBAC+ZC=90°,

■:/PDC=/BAC,

：.NPQC+NC=90。,

???ZDPC=90。,

???PD1AC；

(2)解：如圖，

p

E

,/S=~CDAB=-ADCE,

?ADDCC22

/.4=CE,

22

24

Z.CE=y(cm)

24

C￡的長為gem.

2.已知NACB=/E=90。,ZB=30°,ZD=45°.

并說明理由;

(2)如圖②，若CE工AB,求/BCD的度數(shù).

【答案】(1)AB〃CE.理由見解析

(2)75°

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可求解;

(2)延長線段EC交43于點(diǎn)式由平行線的性質(zhì)可求解.

【詳解】(1)解：AB//CE.理由如下:

/E=90°,ZD=45°,

ZDCE=180°—NE—ZD=45°,

NBCD=15。,

NBCE=/DCE—/BCD=30°,

ZB=30°,

:.NBCE=NB,

..AB//CE-,

(2)解：如圖，延長線段EC交AB于點(diǎn)H,

:.ZEHB=90°.

ZB=30°,

ZHCB=180°-ZB-ZEHB=60°.

NE=90。，"=45。，

:.NECD=45。,

ZBCD=180?！?ECD—/HCB=75°.

3.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、。在格點(diǎn)上，請用無刻度的直尺用連線的方法畫出如下圖形（保留畫

圖痕跡）.

圖1圖2

（1）在圖1中，找一個(gè)格點(diǎn)P,連接使為直角三角形;

（2）在圖2中，找一個(gè)格點(diǎn)X,連接使NHQB=ZABQ.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（D根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和直角三角形的概念求解即可；

（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求解即可.

【詳解】（1）如圖1所示，一己鉆即為所要求作的直角三角形，

（2）如圖2所示，點(diǎn)H即為所要求作的點(diǎn)，