24.1—24.2圓垂直于弦的直徑

考點一.圓

在一個平面內，一條線段0A繞它的一個端點口。旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫

作一圓.迪因幽理

圓心：司定的端點叫作圓心.

半徑：線段0A的長度叫作這個圓的一半徑___________.

圓的表示方法：以點0為圓心的圓，記作“00”，讀作“圓0”.

同時從圓的定義中歸納：

（1）圓上各點到定點（圓心）的距離都等于定長（半徑）；

（2）到定點的距離等于定長的點都在同?個圓上.

圓的第二定義：所有到定點的距離等于定長的點組成的圖形叫作圓.

考點二.垂直于弦的直徑

（1）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的一對稱軸圓有一無數(shù)條對稱軸.

（2）垂直于弦的一直徑一平分弦，并且平分弦所對的弧；平分弦（不是直徑）的直徑—垂直一于弦，并且一

平分—弦所對的弧.

題型一：圓的基本概念

1.（2025?全國?九年級單元測試）下冽說法正確的是（）

A.過圓心的線段是直徑B.面積相等的圓是等圓

C.兩個半圓是等弧D.相等的圓心角所對的弧相等

2.（2025?全國?九年級專題練習）下列語句不正確的有（）個.

①直徑是弦：②優(yōu)弧一定大于劣弧；③長度相等的弧是等??；④半圓是弧.

A.1B.2C.3D.4

3.（2025?河北邢臺?九年級階段練習）如圖所示，點M是。O上的任意一點，下列結論：

①以M為端點的弦只有一條；②以M為端點的直徑只有一條；③以M為端點的弧只有一條.則（）

A.①、②錯誤，③正確B.②、③錯誤，①正確

C.①、③錯誤，②正確D.①、②、③錯誤

題型二：弦的條數(shù)及最長的弦問題

4.（2025?全國?九年級專題練習）如圖所示，在。。中，點A,O,。以及點8,O,C分別在一條直線上，則圖中

的弦有?。?/p>

A.2條B.3條C.4條D.5條

5.（2025?全國?九年級課時練習）A、8是半徑為5cm的0。上兩個不同的點，則弦A8的取值范圍是（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<AB<10

6.（2025,山東?臨沂市羅莊區(qū)教學研究中心一模）如圖，4ABC中，AB=AC,8c=24,4O_LBC于點。，AD=5,P

是半徑為3的OA上一動點，連結PC若E是尸C的中點，連結DE,則DE長的最大值為（）

A.8B.8.5C.9D.9.5

題型三：求一點到圓距離的最值問題

7.（2025?貴州遵義?二模）如圖，。。的半徑為2,圓心。的坐標為（3,5）,點C是。。上的任意一點C4_L6,

且C4、C8與4軸分別交于A、B兩點,若點A、點8關于原點0電稱，則AB的最大值為（)

C.2后+2D.2后+4

8.（2025?河南?金明中小學九年級期中）如圖，如圖，0M的半徑為2,圓心"的坐標為（3,4）,點。是O"上的任

意一點，PALPB,PA,PB與x軸分別交于A,B兩點，若點A、點8關于原點。對稱，則/W的最小值為（）

9.（2025?浙江溫州?九年級期中）已知：如圖，在以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦和小圓交于點C,D,大

圓的半徑是13,AB=24,AC=OC,則OC的長是（）

169

~24

題型四：垂徑定理

10.（2025?江蘇?九年級單元測試）如圖，在。。中，是弦，半徑0C_LA8于點，若OC=10,AB=16,則CQ

的長為（）

11.（2025?全國?九年級課時練習）如圖，CO是圓O的弦，直徑A8_LCO,垂足為E,若A8=12,BE=3,則四邊

形ACBD的面積為（）

A.3675B.24月C.1873D.72g

12.（2025?全國?九年級專題練習）已知AB、CO是。。的兩條弦，AB//CD,AB=6,CO=8,。。的半徑為5,則

)

c.2-V2D.3+V2

18.（2025?福建?廈門雙十中學思明分校九年級期中）如圖,為。。直徑，交弦4。于點E,若E點為AD中點,

則說法錯誤的是（）

A.ADIBCB.AB=BDC.AC=CDD.OE=BE

題型七：垂徑定理的推論

19.（2025?全國?九年級課時練習）如圖,在。O中，弦AB的長是半徑OA的6倍，C為A6中點.，AB、OC交于

點P,則四邊形OACB是（）

C.菱形D.正方形

20.（2024.河北?定州市寶塔初級中學九年級階段練習）如圖，A4是半圓。的直徑，AC為弦，ODJ.AC于。，過

點。作OE//AC交半圓。于點E,過點七作所J_A8于/.若AC=2,則8的長為（）.

C.1D.2

21.（2025?全國?九年級課時練習）如圖，點A,B,C,。在圓上，弦人A和CO交于點E,則下列說法正確的是

()

A.若CD平分A3,則CO_L48B.若CO_LA3,則CO平分A3

C.若CO垂直平分A4,則圓心在。。上D.若圓心在CO上，則8垂直平分A4

題型八：垂徑定理的實際應用問題

22.（2025?湖北?鄂州市教學研究室一模）如圖，小麗蕩秋千，秋千桂子的長為04,秋千向兩邊擺動的角度相同，

擺動的水平距離A8為3米，秋千擺至最高位置時與最低位置時的高度之差（即。。）為0.5米.則秋千鏈子的長OA

為（）

A.2米B.2.5米C.1.5米D.4米

23.（2025?湖南?長沙麓山國際實驗學校九年級階段練習）《九章算術》被尊為古代數(shù)學“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定

理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓

柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道A3長1尺，則圓形木材的

直徑是（）（1尺=10寸）

A.12寸B.13寸C.24寸D.26寸

24.（2025?全國?九年級專題練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以

軸心。為圓心的圓，如圖2,已知圓心。在水面上方，且。。被水面截得弦A8長為4米，0。半徑長為3米.若

點。為運行軌道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是（）

圖1圖2

A.1米B.2米C.(3-近)米D.(3+6)米

題型九：垂徑定理綜合問題

25.(2025?全國?九年級專題練習)如圖，A4是。。的直徑，A4平分弦C。，交CD于點、E,4OC=60。，OC=2,

26.(2025?全國?九年級專題)如圖，在以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦4B交小圓于C、。兩點.

(1)求證：AC=8。；

(2)連接OA、OC,若04=6,OC=4,/OCD=60。，求AC的長.

27.(2025?浙江?九年級單元測試)如圖，AB是。。直徑，弦CO_L4B于點石，過點。作力A的垂線，交的延長

線于點G,垂定為點尸，連結AC,其中/八=/力.

(1)求證：AC=CG；

(2)若CD=￡G=8,求。。的半徑.

斷堂演練

一、單選題

28.（2025?江蘇?九年級專題練習）已知。。的直徑為10cm,則。。的弦不可能是（）

A.4cmB.5cmC.9cmD.12cm

29.（2025?浙江?九年級單元測試）小明不慎把家里的圓形鏡了?打碎7,其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大

小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（）

A.第一塊B.第二塊C.第三塊D.第四塊

30.（2025?全國?九年級專題練習）已知在以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點C、D.

⑴求證：AC=BDx

（2）若大圓的半徑/'=8,小圓的半徑/=6,且圓心O到直線的距離為4,求AC的長.

31.（2025.江蘇?九年級課時練習）如圖，A3為。。的直徑，過點。作。。八于點E,交0。于點Q,CD//AI3.

（I）求證：E為0。的中點；

（2）若圓的半徑為6,求弦8C的長.

一：選擇題

32.（2025?黑龍江綏化?九年級期末）如圖，。。的弦A8垂直于E為垂足,AE=3,BE=1,且A/?=CD,

則圓心。到CD的距離是（）

A.2B.2>/10C.y/5D.9

33.（2D25.江蘇?九年級）下列說法正確的是（）

①平分狐的直徑垂直平分弧所對的弦②平分弦的直徑平分弦所對的弧

③垂直于弦的直線必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧

A.②③B.①③C.②④D.①④

34.（2025?江蘇?九年級專題練習）如圖，人笈為。。的直徑,人石為0。的弦，C為優(yōu)弧/腕的中點，CD1AB,垂

足為D,AE=8,DB=2,則。。的半徑為（）

D.4G

35.（2025?江蘇?九年級專題練習）如圖，。。的半徑為9,A3是弦，OCJ_44于點C,將劣弧A4沿弦43折疊交

OC于點。，若OD=DC,貝IJ弦A8的長為（）

C.3石D.4^3

36.（2025?全國?九年級單元測試）如圖，AC是的直徑，弦8O_L4O于E,連接8C,過點。作O〃_L3C于凡

若BD=8,OF=后,則OE的長為（）

A.3B.4C.2>/5D.5

37.（2025?廣東廣州?二模）往圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬A8=48cm,水的最大深度

為16cm,則圓柱形容器的截面直徑為（）cm.

A.10B.14C.26D.52

38.（2025?江蘇?九年級課時練習）。。中，點C為弦44上一點，AB=\,CDJLOC交。。于點。，則線段C力的最

39.（2025?安徽?安慶市教育教學研究室二模）如圖，已知C4=C8,點。是以線段A8為弦的圓弧的中點，AB=4,

點E,“分別是線段CO,A3上的動點，設=AE2-FE2=y,則能表示丁與x的函數(shù)關系的圖像是（）

二、填空題

40.（2025?浙江?九年級單元測試）下列說法中正確的有—（填序號）.

（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等??；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面枳相等的

兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧.

41.（2025?江蘇?豐縣歡口鎮(zhèn)歡口初級中學九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,l）、8（01+/）、

。（0,1-，）（，＞0）,點尸在以點。（4,4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足NAPC=90。，則/的最小值為

，的最大值為

42.（2025?全國?九年級課時練習）如圖，在半徑為3的。。中，A8是直徑，AC是弦，。是AC的中點，AC與BD

交于點E.若E是8。的中點，則AC的長是.

43.（2025?江蘇?泰州市姜堰區(qū)南苑學校九年級）如圖，半徑為3的。O中，弦、AB〃CD,ZAOC=90°,設

44.（2025?湖北武漢?九年級期中）在直徑為l（）m的的圓柱型油槽內注入一些油后，截面如圖所示，液面寬人8=6m,

如果繼續(xù)向油槽內注油，使液面寬為8m,那么液面上升了m.

45.（2025?四川?渠縣崇德實驗學校九年級期末）如圖，點。是半圓的圓心，。是以48為直徑的半圓上的一點，以

。。為對角線作正方形OCQE,經(jīng)過C,七的直線分別與半圓弧交于EG.已知。石=6,則尸G的長為.

D

46.（2025?江蘇?九年級）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利濯溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖I,點

P表示筒車的一個盛水桶.如圖2,當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心。為圓心，10m為半徑的圓，且圓

心在水面上方.若圓被水面截得的弦A4長為16m,則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為m.

圖1圖2

三、解答題

47.（2025?全國?九年級課時練習）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖1）,隋代建造的趙州橋距今約有

1400年歷史，是我國占代石拱橋的代表.如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，

表示為A8.橋的跨度（弧所對的弦長）A8=26m，設人所在圓的圓心為。，半徑OC_LA3,垂足為O.拱高（弧

的中點到弦的距離）CD=5m.連接。8.

圖1圖2

（1）直接判斷AO與8。的數(shù)量關系;

（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）.

48.（2025?江蘇?南通市八一中學九年級階段練習）已知人8是半圓。的直徑，0。_1弦/1。于。，過點。作OE〃AC

交半圓。于點E,過點E作于足若AC=2,

⑴求OP的長;

（2）連接8E,若BE二2百,求半徑04的長.

49.（2025?全國?九年級專題練習）如圖，在半徑為2打的扇形A08中，4?！?12/，點C是村上的一個動點（不

（2）在△￡）0E中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由.

50.（2025?全國?九年級單元測試）問題提出

（1）如圖①，。。的半徑為8,弦A8=8G，則點。到AB的距離是.

問題探究

（2）如圖②，00的半徑為5,點A、B、C都在。。上，AB=8,求△ABC面積的最大值.

問題解決

（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意佟，。。的直徑為80m,等腰直角三角形的的邊A8是0。的弦，直角頂點尸

在0。內，延長4P交0。于點C,延長即交0。于點。，連接CD、A。、BC.現(xiàn)準備在和ACOP區(qū)域1

植草坪，在△〃）尸和Ob區(qū)域內種植花卉.記戶和久分的面積和為5,AADP和△BCP的面積和為邑.

①求種植草坪的區(qū)域面積s「

②求種植花卉的區(qū)域面積邑的最大值.

@01

圖①圖②圖③

1.B

【分析】根據(jù)圓的相關知識進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A.過圓心且兩個端點在圓上的線段是直徑，故該選項說法錯誤；

B.面積相等的圓，則半徑相等，是等圓，故該選項說法正確；

c.同圓或等圓中兩個半圓是等弧，故該選項說法錯誤；

D,同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故說法說法錯誤；

故選:B.

【點睛】本題主要考查圓的基本知識，熟知圓的相關知識是解題的關鍵.

2.B

【分析】根據(jù)圓的概念、等弧的概念、垂徑定理、弧、弦直徑的關系定理判斷即可.

【詳解】解：①直徑是弦，①正確；

②在同列或等圓中，優(yōu)弧大于劣弧，②錯誤；

③在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，③錯誤；

④半圓是弧，④正確；

故不正確的有2個.

故選：3.

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要

熟悉課本中的性質定理.

3.C

【分析】根據(jù)弦的定義對①進行判斷：根據(jù)直徑的定義對②進行判斷；根據(jù)弧的定義對③進行判斷.

【詳解】解：以用為端點的弦有無數(shù)條，所以①錯誤；

以M為端點的直徑只有一條，所以②正確；

以M為端點的弧有無數(shù)條，所以③錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）.

4.B

【分析】根據(jù)弦的定義進行分析，從而得到答案.

【詳解】解：圖中的弦有A&BC,CE共三條，

故選B.

【點睛】本題主要考查了弦的定義，熟知定義是解題的關鍵：連接圓上任意兩點的線段叫弦.

5.D

【分析】根據(jù)圓的基本性質可直接進行求解?.

【詳解】???圓中最長的弦為直徑，

A0<AB<10.

，故選D.

【點睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長概念是解題的關鍵.

6.A

【分析】連接8P,根據(jù)三角形中位線定理可得?！?：/《夕，從而得到當4。最大時，?！曜畲?，再由當P3過圓心A

時，PE最大,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接8P,

*：AB=AC,BC=24,4/?_1_8。于點。，

：.BD=CD=\2,

YE是PC的中點，

:.DE,BP,

2

???當BP最大時，DE最大,

???P是半徑為3的。A上一動點，

，當PB過圓心A時，PB最大,此時P、A、8三點共線，

<4￡>=5,BD=T2,

?"5=13,

的最大值為13+3=16,

???OE的最大值為8.

故選：A

【點睛】本題考查的是圓的基本性質，等腰三角形的性質，勾股定理以及三角形中位線定理，明確當P8取最大值

時，OE的長最大是解題的關鍵.

7.D

【分析】連接0C,首先根據(jù)題意可得AOBO,。。是/?/△ABC的斜邊上的中線，AB=2OC,可知故若要使43最

大，則。C需取最大值，再連接。。并延長，交。。于點Ci,C2,當點C位于點。時，。。最長，再由過點。作

軸于點，可得。斤5,OE=3,根據(jù)勾股定理可求得0。，據(jù)此即可求得.

【詳解】解：如圖：連接0C

.?.△ABC是直角三角形

???點A、點3關于原點。對稱

：.AO=BO

：.0C踵R3ABC的斜邊上的中線

，OC=-AB

2

AI3=2OC

故若要使A8最大，則0C需取最大值

連接OD并延長，交。。于點C/,C2

過點。作?！阓Lx軸于點E

???點項3,5）

：,DE=5,OE=3

在RmODE中，根據(jù)勾股定理得：OD=1DE?+力5、+3?二4

OC2=OD+DC,=>/34+2

二.44=2OG=2（后+2）=2扃+4

故AB的最大值為2扃+4

故選：D

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質，勾股定理，解題的關鍵是找到點C的位置.

8.D

【分析】由后△APB中AB=2OP知要使八B取得最小值，則P0需取得最小值，連接加，交。M于點尸，當點。位

于產(chǎn)位置時，O尸取得最小值，據(jù)此求解可得.

【詳解】解：連接0P，

.-.ZAP/i=90°,

-AO=BO,

:.AB=2PO,

若要使/IB取得最小值，則P0需取得最小值，

選接aw,交OA4于點戶，當點尸位于〃位置時，取得最小值,

過點用作軸于點Q,

:.OM=5,

又?：MP=2,

:.OP=3t

AB=2OP=6,

故詵：D.

【點睛】本題主要考查點與圓的位置關系，解題的關鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等「斜邊的一半得出A8取

得最小值時點P的位置.

9.B

【分析】過點。作OEL/W于點E,由垂徑定理求得石=12,根據(jù)勾股定理求出0E的長度，設AC=OC=x,

則CE=12-x,在R/ZkCOE中，利用勾段定理即可求得0C的長.

【講解】解：過點O作OEA.AB于點E,

ACDB

???大圓和小圓的圓心都為點O,O￡_LA從

：?AE=BE,CE=DE,

*/AB=24,

：.AE=BE=\2,

???04=13,

:、OE=yJo^-AE2=>/132-122=5，

設AC=OC=x,

則CE=12-x,

在心△COE中，(12-X)2+52=X2,

24x=169

皿妨169

解得：x=W~，

即OC的長為1詈69,

故選：B.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理」垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂

徑定理常與勾股定理相結合來解題.

10.C

【分析】連接。4如圖，禾I用垂徑定理得至1」4>/3。=5"=8,再利用勾股定理計算出OQ,然后計算0c0。即可.

【詳解】解：連接。4,如圖,

：.AD=BD=^AB=S

在RQOA。中，療-3=J］（）2-82=6

：,CD=OC-OD=\0-6=4.

故選C.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

11.A

【分析】連接。。首先根據(jù)題意可求得0C=6,0E=3,根據(jù)勾股定理即可求得CE的長，再根據(jù)垂徑定理即可求

得CO的長，據(jù)此即可求得四邊形AC8。的面積.

【詳解】解：如圖，連接OC，

VAB=12,BE=3,

：,OB=OC=6,OE=3,

'JABX.CD,

J在心aCOE中，EC=VOC2-OE2=V36-9=3N/3?

:,CD=2CE=66

，四邊形ACB。fi<jffl^=-AB-CD=-xl2x6>/3=36>/3.

22

故選：A.

【點睛】本題考查了勾股定理的應用，垂徑定理，熟練掌握和運用垂徑定理是解決本題的關鍵.

12.C

【分析】由于弦A3、CO的具體位置不能確定，故應分兩種情況進行討論：①弦A3和CD在圓心同側；②弦48

和。。在圓心異側：作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可.

【詳解】解：①當弦A8和CO在圓心同側時，如圖①，

過點。作OF_LCZ),垂足為F,交AB于點E,連接OA,OC,

?:AB//CD,

：.OEA.AB,

；A4=8,8=6,

：,AE=4,CF=3,

???0A=0C=5,

???由勾股定理得：月0=廬下=3,0F=后-W=4,

：.EF=OF-OE=\；

②當弦相和CQ在圓心異側時，如圖②，

過點。作。及LA8于點E,反向延長0E交4。于點F,連接OA,0C,

EF=OF+OE=7,

所以4B與CO之間的距離是1或7.

故選：C.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.也考查了勾股定理及分類討論的思

想的應用.

13.C

【分析】由OQ_LBC,根據(jù)垂徑定理，可得CD=BD,即可得。。是△人4c的中位線，則可求得0。的長.

【詳解】ft?：yODA.BC,

:?CD=BD,

'：OA=OB,AC=4

：.OD=^AC=2.

故選C

【點睛】此題考查了垂徑定理以及三角形中位線的性質.此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.

14.D

【分析】分A3、C。在圓心的同側和異側兩種情況，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進行計算即可.

【詳解】第一種情況：兩弦在圓心的一側時，

VCD=10cm,OE1CD,

??.Z）E=icD=^xlO=5（cm）,

???圓的半徑為13cm,

0Z)=l3cm,

???利用勾股定理可得：

OE=>JOD2-DE2=V132-52=12（cm）,

同理可求0F=5cm,

第二種情況：只是EF=OE+OF=l7cm,其它和第一種一樣；

綜上分析可知，兩弦之間的距離為7cm或17cm,故D正確.

【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用定理、注意分AB、C。在圓心的同側和異側兩種情況

討論是解題的關鍵.

15.C

【分析】作OD_LAB于C,交小圓于D,可得CD=2,AC=BC,由AO、BO為半徑，則OA=OD=4：然后運用勾股

定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.

【詳解】解：作ODJLAB于C,交小圓于D,則CD=2,AC=BC,

VOA=OD=4,CD=2,

AOC=2,

???AC=^O^-OC2='

/.AB=2AC=45/3.

故答案為C.

【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，作出輔助線、構造出直角三角形是解答本題的關鍵.

16.A

【分析】由題意可知，C、O、G三點在一條直線上OG最小，MN最人，再由勾股定理求得A8,然后由三角形面

積求得CF,最后由垂徑定理和勾股定理即可求得MN的最大值.

【詳解】解：如圖，過0作0GJ_4B于G,連接。C、0M,

VDE=6,NACB=90。，OD=OE,

；.0C=gDE=3,

,：0M=3、

J只有OG最小，GM才能最大，從而MN有最大值,

???只有C、。、G三點在一條直線上0G最小，

過C作C/J_48于F,

，G和b重合時，MN有最大值，

VZACB=90°,3c=6,AC=8,

=10,

:?MN=2MG=—

5

故選:A

【點睛】本題考查了勾股定理，垂線段最短，垂徑定理等知識，正確作出輔助線，得出C、。、G三點在一條直線

上。G最小是解題的關鍵.

17.D

【分析】PC_Lx軸于C,交AB于D,作PEJ_AB于E,連結PB,由于0C=3,PC=a,易得D點坐標為(3,3),

則AOCD為等腰直角三角形，APED也為等腰直角三角形.由PE_AB,根據(jù)垂徑定理得AE=BE=？AB=2后，

在RSPBE中，利用勾股定理可計算出PE=1,則PD=&PE=&,所以a=3+夜.

【詳解】過?作PC_Lx軸于點C,交AB于點。，作PEJLAB于點E,連接心，如圖.

QeP的圓心坐標是(3,a),，OC=3,PC=a,

把x=3代入＞=x得y=3,

???。點坐標為(3,3),.二。。=3,

.??VOCO為等腰直角三角形，

也為等腰直角三角形.

PE1AB,

：.AE=BE=-A13=2s/2,

2

在用△P8E中，PB=3,

:.PE=^PB2-BE2=力?-(2盾=],

：.PD=dPE?+DE?=0,

a=3+V2?

故選D.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直十弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定理和等腰

直角三角形的性質.

18.D

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論和垂徑定理進行判斷即可.

【詳解】解：???3C為0。直徑，E點為人。中點，

AD1BC,

:?AB=BD，AC=CD?

故選：D.

【點睛】本題考查了垂徑定理，解題關鍵是熟練運用垂徑定理及推論進行證明推導.

19.C

【分析】根據(jù)弦AB的長是半徑OA的右倍，C為的中點，判定出四邊形OACB是平行四邊形，再由AB_LOC,

即可判定四邊形OACB是菱形.

【詳解】???弦AB的長是半徑OA的"倍，C為的中點，OC為半徑，

AAP=-AB=—AO,ABJ.OC,

22

OP=>IAO2-AP2=-OA=-OC,

22

：.PC=-OC,WflOP=PC,

2

二?四邊形OACB是平行四邊形，

又??,A3_LOC,

???四邊形OACB是菱形.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂徑定理的推論，讀懂題意是解題的關鍵.

20.C

【分析】根據(jù)垂徑定理求出AD,證AADO絲△OFE,推出OF=AD,即可求出答案.

【詳解】'ZODIAC,

AD=-AC=\,

2

?：OEHAC,

???NDAO=/FOE,

'ZODIAC,EF上AB,

???ZADO=NEFO=90°,

在小位）。和△。氏E中，

NADO=NEFO

?ZDAO=ZFOE,

OA=OE

/.△ADO^AOFE（AAS）,

/.OF=AD=1,

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，垂徑定理的應用，解此題的關鍵是證明△ADO@Z\OFE和求出AD

的長.

21.C

【分析】根據(jù)垂徑定理的內容和垂徑定理的推論的內容進行判斷.

【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯誤，不符合題意；

B、垂直于弦的直徑平分弦，原說法錯誤，不符合題意；

C、弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，原說法正確，符合題意；

D、若也是直徑，則原說法不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時熟悉垂徑定理的內容以及推論的內容是關鍵.

22.B

【分析】由題意知，秋千擺至最低點時，點。為A8的中點，由垂徑定理知40=/48=1.5米.再根據(jù)

勾股定理求得0A即可.

【詳解】解：???點。為A3的中點，

，由垂徑定理知ODLAB,米），

/2

^OA^ACP+OD2,

則OA2=AD2+（OA-CD）2=\.52+（OA-O.5y,

解得：。人=2.5（米）.

故選：B.

【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，勾股定理的應用，將實際問題抽象為幾何問題是解題的關鍵.

23.D

【分析】連接0A、0C,由垂徑定理得AC=8C=gA8=5寸，連接。4,設圓的半徑為x寸，再在RsOAC中，

由勾股定理列出方程，解方程可得半徑，進而直徑可求.

【詳解】解：連接04、0C,如圖：

由題意得：C為A8的中點,

則0、C、D三點共線，OCLAB,

：,AC=BC=^AB=5（寸）,

設圓的半徑為x寸，貝l」OC=（x-1）寸.

在RS04C中，由勾股定理得：52+（X-1）2=f

解得：＜=13.

???圓材直徑為2x13=26（寸）.

故選：D

【點睛】本題主要考查了垂徑定理的應用，勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關

鍵.

24.C

【分析】連接0C交AB于點￡利用垂徑定理以及勾股定理求出。E,可得結論.

【詳解】解：連接0C交AB于點E.

由題意OC1■人從

：,AE=BE=^AB=2（米）,

在R/AAE。中，OE=JOA2_A￡2=弋學_個=亞（米），

：,CE=OC-OE=（3-45）（米），

故選：C.

【點睛】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問

題.

25.2s

【分析】是直徑，且平分弦CQ,由此可構造直角三角形△OEC,利用勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：???A8是。。的直徑，A8平分弦CD,

ACM_LCD,CE=ED,

VZAOC=60°,OC=2,

在心△OEC中，

NOCE=30。?OE=I,CE=doc?-OE?=-1=>/3>

ACD=2CF=2x/3.

故。。的長是2G.

【點睛】本題考查的圓的垂徑定理，理解垂徑定理，通過構造直角三角形，利用勾股定理是解題的關鍵.

26.⑴見解析

(2)276-2

【分析】(I)過。作OH_LCO于”，根據(jù)垂徑定理得到C”=。，，AH=BH,即可得出結論；

(2)過。作O”J_CD于H,連接。D,由垂徑定理得C”=O”=gc。，再證△OCO是等邊三角形，CD=OC

=4,則CH=2,然后由勾股定理即可解決問題.

(1)

證明：過。作O”_LCO于"，如圖1所示：

圖1

OH±CD,

:.CH=DH,AH=BH,

:,AH-CH=BH-DH,

，4C=B。；

(2)

解：過。作OH_LCO于H,連接。。，如圖2所示:

A\c^—^7B

圖2

則CH=DH=；CD,

VOC=OD,NOCD=60。,

???△OC。是等邊三角形，

：,CD=0C=4,

:.CH=2,

J°H=yloC2-CH2=742-22=26，

‘A”=S/OA2-OH2=J62-(2>/3)2=2限，

：,AC=AH-CH=2瓜-2.

【點睛】本題考查垂徑定理、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題

的關鍵.

27.⑴見解析

(2)5

【分析】(1)先根據(jù)垂直的定義、對頂角相等可得/力=NG,從而可得NA=NG,再根據(jù)等腰三角形的判定即可

得證；

(2)連接。C,設。。的半徑為，?，則04=00=，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得A￡=￡G=8,根據(jù)垂徑定

理可得EC=EQ=(CO=4,從而可得OE=8—r,然后在RlZXOEC中，利用勾股定理求解即可得.

(1)

證明：QDF1CG,CDLAB,

:./DEB=/BFG=9(r,

QNDBE=NGBF,

：.ZD=ZG,

?.?NA=NQ,

/.ZA=ZG,

AC=CG.

(2)

解：如圖，連接OC,

設。O的半徑為/，則。4=OC=〃，

vC4=CG,CDLAB,CO=EG=8,

:.AE=EG=S,EC=ED=-CD=4,

2

/.OE=AE—OA=8—r,

222222

在Rt&9EC中,OC=OE+ECfWr=(8-r)+4,

解得r=5,

.?.0。的半徑為5.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵.

28.D

【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦解答即可.

【詳解】解：：。。的直徑為10cm,

???。0的弦不可能比10cm更長，

故選：D.

【點睛】本題考查J'圓的基本性質，熟知直徑是圓中最長的弦是解題的關鍵.

29.A

【分析】要確定圓的大小需知道其半徑，根據(jù)垂徑定理知第一塊可確定半徑的大小

【詳解】解：第一塊出現(xiàn)一段完整的瓠，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線

的交點就是圓心，進而可得到半徑的長.

故選：A.

【點睛】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心.

30.⑴見解析

⑵AC=4G-2石

【分析】（1）作。E_LAB于利用垂徑定理即可證明結論；

（2）利用勾股定理分別求出CE和AE的長，作差可得答案.

（1）

證明：作?！阓LA8,則CE=DE,

故BE-DE=AE-CE；

即AC=8。；

(2)

解：連接OC，OA,

VOE1ABROEYCD,

：,OE=4,CE=DE,

,DE=CE=yloC2-OE2=>/62-42=26，

AE=^JOA^-OE2=V82-42=46，

：.AC=AE-CE=4y/3-26.

【點睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵.

31.(1)見解析

⑵6G

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質以及垂徑定理證明即可；

(2)根據(jù)垂徑定理和勾股定理解答即可.

(1)

證明；在。。中，OABC于E,

:.CE=BE,

QCD//AB,

:.z!DCE=/B,

在ADCE與AO8E中，

NDCE=NB

CE=BE,

NCED=NBEO

;.">CE=AOBE(ASA),

:.DE=OE,

.?.E是。。的中點；

(2)

解：???圓的半徑為6,

:.OE=ED=3,

由勾股定理得：BE=y)62-32=3x/3?

-OD1BC,

BC=2BE=6B

【點睛】本題考查了垂徑定理，平行線的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識，關鍵是根據(jù)全等三角

形的判定和性質以及垂徑定理解答.

32.A

【分析】連接CO)。，過點。，分別作與例，ON上CD于N,則四邊形OMEN是矩形，證明

Rt^CNO^Rt^AMO,可得ON=QV,根據(jù)垂徑定理可得AM=；AB=5,根據(jù)EM=AM—AE即可求解.

【詳解】連接C。，AO,過點。，分別作OMJ.AB于"，ON上CD于N,則四邊形OMEN是矩形，

?.?OMLAB,ON工CD,

???AB=CD,

:.CN=-CD,AM=-AB,

22

-CO=AO,

：.RtACTVO^RtAAMO(HL),

:.NO=MO,

則NO=MO=KW,

?.?OMLAB,

：.AM=MB=^AB=^(AE+BE)=5,

：.EM=AM-AE=5-3=2,

:.ON=EM=2.

故選：A.

【點睛】本題考查了垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵.

33.D

【詳解】根據(jù)垂徑定理及其推論進行判斷.

【解答】解：根據(jù)垂徑定理，

①正確；

②錯誤.平分弦(不是直徑)的直徑平分弦所對的??；

③錯誤.垂直于弦且平分弦的直線必過圓心；

④正確.

故選：D.

【點評】注意概念性質的語言敘述，有時是專門來混淆是非的，只是一字之差，所以學生一定要養(yǎng)成認真仔細的習

慣.

34.B

【分析】如圖，連接CO,延長CO交于點7.設。。的半徑為「.證明"1OT二△COO(AAS),推巴CO=A7=4,

在心△CO。中，根據(jù)OC?Ue。、。。。構建方程求解.

【詳解】解：如圖，連接co,延長co交AE于點r,設0。的半徑為，

?/AC=CE，

/.CTLAE,

AT=TE=-AE=4,

2

在△AQT和△AOD中，

NATO=NCOO=90。

-/AOT=NCOD,

AO=CO

:^Aar=^COD（AAS）,

CD=AT=4,

在心△CO/）中，OC2=CD2+OD2,

r2=42+（r-2）2,

.1=5,

故選：B.

【點睛】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識，解答

該題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，該題屬于中考常考題型.

35.B

【分析】根據(jù)翻折變換求出OD=C/>3,OC=6,根據(jù)垂徑定理求出AC=AC,根據(jù)勾股定理求出AC即可.

【詳解】解：???。。的半徑為9,將劣弧48沿弦A8折疊交于。C的中點。，

,OD=CD=!x9=3,OC=OD+CD=6,

3

yOCIAB,OC過圓心O,

AZACO=90°,AC=BC,即AB=2AC,

連接OA，

由勾股定理得：AC=doA^-OC?=也2-6=3逐，

即AC=8C=3石,

：,AB=AC+BC=6y/5，

故選：B.

【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，垂徑定理等知識點，能求出4C=8c是解此題的關鍵.

36.A

【分析】連接AB,根據(jù)垂徑定理求出席的長，根據(jù)三角形中位線定理求出A8的長，再由勾股定理求出AE

的長，即可解答.

【詳解】解：連接08、AB,

yBD1AO,80=8

BE=ED=、BD=4

2

-0F1BC

:.CF=FB

-CO=OAfOF=>/5

/.AB=2OF=2y/5

:.AE=slAB2-BE2=2

RfABOE中

OB2=0E2+BE2

:.OA2=(OA-2)2+42

.\0A=5

:.OE=OA-AE=5-2=3

故選：A.

【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

37.D

【分析】如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O,過。作OD_LA3于/),交圓于C,設圓的半徑為「，而8=16,

OB=rOD=r-16,再利用勾股定理建立方程即可.

【詳解】解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為。，過。作OD_L/U6于。，交圓于C,

設圓的半徑為「，而。二16,

\OB=r,OD=r-16,

\r2=(r-16『+24)

解得：/-=26.

圓柱形容器的截面直徑為52cm.

故選D

【點睛】本題考杳的是垂徑定理的實際應用，作輔助線構建符合垂徑定理的模型是解本題的關鍵.

38.A

【分析】連接。。，如圖，利用勾股定理得到C。，利用垂線段最短得到當OC_L/W時，OC最小，再求出即可.

【詳解】解:連接。。，如圖,

ZDCO=90°,

:.CD=y]0D2-0C2=4r-OC2，

當OC的俏最小時，CD的值最大，

而時，OC最小，此時。、8兩點重合，

：.CD=CB=-AB=-x\=-,

222

即CD的最大值為

故選：A.

【點睛】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識點，能求出點C的位置是解此題的關鍵.

39.A

【分析】延長。。交A8于點從根據(jù)垂徑定理的推論，可知且A”=gA8=2,在RjEAH和Rf.EFH中,

由勾股定理列等式，并整理得4￡2-￡尸=22-(2-幻2,根據(jù)題意可得了與工的函數(shù)解析式為)，=-/+4工，即可判

斷出函數(shù)圖像.

【詳解】解：延長。C交AB于點兒

???點D是以線段AB為弦的I員I弧的中點,

ADHLAB,且AH=8〃2AB=2,

2

JFH=AH-AF=2-x,

???在和心△七”〃中，EH2=AE2-AH2=AE2-22，EH2=EF--FH~=EF2-(2-x)2,

工AE2-22=EF2-(2-x)2,

:.AE1-EF2=22-(2-x)2,g|Jy=22-(2-A)2,

整理,得)，=-/+44，

J可知y與x的函數(shù)為二次函數(shù)，其圖像為拋物線，開口向下，且經(jīng)過原點.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖像，涉及的知識點包括垂徑定理的推論、勾股定理及二次函數(shù)的圖像的

知識，解題關鍵是熟練運用勾股定理將幾何圖形與函數(shù)相結合.

40.(1)(3)(4)

【分析】根據(jù)弦、等圓、等弧的定義分別分析即可.

【詳解】解：(1)直徑是圓中最大的弦，說法正確；

(2)長度相等的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧為等弧.不但長