第04講三角形的內(nèi)角

期內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

紅只識(shí)框”思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

【知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角和】

1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于儂二.

如圖，在△/8C中，Z^+Z5+ZC=180°.

注意：三角形內(nèi)角和定理適用于所有三角形，三角形最多有三個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角，最多有一個(gè)直角.

2.三角形的內(nèi)角和定理證明：主要運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)，將三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”集中到一個(gè)頂點(diǎn)處，合并成一個(gè)

角,再說(shuō)明這個(gè)角是平角即可.

【知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的性質(zhì)及判定】

L性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

表示：直角三角形可以用符號(hào)“必0”表示，直角三角形/2C可以寫(xiě)成RtAABC.

2.判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

8練題型強(qiáng)知識(shí)

【題型1與角平分線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算】

【例1】如圖，在a/BC中分別為BC邊上的高線(xiàn)和NB4C的角平分線(xiàn)，DF14E于點(diǎn)尸,當(dāng)乙4DF=69。,

NC=65。時(shí)，NB的度數(shù)為（）

C.25°D.30°

【答案】B

【分析】本題考查角平分線(xiàn)定義,三角形內(nèi)角和定理等.根據(jù)題意先計(jì)算出NCZO=25°,再計(jì)算出ND4F=21°,

繼而得到4L4E=46°,再利用角平分線(xiàn)定義得NBZC=2/.CAE=92。,

再利用三角形內(nèi)角和計(jì)算=180°-65°-92°=23°.

【詳解】解：?.?4E分別為BC邊上的高線(xiàn)和4BZC的角平分線(xiàn)，DFLAE,zC=65°,

J.Z.CAD=180°-90°-65°=25°,

9：^ADF=69°,

：.^DAF=180°—90°-69°=21°,

：.^CAE=/LCAD+/LDAF=46°,

?"B4C=2"4E=92。,

:?乙B=180°-65°-92°=23°,

故選：B.

【變式1-1】在△4BC中，=^ACB,CD是△ABC的高，CE是N4CB的角平分線(xiàn)，則ADCE=

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線(xiàn)的定義.根據(jù)已知條件用乙4

表示出NB和乙4CB,利用三角形的內(nèi)角和求出再求出乙4CB,然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出乙4CD,

最后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出乙4CE即可.

【詳解】解：：乙4="B=，4CB,

設(shè)乙4=x,

:?乙B=2x,Z-ACB=3x,

VZi4+ZB+Z.ACB=180°,

.*.%+2%+3%=180°,

解得：％=30。，

：.^A=30°,^ACB=90°,

CD是△ABC的高，

???乙4DC=90。，

：.^ACD=90°-30°=60°,

???CE是乙4cB的角平分線(xiàn)，

i

：./.ACE=-x90°=45°,

2

J.Z.DCE=Z.ACD-Z.ACE=60°-45°=15°.

故答案為：15°.

【變式1-2］如圖，在△ABC中，/.ACB=68°,Zl=Z2.若P為△ABC的角平分線(xiàn)BP,CP的交點(diǎn)，則

4BPC=；若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，貝!kBPC=.

【分析】若P為△ABC的角平分線(xiàn)BP,CP的交點(diǎn)，可求出NBCP及乙2的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

得出答案；若P為△力BC內(nèi)一點(diǎn)，可整體求出N2+/BCP的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案.

【詳解】解：若P為△力BC的角平分線(xiàn)BP,CP的交點(diǎn)，

'.'Z.ACB=68°,

.".Z1=4BCP=34°,

Z.Z1=42=34。，

:.乙BPC=180°-4BCP-42=180°-34°-34°=112°；

若P為內(nèi)一點(diǎn)，

Vzl=Z2,

：.^ACB=zl+4BCP=z2+zSCP=68°,

"BPC=180°-（Z2+乙BCP）=180°-68°=112°；

故答案為:112。，112°.

【變式1-3］如圖，在93。中，ADLBC,CE是ZkABC的角平分線(xiàn)，AD,CE交于F點(diǎn),當(dāng)NA4C=80。,

/3=40。時(shí)，求N4C8、/AEC、NNFE的度數(shù).

A

【答案】ZACB=60°,/AEC=70°,ZAFE=60°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得NACB的度數(shù)，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，可得/ECB的度數(shù)，根據(jù)

三角形外角的性質(zhì)，可得NAEC的度數(shù)；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得NCFD的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì),

可得答案.

【詳解】解：由三角形的內(nèi)角和定理，得

N/C8=180°-NB-N3NC=180°-40°-80°=60°；

由CE是△48。的角平分線(xiàn)，得

ZBCE^-ZACB^60°=30°,

22

由N/EC是△BCE的外角，得

ZAEC=ZB+ZBCE=400+30°=70°；

由4D_L2C,得

NFDC=90°,

ZCFD=90°-ZFCD=90°-30°=60°,

由對(duì)頂角相等，得

ZAFE=ZCFD=60°.

【題型2三角板中的角度計(jì)算】

【例2】如圖，一把直尺的邊緣4B經(jīng)過(guò)一塊三角板DCB的直角頂點(diǎn)B,交斜邊CD于點(diǎn)4直尺的邊緣EF分別

交CD,BD于點(diǎn)E,F,若功=60°,/.ABC=15°,則N1的度數(shù)為()

A.35°B.45°C.50°D.55°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由題意得4DBA=90°—乙4BC=75°,進(jìn)而由平行

線(xiàn)的性質(zhì)得NDFE=NDB4=75。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?乙48c=15。,

4DBA=90°-/.ABC=90°-15°=75°,

'：EF\\AB,

J.Z.DFE=/.DBA=75°,

Azi=180°-Z.D-乙DFE=180°-60°-75°=45°,

故選：B.

【變式2-1】?jī)蓚€(gè)直角三角板如圖擺放，其中418C=N8DE=90。，=45。，Z.E=30°,若C是DE上一點(diǎn)

)

C.75°D.80°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角板的有關(guān)計(jì)算，由乙4BC=NBDE=90。，N4=45。，NE=30。，則

乙4cB=乙4=45。，4DBE=60°,又4CIIBD,貝叱4。？=NCBD=45。，然后通過(guò)角度和差即可求解，掌握

知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：'."/.ABC=Z.BDE=90°,N4=45。，NE=3。。,

J.Z.ACB=Z.X=45°,乙DBE=60°,

,：AC\\BD,

：.Z.ACB=乙CBD=45°,

J.Z.EBC=乙DBE—乙CBD=60°-45°=15°,

：.Z.ABE=4ABC-Z.CBE=90°-15°=75°,

故選：C.

【變式2-2］如圖，將一副三角板放置在一組平行線(xiàn)內(nèi)，其中N4ED=45。，下列結(jié)論一定正確的是（

Z2=50°C.Z3=35°D.Z4=75°

【答案】D

【分析】該題考查了三角板中的角度計(jì)算，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出乙力?！?

90°,/.DAE=Z.AED=45°,/.ABC=60°,/.ACB=30°,AE\\BC,再依次判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)三角板的特點(diǎn)可得乙4DE=90°,^DAE=^AED=45。,"BC=60°,^ACB=30°,

根據(jù)題意可得力EIIBC,

Azi=AACB=30°,N4ED=乙EDC=45°,故A錯(cuò)誤;

Z4=Z1+AAED=30°+45°=75°,故D正確;

43=180°-Z.ADE-乙EDC=180°-90°-45°=45°,故C錯(cuò)誤;

42=180°-N3-/.ABD=180°-45°-60°=75°,故B錯(cuò)誤；

故選：D.

【答案】105。/105度

【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和以及三角板的度數(shù)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三

角板的度數(shù)得到Na=180°-ZC-乙4BC,即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得：ZC=3O°,^ABC=45°,

Na=180°-ZC-4ABC=180°-30°-45°=105°.

【題型3與方向角有關(guān)的角度計(jì)算】

【例3】某哨兵在燈塔/處觀察到船只B在燈塔的北偏西38。方向上，船只。在燈塔的北偏東22。方向上,

船只8上的人觀察到船只C在他的南偏東78。方向上，貝比力CB的度數(shù)為（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】B

【分析】本題主要考查了方向角的有關(guān)計(jì)算，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意可知：41=38。,

42=22。，Z3+Z4=78%由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出N4=N1=38。，進(jìn)而可求出N3,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：41=38。，42=22。，N3+N4=78。，

"BF||AD,

.,.Z.4=N1=38°,

."3=78°-Z4=40°,

J.AACB=180°-zl-z2-z3=80°,

故選：B

【變式3-1】如圖，一艘輪船由海平面上2地出發(fā)，要到A地的北偏東60。方向的C處，已知輪船先沿正東方向

行駛了100海里到達(dá)B地，再沿北偏東30。方向行進(jìn)，恰能到達(dá)目的地C,那么，B、C兩地相距海里.

【答案】100

【分析】本題主要考查方向角的定義，等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

題意證明△ABC是等腰三角形即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得：/-BAC=90°-60°=30°,Z/4SC=90°+30°=120°,

???ZC=180°-ABAC-^ABC=30°,

Z.BAC=zC,

???AB=BC=100,

故答案為：100.

【變式3-2】如圖，點(diǎn)3在點(diǎn)N的西南方向，點(diǎn)C在點(diǎn)N的南偏東15。方向，點(diǎn)C在8的北偏東80。方向，

則N4C8=.

【答案】85。/85度

【分析】本題主要考查了方位角有關(guān)的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)題意得到NCBD=80。，4BAE=

45°,ACAE=15°,BD||AE,進(jìn)而求出NB4C=60。，乙4BC=35。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，由題意得，^CBD=80°,^BAE=45°,NC4E=15。，BD||AE,

J./.ABD=/.BAE=45°,/-BAC=Z.BAE+/.CAE=60°,

J.Z.ABC=Z.CBD-Z.ABD=35°,

乙ACB=180°-ZBXC-/.ABC=85°,

故答案為：85。.

【變式3-3］如圖，是4B,C三個(gè)便民核酸采樣點(diǎn)和小亮家（點(diǎn)D）的平面圖，已知4B,C三點(diǎn)在同一條

東西方向的路段上，D在力的北偏東50。方向，在C的北偏西20。方向，且點(diǎn)B到力，D兩點(diǎn)的距離相等，試求

出從小亮家（點(diǎn)D）觀測(cè)檢測(cè)點(diǎn)B,C兩處的視角NBDC的度數(shù).

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是方向角、三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是正確理解方位角的定義.

根據(jù)D在4的北偏東50。方向，在C的北偏西20。方向，得NM4D=50。,NECD=20。,根據(jù)4B=BD推得NDBC,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得解.

【詳解】解：由題意可知:

Z.ECA=90°,Z.MAD=50°,NEC。=20°,AB=BD,

.-./.DAC=/.MAC-/.MAD=40°,Z.DCB=/.ECA-乙ECD=70°,A.ADB=/.DAB=40°,

???Z-DBC=Z.ADB+Z-DAB=80°,

在aOBC中，乙DBC+乙DCB+乙BDC=180°,

???乙BDC=180°-70°-80°=30°.

［題型4與方向角有關(guān)的角度計(jì)算】

【例4】如圖，在△A8C中，的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P,將△A8C沿DE折疊使得點(diǎn)4與點(diǎn)P重合，若41+

N2=80°,則NBPC的度數(shù)是()

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理及角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是180。是解題關(guān)鍵.根據(jù)

折疊得出"DE=N4DE,乙PED=UED,再由三角形內(nèi)角和和平角定義求出乙4=*乙1+42)=40。.根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得N4BC+AACB=180°-4力，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得NBPC=180°-(LFBC+

zFCfi)=90。+由止匕即可得答案.

【詳解】解：由折疊可知：^PDE=LADE,APED=^AED,

Azi+2Z.ADE=180°,Z2+2Z.AED=180°.

Z.Z1+42+2（乙4DE+Z.AED}=360°,

又+N力ED=180°—44，

.".Zl+42+2（180°-ZX）=360°,即Z_4=g（Nl+Z2）=40°,

11

?:乙PBC=上乙ABC,乙PCB=L^ACB,AABC+Z.ACB=180°-

22

ii

:.（PBC+乙PCB=^ABC+LACIS）^^（180°-

:?乙BPC=180°-（乙FBC+乙FCB）=90°+1z^,

i

.".zFPC=90°+-x40°=110°.

2

故選：B.

【變式4-1］如圖，在三角形紙片力BC中，N力=65。，4B=75。,將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外的

點(diǎn)C'處.若N2=25。，則N1的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】在△NBC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出NC的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)，可知：NCDE=/C'DE,

ZCED=ZC'ED,結(jié)合N2的度數(shù)可求出/C￡D的度數(shù)，在△?)￡中利用三角形內(nèi)角和定理可求出NCDE

的度數(shù)，再由Nl=180。-ZCDE-NODE即可求出結(jié)論.

【詳解】解：在△4BC中，N/=65。，ZB=75°,

二NC=180°-//-48=40°.

由折疊，可知：ZCDE=ZCDE,ZCED=ZC'ED,

.-3中=1°2.5。,

：.NCDE=180°-ZCED-NC=37.5°,

AZI=180°-ZCDE-ZCDE=1SO0-2ZCDE=105°.

故選：C.

【變式4-2］如圖，M,N分別是△ABC的邊AB,ZC上一點(diǎn)，將△ZBC沿MN折疊，使點(diǎn)4落在邊BC上，若N1+

乙2+43+44=235°,貝I」乙4=()

B.45°C.65°D.55°

【答案】D

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙C+=125。，再求出乙4的度數(shù)即可

得到答案;

【詳解】解：vzl+z2+z3+z4=235°,zl+z4+=180°,z2+z3+zf=180°,

乙C+LB=360°-(zl+42+43+z4)=125°,

???+zC+=180°

..?=180°-(ZC+乙B)=55°

故選：D.

【變式4-3］如圖，△ABC中〃=30。，￡是AC邊上的點(diǎn)，先將△ABE沿著B(niǎo)E翻折，翻折后△4BE的邊

交4C于點(diǎn)D,又將△BCD沿著80翻折，。點(diǎn)恰好落在BE上，此時(shí)Z.CDB=84°,則中

乙ABC

圖1圖2圖3

【答案】81.

【分析】在圖(1)的△力BC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得乙B+NC=150。；結(jié)合折疊的性質(zhì)和圖(2)(3)

可知：NB=34CBD,即可在△CBD中，得到另一個(gè)關(guān)于4B、NC度數(shù)的等量關(guān)系式，聯(lián)立兩式即可求得乙B

的度數(shù).

【詳解】解：在△ABC中，乙4=30。，貝IJNB+NC=150。①；

根據(jù)折疊的性質(zhì)知：乙B=3乙CBD,乙BCD=M；

在△CBD中，則有：ACBD+ABCD=180°-84°,

即：+=96。②；

①-②，得：“8=54°,

解得NB=81。

故答案為：81.

【題型5直角三角形的判定】

【例5】在下列條件中不能判定△ABC為直角三角形的是()

A.N4=90°—NCB.N力=NB—ZC

1

C.41=2ZB=3zCD.乙4=NB=-zc

2

【答案】c

【分析】判定三角形是否為直角三角形，即計(jì)算各個(gè)角的度數(shù)，有一角為直角就是直角三角形，若無(wú)直角就

不是直角三角形.

【詳解】解：A、N力=90。一NC,乙4+NC=90。，所以乙3=180。一(乙4+NC)=90。，即NB是直角，能判

定三角形是直角三角形，不符合題意；

B、乙4=NB-ZC,NB=乙4+NC,乙4+NB+NC=NB+NB=180°,所以48是直角，能判定三角形是直

角三角形，不符合題意；

0Q

C、NA=2ZB=3ZC,可得Z■力=3ZC,乙B=jzC,所以+NB+NC=3zC+jzC+zC=180。，解得NC=

箸，NB=與，乙4=岑二都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合題意；

D、N4=ZB=|zC,可得n4=[NC,ZB=|ZC,所以NA+NB+NC=TNC+3NC+NC=180°,解得4c=

90。，即NC是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意

故答案為：C

【變式5-1]如圖，在直角三角形力BC中，^ACB=90°,下列條件能判定DEIAC的是()

AEC

A./.ABE=Z.CBEB.Z.CBE=乙BEDC.Z.ADE=乙BECD.Z.ABE=4DEB

【答案】B

【分析】題目主要考查平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，根據(jù)選項(xiàng)依次進(jìn)行判斷即可，熟練掌握平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)是

解題關(guān)鍵

【詳解】解：A、乙ABE=MBE,不能判定DE1AC,不符合題意；

B>"Z.CBE=/.BED,

.-.DEWBC,

■：/.ACB=90°,

■.AAED=90°,BPDE1AC,符合題意；

C、4ADE=4BEC,不能判定DE_LAC,不符合題意；

D、乙ABE=KDEB,不能判定DEI力C,不符合題意；

故選：B

【變式5-2】如圖所示，在aABC中，力。是BC邊上的高，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，CE交力D于點(diǎn)M,且乙DCM=^MAE,

求證△力CE是直角三角形.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵；

由力。是BC邊上的高，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得NDMC+ADCM=90。；又根據(jù)對(duì)頂角以及等角的

余角相等，可推出NDCM=ZM4E；然后通根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得Z_ME4=90。，證明結(jié)論.

【詳解】證明：..F。是BC邊上的高，

：.Z.DMC+Z.DCM=90°.

X'."ZDMC=/.AME,/.DCM=Z.MAE,

：.^AME+^MAE=90°,

：.Z.MEA=90°.

即aACE是直角三角形.

【變式5-3］如圖，在RtZXABC中，Z.BAC=90°,BD平分乙48C,且NCAD=4CBD,求證：△力BD是直角

三角形.

A

D

BC

【答案】見(jiàn)解析

【分析】證明乙4BD=NC4D,得至!UB力D+N4BD=90°,即可證明△力BD是直角三角形.

【詳解】證明：在RtaABC中，

'：ABAC=90°,

：.ABAD+ACAD=90°,

平分N4BC,

：.Z.ABD=乙CBD,

'：/.CAD=乙CBD,

J.Z.ABD=/.CAD,

."BAD+Z.ABD=90°,

是直角三角形.

【題型6直角三角形的性質(zhì)】

【例6】如圖，在Rt/XABC中，乙4BC=90°,4D平分NB4C交BC于點(diǎn)。，交4C邊上的高BE于點(diǎn)R若NC=a,

則NBFD=()

A.aB.a+22.5°C.-+22.5°D.-+45°

22

【答案】D

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得到N8AC=90°-a,

再根據(jù)較平縣的定義求出NC4D=45。-*再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出N4FE=45。+全由對(duì)頂角的

定義即可得出結(jié)果.

【詳解】解：\-AABC=90。,“=a,

.'.Z-BAC=90°-a,,

'：AD^^Z.BAC,

"CAD=45°--,

2

■:BE1AC,

J./.AEF=90。，

Z.AFE=900-ACAD=45°+

2

:.乙BFD=Z.AFE=45°+-,

2

故選：D.

【變式6-1】如圖，在中，AACB=90°,于。.

c

(1)求證：^ACD=zs；

(2)若2F平分NC4B分另I」交CD、BC于E、F,求證：4CEF=LCFE.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形角平分線(xiàn)的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，難度適中.

(1)由于乙4CD與NB都是/BCD的余角，根據(jù)同角的余角相等即可得證；

(2)根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出NC凡4=90。—“4凡^AED=90°-^DAE,再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義

得出NC4F=NZME,然后由對(duì)頂角相等的性質(zhì)，等量代換即可證明NCEF=NCFE.

【詳解】(1)證明：???N力CB=90。，CD1AB于D,

.-.Z.ACD+乙BCD=90°,乙B+4BCD=90。，

Z.ACD=Z.B；

(2)證明：在Rt△力FC中，Z.C凡4=90。-NC4F,

同理在RtZkAED中，^AED=90°-Z.DAE.

又；4F平分NC4B,

/.CAF—Z.DAE,

Z.AED=Z.CFE,

又；乙CEF=AAED,

Z.CEF=Z.CFE.

【變式6-2】如圖，AC,8。為四邊形/BCD的對(duì)角線(xiàn)，ZABC=90°,ZABD+ZADB=ZACB,ZADC=

ZBCD.

(1)求證：ADLAC-,

(2)探求/3/C與//CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)NBAC=2NACD；理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用直角三角形的兩銳角互余、三角形的內(nèi)角和定理、以及角的和差即可得;

(2)先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得NB4C=90。一(NBCD-NACD),再由題(1)的結(jié)論和44DC=

NBCD推出NBCC=90°-"CD,聯(lián)立化簡(jiǎn)求解即可得.

【詳解】(1):在44BC中，AABC=90°

Z.ACB+/.BAC=90°

在ZL4BD中，/.ABD+Z.ADB+Z.BAD=180°

Z.ABD+Z.ADB=Z.ACB

???^ACB+/.BAD=180°,即NACB+^BAC+^CAD=180°

.-.Z.CAD=90°

AD1AC；

(2)/LBAC=7.Z.ACD,理由如下：

^ABC=90°

ABAC=90°-AACB=90°-(乙BCD-^ACD)

由題(1)知，/.DAC=90°

???/.ADC=90°-^ACD

■■■Z.ADC=乙BCD

.-.乙BCD=90°-Z.ACD

???4BAC=90°-(90°-^ACD-乙4CD)=2乙ACD.

【變式6-3】直角三角形ABC,乙4c8=90。，點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，BE為△BCD的高線(xiàn)，

圖1圖2

⑴求證：/.CAD+乙CBE=乙CDB；

(2)如圖(2)：AF1CD交直線(xiàn)CD于F,G為EF上一點(diǎn)，BK1AG交直線(xiàn)力G于點(diǎn)K,4K交BE于點(diǎn)H,若"AB=

4CBA=4AGF,請(qǐng)你在不添加任何輔助線(xiàn)，直接寫(xiě)出與乙DAF相等的角(不包括NDAF)

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)NC4G、N4BE和NCBK

【分析】本題主要考查直角三角形兩個(gè)銳角互余和對(duì)頂角的知識(shí)，

(1)由直角三角形兩個(gè)銳角互余得出NDBE+/EDB=90。，且NC4D+NCBE+NEBD=90。，則有結(jié)論成

立.

(2)根據(jù)題意可知NCAB=乙CBA=45°,進(jìn)一步得至IJNC4B=/.GAF,貝！|有NG4G+乙GAB=/.GAB+^DAF,

即NC力G=/.DAF-,由題意得NBDE=/.ADF,貝UNHBE=Z.D4F；由題意得4c力K=Z.CBK,結(jié)合NC2G=^.DAF,

貝!)有NCBK=ND4F成立.

【詳解】(1)證明：???BE為△BCD的高線(xiàn)，

:億BED=90°,

:,乙DBE+乙EDB=90。,

又??ZCB=90°,

：.￡.CAD+乙CBE+乙EBD=90°,

Z.CAD+Z.CBE=乙CDB.

9

(2)：^ACB=90°,/.CAB=Z.CBAf

J.Z.CAB=MBA=45°,

*：/.CAB="GF,AFLCD,

：.ACAB=AGAF,

：.ACAG+/-GAB=Z.GAB+^DAF,

即NC4G=^DAF；

BCD的高線(xiàn)，乙BDE=Z.ADF,

：.Z.ABE=^DAF；

U：Z.ACB=90°,BKLAG,

J.^CAK=乙CBK

*：Z.CAG=A.DAF,

:?乙CBK=LDAF,

故與Z7L4F相等的角有乙C/G、^ABE^^CBK

。3串知識(shí)識(shí)框架

3過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

1.在下歹!]條件：①NA+48=ZC,②4A:4B:4C=5:3:2,③N力=90°-ZB,?Z.A=2zB=3zC,⑤Z_A=

ZB=[NC；⑥乙4=^NB=《NC中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角形的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理分別求解各種情況中的三角形的內(nèi)角的大小，從

而得到答案.

【詳解】：①+=NC,貝I|2NC=180。，ZC=90°,

.?.△ABC是直角三角形；

②：4A=5:3:2,設(shè)44=乂，

貝1]5X+2K+3X=180,解得：x=18。，

：.^A=18°x5=90°,

...△ABC是直角三角形；

③=90°-ZB,

."4+NB=90°,

則NC=180°-90°=90°,

.?.△ABC是直角三角形；

④=24B=3",

：./.A+NB+ZC=-Z.A+-AA+NA=180°,

32

A1080°

...△ABC為鈍角三角形.

⑤=CB=1zC,

11

：.^A+Z^+ZC=-ZC+-Z-C+ZC=180°,

22

則“=90°,

???△ZBC是直角三角形；

Z-.A=-Z-B=-Z-C,

23

Z-A+Z-B+Z-C=3ZJ4+2z.i4+Z-A=180°,

解得：乙4=30。，

Azf=90°,

.?.△ABC是直角三角形.

故選C

2.如圖，在△ABC中，NBAC=70°,NB=40°,4。為邊8。上的高，CE平分N4CB交力B于點(diǎn)E,交4D于點(diǎn)F,

則NHFE的大小為（）

【答案】A

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，先求出乙4cB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線(xiàn)求出NBCE的度數(shù)，根據(jù)高線(xiàn),

求出NCFD的度數(shù)，由此得出乙4FE的大小.

【詳解】解：'：^BAC+AB+AACB=180°,ABAC=70°,ZB=40°,

：.Z.ACB=180°-70°-40°=70°,

CE平分Z71CB,

;?乙BCE=士乙ACB=35°,

2

???40為邊BC上的高，

：.AD1BC,

：.^CFD=90°一CBCE=55°,

：.Z.AFE=Z.CFD=55°,

故選：A.

3.如圖所示，在△ZBC中，BD,CE是兩條高，乙4=50。，則的度數(shù)為（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的高的定義，直角三角形兩個(gè)銳角互余，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是

解題的關(guān)鍵.根據(jù)直角三角形中的兩個(gè)銳角互余求得：^ABD=40°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得乙8。。=

匕ABD+乙BEO,即可求解.

【詳解】解：???在中，BD,CE是兩條高，/-A=50°,

???乙BEC=乙BDA=90°,4ABD=90°一=40°,

（BOC=4ABD+乙BEO=40°+90°=130°,

故選：C.

4.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于（）

A.105°B.75°C.60°D.45°

【答案】B

【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：1乙4=30°,Z.ADG=90°

：.Z.AGD=180°-Z.A-Z.ADG=60°

:.乙EGF=/.AGD=60°

；4E=45°

Azl=180°-Z.EGF-乙E=75°.

故選：B.

5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。為NABC和NACB的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接。力,。3,。。，作△AOB的一條角平分線(xiàn)

AD.若NB4C=a,則Nl+N2的度數(shù)為（）

311

A.90。+三aB.1200+-aC.160°D.180°--a

424

【答案】A

【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，根據(jù)角平分線(xiàn)定義可得42=90。+1

Z.1=從而可求出N1+42.

4

【詳解】解：'：^BAC+AABC+2LACB=180°,^BAC=a,

J.^ABC+乙4cB=180°-a,

是N4BC的平分線(xiàn)，C。是乙4cB的平分線(xiàn)，

11

：.^CBO=^ABC,^BCO=^ACB,

，乙CBO+4BC。=+2CB="ZTIBC+乙4CB)=1(180°-a)=90°-^,

■:乙OCB+乙OBC+N2=180°,

Z2=180°-(乙OCB+4OBC)=180°-(90°一§=90°+y,

；力。是NBAC和平分線(xiàn)，

11

：./.BAO=-^BAC=-a,

22

,.?4。是48/。的平分線(xiàn)，

zl=-zBXO=-x=-a,

2224

113

Azl+Z2=-a+90°+-cr=90°+-a,

424'

故選：A.

6.在一個(gè)直角三角形中，已知一個(gè)銳角比另一個(gè)銳角的4倍多15。，則較小銳角的度數(shù)為.

【答案】15。/15度

【分析】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，關(guān)鍵步驟是正確設(shè)定變量并準(zhǔn)確列方程，最終求出較小

的銳角度數(shù).本題設(shè)定未知數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，建立方程求解較小的銳角度數(shù).

【詳解】解：設(shè)較小的銳角為十，則較大的銳角為4x+15。，

根據(jù)直角三角形兩銳角之和為90。，得：

x+(4x+15)=90,

解得：x=15,

所以較小銳角的度數(shù)為15。.

故答案為:15°.

7.如圖，點(diǎn)。是△A8C內(nèi)一點(diǎn)，。4、。。分另(J平分NB4C、NBCA,4B=64。，則N。=.

【答案】122案22度

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，并掌握整體法是解

題的關(guān)鍵.利用角平分線(xiàn)定義得出/。4c=^BAC,AOCA=再利用三角形內(nèi)角和定理得出ABAC+

Z.BCA=116°,則可得NtMC+AOCA=力C+NBC4)=58°,再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：：。4、。。分別平分NB4C、Z.BCA,

：.AOAC=-^BAC,^OCA=-/LBCA,

22

■:4B=64°,

：.Z-BAC+乙BCA=180°一乙B=116°,

111i

：.￡.OAC+Z.OCA=+=+=；x116°=58°,

：./.C=180°-AOAC-AOCA=180°-(N。力C+N0C4)=180°-58°=122°,

故答案為：122。.

8.如圖，巡邏艇C在游輪/北偏東60。的方向上，巡邏艇C在游輪B北偏東15。的方向上，游輪B位于游輪/

的正東方向，貝ikACB的度數(shù)為'

【答案】45

【分析】本題考查了方位角，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形內(nèi)角和定理成為解題的關(guān)鍵.

先求出NC4B、NCB4的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：由題意知NCA。=60。，Z.CBE=15°,Z.DAB=/.EBA=90°,

：.ACAB=ADAB-^DAC=30°,ACBA=ACBE+乙ABE=105°,

J.^ACB=180°-/.CAB-NABC=45°.

故答案為：45.

9.如圖，在Rt△力BC中，AB=90°,乙4=58。，D,E分另ij在BC,4C上，將△CDE沿DE折疊得到△FDE,

且EFIICB,貝！INDEF的度數(shù)為.

【答案】74。/74度

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和可以求出4c的度數(shù),

由折疊性質(zhì)得出NFDE=/CDE,ZF=ZC=32°,再根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)得到NF=NFDB=32。，然后通過(guò)平

角定義可得NFDE=NCDE=74。，最后由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出4DEF=NCDE=74。，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：..28=90。,幺=58。,

:.乙C=32°,

由折疊性質(zhì)可知，乙FDE=KCDE,NF=NC=32。，

'：EF\\CB,

：./.F=Z.FDB=32°,

VzFDE+乙CDE+乙FDB=180°,

J.^FDE=乙CDE=74°,

'：EF\\CB,

:.乙DEF=ACDE=74°,

故答案為：74°.

10.在△ABC中，48=40。，若從頂點(diǎn)4作高線(xiàn)AD和角平分線(xiàn)4E,力。與2E的夾角為5。，則NC的度數(shù)

為°，

【答案】30或50

【分析】本題考查了三角形的高和角平分線(xiàn)，三角形內(nèi)角和定理，分NB>NC和48<4C兩種情況，分別畫(huà)

出圖形解答即可求解，運(yùn)用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖①，

①

'：AD1BC,

：.AADB=90°,

■:乙B=40°,

：.^BAD=50°,

'：^DAE=5°,

."BAE=Z.BAD+X.DAE=50°+5°=55°,

?.FE是NBHC的角平分線(xiàn)，

J./.BAC=2Z.BAE=2X55°=110°,

:.乙C=180°-ABAC一4B=180°-110°-40°=30°；

當(dāng)NB<ZC時(shí),如圖②，

②

\9AD1BC,

:.乙ADB=90°,

??4=40°,

：.^BAD=50°,

\*Z.DAE=5°,

：.^BAE=乙BAD-/-DAE=50°-5°=45°,

,?NE是Nb4c的角平分線(xiàn)，

：.^BAC=2(BAE=2x45°=90°,

：.Z.C=180°-/.BAC一4B=180°-90°-40°=50°；

綜上，NC的度數(shù)為30。或50。，

故答案為：30或50.

11.如圖，CE1AD,垂足為E.N4=NC.求證：△A8D是直角三角形

【答案】見(jiàn)解析

【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得NC+4。=90。；再求出乙4+ND=90。，進(jìn)而得到乙4BD=90。,

再判定即可.

【詳解】證明：?：CELAD,

:.乙CED=90°,

ZC+zD=90°,

???Z.A=zC,

.??+"=90°,

???^ABD=90°,

.?.△HBD是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，垂直的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在△2BC中，AD1BC,力E平分NB4C.

(1)若NC=70。，AB=30°,求ACME的度數(shù)；

(2)若NC一乙B=20°,求的度數(shù).

【答案】(1)20。

(2)10°

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).

(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB4C的度數(shù)，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出NC4E的度數(shù)即可;根據(jù)力。1BC

及三角形內(nèi)角和定理可求出NC4D的度數(shù)，再由ACME=^CAE-NCW即可求出ACME的度數(shù)；

(2)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線(xiàn)的性質(zhì)用NB、ZC表示出NC4E的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

用NC表示出NC4D的度數(shù)，ACME=NC4E—NC4D,化簡(jiǎn)即可求出AD4E的度數(shù).

【詳解】⑴解::在△力BC中NC=70。，18=30°,

：.Z.BAC=180°-zf-ZB=180°-70°-30°=80°,

,?NE平分NBZC,

ii

：.^CAE=AC=-x80°=40°；

22

*：AD1BC,zC=70°,

C.2LCAD=90°一乙C=90°-70°=20°,

J.Z.DAE=Z.CAE-/.CAD=40°-20°=20°；

(2)解：??,/￡?平分NB/C,

i

JLCAE=；(180°-zC-NB),

,：AD1BC,

：.^.CAD=90°-NC,

：.Z.DAE=Z.CAE-Z.CAD=1(180°-ZC-4B)-(90°-ZC)=1(ZC-4B)=10°.

13.在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，這樣的三角形我們稱(chēng)為“三倍角三角形例如,

三個(gè)內(nèi)角分別為100。,60。,20。的三角形是“三倍角三角形”.

⑴在△力BC中，2力=25。28=80。，△4BC是，三倍角三角形”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.

(2)若△4BC是“三倍角三角形“，且44=24。，求△ABC中最小內(nèi)角的度數(shù).

【答案】(口△A8C是“三倍角三角形”，理由見(jiàn)解析

(2)8?；?4。

【分析】本題考查新定義問(wèn)題，涉及三角形內(nèi)角和定理，讀懂題意，理解“三倍角三角形”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；

(2)根據(jù)題意，由定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理分三種情況求解即可得到答案.

【詳解】(1)解：△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：

：〃=25。，48=80。，

ZC=180°—25°—80°=75°=25°x3,

.?.△ABC是“三倍角三角形”.

(2)解：力=24。，

:.乙B+4C=156°,

設(shè)最小的角為X,

①當(dāng)24。=3x時(shí)，x=8°,滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)x=24。時(shí)，另外兩個(gè)角為24。工3=72。，180°-24°-72°=84°,滿(mǎn)足題意；

③當(dāng)％+3%=156。時(shí)，%=39°,24<39,(不合題意，舍去)

答：△力BC中最小內(nèi)角的度數(shù)為8?；?4。.

14.已知，△A8C中，AD平分NB4C交BC于點(diǎn)。，AE1BC,垂足為E,CF\\AD.

(1)如圖①，Z5=30°,乙4cB=70。，求NCFE的度數(shù)；

(2)若(1)中的NB=a,Z.ACB—/?,(a<位則NCFE=_；(用a、/?表示)

(3)如圖②，(2)中的結(jié)論還成立么？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴20。

嗎一

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和及角平分線(xiàn)得到乙4DE,再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到NCFE的度數(shù).

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和及角平分線(xiàn)得到乙4DE,再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到4CFE的度數(shù)；

(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和及角平分線(xiàn)得到乙4DE,再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到NFCE的度數(shù)，最后利用直角三

角形的內(nèi)角和即可得到乙CFE的度數(shù).

【詳解】(1)解：:△ABC中，AB=30°,44cB=70。，

C.^BAC=180°-(NB+AA