2025年高二數(shù)學(xué)秋季開學(xué)摸底考02（人教A版）

全解全析

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.復(fù)數(shù)z=±N的虛部為（）

1

A.-3B.-3iC.1D.i

【答案】A

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=U=-（3+i）i=l-3i,

所以虛部為-3.

故選：A.

2.數(shù)據(jù)86,82,78,93,86,84,81,90,85,79,86,85,88,81,87的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）

A.85,86B.85,85C.86,85D.86,86

【答案】C

【詳解】數(shù)據(jù)86,82,78,93,86,84,81,90,85,79,86,85,88,81,87從小到大排序可得：78,

79,81,81,82,84,85,85,86,86,86,87,88,90,93,

所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為86,中位數(shù)為85.

故選：C.

3.如圖,空間四邊形Q4SC中，OA=a,OB=b，次=1點(diǎn)M在線段/O上，且如到=2囚。|,點(diǎn)N為

)

A.-a^b+-c［一1一1一

+B.-ciH—bH—c

322322

C.一匕+與+=1-11一

D.——a+—b7+—c

322322

【答案】D

【詳解】|材4|=2根。|,點(diǎn)N為2。中點(diǎn),

MN^MO+ON^--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

322322

故選：D

4.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的點(diǎn)數(shù)，則下列選項(xiàng)的兩個(gè)事件中，互斥但不對立的是()

A.事件“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”與事件“點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”

B.事件“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”與事件“點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)”

C.事件“點(diǎn)數(shù)之和不小于8”與事件“點(diǎn)數(shù)之和不大于7”

D.事件“點(diǎn)數(shù)之積不小于7”與事件“點(diǎn)數(shù)之積不大于8”

【答案】B

【詳解】對于A,二者能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，如(3,4),故A錯(cuò)誤；

對于B,二者不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)，故B正確；

對于C,二者不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，是對立事件，故C錯(cuò)誤；

對于D,二者能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，如(2,4),故D錯(cuò)誤.

故選:B

5,正方體中，直線45與平面44CG所成角的余弦值為()

A.IB.—C.—D.—

2322

【答案】D

【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)。為正方形/BCD的中心，所以80—

因?yàn)?4]_L平面/BCD,且平面N3CD,所以AA]_LB。，

又因?yàn)锽O_L/C,AAtr\AC=A,//“/Cu平面，

所以801平面/4GC，

所以直線州與平面A.ACC,所成角即為N54。，

不妨設(shè)正方體棱長為1,則80=/O=*,48=拒,=乎，

故選：D.

6.在△跖：中，COS24=^,則“BC的形狀為（）

22c

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【詳解】由題意，cos咚=1+字'=看,化簡整理得cosB=q,

222cc

sin

根據(jù)正弦定理，可得cosB=^—,即sin4=cosBsinC,

sinC

因?yàn)閆+5+C=TC,所以sinZ=sin（5+C）=sinBcosC+cosBsinC=cosBsinC,

則sin5cosC=0,

又??,5,C￡（0,7i）,sin5w0,

jr

則cosC=0,C=—.

2

所以A/BC的形狀為直角三角形.

故選：B.

7.如圖，三棱錐/—BCD中，AB=BC=AC=DB=DC,且平面在。與底面BCD垂直，E為8C中點(diǎn),

EF=DA，則平面與平面48尸夾角的余弦值為（）

A.—B.—C.巫D.

553

【答案】B

【詳解】如圖，連接/瓦。石，

因?yàn)槊?=8。=4。=。8=。。,￡為8。中點(diǎn)，

所以/E_L3C,DE_L2C,

又平面ABC_L底面BCD,平面ABCH底面BCD=BC,AEu平面ABC,

所以/E_L平面BCD,故EZ）,E2,創(chuàng)兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)N8=2,由麗方，

可得4（0,0,@,￡?（百,0,0）,3（0,1,0）,尸卜6,0,石），

則AB=（0,1,-73）,10=（百,0,-6）,簫=（-73,0,0）,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為四=（X,%z）,

in-AB=y—拒z=0

則有■令x=l,得^=追/=1,則成=（1,百,1）,

rh-AD=^x->/3z=0

設(shè)平面48尸的一個(gè)法向量為力=（a/,c）,

n-AB=b-y/3c=0

則有＜令c=1得4=0,6=A/§\得亢=（0,g\l）,

n-AF=—y[?>a=0

m,n42-75

則cos〈西方〉=麗=萬7=丁

則平面4D3與平面48尸夾角的余弦值為述.

5

故選：B.

8.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù).若用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用了表

示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用GJ）表示一次試驗(yàn)的結(jié)果,設(shè)4="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積是偶數(shù)"，2=“至少有一顆骰子的點(diǎn)

數(shù)為5"，則尸（/U3）=（）

12八18

A.-B.—C.-D.一

4939

【答案】D

【詳解】基本事件空間為：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,

（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,

（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）｝,共36個(gè)基本事件.

事件A包含的基本事件有：（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,2）,

（3,4）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,

（6,4）,（6,5）,（6,6）.共27個(gè)，

77a

所以尸（/）=痛=二

事件3包含的基本事件有：（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（6,5）.共11個(gè)基本事件.

所以尸（3）=］.

事件/cB包含的基本事件有：（2,5）,（4,5）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（6,5）.共6個(gè)基本事件.

所以尸（/n8）=《=K

Joo

31118

+-

根據(jù)概率的加法公式可得：尸（/U2）=尸（/）+尸（2）-尸（zng）4-3-6--6-9-

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.現(xiàn)對1200名學(xué)生的某次物理成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下頻率分布直方圖，則（）

B.a=0.030

C.成績在［70,80）的學(xué)生人數(shù)為300D.成績的中位數(shù)小于70

【答案】AB

【詳解】由頻率分布直方圖可知，成績在［70,80）的人數(shù)最多,

所以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)75作為眾數(shù)的估計(jì)值，故A正確;

由所有小長方形的面積和即頻率和為b

可知(0.010x2+0.015x2+0.020+a)xl0=l,解得。=0.030,故B正確;

成績在［70,80）的學(xué)生人數(shù)為1200x0.030x10=360,故C錯(cuò)誤;

因?yàn)槌煽冊冢?0,70）的頻率為（0.010+0.015+0.020）x10=0.45<0.5,

成績在［40,80）的頻率為（0.010+0.015+0.020+0.30）x10=0.75>0.5,

所以成績的中位數(shù)落在區(qū)間［70,80）內(nèi)，即成績的中位數(shù)大于70,故D錯(cuò)誤;

故選：AB

10.在△4BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,b=4i，則8可以是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】ABC

【詳解】由正弦定理，可得sin2=M^=^sinN,

a2

（r~\/X

Vsin（0,1],sin5e0,—,又b<a,則5<4,故

所以Be,：.

故選：ABC.

11.如圖，在棱長為2的正方體/BCD-中，點(diǎn)。為線段2。的中點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足旃=2前+〃函

（0W4W1,0<//<1）,則下列說法正確的是（）

A.若Of//平面4瓦九則外+1最小值為:

B.若PO_L平面&AD,則彳=：,〃=1

C.若4="=（，則尸到平面/RD的距離為孚

D.若4=1,0<A<m,直線。尸與平面所成角為。，貝UsinSe事,事

【答案】ACD

【詳解】如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以加、DC、所在直線為x、八Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則有。（0,0,0）,/（2,0,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,。（0,0,2）,5,（2,2,2）,4（2,0,2）,G（0,2,2）,

0（1,1,0）,

則數(shù)=(-2,0,0),函=(0,0,2),BP=ABC+]uBBx=(-22,0,2/z),

對于A：45=（0,2,-2）,方彳=（2,0,2）,取=（2,2,-2）.

2y-2z=0、

設(shè)平面4班的一個(gè)法向量為而=（x/,z）,則有cc八，令x=l,則y=z=-i,故沅=z(1,-1,一1).

2x+2z=0

因?yàn)槿f力+而=（2-242,2〃一2）,2尸〃平面,

所以帚?印=2-22-2-2〃+2=0,得2+〃=1,又因?yàn)?WX,所以分+〃2,（\〃）=g,

當(dāng)且僅當(dāng)%=〃=；時(shí)，等號成立，所以外+/的最小值為《，故A正確；

對于B：瓦5=（-1,-1,0）,貝|麗=瓦5-麗=（24_1,-1,_2〃），

22-1-1-111

若尸OJ.平面42。，則有麗〃碗，即

1-1-1

解得2=1,〃=g,故B錯(cuò)誤；

1-?,、\BP'ff\1-1-l|7r-

對于C：若人“=彳，則8尸=（-1,0,1）,則尸到平面4助的距離為=4石，故C正確;

2\m\J33

對于D：前=（—2,—2,0）,當(dāng)2=1,時(shí)，麗=麗—麗=（0,2,2〃），

”?所取+2||〃+1|_百6L2

則卜os。尸，比卜A

￡>P||W百x)4+4〃23J"?+13\+13Np1+1

當(dāng)〃=。時(shí)，卜os（DP,而，=,

當(dāng)且僅當(dāng)M=1時(shí)，等號成立，故（os麗，司e,即sinde,故D正確.

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.從某中學(xué)抽取6名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?7,85,83,90,92,93（單位：分），則這6名同

學(xué)數(shù)學(xué)成績的第75百分位數(shù)為（單位：分）.

【答案】92

【詳解】6名同學(xué)的成績按從小到大順序排列為：83,85,87,90,92,93,

6x75%=4.5,

所以第75百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)：92.

故答案為：92.

ac,、/.3x+2vi

13.定義運(yùn)算八=ad-bc,如果（x+y）+（x+3）i=”1戶/為實(shí)數(shù)，則刈的值為_____.

bd—y1

【答案】-2

【詳解】如果（X+M+（無+3）i='=3無+2y+yi,無/為實(shí)數(shù)，

~y1

fx+y=3x+2y

那么＜_,解得x=T，.y=2,所以中=-2.

[x+3=y

故答案為：-2.

14.在平面上有如下命題：“若。為直線外一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)4必，滿

足麗=2萬+〃歷，且％+〃=1”將該命題類比到空間中，并解決以下問題：正四面體。的棱長為1,

—■—1—?I—?__

P為底面/2C內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OP=XO/+§O8+5。。，其中彳為實(shí)數(shù)，則而.次=.

7

【答案6

【詳解】將該命題類比到空間中，有“若。為平面N2C外一點(diǎn)，則點(diǎn)P在平面/3C上的充要條件是：存在

實(shí)數(shù)x,y,z,^^OP=xdA+yOB+zOC,且x+y+z=l.”

正四面體O/2C的棱長為1,P為底面/BC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足麗=彳a+；礪+g反，其中2為實(shí)數(shù)，則

%+:+:=1，解得幾=），

326

貝ij麗京=仁次+工礪+工京」+,xL+LL工

（632）6322212,

^7

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

知向量值=（1,1,0）,b=（-1,0,2）.

⑴若,+屆）〃（21+6）,求實(shí)數(shù)我；

（2）若向量~+癌與2G+3所成角為銳角，求實(shí)數(shù)人的范圍.

【詳解】（1）因?yàn)榉?。,1,0）,6=（-1,0,2）,

所以。+口=（1一左,1,2左），21+3=0,2,2）,

因?yàn)?+砌//儂+3），所以—=；=解得：4=；；

（2）因?yàn)橄蛄?+匯與2@+B所成角為銳角，

所以（@+京）｛2@+彼）＞0,且石與2,+6不同向共線，

由（1）知，a+kb=（l-k,l,2k）f2a+b=（1,2,2）,

］一左+2+4左＞0

故Li，

k手一

12

解得左＞-1且左即左的取值范圍為后＞-1且左片上

22

16.（15分）

某沙稻研究中心利用早直播技術(shù)在沙漠試驗(yàn)田種植甲、乙兩個(gè)新品種水稻，隨機(jī)各抽取5塊試驗(yàn)田，其畝

產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：10kg）如下：

甲4751495053

乙4451605852

（1）利用均值和極差對甲、乙的產(chǎn)量進(jìn)行評價(jià)；

（2）產(chǎn)量的變異系數(shù)（CV）是一個(gè)用于評估產(chǎn)量穩(wěn)定性和變異程度的指標(biāo)，CT越小，產(chǎn)量越穩(wěn)定，生產(chǎn)的

準(zhǔn)

風(fēng)險(xiǎn)也越小，其計(jì)算公式為io。％.根據(jù)產(chǎn)量的變異系數(shù)，你認(rèn)為哪個(gè)品種更適合推廣？

均值

【詳解】（1）甲品種產(chǎn)量樣本的平均值福=；=50,極差為53-47=6；

乙品種產(chǎn)量樣本的平均值石=44+51+.+58+52=53,極差為60_44=16

所以甲品種的產(chǎn)量略低乙品種，但比較穩(wěn)定：乙品種的產(chǎn)量較高，但波動(dòng)較大.

（2）甲品種的樣本方端=⑷-5。丫+（51-5?！?（49；5?！?（5。-5。丫+（53-5。）、彳,

所以甲品種產(chǎn)量的變異系數(shù)C匕=—xl00%=4%；

150

乙品種的樣本方差

2（44-53）2+（51-53）2+（60-53）2+（58-53）2+（52-53）2“

S-7-=32，

乙5

所以乙品種產(chǎn)量的變異系數(shù)C%=叵*100%=勺與又100%々10.7%.

25353

因?yàn)镃匕＜。匕，所以甲品種的產(chǎn)量更穩(wěn)定，生產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)也更小，更適合推廣.

17.（15分）

一個(gè)袋子中有5個(gè)球，其中〃（1V"V5,"eZ）個(gè)紅球，其余為綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2

個(gè)球.

（1）若"=3,求第二次取到紅球的概率；

3

（2）若取出的2個(gè)球都是紅球的概率為伉，求〃.

【詳解】（1）由題可知袋中共有5個(gè)球，記作生,出,4，。4，。5，

從中依次不放回取出2個(gè)球，樣本點(diǎn)有

（%,%）,（%,），（%，%），（%，。5），（2，%），（42，。3），（。2,%），（%，%），

（。3，%）,（。3，。2），（。3，。4），（。3，。5），（%，%），（%，％），（%，/），（%，％），

（生嗎）,（。5，。2），（。5嗎），（。59），

共20個(gè)樣本點(diǎn)，

記”第，次取到紅球”為事件4,貝卜'第，次取到綠球”為事件4，

不妨設(shè)為紅球，氏，。5為綠球.兩次都取到紅球，則"（44）=6.

先取到綠球再取到紅球，則”（互）=6,

于是尸（⑷="（⑷="（44）+"（44）=3,

（20-5

3

即第二次取到紅球的概率為父

（2）兩次都取到紅球?yàn)槭录?4,"（44）=?（?-1）.

所以兩次取出紅球的概率為尸（44）=以柴，

即空/得，解得I.

18.（17分）

在ZUBC中，角N,B,C的對邊分別為a,b,c,2b-c=2acosC,b=2.

⑴求4

（2）若。為3C中點(diǎn)，且近，求△/BC的周長；

（3）若△ABC是銳角三角形，求△NBC面積的取值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)?6-c=2acosC,由正弦定理得2sin8-sinC=2sin/cosC,

即2sin（4+C）—sinC=2sin/cosC,

所以2sin/cosC+2cos/sinC—sinC=2sin^4cosC,

所以2cos/sinC-sinC=O,因?yàn)镃e（0,兀），所以sinCVO,

17r

所以2cos4-1=0得COS4=5,由/￡（0,兀），得/=§；

(2)因?yàn)?。?c中點(diǎn)，所以9=g(次+就卜

1,21/——>?'2

貝Ij/o=-^AB+AC+AC+2AB-AC],

所以7=；/+4+2°2.￡|,解得c=-6（舍）或c=4,

由余弦定理得/=/+c2—2bccos/=4+16—2x2x4xg=12,所以°=23',

所以ZUBC的周長為a+6+c=2g+2+4=26+6;

(3)在ZUBC中，由正弦定理得.八.

sinCsinBn

.71

所以bsinC2sm（8+§）sin5+百cosBV3

c=--=--------------------------------=1H---------

sinBsinBsinBtanB

71

0<B<-

7IT7T

根據(jù)題意得；,解得乙<3<彳，

62

0<C=生-工

[32

V3（0,3）,所以1+巫e（l,4）,

所以tanBe--,+■?,所以-------G

I3）tan8'7tan5v7

所以△/BC的取值范圍是

建2局

19.（17分）

如圖，在四棱錐尸-4BCZ）中，側(cè)面平面4BCD,△尸40是邊長為2的等邊三角形，底面/BCD為

直角梯形，其中BC7/4D,AB1AD,AB=BC=1.

（2）求線段尸/中點(diǎn)M到平面PCD的距離.

（3）線段尸。上是否存在一點(diǎn)E,使得平面胡C與平面D/C夾角的余弦值為孚？若存在，求出會(huì)的值;

若不存在，請說明理由.

【詳解】（1）由于平面尸4D_L平面480,平面尸4Dc平面/BCD=40,

?.?48_L40且48u平面ABCD,

,:48）平面尸4