第09講角的平分線

期內(nèi)容導(dǎo)航

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

析教材學(xué)知識(shí)

【知識(shí)點(diǎn)1作已知角的平分線】

已知：ZAOB,求作：NAOB的平分線.

作法：

(1)以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)、N.

(2)分別以點(diǎn)N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在/4。8的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.

(3)畫(huà)射線OC.射線OC即為所求.

如圖所示：

★作圖依據(jù)：構(gòu)造/OMCdONC(SSS).

【知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)】

內(nèi)容：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

EB

如圖，OC是4。3的平分線，點(diǎn)尸在0c上，PDLOA,PELOB,垂足分別為。，E.

結(jié)論：PD=PE.

【提示】

(1)這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng);

(2)該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形；

(3)使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直；

(4)運(yùn)用角的平分線時(shí)常添加的輔助線：由角的平分線上的已知點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用其相等來(lái)推導(dǎo)其

他結(jié)論.

【知識(shí)點(diǎn)3角的平分線的判定】

內(nèi)容：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

如圖，的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)尸.

結(jié)論：①點(diǎn)尸到三邊43,BC,CA的距離相等;②△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn).

【提示】角的平分線的判定的前提條件是指在角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等時(shí)，它才是在角的平分線上,

角的外部的點(diǎn)不會(huì)在角的平分線上.

g練題型強(qiáng)知識(shí)

【題型1角平分線的性質(zhì)直接應(yīng)用】

【例1】如圖，在Rt△力BC中，ZC=90°,BD平分DELAB,垂足為點(diǎn)E,AD=6,AC=10,貝“DE的

長(zhǎng)是()

【答案】C

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DC,再利用

線段的和差關(guān)系可求出結(jié)果.

【詳解】解：

:.乙BED=90°,

平分/ABC,NC=90。，

：.DE=DC,

"：AD=6,AC=10,

：.DE=DC=AC-AD=10-6=4,

故選：C.

【變式1-1］如圖，41CB=9O。，BD平分418c交AC于。，DE1AB于E,ED的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F.求

證：AE=CF.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由角平分線的性質(zhì)可求得DC=DE,則

可證得AADE三△FDC(ASA),再利用全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，全等三角

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：：乙4cB=90。,

：.DC1BF,

平分乙4BC,DE1AB,DC1BF,

：.DE=DC,Z.AED=/.FCD=90°,

在△力DE和中，

-^AED=乙FCD=90°

DE=DC,

.2LADE=乙FDC

：.△ADE三△/;>￡)(?(ASA),

：.AE=CF.

【變式1-2］如圖，在AABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分線，DE1AB^E,尸在4c上，S.BD=DF.

⑵試判斷與4F,EB之間存在的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)XB=AF+2BE,理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DC=DE,證明RtAFCDmRtABED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

(2)證明RtATlCO三RtAAED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明.

【詳解】(1)證明：：力。是NB4C的平分線，DE1AB,ZC=90°,

：.DC=DE,

在口△"￡)和RtABED中，

(DC=DE

IDF=DB'

Rt△FCD=RtABEO(HL),

CF=EB；

(2)解：AB=AF+2BE,

理由如下：在RtAACD和RtZiAED中，

(DC=DE

iAD=AD'

RtAACD=Rt△AED(HL),

：.AC=AE,

：.AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE.

【變式1-3】如圖，在AABC中，力。為乙84c的平分線，DElAB^E,DFlAC^F,△4BC面積是56cm2,

AB=20cm,AC=8cm,求DE的長(zhǎng).

【答案】DE=4cm

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DF,根據(jù)三角形面積公式推出SMBC=SA/BD+ShACD=\DE{AB+AC),代

入數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】解：為NB4C的角平分線，DEA.AB.DFA.AC,

DE=DF,

ShABC=S—BD+S-CD

11

=—AB?DE+—AC-DF

22

11

=—AB?DE+—AC,DE

22

=^DE-(AB+AC),

；AABC的面積是56cm2,AB=20cm,AC=8cm,

56=|DF(20+8),

解得：DE=4cm.

【題型2作一邊的垂線】

【例2】如圖，在ATlBC中，2。為ABAC的平分線，DE12C于點(diǎn)E,DE=2,AB+AC=16,貝!UABC的面

積為()

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)。作。尸148于F,根據(jù)角

平分線的性質(zhì)定理得到。尸=DE=2,再結(jié)合AB+AC=16,即可求出面積.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DF14B于F,

為48"的平分線，DELAC^E,DF1AB^F,DE=2,

：.DF=DE=2,

"：AB+AC=16,

-1-11

：.S^ABC=^ACxDE+^ABxDF=^(AB+AC)-DE=16,

故選：C.

【變式2-1］如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，CE14B于點(diǎn)E,AD,CE相交于點(diǎn)F,連接BF.若BF平

分N28C,EF=3,BC=9,則△CDF的面積為()

【答案】C

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理、三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)

定理以及三角形一邊上的中線將三角形面積平分是解答的關(guān)鍵.

過(guò)尸作FG1于G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得產(chǎn)G=EF=3,再根據(jù)三角形一邊上的中線將三角形面積平

分求解即可.

【詳解】解：過(guò)/作FG1BC于G,

：.FG=EF=3,

：4。為44BC的BC邊上的中線，

:.FD為X8FC的8c邊上在中線，

又,：BC=9,

1111127

=XX

:?SACDF=JzSABFCz"z--F(7=z-xz-x9x3=4—,

故選：c.

【變式2-2］如圖，4B平行CD,PB和PC分另I」平分N4BC和NDCB,4D過(guò)點(diǎn)P,且與4B垂直，若AD=8cm,

BC=10cm,求四邊形A8CD的面積？

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)尸作PQLBC于。，根據(jù)角平分

線的性質(zhì)可得出P4=PQ=PD,根據(jù)HL證明RtAABP三口△QBP,得出4B=QB,同理得出CD=CQ,

則4B+CO=10cm,然后根據(jù)梯形面積公式求解即可.

【詳解】解：過(guò)P作PQ1BC于。，

?.NB平行CD,ADLAB,

：.AD1CD,

???PB和PC分另lj平分乙48c和4DCB,

：.PA=PQ=PD,

9：AP=QP,BP=BP,

：.Rt△ABP=Rt△QBP,

：.AB=QB,

同理CD=CQ,

CD+AB=CQ+BQ=BC=10cm,

四邊形ABC。的面積為1(4B+CD)-240=|X10X8=40cm2.

【變式2-3】如圖，在四邊形4BCD中，AC平分14B于+=180。.

(1)求證：24E=4B+4D.

(2)當(dāng)AD=4,BE=3時(shí)，AB=(直接寫(xiě)出結(jié)果)

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)10

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵；

(1)過(guò)點(diǎn)C作。尸14。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CF=CE,先根據(jù)HL證RtAZFC三RtAAEC,再根據(jù)AAS

證明△FDC三AEBC,即可證明24E=4B+4。；

(2)由(1)可知DF=BE=3,貝iME=4F=7,即可求出4B.

【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)C作CF14D,

AEB...AC^^Z-BAD.CE1AB,CFLAD,

CF=CE,4DFC=乙BEC=4BEC=90°,

???AC=AC,

???Rt△AFC三RtAzlEC(HL),

■.AF=AE,

■：4FDC+/.ADC=180°,/.ADC+ZB=180°,

???Z.FDC=(B,

???乙DFC=^BEC,CF=CE,

.*.△FDC三△EBC(AAS),

??.DF=BE,

AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE,

???2AE=AB+AD；

(2)解：???DF=BE,BE=3,

DF=3,

??.AE=4F=40+DF=4+3=7,

???48+=7+3=10,

故答案為：10.

【題型3作兩邊的垂線】

【例3】如圖，在四邊形ABC。中，8。是它的對(duì)角線，AD=CD,若平分乙4BC,乙4=119。，貝Ij/DCB的

度數(shù)為()

C.60°D.59°

【答案】B

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理

是關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)。作。垂足分別為瓦F,證明三Rt2\COF(HL),即可得到答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作。E1840FL8C,垂足分別為瓦F,

：.DE=DF.

Z,BAD=119°,

：.Z.DAE=180°-乙BAD=61°,

*：AD=CD.DE=DF,

，Rt△ADEmRt△CDF(HL),

:.乙DCB=^DAE=61°,

故選：B

【變式3-1］如圖，在A4BC中，4。是它的角平分線，AE是它的中線，AB=5,4C=3,BC=7,貝口。長(zhǎng)

為()

【答案】C

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，掌握角平分線的性質(zhì)定理，等高的三角形面積的計(jì)算方法是關(guān)

鍵.

如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG14B于G,川/_1.4(7于//,等亞=翌=J,f,BD=占由中點(diǎn)得到BE=g根據(jù)

SACADAC3DC382

DE=BD-DE=BD-BE=---=［即可求解.

828

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DG于G,DHJ.AC于H,

???40平分4B4C,DGLAB,DH1AC,

：.DG=DH,

.S^BAD_竺_5

S^CADAC3

.BD_5

"DC~3f

???BC=7,

???BD=—,

8

4E是AABC的中線，BC=7,

7

??.BE=

2

77

：.DE=BD-BE=

828

故選：c.

【變式3-2】如圖，在A4BC中，BO,C。分另（j平分N4BC,zXCB,。。1BC于點(diǎn)。.若。。=3,AABC的面

積是50,則△ABC的周長(zhǎng)為（）

A

A.—B.25C.—D.50

33

【答案】c

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，連接。力，作。E14B于E,。尸14(?于尸，由角平分線的性質(zhì)定理

可得05=。。=3,。/=。。=3,再結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可得解，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是

解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接。4作。E14B于E,。尸14C于F,

,:BO,C0分另IJ平分"IBC,^ACB,0D_L8C于點(diǎn)。，0D=3,

J.OE=。。=3,OF=0D=3,

ABC的面積是50,

,.SAOAB+S^OBC+SAO4c=50,

111

：.-AB■OE+-BC-OD+-AC-OF=50,

222

：.3AB+3BC+3AC=100,

：.AB+BC+AC=^,即△ABC的周長(zhǎng)為詈，

故選：C.

【變式3-3】已知。M是乙4OB的平分線，P是射線0M上一點(diǎn)，點(diǎn)C,。分別在射線。40B上，連接PC,PD.

(2)如圖②，點(diǎn)C,。分別在射線。力,。8上運(yùn)動(dòng)，且乙40B=90°.當(dāng)乙PCO+乙PDO=180°時(shí),PC與P。在(1)

問(wèn)中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)PC=PD

(2)成立，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可作出判斷；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作PE10B于E,「91。。于凡如圖，可得PF=PE,根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)得出NPC。=NPDE,證

明△PFC=△PED(AAS),進(jìn)而得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：PC104PD，OB,OM是N40B的平分線，

???PC=PD；

故答案為：PC=PD；

(2)解：成立，理由如下：

?.?。時(shí)是乙4。8的平分線，

???PF=PE,

???乙PCO+乙PDO=180°,4PDO+"DE=180°,

???Z.PCO=乙PDE,

(Z.PFC=乙PED

在^P尸。和4PED^IAPCF=Z.PDE

、PF=PE

PFC三△PED(AAS),

??.PC=PD.

【題型4尺規(guī)作角平分線】

【例4】尺規(guī)作圖：已知點(diǎn)N和乙408.

(1)畫(huà)直線MN；

(2)在直線MN上求作點(diǎn)P,使點(diǎn)P至上40B的兩邊的距離相等.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】此題考查了作直線，尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

(1)根據(jù)直線的定義求解即可；

(2)尺規(guī)作出乙4。8的平分線與MN交于點(diǎn)P即為所求.

【詳解】(1)如圖所示，直線MN即為所求；

(2)如圖所示，點(diǎn)尸即為所求；

備用圖

(1)尺規(guī)作圖：作ABAC的平分線AD交BC于點(diǎn)。(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

(2)若4B=8,AC=6,ATlBD的面積為12,求△ABC的面積

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)21

【分析】本題考查了作圖一角平分線，角平分線的性質(zhì)，三角形面積，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距

離相等是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的作法作圖即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。作DF1AB、DE，AC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到DF=DE,再根據(jù)三角形面積公式，求得DE=

DF=3,再由S-BC=S^ABD+SAACD，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，射線4。即為所求：

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DF_LAB交力B與點(diǎn)尸，作DE1AC交4c與點(diǎn)E,

A

DF=DE,

???△48。的面積為12,

11

：.-AB-￡)F=-x8x/)F=12,

22

1.OF=3=DE,

=8,AC=6,

*',^LABC~^LABD+S^ACD=12+3AC,DE-12+-x6x3=21.

【變式4-2］如圖，已知在△ABC中.

(1)分另M乍NB，NC的平分線，它們交于點(diǎn)。(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

(2)當(dāng)乙4=60。時(shí)，乙8。。的度數(shù)為.

(3)當(dāng)乙4=a時(shí)，用含a的代數(shù)式表示N80C的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)120°

(3)90°+|a

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí).

(1)根據(jù)作角平分線的方法按要求作出圖形即可；

(2)利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出NOBC+NOCB,可得結(jié)論；

(3)利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出NOBC+NOCB,可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：圖形如圖所示；

(2)

A

解：?.Z=60。，

?./.ABC+AACB=180°-〃=120°,

?；8。平分〃3。，CO平分NZCB,

:.乙OBC+乙OCB=^ABC+^ACB=1(zXBC+Z.ACB)=60°,

:.乙BOC=180°-(ZOBC+NOCB)=120°,

故答案為：120。；

(3)解：：乙4=a,

：./.ABC+Z.ACB=180°一4力=180°-a,

'：BO^^ABC,C。平分N4CB,

-11-1-1

J./.OBC+Z.OCB^-/LABC+-/.ACB=±(N4BC+N力CB)=90°--a,

Z.BOC=180。-(NOBC+ZOCB)=90°+).

【變式4-3］如圖，在△力8C中，用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺在A3上方作4PBA=^NC.(保留作圖痕跡，不要求

寫(xiě)作圖過(guò)程)

【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖以及作一個(gè)角等于已知角，先作NBC4的角平分線，得出ABCN=

l^BCA,再結(jié)合作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖過(guò)程，得乙PBN=LBCN,故NPBa=(NBCA,即可作答.

【詳解】解：如圖，NPB4即為所求.

【題型5證角平分線】

【例5】如圖，NB=NC=90。，M是BC的中點(diǎn)，DM平分乙4DC.求證：4M平分N￡MB.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

過(guò)M作ME14D于E,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出ME=MC=MB,再根據(jù)角平分線的判定即可.

【詳解】證明：過(guò)/作ME14D于￡,

MEVAD,

：.MC=ME,

為BC的中點(diǎn),

：.BM=MC=ME,

"：LB=90°,MELAD,

.MM平分NDAB.

【變式5-1］如圖，BE=FD,CELAB于點(diǎn)E,CD1反交所的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡),且BC=FC,求證：AC^BAF

的平分線.

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到Rt△BCE=RtAFCD.

證明Rt△BCEmRt△尸CO得C￡1=CO,可得點(diǎn)。在NB4F的平分線上，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【詳解】證明：?：CE1AB,CD1AF,

：.乙CEB=ND=90°,

在RtABCE和RtAFCD中,

BC=FC

.BE=FD

RtABCE=RtAFCD(HL),

CE=CD,

??,CELAB,CDLAF,

.?.點(diǎn)。在NB4F的平分線上,

???/C是484F的平分線.

【變式5-2］如圖，BP是乙4BC內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)。在BP上，連接AD、CD,AD=CD,過(guò)點(diǎn)P作PM1AD,

PN1CD,M,N分別是垂足，且PM=PN,求證：BP平分乙4BC.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定定理，熟練掌握角平分線的判定定理是

解題關(guān)鍵；

先由角平分線的性質(zhì)定理得到乙4DP=乙CDP,再證明AaBDdCBD(SAS),得到N4BP=乙CBP,即可證

明結(jié)論.

【詳解】證明：?.,PM1AD,PN1CD,PM=PN,

DP為乙4DC的角平分線，

.-./.ADP=Z.CDP,

Z.ADB=Z.CDB,

在△43￡＞和4CBD中，

-AD=CD,

Z.ADB=Z.CDB,

,BD=BD,

：.4ABDdCBD(SAS),

???Z.ABP=/.CBP,

???BP平分/ABC.

【變式5-3】如圖：AE1AB,AF1AC,AE=AB,AF=AC,

(1)圖中EC、BF有怎樣的位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論.

(2)連接4M,求證：M4平分NEMF.

【答案】(DEC1BF,證明見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的判定定理，作輔助線構(gòu)造全

等三角形是解題關(guān)鍵.

(1)令48與后。的交點(diǎn)為G,證明AHCESAAFB(SAS),得至ikAEC=AABF,進(jìn)而得出NBMG=乙EAG=90°,

即可得到結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)4作力P_LCE于點(diǎn)P,4QJ.BF于點(diǎn)Q,證明△4CP三△4FQ(AAS),得到力P=4Q,即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)解：EC1BF,證明如下：

令48與EC的交點(diǎn)為G,如圖，

??,AEVAB,AF1AC,

??.Z,BAE+/.BAC=Z.CAF+Z.BAC,即NCZE=Z.FAB,

在和中，

AC=AF

Z-CAE=/.FAB,

、AE=AB

.*.△ACE三△AFB(SAS),

???Z.AEC=4ABF,

???乙AGE=乙BGM,

???4BMG=乙EAG=90°,

???EC1BF；

(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)4作ZPICE于點(diǎn)P,4?18尸于點(diǎn)0,

???△ACE=△AFB,

???Z-ACP=Z.AFQ,

在△4CP和/FQ中,

AAPC=AAQF

乙4cp=/.AFQ，

.AF=AC

：.LACP三△AFQ(AAS),

??.AP=AQ,

又AP1ME,AQ1MF,

.-.M4平分NEMF.

【題型6角平分線的判定與性質(zhì)綜合】

【例6】如圖，在AABC中，NG4B=50。，點(diǎn)D在AABC的外部，且力。平分NB4C,過(guò)點(diǎn)D作。E14C,交4C的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DF1BC,交BC于點(diǎn)F,連接BD.若NBCE=104。，DE=DF,求ADBC的度數(shù)

【答案】63°

【分析】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，連接CD,過(guò)點(diǎn)。作DG14B,交4B的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)G,證明CD平分NBCE,BD平分乙CBG,利用三角形的外角性質(zhì)求得N2BC=54。，進(jìn)一步計(jì)算即可求

解.

【詳解】解：如圖，連接CD,過(guò)點(diǎn)。作DG14B,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

DF1BC,DE=DF,

CD平分4BCE,

???4。平分NB4C,

DE1AC,DG1AB,

???DE—DG,

DF=DG,

???BD平分乙CBG,

???乙ABC=乙BCE-CAB=104°-50°=54°,

??.Z,CBG=180°-/-ABC=126°,

.-.乙DBC=-/.CBG=63°.

2

【變式6-1］如圖，BP,CP分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角及一個(gè)外角的平分線，PQ1AC,垂足為點(diǎn)。，連接4P.

⑴若血IC=60°,求NPAC的度數(shù);

(2)設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,求線段4Q、CQ的長(zhǎng)度(用含a,b,c的式子表不).

【答案】(1)60°

(2)4Q=手，”=亨.

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定;

(1)過(guò)點(diǎn)P作PE14B,PF1BC,垂足分別為E,F.根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PE=PQ,進(jìn)而可得4P平分

/.CAE,即可求解；

(2)證明△EBPmAFBP得出BE=BF.同理可得.AE=AQ,CQ=CF.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)P作PEL力B,PF1BC,垂足分別為E,F.

BCF平分4&BC,CP平分Z71CD,PQLBD,

：.PE=PF,PQ=PF.

：.PE=PQ.

???4P平分NC4E.

???ABAC=60°,

1

.-./.PAC=-z.CAE=60°

2

(2)BP平分”BC,

???Z.ABP=Z.CBP.

PE1AB,PF1BC,

???Z-E=乙PFB.

BP=BP,

EBP=△FBP.

BE=BF.

同理可得.AE=AQfCQ=CF.

???c+AQ=a+CQ,AQ+CQ=b.

a+b-cb+c-CL

,e,ZQ=，CQ=

22

【變式6-2］如圖在△ABC中，點(diǎn)。在BC邊上，NBA。=40。,N力BC的平分線交4c于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF1AB,

交B力的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且NAEF=20°,連接DE.

⑴求證：DE平分N4DC；

(2)若AB=6,AD=5,CD=7,且&4co=12,求△ABE的面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵雇謝=6.

【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)過(guò)點(diǎn)E作EG14D于點(diǎn)G,EH1BC于點(diǎn)H,由BE是乙4BC的平分線，得到EF=EH,再證明AE是NF2G

的平分線，得到EF=EG,進(jìn)而得到EG=EH,即可得出結(jié)論；

(2)由SAACD=",得至嚀CO?EH+.D-EG=12,求出EF=EH=EG=2,即可求解.

【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)E作EG12。于點(diǎn)G,EHLBC于點(diǎn)、H,如圖：

：.EF=EH,

\'Z.AEF=20°,4尸=90°,

：.^FAE=90°-20°=70°,

/.GAE=180°-/.FAE-/.BAD=70°,

：.^GAE=乙FAE,

.?.4E是NF4G的平分線，

又.：EGA.AD,EF1AB,

：.EF=EG,

：.EG=EH,

又：EGLAD,EH1BC,

."E平分N2DC；

(2)解:如圖：

11

：.-CD-EH+-ADEG=12,

22

*：AD=5,C0=7,EH=EG,

：.-x7xEG+-X5XEG=12,

22

解得：EH=EG=2,

：.EF=EH=2,

S^ABE=ji4S-EF=|x6x2=6.

【變式6-3】如圖，在△4BC中，點(diǎn)。在BC邊上，Z.BAD=110°,8E平分N4BC交4C于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF14B

交B力的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且NAEF=55°,連接DE.

⑴求NC4D的度數(shù)；

(2)求證：DE平分“DC；

(3)若4。=4,CD—8,且SAACD=15,求EF的長(zhǎng).

【答案】⑴35。

(2)見(jiàn)解析

熊

【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性

質(zhì)，三角形面積公式，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵.

⑴根據(jù)垂直得到乙4FE=90°,利用三角形外角的性質(zhì)得到NB4E=145°,再根據(jù)NB4E=4BAD+ACAD,

即可求出NC4D的度數(shù)；

(2)過(guò)點(diǎn)￡作EG_LAD,EH1BC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=EG,EF=EH,進(jìn)而得到EG=EH,再

根據(jù)角平分線的判定定理即可證明結(jié)論；

(3)根據(jù)三角形的面積公式求出EH=],再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】⑴解：:EFLAB,

：.ZF=90°,

???/.AEF=55°,

???^BAE=ZF+^AEF=90°+55°=145°,

???匕BAE=乙BAD+^CAD,匕BAD=110°,

??.Z.CAD=/.BAE-4BAD=145°-110°=35°；

(2)證明：過(guò)點(diǎn)石作EGI/O交40于點(diǎn)G,EHJ.BC交BC于點(diǎn)H,

F

^AEF=55°,

???"”=90。-55。=35。，

由(1)可知，Z-EAF=/.CAD=35°,

???4E平分4B4O,

???EF1AF,EG1AD,

??.EF=EG,

???BE平分乙ZBC,EF1BF,EH1BC,

??.EF=EH,

??.EG=EH,

???EGlADfEH1BC,

OE平分NZOC；

(3)解:,?,S〉A(chǔ)CD=15,

，?^LADE+SMDE=15，

.'.-AD-EG+-CD-EH=15,

22

???AD=4,CD=8,EG=EH,

.1x4?EH+Zx8,EH=15,

22

155

EH=—=一,

62

5

EF=-.

8串知識(shí)識(shí)框架

(1)以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N.

(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在/AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.

(3)畫(huà)射線OC.射線OC即為所求.

作已知角

的平分線

依據(jù)

構(gòu)造△OMaONC(SSS)

8過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，分別交AC、4B于點(diǎn)M、N,

再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線2P交邊BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在

邊48上，連結(jié)。E,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.AM=AN

B.連結(jié)PM、PN,根據(jù)SAS可判定△AMP三AANP

C.ACAD=ABAD

D.DE的最小值是DC的長(zhǎng)

【答案】B

【分析】本題考查作圖一基本作圖、全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)，由作圖過(guò)程可得，AM=AN,MP=

NP,可得△AMP三△4NP(SSS),即可判斷A,B選項(xiàng)；由作圖過(guò)程可知，射線4P為NB4C的平分線，可得

^CAD=/.BAD,即可判斷C選項(xiàng)；由題意知，當(dāng)DEIAB時(shí)，DE取得最小值，此時(shí)結(jié)合角平分線的性質(zhì)

可得CD=DE,即DE的最小值是DC的長(zhǎng)，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解：連接PM,PN,

NP,

"：AP=AP,

：.AAMP三AANP(SSS),

.?.根據(jù)SSS可判定A4MP=AANP,

故A選項(xiàng)正確，不符合題意，B選項(xiàng)不正確，符合題意;

由作圖過(guò)程可知，射線4P為NB4C的平分線,

J.Z.CAD=乙BAD,

故C選項(xiàng)正確，不符合題意;

由題意知，當(dāng)DE_L4B時(shí)，DE取得最小值,

為N84C的平分線，4c=90°,

二此時(shí)CD=DE,

即DE的最小值是DC的長(zhǎng),

故D選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選:B.

2.如圖，AP平分NQ4B,PD14C于點(diǎn)。，若PD=4.5,點(diǎn)E是邊4B上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于線段PE敘述正確的是

()

PE>4.5C.PE<4.5D.PE>4.5

【答案】D

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了垂線段最短.過(guò)

產(chǎn)點(diǎn)作PHLZB于H,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PH=PO=4.5,然后根據(jù)垂線段最短可對(duì)各選項(xiàng)

進(jìn)行判斷.

【詳解】解：過(guò)尸點(diǎn)作PH1AB于H,如圖,

C

D

HB..AP平分NC42,PD1AC,PH1AB,

PH=PD=4.5,

點(diǎn)E是邊4B上一動(dòng)點(diǎn)，

根據(jù)垂線段最短可知：PE>4.5.

故選D.

3.如圖，在ANBC中，AB+AC=18,力。平分ABAC,DE1于點(diǎn)E.若。E=4,貝IU48C的面積為()

【答案】D

【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是采用面積的割補(bǔ)法.

如圖，過(guò)。作。尸，AC于F,利用角平分線的性質(zhì)可以證明DE=DF,然后利用三角形的面積公式即可求解.

【詳解】解：過(guò)。作DF14C于F,

V40平分NBAC,DE1AB于點(diǎn)E.

DE=DF,

S&4BC=S4ABD+S—DC

11

=-xDExAB+-xDFxAC

22

1

=-xDE{AC+AB}

又「AB+AC=18,DE=4,

??.△ABC的面積為：|x4x18=36

故選：D.

4.如圖，在△ABC中，。是C8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，乙4cB與乙4BD的角平分線交于點(diǎn)E,連接4E.若要求N84E的

度數(shù)，只需要知道下列哪個(gè)角的度數(shù)()

Ey

DRc

A./.ABCB./.ACBC.Z.BACD.乙AEB

【答案】C

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)和判定，作于點(diǎn)H,EF14B于點(diǎn)F,EGJ.4C交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，推出EF=EG,進(jìn)而得到4E平分NB力G,得到NB4E=jzBAG=|(180°-NB4C),

即可得出結(jié)果.

【詳解】解：作EH1BD于點(diǎn)H,EF14B于點(diǎn)F,EG，4C交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

DHR,

力CB與N4BD的角平分線交于點(diǎn)E,

：.EH=EF,EH=EG,

：.EF=EG,

.XE平分/BAG,

-11

4BAE=j/.BAG=j(180°-ZS4C),

.?.只需要知道NB4C的度數(shù)即可求出NB4E的度數(shù);

故選C.

5.如圖，AABC的角平分線為4D,過(guò)點(diǎn)。作DF14B,垂足為RE是線段BC的中點(diǎn).若S“EC=6,DF=2,

AC=7.5,則AABD的面積是()

A.3.5B.4C.4.5D.5

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和三角形中線性質(zhì)，作。于H,先利用角平分線的性質(zhì)得到

DF=DH=2,由二角形中線可知SAABC=2sA4EC=2X6=12,再根據(jù)SMBD+^AACD=S—BC即可得.

【詳解】解：如圖，作DH147于H,

???4D平分NB力C,DF1AB,DHX.AC.DF=2,

DF=DH=2,

???E是線段BC的中點(diǎn)，

,SAABC_2sAAEC=2X6=12

,?SAABD+S^ACD=S448c=12，

■:S^ABD+^4。?DH=S“Be，

,,SAAB。+5X7.5x2=12

解得：S^ABD=4.5,

故選：C.

6.如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AD平分NB4C交BC于點(diǎn)D,E為線段4C上一點(diǎn)，連接OE,且NB=MED.若

AB=16,CE=7,貝"E的長(zhǎng)為；

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形全等的判定與性質(zhì)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解

題關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)。作DF,48于點(diǎn)F,先證出AB。尸三AEDC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得=CE=7,從而

可得力尸=9,再證出RtA4CDmRtAAFD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=AF=9,然后根據(jù)4E=AC-

CE求解即可得.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DF于點(diǎn)F,

：.DF=DC,

在ABOF和AEDC中,

2BFD=ZC=90°

乙B=Z-CED,

、DF=DC

：.△BDF=AEDC(AAS),

：.BF=CE=7,

u：AB=16,

：.AF=XB-BF=16-7=9,

在Rt△ZC。和Rt△AFD中,

(AD=AD

I。。=DF'

???Rt△ACD=RtA”O(jiān)(HL),

：.AC=AF=

：.AE=AC-CE=9-7=2,

故答案為：2.

7.如圖，△ABC的外角"AC和乙4CE的平分線相交于點(diǎn)M,點(diǎn)M到BE的距離為4.若=7,BC=9,則

四邊形/8CM的面積為.

【答案】32

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.如圖，過(guò)點(diǎn)M作

MF1BE^F,MGMH1BD于H,連接BM,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出MF=MG=M”=4,

根據(jù)S四邊形/BCM=S-BM+S^cBM，結(jié)合二角形面積公式即可得答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作于F,時(shí)614。于6,MH1BD于H,連接BM,

???△的外角"4C和乙4CE的平分線相交于點(diǎn)M,點(diǎn)M到BE的距離為4,

：.MF=MG=4,MG=MH,

：.MH=4,

二S四邊形.CM=SUBM+SMBM=548,MH4--MF,

9CAB=7,BC=9,

二.S四邊形謝M=-x7x4+-x9x4=32.

故答案為：32

8.如圖，在AABC中，AB=2,BC=3,BD是乙48c的平分線，如果AABC的面積為|,那么ADBC的面

積為.

【答案】2/0.9

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)。分別作4B,8c的垂線，垂足為E、F,由角平分線的性質(zhì)

可得DE=DF,則可證明一=某=：據(jù)此求解即可.

'△CBDBC3

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。分別作2B,的垂線，垂足為￡、F,

AE

〈BO是448c的平分線，DELAB,DF1BC,

：.DE=DF,

?.S“BD_lABDE_AB_2

?—I———,

S^CBD；BC-DFBC3

.39

,?SACBD=^^SA4BC—G，

故答案為；總.

9.如圖，在銳角三角形4BC中，ABAC=60°,BE,CD分另ij為△力BC的角平分線.BE,CD相交于點(diǎn)F,FG平

分乙BFC,已知BD=3,CE=2,ABFC的面積=2.5,求△BCD的面積=.

【答案】4

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)尸作FN1BC于點(diǎn)N,FM1于點(diǎn)M,

根據(jù)角平分線性質(zhì)定理求出=FN,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角定義、角平分線定義求出NBFD=

60°=乙BFG,利用ASA證明△BDF三4BGF,△CEFdCGF,貝=BG,CE=CG,BC=BG+CG=BD+

CE=5,根據(jù)三角形面積公式求出FN=1=FM,S^BDF=沙?FM=|,再根據(jù)△BCD的面積=S.DF+

SABFC求解即可，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作FN1BC于點(diǎn)N,FM14B于點(diǎn)M,

???ABFC=180°-(NEBC+乙DCB)=120°,

.-./.BFD=60°,

???FG平分NBFC,

.-.乙BFG=-ABFC=60°=乙DFB,

2

在和△BGF中，

Z.BFD=Z-BFG

BF=BF,

ZDBF=Z.GBF

BDFBG尸(ASA),

BD=BG,

同理可得aCEF=△CGF(ASA),

??.CE=CG,

??.BC=BG+CG=BD-VCE,

vBD=BG=3,CE=CG=2,

??.BC=5,

???△8尸。的面積=2.5,

-1

???-BC-FN=2.5,

2

??.FN=1,

???FM=1,

???SABDF=.FM3X3X1=i

BCD的面積=S4BDF+S^BFC=4,

故答案為：4.

10.如圖，在四邊形4BCD中，AB||DC,<DAB的平分線交BC于點(diǎn)E,DE1AE,若4。=12,BC=8,則

四邊形力BCD的周長(zhǎng)為.

DC

【答案】32

【分析】本題考查全等三角形、平行線和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

延長(zhǎng)力B、DE相交于點(diǎn)F,根據(jù)得到DE=EF,AD=AF,再證明△DECSAFEB得至！JDC=BF,從而推算出

四邊形2BCD的周長(zhǎng)等于24。+BC；

【詳解】解：延長(zhǎng)4B、DE相交于點(diǎn)尸，

Z.DAE=Z.FAE,

DE1AE

???/,AED=Z.AEF=90°,

AE=AE,

△AED=△AEF,

DE=EF,

AF=AD=12,

???AB||DC,

Z.CDE=乙EFB,

2CDE=乙EFB

???DE=EF,

/DEC=乙FEB

△DEC=△FEB,

DC=BF,

???AB+DC=AB+BF=AF=12,

???四邊形/BCD的周長(zhǎng)為40+ZB+BC+OC=AO+4F+BC=12+12+8=32；

故答案為：32

11.如圖，△ZBC中，^BAC=90°,AD1BC,垂足為D

A

(1)求作N&8C的平分線(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；)

(2)若乙48c的平分線分別交2D,2C于P,Q兩點(diǎn)，證明：4APQ=UQP.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查角平分線尺規(guī)作圖，角平分線定義，同角的余角互余等.

(1)根據(jù)題意以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交B4BC于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)長(zhǎng)的一

半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，再連接B和兩弧的交點(diǎn)，即為N4BC的平分線；

(2)根據(jù)題意利用角平分線定義可得NBPD+乙PBD=90°,后得到N8PD=^AQP,繼而得到本題答案.

【詳解】(1)解：以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交B4BC于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)長(zhǎng)

的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，再連接8和兩弧的交點(diǎn)，如下圖即為乙4BC的平分線：

???乙ADB=90°,

.-.乙BPD4-Z.PBD=90°.

???Z.