第05講正、余弦定理解三角形

內(nèi)容導(dǎo)航

冊串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點(diǎn)，有的放矢

「重點(diǎn)速記：知識點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

,舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

@復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

知識點(diǎn)01正、余弦定理和三角形面積公式

1、正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

abci

公式,..—2RZ?2=c2+tz2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abeosC

.b1+C1-a

cosA=----------；

⑴a=2RsinA,Z?=2HsinB,c=27?sinC；2bc

c2+a2-b2

常見變形(2)sinA=—,sinB=——，sinC=—；cosB=----------；

2R2R2Rlac

a2+b2-c2

cosC=----------.

lab

2、三角形面積公式：

S.ABC=—absinC=—bcsmA=—acsinB

A222

S^ABC=^=^a+b+cYr。是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算上r.)

nhc

注：(1)已知兩角A,B與一k邊4,由A+5+C=7T及3.R=「可先求出角。及4再求出C.

sin/isinDsin

(2)已知兩邊6,c及其夾角A,由a2=〃+c2—2bccosA,先求出a,再求出角8,C.

(3)已知三邊a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.

Z7h

(4)已知兩邊a,b及其中一邊的對角A,由正弦定理可求出另一邊6的對角8,由C=TC—(A+8),

Sillr\SillD

可求出角C,再由焉=/>可求出c，而通過高=后求角8時(shí)，可能有一解或兩解或無解的情況.

SillSillSillziSillD

知識點(diǎn)02公式的相關(guān)應(yīng)用

1、正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:6:c=sin4:sin3:sinC

②大邊對大角大角對大邊

aA>6osinA>sin60cosAvcosb

③合分比：—“+6+c—="+6=…=a+c=4=上=二=2/?

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsin3+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

2、AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=^

@sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin3oc=acosB+bcosA

②—cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB；

3、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選

擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

(1)若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

(2)若式子含有。，瓦c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

(3)若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

(4)代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

(5)含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到A+3+C=".

4、三角形中的射影定理

在AABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

知識點(diǎn)03對三角形解的個(gè)數(shù)的研究

1、己知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

2、己知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三

角形不能被唯一確定.

3、從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知

a力和A,解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

（1）若$山8=她上>1,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

a

（2）若sin左典幺=1,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

a

（3）若sin8=^Ul<l,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

a

顯然由0<sinB=E4<l可得2有兩個(gè)值，一個(gè)大于90。，一個(gè)小于90。，考慮到“大邊對大角”、“三

a

角形內(nèi)角和等于180?！钡?，此時(shí)需進(jìn)行討論.

知識點(diǎn)04測量問題的基本類型和解決思路

1、解三角形的實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

(4)坡角與坡度

(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角。為坡角).

(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，，為坡度).坡度又稱為坡比.

2、測量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)A8的長度不可直接測量時(shí)，求A8的距離有以下三種類型:

類型簡圖計(jì)算方法

A,B間不可達(dá)測得AC=6,BC=a,C的大小，則由余弦定理

也不可視得48=y/a2+b2—2abcosC

C

測得3C=〃，B,。的大小，則A=7i-(3+0,

8,C與點(diǎn)A可—----J-__-_---

由正弦定理得asinC

視但不可達(dá)151______u“"sin(8+C)

BaC

測得CD=aRZBDC,ZACD,ZBCD,ZADC

.B

CQ與點(diǎn)A,B的度數(shù).在AACD中，用正弦定理求AC；在

均可視不可達(dá)△8CO中，用正弦定理求BC；在△ABC中，

—Z---1用余弦定理求AA

CaD

3、測量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)A8的高度不可直接測量時(shí)，求A8的高度有以下三種類型:

類型簡圖計(jì)算方法

A

底部上

測得3C=Q,C的大小,AB=a-tanC.

可達(dá)

Ca3

達(dá)

底

A

部點(diǎn)8與測得CD=a及NACB與的度數(shù).

不一「

//

可CQ共///，先由正弦定理求出AC或AQ,再解直角三角

////，，，，，，，天

aDB

線形得A8的值.

A

點(diǎn)8與」一測得CD=a及NBCD,/BDC,NACB的度數(shù).

C,D不----------/八一在△8C。中由正弦定理求得BC,再解直角

二/

共線2-?^——三角形得AB的值.

---A

CaD

4、測量角度問題的解決方案

測量角度問題主要涉及光線（入射角、折射角），海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問題涉及方向角、方

位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖

形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

>>>核心考點(diǎn)舉一反三<<<

【考點(diǎn)一：正、余弦定理求三角形的邊與角】

一、單選題

1.（24-25高一下?云南?期中）在VABC中，BC=2,A8=4,cosC=L，則AC的值為（）

4

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合余弦定理直接求解即可.

【詳解】在VABC中，a=BC=2,c=AB=4,cosC=c2=a2+b2—2abeosC,

4

即16=4+廿一4人x,，化簡得〃一8_i2=0,

4

解得匕=4或6=-3（不合題意，舍去），

,-.b=AC=4,

故選：C.

2.（24-25高一下?吉林?期中）在VABC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知“=應(yīng)，b=43,

7T

B=5,則角A為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理得SEA考，再由小邊對小角得解.

【詳解】因?yàn)閍=0,b=超,B*,

b

根據(jù)正弦定理二則sinA.71，

sinAsin8sin—

3

得sinA=苧，Ae(O,7i),

所以A弋或公學(xué),

TT

因?yàn)閍<Z?,所以A<8=§,

所以T.

故選：c

jrS

3.（24-25高一下?山東淄博?期中）在VABC中，角A,氏。的對邊長分別為。也。.若A=：,cos5=M=13,

41737

貝S（）

A.17B.7C.34D.13

【答案】A

【分析】由兩角和的正弦公式求得sin。，再結(jié)合正弦定理即可求解.

512

【詳解】由cos3珠，易得sin5=||,

V25V21217A/2

由sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-------X--------1---------X——=-------------

21321326

1217直

13x-------

asinC

由正弦定理一j可得c=4=17

smAsinCsinAV2

2

故選:A

4.（24-25高一下?江蘇南通?期中）在等腰直角VABC中，2B90?,點(diǎn)瓦廠將AC三等分，則tanNEBF=

B.324

C.D.

84

【答案】C

【分析】設(shè)84=BC=1,易得AE=EF=FC=也,再應(yīng)用余弦定理求cos/硬尸，由同角三角函數(shù)關(guān)系求

3

其正切值.

【詳解】設(shè)朋=3C=1,貝！IAC=3，則AE=EF=FC=#,

2255

故BE2=AB2+AE2-2ABAEcos45°=l+------同理3/,

9399

RF?+RF?_PF243

所以cosZE2P=-----------------------=-,X00<ZEBF<90°,貝！|cos/EBf=—,

2BEBF55

3

所以tanNE3f=-.

4

故選：C

二、解答題

cosRb

5.(24-25高一下?河北邢臺(tái)?期中)在VA5C中，?,,c分別是角A,B,C的對邊，且一二=

bcosC2a+c

(1)求B的大??；

(2)若b=a+c=5,求。的值.

【答案】⑴2

(2)。=2或。=3

【分析】(D根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合三角恒等變換可得解;

(2)利用余弦定理列方程，解方程即可.

【詳解】(D由已知陰=b

cosC2a+c

根據(jù)正弦定理可得坐sin5

2sinA+sinC

即2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC,

貝（）2sinAcosB=—sinBcosC—cosBsinC=-sin（B+C）,

又在VABC中，sin（B+C）=sinA,

即2sinAcosB=-sinA,

又A?0,7i）,sinAwO,所以2cos6=-1,cos5=—；,

由5￡(0,兀)，所以5=(；

(2)由余弦定理可知〃=4+。2—2QCCOS5,

即19=q2+（5-〃）-2a（5-〃）?I

即a2-5a+6=0,

解得a=2或。=3.

6.（24-25高一下?天津?期中）已知VA3C的內(nèi)角A&C所對的邊分別為K久c,a=2g涉=3,且滿足

b-asinB-sinC

csinA+sinB

（1）求角A的值;

⑵求sinf2B+瑩的值.

【答案】（1）A=5

“、3同-1

\^)------------------

16

【分析】（1）先由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化結(jié)合余弦定理計(jì)算求解;

（2）先應(yīng)用二倍角公式結(jié)合兩角和差正弦公式計(jì)算求解.

【詳解】（1）因?yàn)轶?sinf-sin：

csinA+sinB

b—ab—c

由正弦定理可得

ca+b9

整理得〃+02—a2=bcf

h1-L-C22

由余弦定理可得cosA=￡-abe1

2bc~2bc~2f

且A￡(0,7i),所以A=1.

b_a工=莖,.，也。

(2)由正弦定理知sinBsinAsinBV34，

2

又b<a,:.B<A,:.cosB=^~,

4

3手

sin25=2sinBcosB=2x—x=

44~8~

2

-1J,

/.cos2B=2COS2B-1=2X

8

.?71?.7171113721-1

sin2B-\——=sin2Bcos—+cos2Bsin—到L近一__V___—______________

6668282-16

7.⑵-25高一下海南?期中）在VMC中‘內(nèi)角A‘8,C的對邊分別為°，…，已知限6鬻

（1）若。=26，求VABC的外接圓面積;

2

+6cos2B=6,求角C.

【答案】(1)471

(2)C=4或C=F.

1212

【分析】(1)設(shè)VABC的外接圓的半徑為R,由條件利用正弦定理化邊為角可得

y/3sinCsinB=sinA+>/3cosCcosB,化簡可得tanA=g,由此可求R,再求VABC的外接圓面積；

(2)由正弦定理化邊為角，結(jié)合(1)可得sin8sinC=J,利用三角恒等變換公式可得tan2c=立，結(jié)合

43

角的范圍及特殊角三角函數(shù)值可得結(jié)論.

(

【詳解】(D設(shè)VABC的外接圓的半徑為R,由正弦定理可得一j1=——h=——c=2R,

sinAsinBsinC

所以a=27?sinA,b=27?sinB,c=2RsinC,

在VABC中，>/3csinB=6?+73C°S—,

tan3

可得V3x27?sinC-sin2=2RsinA+g2"sm"c°sC,ytanB=

tanBcosB

由16sinCsin3=sinA+百sinC

所以sm次

cosB

所以\/3sinCsinB=sinA+A/3COSCCOSB

所以百(sinBsinC-cosCcosB)=sinA,

所以一石cos(B+C)=sinA,

JfffA=TT-B-C,所以括cosA=sinA,即tanA=若，

TV

因?yàn)锳為VA6C內(nèi)角，所以O(shè)VAVTI,所以A=]

2R--2G-4

所以sinA—在，故R=2,

~2

所以外接圓的面積為S=TIR2=4兀,

(2)由]'I+6cos2B=69可得g=6-6cos25=12sin25,

在VABC中，由正弦定理得其4=i2sii?B,由(1)A=g

sinC3

所以sin5sinC=」,

4

因?yàn)锽=^-TI-C,所以sinCsinf--C>l=—sin2C+^-sinCcosC=—,

3I3J224

所以！(1-cos2C)+迫sin2C=L

444

貝!Icos2c=百sin2C,得tan2c=

V2CG(°!T,「.2。=］或2C=等

o6

?"堵或

【考點(diǎn)二：判斷三角形形狀】

一、單選題

1.（24-25高一下?湖北?期中）設(shè)VABC的面積為S,角A,氏C所對的邊分別為a,b,c,且sinC=&sinB，

若元?屈=25,則此三角形的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)衣?通=25計(jì)算得出角A,因?yàn)閟inC=0sin3利用正弦定理和余弦定理得到。=6,從而判

斷三角形形狀.

【詳解】因?yàn)橐?荏=2Sf所以bccosA=2x^bcsinA,

貝！|tanA=l,因?yàn)锳?（U）,所以A=：,

又sinC=V2sinB，所以c=41b，

由/=尸+c?一2bccosA,所以。=6,a2+b2=c21

所以VABC為等腰直角三角形.

故選：D.

2.（24-25高一下?全國?課堂例題）在VABC中，角A,8,C所對的邊分別為。，b,c,>Z?2+a2=c2+ab,

若sinAsinB=sin?C,則三角形的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】先由余弦定理和已知得到C=；,再由正弦定理得油=02,代入得到。=6即可判斷三角形形狀.

【詳解】在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且k+/=02+必，

則cosC="+'-c2=也=」.由于0<C<兀，故。=g.

2ab2ab23

由于sinAsinB=sin?C,利用正弦定理，得〃/?=，，+a2-lab=0,故。=人,

所以VABC為等邊三角形.

故選：D.

3.（24-25高一下?福建福州?期中）在VABC中，A,3,C的對邊分別為a,6,c,acosA-bcosB^O,貝l|VA3C

的形狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】由正弦定理將邊化角，再由二倍角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】由題可得從osB=acosA,

由正弦定理可得sinBcosB=sinAcosA,

所以/sin23=/sin2A,

又A民A+B?0㈤，貝！12A25?0,2兀）,

所以25=2A或23=兀-2A,

JT

所以5=A或A+3=m，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.

故選：D

sinA+sinB11

4.（24-25高一下?河北滄州?階段練習(xí)）在VA5C中，角A,B,。的對邊分別是。，b,c,且

sinA+sinC9

sinB+sinC_10

則VABC的形狀是（）

sinA+sinC9

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不確定的

【答案】C

【分析】由正弦定理，結(jié)合題意，可得邊的等量關(guān)系與角的不等關(guān)系，根據(jù)余強(qiáng)定理，可得答案.

sinA+sinB11sinB+sinC10a+b11b+c_10

【詳解】因?yàn)樗?/p>

sinA+sinC~9sinA+sinC~9a+c~9a+c9

64

所以/?=m〃，c=—a9易知avcvb,BPA<C<B,

+「2—1

設(shè)。=5左（左〉0）,貝！）Z?=6左，c=4k,貝!）cos3=--------------==—>0,

lac40女28

7T

可得A<C<B<5,所以VASC是銳角三角形.

故選：C.

a2+b2sin（A+B）

5.（24-25高一下?湖北武漢?期中）己知VABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a",c,若'D;

a-bsin（A—

則VABC的形狀是（）

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等邊三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解.

【詳解】由siMA+Z^usinH—C^usinC,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB,

,a2+b2sin(A+B)sinC

rfrnJ-----------------=---------------------------=---------------------------------------------------------

a2-b2sin(A-B)sinAcosB-cosAsinB?

由正弦定理有

sinAcosB-cosAsinBacosB-bcosA

又由余弦定理有“cos+J+

所以acosB-bcosAa2-b2a1—b2>

又//〃，所以VABC是直角三角形但不是等腰三角形.

故選:B.

【考點(diǎn)三：判斷三角形解的個(gè)數(shù)】

、單選題

1.（24-25高一下?廣西河池?階段練習(xí)）在三角形A3C中，a=2,B=6=2百，則NA=（）

A兀兀c兀-P*兀n兀-P.兀

A.—B.—C.一或一D.一或一

626232

【答案】A

【分析】利用正弦定理求角，利用大邊對大角確定角的范圍即可求解.

2百_2

【詳解】由號=告可得：再一擊了，所以sinA=j

sinAsmB2

TT

又b>a,貝！|A<5=

故選：A

2.（2024高一?全國?專題練習(xí)）在VABC中，已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是（）

A.有一解B.有兩解

C.無解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算出sinB,結(jié)合正弦值的范圍判斷.

b_c

【詳解】由正弦定理得

sinBsinC

40x

則Z?sinC

sin3=2=>1'

20

故5不存在，即滿足條件的三角形不存在.

故選：C

3.（23-24高一下?福建南平?期中）在AABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c.己知。=2,b=2g,A==,

6

則此三角形（）

A.無解B.一解C.兩解D,解的個(gè)數(shù)不確定

【答案】C

22^3

【分析】由正弦定理可得17=嬴萬，進(jìn)而可求B,可得結(jié)論.

sin—

6

,2_273r-

【詳解】由正弦定理上7=二，得一^=嬴7，解得初8=也，

sinAsmBsin—2

6

因?yàn)椤?lt;6,所以A<3,

又因?yàn)??0,兀），所以8或3=當(dāng)，

故此三角形有兩解.

故選：C.

TT4

4.（24-25高一下?甘肅白銀?期中）已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,4c,A=：,6=彳，且VA3C有

兩解，貝U。的取值范圍為（）

A.］媼B-C.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件VABC有兩解，計(jì)算求參.

【詳解】因?yàn)閂A5C有兩解，

24

得Z?sinA<a<b,得］<〃<1.

故選：B.

5.（24-25高一下.山東.期中）在VABC中，A=|,=，若滿足上述條件的VABC有且僅有一個(gè)，

則邊長AC的取值范圍是（）

A.（0,73）B.（0,73]C.（0,V3p{2}D.目

【答案】C

【分析】先利用正弦定理得AC=2sin3,再由VABC有唯一一個(gè)得出sin8=l或sinBW且，即可求解.

2

BC_ACy/3

【詳解】在VA5c中利用正弦定理得/工=訴=H=,則AC=2sin3,

T

若滿足上述條件的VABC有且僅有一個(gè)，則sin3=1或sin8V電，

2

貝（IAC=2或0＜ACwg,

則邊長AC的取值范圍是僅,行|口{2}.

故選：C

TT

6.（23-24高一下?湖北孝感?期中）在VABC中，。力,。分別為角A,B,C所對邊，已知4=6,b=x,B=~,

若滿足條件的角A有兩個(gè)不同的值，則x的取值范圍為（）

A.（0,3石）B.（3后+qC.（366）D.（0,6）

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理用x表示出sinA,結(jié)合題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式即可.

ah6=x2r-

【詳解】由正弦定理上7=二，可得sinA一,兀，所以sinA=/m，

sinAsmBsin—x

若VABC滿足條件的角A有兩個(gè)不同的值，即三角形有兩解，

所以則且＜sinA＜l,即立＜罐＜1,解得36〈尤＜6.

3322x

故選：C.

【考點(diǎn)四：證明解三角形中的恒等式與不等式】

一、解答題

1.（23-24高一?上海?課堂例題）在VABC中，求證:

a2+b2sin2A+sin2B

(1)

sin2C

⑵。2+b2+c2=2(Z?ccosA+accosB+abcosC).

【答案】⑴證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(D利用正弦定理邊化角推理即得.

(2)利用余弦定理推理即得.

【詳解】(1)在VABC中，由正弦定理得二=—二=，/=2r，其中R為VABC外接圓半徑,

smAsmBsinC

a2+b2(2RsinA)2+(2Rsin取sin2A+sin2B

所以

c2(27?sinC)2sin2C

221

(2)在VABC中，由余弦定理得a?=〃+。2—2bccosA,BPb+c—a=2Z?ccosA9

|R]SIC?+a?—H=2cacosB，6Z2+Z?2-c2=2abeosC,

所以々2+〃+=2>ccosA+2accosB+2abeosC,

BPa2+Z?2+c2=2(bccosA+accosB+abcosC).

2.(24-25高一下?上海?期中)(1)在VABC中，已知2acos5=c,求證：a=b；

(2)在VA5C中，已知2acos_B+3Z?cosA=c,求證：tanA=—2tanB.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)利用余弦定理化簡即得證；

(2)利用正弦定理化邊為角，根據(jù)和角的正弦公式代入化簡，利用同角的基本關(guān)系式化弦為切即可得證.

【詳解】(1)由2acos3=c和余弦定理，可得2ax"°一"=c,化簡得：a2+c2-b2^c2,即得。=6;

lac

(2)由2優(yōu)osB+3灰x)sA=c和正弦定理，可得2sinAcos3+3sin3cosA=sinC,

因sinC=sin(7i-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

代入上式并整理得：sinAcosB=-2cosAsin

因A3是VABC的內(nèi)角，故cosAwO,cosB^O,

將(*)兩邊同除以cosAcosB,可得tanA=-2tan5.

3.(23-24高一下?河南?階段練習(xí))已知在VABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,sin23=sin反

⑴求&

(2)若a>c,且〃+c=y/3b,證明：a=2c.

【答案】⑴Y

(2)證明見解析

【分析】(D由正弦二倍角公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知進(jìn)行運(yùn)算證明即可.

【詳解】(1)因?yàn)閟in2B=sin_B,即2sin3cos>=sin5,

1-rr

所以cos3=].因?yàn)锽￡(o,兀)，所以3=；；

(2)由余弦定理得cosB=Y±￡l二/，所以‘=>+1一',

lac2lac

^ac^a2+c2-b2.①

a+c

因?yàn)閍+c=J0，所以。=二原.②

將②代入①，得ac=Y+C?-：(。2+2ac+c?),

整理得(a—2c)(2a—c)=0.因?yàn)閍>c,所以a=2c.

4.(24-25高一下?湖南?期中)已知VABC中，瓜inA+cosA=2.

⑴求A；

3

(2)證明：sinBsinC<-.

【答案】（l）A=g

（2）證明見解析

【分析】（1）由輔助角公式化簡即可得解；

（2）由余弦定理及基本不等式得出不等關(guān)系，再由正弦定理即可得證.

【詳解】（1）由輔助角公式可得2sin[A+￡]=2,

即sin（A+P]=l,貝！]4+乙=烏+2防1（左eZ）,

V6）62

又4?0,兀），故A=*

（2）設(shè)VABC中角A,民C的對邊分別為。，瓦c,

由余弦定理且A=1,

b2+c2-a22bc-a2a2

可得cosA=—>-----------=1--------,

22bc2bc2bc

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等,

故4-，

sin2A1

由正弦定理可得-------N一,

2sinBsinC2

又Ag%端菽！即得證.

5.(24-25高一下?河南?階段練習(xí))在VA3C中，角A,8,C所對的邊分別是a,b,c,已知-------------=sin3.

a-b

TT

⑴證明：c=§；

jr

(2)證明：

(3)若點(diǎn)。在線段AB上，ZADC=ZACB,|AD|=2|BD|=2,求a的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

小后+3應(yīng)

2

【分析】(D由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進(jìn)行化簡可求cosC,進(jìn)而求得C,本題得證；

(2)利用反證法證明即可；

(3)由條件可得△M＞CsA4CB,得到體行=|仞卜|山?|,再結(jié)合條件|的＞|=2|即=2及42—02="一〃即

可求得a的值.

【詳解】(1)證明：由正弦定理可得巴二^=6,即/-°2=仍-〃，

a-b

由余弦定理儲(chǔ)4=2abcosC9

得cos0=；，

又0?0,兀)，故C=].

jr

(2)證明：若A=]，則VABC是等邊三角形，則a=b,

而由-------------=sm3可知aw"矛盾，故人。彳，得證.

a—b3

(3)因?yàn)镹ADC=NAC3,ZCAD=ZBACf

所以△ADCs^ACB,

由相似可知|AC「=|"＞卜|他|,

X\AD\=2\BD\=2,

故。=3,&=|AC|=A/6

又a1-c1=ab-H,代入得a2-46a-3=0,

解得a="+3后(負(fù)值舍去)，

2

即a的值為J+3小.

2

【考點(diǎn)五：三角形面積公式的應(yīng)用】

一、單選題

1.（24-25高一下?江西萍鄉(xiāng)?期中）在VABC中，若。=V^,COSA=9,6=

C,則VABC的面積等于（）

6

A153舊153而

A.D.--------C.D.

【答案】D

【分析】利用余弦定理求出再利用三角形面積公式求解.

【詳解】在VABC中，由余弦定理得=Z>2+02—26CCOSA,而a=6,COSA=：,6=c,

o

則3=，解得b2-9>sinA=Jl-cos2A=,

36

所以VABC的面積為SvABc=^6csinA=Lb2sinA=^x9x?="L

VASC22264

故選:D

2.（24-25高一下?浙江?階段練習(xí)）已知VABC的面積為Q,8=m，AB=4,則邊AC的長度為（）

A.3B.4C.V10D.V13

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理求解.

【詳解】因?yàn)镾=：ABBC-sinB=7L可得8c=1,

所以AC=4BC-+AB2-IBC-ABcosB=^12+42-2xlx4x1=V13,

故選:D.