專題12.21三角形全等幾何模型-一線三等角模型（鞏固篇）

（專項(xiàng)練習(xí)）

模型一一線三垂直全等模型

如圖一，ZD=ZBCA=ZE=90°,BC=AC?結(jié)論：RtABDC^RtACEA

模型二一線三等角全等模型

如圖二，ND=NBCA=NE,BC=ACo結(jié)論：△BEC^ZiCDA

一、單選題

1.課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間（如圖），ZACB=

90。，AC=BC,從一:角板的刻度可知A8=20cm,小聰想知道砌墻磚塊的厚度（每塊磚的厚度

相等），下面為砌墻磚塊厚度的平方是（).

A

50、

C.嗎ND.一cm-

1313

2.如圖，AC=CE,/ACE=90°,AB1BD,ED1BD,AB=6cm,DE=2cm,則BD

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

3.已知A￡_L/W且BC上CD旦BC=CD,點(diǎn)E,B,。到直線/的距離分別為6,

3,4,則圖中實(shí)線所圍成妁圖形的面積是（）

A.50B.62C.65D.68

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,3）RAO=BO,NA08=90°貝"點(diǎn)3

5.如圖，已知AB_LBC于B,CDJ_BC于C,BC=13,AB=5,且E為BC上一點(diǎn),

ZAED=90°,AE=DE,則BE=()

6.如圖所示，AC=CD,ZB=ZE=90°,AC±CD,則不正確的結(jié)論是（）

A.AC=BC+CEB.=22

C.AABC^ACEDD.NA與/D互余

7.如圖,NACB=90。,AC=BC,AE_LCE于E,BD_LCE于D,AE=5cm,BD=2cm,則

DE的長是（）

c

8.如圖，直線乙上有三個(gè)正方形mb,c,若a,c的面積分別為1和9,則b的面積

為（）

二、填空題

9.如圖所示，△43C中，/仍=AC,NBAC=90。.直線/經(jīng)過點(diǎn)A,過點(diǎn)8作旌，/于

點(diǎn)、E,過點(diǎn)。作b_L/于點(diǎn)足若BE=2,CF=5,則砂=.

10.已知直線/經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,過點(diǎn)B和點(diǎn)。分別作直線的垂線BM和

DN,垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N,如果3M=5,DV=3,那么點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的距離為.

11.如圖，在等腰RbABC中，AC=/3C,。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且N3CQ=NC4O,若

8=4,則△5C。的面積為.

12.如圖，一個(gè)等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（20=90。），若O4=50cm,

O8=28cm,則點(diǎn)C離地面的距離是____cm.

17.如圖，兩根旗桿間相距12加，某人從點(diǎn)5沿6A走向點(diǎn)A,一段時(shí)間后他到這點(diǎn)

此時(shí)他仰望旗桿的頂點(diǎn)。和。，兩次視線的夾角為90。，且已知旗桿AC的高為

3〃?，該人的運(yùn)動(dòng)速度為LHs,則這個(gè)人運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M所用時(shí)間是________________

18.如圖,在△A5C中,ZACB=90°,AC=5cmfBC=\2cm.動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A—C

的路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從8點(diǎn)出發(fā)沿BTC—A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P和點(diǎn)。分別

以每秒1°”和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).在

某時(shí)刻，分別過點(diǎn)P和Q作PE_LMN于E,Q/U_M/V于￡則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，

△PEC與△。尸C全等.

三、解答題

19.在』8c中，ZACB=90。，AC=8C,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C且于。，I3E1MN

于E.

⑴當(dāng)百線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

?△ADC^ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN燒點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD—BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問。瓜A。、3E具有怎樣的等量關(guān)系？

請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.

20.【問題解決】

(1)已知△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線/上，旦有NBD4:NAECNBAC.如

圖①，當(dāng)NA4O90。時(shí)，線段。E,BD,CE的數(shù)最關(guān)系為：；

【類比探究】

(2)如圖②，在(I)的條件下，當(dāng)0。＜/胡。＜180。時(shí)，線段?！?BD,CE的數(shù)量關(guān)

系是否變化，若不變，請(qǐng)證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖③，AC=BC,NACB=90。，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,2),

請(qǐng)求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

21.(1)如圖1,在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線加經(jīng)過點(diǎn)A,BZ)_L直線

m,CEJ_直線小，垂足分別為點(diǎn)。、E.求證：

（2）如圖2,將（I）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,。、4、E三點(diǎn)都在直線

加上，并且有N8OA=NAEC=NB4C=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論

△AB。絲△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是D,A,E三點(diǎn)所在直線機(jī)上的兩動(dòng)點(diǎn)（。，A,E三

點(diǎn)互不重合），點(diǎn)尸為NZMC平分線上的一點(diǎn)，且△A8”和△均為等邊三角形，連接

BD,CE,若N8DA=NAEC=N8AC,求證：△QE尸是等邊三角形.

22.在△ABC中，NACB=90。，AC=BC,且AOJLMN于。，BE1MN于E.

⑴直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：DE=AD^BEx

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試問。E、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)

系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過程）；

⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問?！闍D.BE具有怎樣的等量關(guān)

系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過程）.

23.探究：（I）如圖（1）已知：在△ABC中，/BAC=90。，AB=AC,直線/〃經(jīng)過

點(diǎn)A,4）_L直線〃?，C￡_L直線〃?，垂足分別為點(diǎn)。、E.請(qǐng)直接寫出線段從九DE,CEZ

間的數(shù)量關(guān)系是.

拓展：（2）如圖（2）,將探究中的條件改為：在AABC中，AB=AC,。、4、E三點(diǎn)、

都在直線〃?上，并且有其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問探究中

的結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

應(yīng)用：（3）如圖（3）,D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線，〃上的兩動(dòng)點(diǎn)（。、A、E三

點(diǎn)互不重合），點(diǎn)尸為NZMC平分線上的一點(diǎn)，且△A8"和△AC”均為等邊三角形，連接

BD、CE,^ZBDA=ZAEC=ZBAC,請(qǐng)直接寫出△的形狀是.

24.如圖，線段A8=6,射線4G_LA8,P為射線8G上一點(diǎn)，以”為邊做正方形APC。,

且點(diǎn)C、。與點(diǎn)8在AP兩側(cè)，在線段。尸上取一點(diǎn)E,使得NE4P=/B/1P,直線CE與線

段48相交于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)4、B不重合），

（1）求證：&AEP9MCEP?,

（2）判斷C尸與A8的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）aAE”的周長是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由.

25.如圖，在△43C中，AB=AC=2,N8=40。，點(diǎn)。在線段8c上運(yùn)動(dòng)（。不與從

。重合），連接A。，作乙4?！?40。，OE交線段AC于足

(1)當(dāng)N8DE=II5。時(shí)，ZBAD=。，點(diǎn)。從B向。運(yùn)動(dòng)時(shí)，NH4D逐

漸變(填“大”或“小”)；

(2)當(dāng)。C等于多少時(shí)，△ABDgZXDCE請(qǐng)說明理由；

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，AAOE的形狀也在改變，判斷當(dāng)N8W等于多少時(shí)，△AOE

是等腰三角形.

26.綜合與探究：在平面百角坐標(biāo)系中，已知A(0,a),B(b,0)口”〃滿足(a

-3)2+\a-2b-l|=0

(1)求A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)已知△ABC中人8=C8,NABC=9()。,求C點(diǎn)的坐標(biāo)

(3)已知AB=Jid，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)P,使aABP是以A8為腰的等腰三

角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

27.如圖，在△ABC中，AB=AC=2,N/?=/C=40。，點(diǎn)。在線段上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)。

不與點(diǎn)B、。重合)，連接AD,作NADE=40。，OE交線段4c于點(diǎn)區(qū)

(1)當(dāng)N8OA=105。時(shí)，/EDC=°,ZDEC=°；點(diǎn)。從點(diǎn)8向點(diǎn)

。運(yùn)動(dòng)時(shí)，NBDA逐漸變.(填“大”或“小”)

(2)當(dāng)。C等于多少時(shí)，AABD安ADCE?請(qǐng)說明理由.

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫出

N8OA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說明理由.

BD

28.在綜合實(shí)踐課上，李老師以“含30。的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學(xué)們開

展數(shù)學(xué)活動(dòng).已知，在等搜紙片中，CA=CB=5,ZACB=120°,將一塊含30。角的

足夠大的直角三角尺/WV(N"=90。，/WPN=30。)按如圖所示放置.，頂點(diǎn)P在線段84

上滑動(dòng)(點(diǎn)P不與A,K重合)，三角尺的直角邊妗終經(jīng)過點(diǎn)C,并與C/3的夾角

4PCB=a,斜邊”交4c于點(diǎn)。.

(1)當(dāng)NBPC=10()c時(shí)，a=°；

(2)當(dāng)AP等于何值時(shí)，AAP的公BCP?請(qǐng)說明理由：

(3)在點(diǎn)/，的滑動(dòng)過程中，存在△PCD是等腰三角形嗎？若存在，請(qǐng)求出夾角。的大

?。蝗舨淮嬖?，請(qǐng)說明理由.

參考答案

【分析】

設(shè)每塊磚的厚度為xcm,則AO=3xcm,BE=2xcm,然后證明△得到

CD=BE=2xcm,再利用勾股定理求解即可.

解：設(shè)每塊磚的厚度為xcm,則AD=3.vcm,BE=2xcm,

由題意得：ZACB=ZADC=ZBEC=90°,

???ZACD+ZDAC=ZACD+ZBCE=900,

:?/DAC=/ECB,

XVAC=CB,

:ADACQAECB(AAS),

CD=BE=2xcm.

VAC2+BC-=AB1，AD2+DC2=AC2,

/.2(3X)2+2(2X|2=2O2,

.,200

..x-=-----,

13

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟

練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件.

2.B

【分析】

根據(jù)題意證明AABCg△CDE即可得出結(jié)論.

解：'：ABLBD,EDLBD,

工ZABC=ZCD^=90°,

???ZACE=90°,

???Z4C8+NDCE=90。,

???NAC8+N84c=90。，

???ZBAC=ZDCE,

在△"(?和△COE中，

/ABC=/COE=90°

NBAC=NDCE

AC=CE

；.^ABC^^CDE(AAS),

/.A^=CD=6cm,BC=DE=2cm,

BD=BC+CD=2+6=Scm,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性

質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】

由全等三角形的判定定理可得出△"為絲△AGB,同理可證從而得出用、

AG、GC、C”的長度，用割補(bǔ)法求出實(shí)線所圍成的圖像面積.

解：如圖，

???NEAF+N8AG=90°,

VEF±AF,BGLAGt

：?NFEA+NEAF=900,ZEM=ZBGA=90°,

：.ZBAG=ZFEAf

???在"與ZkAGB中，

/EFA=NBGA

</,BAG=ZFEA

EA=AB

"EFA0bAGB,

：,BG=AF=3,EF=AG=6,

同理可證：ABGCDCHD,

/.GC=4,CH=3：

A5=5^EFHD-2S^AEF-2S^CHD=^(4+6)x(3+6+3+4)-^x6x3x2-

x4x3x2=50.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積，梯形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),

關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積.

4.B

【分析】

過A作AC_Lx軸，垂足為C,作BD_Lx軸垂足為D.證明AAOC和ABOD全等，那

么B的橫坐標(biāo)就是OD長的相反數(shù)，B的縱坐標(biāo)就是OC長的絕對(duì)值，由此可得出B的坐

標(biāo).

解：作ACJ_x軸，垂足為C,作!3口_1_*軸垂足為D.

則NACO=/ODB=90。，

.\ZAOC+ZOAC=90°.

又???NAOB=90°,

ZAOC+ZBOD=9()0

AZOAC=ZBOD.

在^ACOODB中

ZACO=ZODB

-NOAC=NBOD

AO=BO

??.△ACO絲△ODB(AAS).

AOD=AC=3,DB=OC=2.

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,2).

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】

先證明^ABE會(huì)4ECD得到CE值，即可求出BE.

解：在AABE和AECD中

Zfi=ZC=90°

?NA=/DEC

AE=DE

AAABE^AECD(AAS).

ACE=AB=5.

ABE=BC-CE=13-5=8.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理

6.A

【分析】

利用同角的余角相等求出/A=N2,再利用“角角邊”證明^ABC和aCDE全等，根據(jù)全

等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可解答.

解：VZB=ZE=90°,

.\ZA+Z1=9O°,ZD+Z2=90°,

VAC1CD,

/.Zl+Z2=90°,

AZA=Z2,故B正確;

???NA+/D=90。，故D正確；

在"BC和aCED中，

/A=N2

<NB=NE,

AC=CD

AAABC^ACED(AAS),故C正確；

AAB=CE,DE=BC,

.\BE=AB+DE,故A錯(cuò)誤.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形

全等的判定方法并確定出全等的條件NA=N2是解題關(guān)鍵.

7.D

【分析】

利用等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件易證4AEC^ACDB,進(jìn)而可得AE=CD,

CE=BD,所以DE可求出.

解：VZACB=90°,

???N4CE+NOCB=90。，

,??A￡_LCO于￡,

:.NACE+NCAE=90。，

：?NCAE=NDCB,

???BO_LC。于。，

???ZD=90°,

在△4EC和ZkCDB中

ZCAE=NDCB

{NAEC=NO=90。，

AC=BC

???^AEC^^CDB(AAS),

.\AE=CD=5cm,CE=BD=2cm,

DE=CD-CE=3cm,

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判

定方法.

8.C

【分析】

運(yùn)用正方形邊長相等，再根據(jù)同角的余角相等可得/84C=NOCE,進(jìn)而利用4As'可證

明^ACB@4DCE,再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

解：如圖,

「。、b、c都是正方形，

：.AC=CD,ZACD=ZABC=ZDEC=90°,

???ZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC=90°,即NBAC=NDCE,

NABC=NO￡C=90°

在△ABC和△C￡O中，?NBAC=NDCE,

AC=DC

???△AC/△COE(AAS)，

：,AB=CEfBC=DE；

在R。ABC中，由勾股定理得：AC^AB^B^AB^DE2,

即Sb=Sa+Sc=\+9=\0,

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

9.7

【分析】

根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；

解：:BEUCFA.L

：.NAEB=NCM=90°.

???NE4B+NER4=90°.

又???NB4C=90°,

：.ZEAB+ZCAF=90°.

：.ZEBA=ZCAF.

在和△C"中

VZAEB=ZCFAfNEBA=NCAF,AB=AC,

???△AMgZXCM.

：,AE=CF,BE=AF.

：.AE+AF=BE+CF,

EF=BE+CF.

,?BE=2,CF=t,

，EF=2+5=7；

故答案為：7.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所

學(xué)的知識(shí)，正確的證明三角形全等.

10.8或2##2或8

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)得出NM1慶NMR4,再利用全等三角形的判定得出

&ABM學(xué)4AND,進(jìn)而求出MN的值，注意分類討論.

@1

V^NAD+ZBAM=90°,2ABM?BAM900,

/NAD=/MBA,

NAMB=/AND

??,在△A5M和△D/W中，＜/4BM=NNA。

AB=AD

：?4ABMCAAS),

:,AM=DN=3,BM=AN=5,

???MV=/W+/W=3+5=8,

如圖2,在正方形ABC。中,

,rZDAN+ZB/bVZ=90°,2ABM?BAM90?,

???ZNAD=ZMBA,

???在aABW和△DAN中,

4MB=NDNA

<NABM=NNAD

AB=AD

???△A8M絲ZSANCAAS),

:.AM=DN=3,BM=AN=5,

：.MN=AN-AM=5-3=2,

綜上：MV=8或2.

故答案為：8或2.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知以，將直線/

與正方形ABCD的位置分類討論是解題關(guān)鍵.

11.8

【分析】

由線段C。的長求MCO的面積，故過8作CQ的垂線，則由三角形面積公式可知：

SMCD=；XCDXBE，再由題中的N8C0=NC4。和等腰直角三角形4BC,即可求證

MCD^ACBE,最后由CD=8E=4即可求解.

解：過點(diǎn)8作C。的垂線，交C。的延長線于點(diǎn)七

???ZACB=90°

.-.ZBCD+ZACZ>=90°

,.?NBCD=NCAD

...ZACD+ZCAD=90°

ZADC=90°

-BE1CD

二.NE=90。

/.ZBCD+ZCBE=90°

ZACD=/CBE

VAC=CB

:2CgbCBE

:.CD=BE=4

故答案是：8.

【點(diǎn)撥】本題主要考察全等三角形的證明、輔助線的畫法、等腰三角形的性質(zhì)和三角形

面積公式,屬于中檔難度的幾何證明題.解題的關(guān)鍵是由三角形面積公式畫出合適的輔助線.

12.28

【分析】

作CO_LO8丁點(diǎn)。，依據(jù)A4S證明AAO8=ABDCCMF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)Q,如圖，

???/CDB=ZAOB=90。

???A48C是等腰直角三角形

:?AB=CB,ZABC=90°

，Z4BO+NC8D=9。。

又NCBD+NBCD=90。

???ZABO=ZBCD

在AABO和ABCD中，

ZOB=/BDC

<ZABO=/BCD

AB=CB

^ABO^ABCD(AAS)

ACD=BO=28cm

故答案為:28.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，正確作出

輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.

13.50

【分析】

證明△EMgAAGB,&BGC叁△CHD,再利用梯形E/77D的面積減去上述四個(gè)三角形

面積即可求解.

解：如題干中圖所示：???/產(chǎn)二90。，

???ZF￡A+ZME=90°,

???ZEAB=90°,

.\Z^G+ZM￡=90°,

；?NFEA=NGAB,

在^E必和△AGB中：

ZEM=ZAGfi=90

,NFEA=NGAB,

AE=AB

.\AEM^A4GR(AAS),

AM=BG=2,

?*-5'MEF=5必8G尸xE/=；x2x6=6，

乙乙

同理可證：△BGC^AC/7D(AAS),

:?GC=HD=4,

SA8Gc=S"=gcGx8G=gx4x2=4,

???圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積5=

S槎彩"〃/>-2SA4即一25Azice=；(E"+OH)x尸"一2x6-2x4=1(6+4)x14-12-8=50,

故答案為：50.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)及判定方法，梯形的面積公式等，熟練掌握三角

形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵.

14.(4,2)

【分析】

過A作MN〃xJdl,過C作C/_LMN于凡過8作BE_LMN于E,根據(jù)垂直定義求出

ZBEA=ZCFA=ZBAC=9O0,求出N￡8A=NC4/，BE=2,AE=3,根據(jù)A4S推出

ABE40AAPC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出入F=BE=2,CF=AE=3,即可得出答案.

過A作粕，過。作C/_LMN于尸，過8作8E_LMN于E,

則ZBEA=ZCFA=ABAC=90°,

NEBA+NBAE=90。，ZBAE+ZCAF=90°,

???ZEBA=ZCAF,

VA(2,-l),8(-1,1),

ABE=]+\=2,AE=2+I=3,

在兇￡4和AAFC中

4BEA=/.AFC

?NEBA=NFAC,

AB=CA

：.\BEA^^AFC(AAS),

：?AF=BE=2,CF=AE=3,

???4(2-1),

?4的坐標(biāo)是(4,2),

故答案為：(4,2).

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的確定，準(zhǔn)確構(gòu)造全等三角形是解決

本題的關(guān)鍵.

15.4

【分析】

根據(jù)條件可以得出NE=NADC=90。，進(jìn)而得出△CEBGAADC,就可以得出BE=DC,

就可以求出BE的值.

解：VBE±CE,AD1CE,

AZE=ZADC=90o,

r.ZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

AZEBC=ZDCA.

ffiACEB和△ADC中，

/E=NADC

<NEBC=/DCA,

BC=AC

/.△CEB^AADC(AAS),

.\BE=DC,CE=AD=IO.

VDC=CE-DE,DE=6,

ADC=10-6=4,

:.BEM

故答案為4.

【點(diǎn)撥】此題考查垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及

性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

16.472

【分析】

作輔助線，首先證明△ABO也ZiBEN,得到BO=ME：進(jìn)而證明△BPFgANPE,即可

解決問題.

解：如圖，過點(diǎn)E作EN_LBM,垂足為點(diǎn)N,

ZAOB=ZABE=ZBNE=90°,

ZABO+ZBA0=ZABO+ZNBE=90°,

.\ZBAO=ZNBE,

???△ABE、△BFO均為等腰直角三角形,

.\AB=BE,BF=BO；

在△人80與4BEN中，

NBAO=NNBE

4A0B=/BNE

AB=BE

AAABO^ABEN(AAS),

，BO=NE,BN=AO；

VBO=BF,

ABF=NE,

在^BPF與△NPE中，

ZFBP=ZENP

-NFPB=NEPN

BF=NE

.?.△BPF^ANPE(AAS),

.\BP=NP=yBN：而BN=AO,

.-.BP=^AO=^X8V2=4V2，

故答案為4&.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的性質(zhì)和判定，作輔助線，構(gòu)造

全等三角形是解題的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析或解答.

17.3秒

【分析】

根據(jù)題意證明利用AAS證明△ACM空△8MQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得到AC=BM=3m,再利用時(shí)間=路程4?速度加上即可.

解：VZCA/Z>90°,

NCMA+NQM8=90°,

又???NC4M=90。，

???NCM4+/C=90。，

:"C=4DMB.

在/?/△ACM和/?/△BMD中，

NA=NA

??.■ZC=ADMB

CM=MD

，R，AACMmRdBMD(AAS),

.\AC=BM=3/n,

???該人的運(yùn)動(dòng)速度為\Ms,

???他到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為"1=3(.0.

故答案為：3秒.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是利用互余關(guān)系找三角形全等

的條件，對(duì)應(yīng)角相等，并巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量

關(guān)系.本題的關(guān)鍵是求得/?/△ACMgR仙BMD.

18.(或U.

【分析】

根據(jù)題意化成二種情況,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CP=CQ,代入得出關(guān)于t的方程，求

出即可.

解：解:由題意得分為二種情況:

p

如圖1,

ECF

圖1

P在AC±,Q在BC上，

???PE±I,QF11,.,.ZPEC=ZQFC=90°,

???ACB=90\

ZEPC+ZPCE=90°,ZPCE+ZQCF=90,

ZEPC=ZQCF,

MAPCE^ACQF,

PC=CQ,

7

即5-i=12-3t,解得t=y;

當(dāng)P、Q均在AC上的時(shí)候，此時(shí)4VtV5,

如圖:

AP=5-l,CQ=3t-l2,

5-t=3t-12,解得t="；

4

故答案為:17或?qū)?7.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意:全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.

19.(1)①證明見分析；②證明見分析

(2)證明見分析

(3)DE=BE-AD(或者對(duì)其恒等變形得到4)=3￡-。匹，BE=AD+DE),證明見

分析

【分析】

(1)①根據(jù)AO_LMV,BELMN,ZACB=90°.得出NC4O=N8CE,再根據(jù)A4s

即可判定AADC二ACM；②根據(jù)全等二角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出C￡=A",CD=BE,

進(jìn)而得至ijQE=CE+CO=A。+；

(2)先根據(jù)AD_LMN,BE上MN,得至jlNADC=NC￡S=NAC3=90°,進(jìn)而得出

/CAD=/BCE,再根據(jù)A4s即可判定AADC空△(：?上,進(jìn)而得到CE=AO,CD=BE,最后

得出DE=CE-CD=AD-BE；

(3)運(yùn)用(2)中的方法即可得出DE，AD,防之間的等量關(guān)系是：DE=BE-AD或

恒等變形的其他形式.

(1)解：①?.?A￡>_LA77V,BE工MN,

ZADC=ZACB=90°=4CEB,

.-.ZC4￡>+ZACD=90°,NBCE+ZACD=90。,

:"CAD=NBCE,

?.,在AADC和ACEB中，

NCAD=NBCE

NADC=/CEB

AC=BC

.-.AADC^ACEB(AAS).

②?.△ADCMACEB,

:.CE=AD,CD=BE,

DE=CE-CD=AD+BE；

(2)證明：vAD±MN.BE1MN,

..ZADC=NC破=ZAC8=90°,

NC4O=N8CE,

?.?在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=4CEB

AC=BC

SADC會(huì)^CEB(AAS)；

CE=AD,CD=BE?

：.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)證明：當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖(3)的位置時(shí)，AD,DE,的所滿足的等量關(guān)系是：

OE=BE—AO或AO=3E+OE或BE=AD+DE.

理由如下：vADLMN,BE上MN,

：.ZADC=/CEB=ZACB=9(尸，

/.ZCAD=ZBCE,

?.?在AADC和ACEB中，

ZC4D=ZBCE

ZADC=ZCEB

AC=fiC

MDC=^CEB(AAS),

CE=AD，CD=BE,

DE=CD-CE=BE-AD(或者對(duì)其恒等變形得到AD=BE+DE或

BE=AD+DE).

【點(diǎn)撥】本題屬于三兆形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解

題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差

關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論.

20.(1)DE=BD+CE；(2)QE=8O+CE的數(shù)國關(guān)系不變，理由見分析：(3)(-

4,3)

【分析】

(I)證明△"/注△C4E,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4O=CEBD=AE,結(jié)合圖形

證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到證明△ABDgZSCAE,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)解答；

(3)過點(diǎn)A作AM_Lx軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)8作BN_Lx軸于點(diǎn)N,根據(jù)(1)的結(jié)論得到

>ACM@4BCN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

解：(1)VZBAC=90°,

，ZBDA=^AEC=ZBAC=90°,

，NABQ+/B4O=90。，ZCAE+ZBAD=90°,

???RABD="AE,

在△48。和仆CAE中，

NABD=NCAE

<AADB=NCEA,

BA=AC

/./\ABD^^CAE(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

/.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE；

（2）的數(shù)量關(guān)系不變，

理由如下：???NBAE是AABO的一個(gè)外角,

???ZBAE=NADB+NABD,

VZBDA=ZBAC,

：.NABD=NCAE,

在4人8。和^CA石中，

ZABD=ZCAE

?ZADB=ZCEAt

BA=AC

AAABACAECAAS）,

：.AD=CE,BD=AE,

DE=AD+AE=BD+CE；

B

（3）過點(diǎn)A作AM_Lx軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作8N_Lx軸于點(diǎn)N,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,2）,

AOC=2tON=\,BN=2,

:,CN=3,

由（1）可知，△ACM會(huì)△CBN,

???4M=CN=3,CM=BN=2,

???OM=OC+CM=4,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,3）.

【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的

判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

21.(1)見詳解；［2)成立，理由見詳解；(3)見詳解

【分析】

(1)根據(jù)8O_L直線初，CE_L直線機(jī)得NB/)A=/CE4=90。，而NB4C=90。，根據(jù)

等角的余角相等得NC4石=NABO,然后根據(jù)“A4S”可判斷AAQgACRl；

(2)利用N8ZM=/R4C=。，^ZDBA+ZBAD=^BAD+^CAE=\SO0-a,得出

ZCAE=ZABD,然后問題可求證；

(3)由題意易得=A產(chǎn)===/助產(chǎn)=NR4C=60°,由(1)(2)易證

MDB^^CEA,則有AE=8￡>,然后可得/尸BD=NFAE,進(jìn)而可證98處芻\群尸，最后問

題可得證.

解：(I)直線加，CEJ_直線機(jī)，

7.NBDA=NCEA=90。,

???N84C=90。，

：.ZBAD+ZCAE=90°,

-ZBAD+ZABD=90°,

:"CAE=AABD,

在AADB和ACEA中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=NCEA,

AH=AC

：.AADA^ACE4(A4S)；

解：(2)成立，理由如下：

?.?NBDA=NBAC=a,

/.乙DBA+4BAD=+NCA上=1Q-a,

:.ZCAE=ZABDf

??,在和ACEA中，

Z.ABD=^CAE

<NBDA=ZCEA,

AB=AC

AADB^ACE4(A45)；

(3)證明：?.?△AB尸和△AC尸均為等邊三角形，

BF=AF=AB=AC,ZABF=ZBAF=ZFAC=fir,

???NBDA=NAEC=ZBAC=\20°,

ZDE4+ZB/V)=Z^P+ZG4￡=I8O°-I2O°,

，ZCAE=ZABD,

MD^ACE4(A4S),

***AE=BD，

/FBD=/FBA+ZABD/FAE=ZFAC+Z.CAE,

；?NFBD=NFAE，

^DBF^^EAF(SAS),

FD=FE、/BFD=ZAFE,

，4BFA=/BFD+ZDFA=乙^所+/DFA=/DFE=,

是等邊三角形.

【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握

全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

22.⑴證明見詳解(2)￡)E+BE=4D理由見詳解

⑶DE=BE-AD(或AD=8E-OE,BE=AD+DE等).理由見詳解.

【分析】

(1)根據(jù)題意由垂直得NA0ON8EO90。，由同角的余角相等得：ZDAC=ZBCE,

因此根據(jù)4As可以證明△AOCg△CEB,結(jié)合全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；

(2)由題意根據(jù)全等三角形的判定定理AA5推知△ACOgZiCBE然后由全等三角形

的對(duì)應(yīng)邊相等、圖形中線段間的和差關(guān)系以及等量代換證得。E+B斤AD；

(3)由題意可知。從4。、BE具有的等量關(guān)系為:DE=BE-ADI或AD=BE-DE,BE=AD+DE

等).證明的方法與(2)相同.

(I)證明：如圖I,

'：ADLMN,BELMN,

J/ADC=/BEC=90。,

：.ZDAC+ZACD=90°,

,rZACB=90°,

???NACD+NBCE=90。,

:?NDAC=NBCE,

在^ADCft△CEB中，

NADC=NBEC

VNDAC=NBCE,

AC=BC

：.△ADC94CEB；

:?DC=BE,AD=EC,

?；DE=DC+EC,

；?DE=BE+AD.

(2)解：DE+BE=AD.理由如下：

如圖2,VZACB=90°,

???ZACD+ZBCE=90°.

又?.?AQ_LMN于點(diǎn)。，

???NACO+NC4￡>=90°,

:?NCAD=/BCE.

在△人。。和4CBE中，

ZADC=ZCEB=90°

44CAD=4BCE,

AC=BC

???△ACOg△。陀(AAS),

CD=BE,AD=CE,

ADE+BE=DE+CD=EC=AD,BPDE+BE=AD.

(3)解：DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等).理由如下:

如圖3,易證得△AQC且

：.AD=CE,DC=BE,

ADE=CD-CE=BE-AD,DRDE=BE-AD.

【點(diǎn)撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，

熟練掌握全等三角形的四種判定方法是關(guān)鍵：SSS、SAS、AAS.ASA-在證明線段的和與差

時(shí)，利用全等三角形將線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上得出結(jié)論.

23.探究：（1）DE二BD+CE；拓展：（1）成立，見分析；應(yīng)用：（3）ADEF是等邊

三角形

【分析】

（1）根據(jù)直線機(jī)，?！辏?，直線〃?得N8D4=/CE4=90。，而N84C=90。，根據(jù)等

角的余角相等得NC4E=/A8。，然后根據(jù)“4A夕可判斷△AQ8絲△CE4,則4E=B。，AD

=CE,DE=AE+AD=BD+CEi

（2）FhZBDA=ZAEC=ZBAC,就可以求出NA4O=NACE,進(jìn)而由AAS就可以得

出AZMO且△4C￡,就可以得出笈。=4￡,DA=CE,即可得出結(jié)論；

（3）由等邊三角形的性質(zhì)，可以求出//MC=120。，就可以得出△就

有進(jìn)而得出△BO尸WillDF=EF,NBFD=NAFE,而得出NOFE=

60°,即可推出△DE尸為等邊三角形.

解：（1）如圖1,

圖1

VBOJ_直線m,CEL直線m,

???NBD4=NCEA=90。，

VZfiAC=90%

：,ZBAD+ZCAE=90°

*：ZBAD+ZABD=90°,

:?/CAE=/ABD,

在△4。4和4CEA中,

ZBDA=ACEA

<ZCAE=ZAI3Dt

AB=AC

：,ADACEA(AAS),

1?AE=BD,AD=CEf

???DE=AE+AD=BD+CE；

故答案為：DE=BD+CE

(2)解：如圖2,

AZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=\SO°-a

：.ZDBA=ZCAE,

在△4。6和4CEA中，

NBDA=/CEA

<?AE=XABD,

AI3=AC

???△4080△CEA(AAS),

：.AE=BD,AD=CEt

???DE=AE+AD=BD+CE；

(3)證明：如圖3,

圖3

由(2)可知，△4QB/ZXCE4,

：.B