第1講二次根式與勾股定理（12大核心考點）

內容導航

向串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

n復習提升：真題感知+提升專練，全面突破

>>>思維導圖串知識<<<

二次根式的概念

二次根式有意義的條件

二次根式的概念與性質

二次根式的性質

最簡二次根式

二次根式二次根式的乘法

二次根式的除法

二次根式的加減

二次根式的計算

二次根式的混合運算

二次根式的求值

二次根式的應用

用句股定理解三角形

夕:根式與勾股定理

L弦圖問題

樹形圖面積問題

勾股定理

［一平方關系的計算與證明

折疊問題

最短距離問題

勾股定理的證明

\1

滑梯問題

勾股定理,

高度問題

勾股定理的應用選址問題

航海問題

水中筷子問題

判定直角三角形

勾股定的逆定理

勾股數(shù)

X

???重點速記<<<

知識點1二次根式的概念與性質

1.二次根式的有關概念

一般地，我們把形如&(a>0)的式子叫做二次根式，“丁”稱為二次根號.

注意:

⑴必須含有二次根號“丁，“/”的根指數(shù)為2,即“爽”，我們一般省略根指數(shù)2,寫作“「.

(2)被開方數(shù)必須是非負數(shù)，如Q和，_片_3都不是二次根式.

(3)二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子.

(4)式子a表示非負數(shù)a的算術平方根，因此a?0,&NO.二次根式具有雙重非負性.

2.二次根式的性質：

(1)y[a>0(a>0).

(2)(、萬)2=。(。20).一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于這個非負數(shù)

a(a>0)

(3)=問=0(。=0).一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值

-a(a<0)

(4)4ab=4^-^b(a>0,b>0).積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積

(5)^=^(a>0,b>0).兩個數(shù)的算術平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術平方根

3.最簡二次根式

被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式，

叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含有可化

為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

知識點2二次根式的有關計算

1.二次根式的乘法：

(1)4a-4b=s[ab(a>0,b>Q).

(2)逆用：-Jab=y[a-y/b(a>0,>0)

(3)推廣：(Dy[a-4b-Vc=4abc(a>0,b>0,c>0)

Jabed=Ja-yfb-s/c-Jd(a>0,b>Q,c>Q,d>0)

②ayJb-c4d=acyfbd(b>Q,<7>0)

4^=a(a>0)

2.二次根式的除法:

(1)海b>0)

[a_4a

(2)逆用:(a>Q,b>0)

V廠訪

(3)推廣：04a4--Jb4-Vc=y/a^-b^c(a>0,b>0,c>0)

②(zw&)+(“揚)=(m+n)?(8+,其中aNO'b>O'"W。.

3.二次根式的加減

(1)法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進

行合并.

(2)步驟:

①將各個二次根式化成最簡二次根式；

②找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；

③合并被開方數(shù)相同的二次根式一一將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變.

(3)注意：

①化成最簡二次根式后被開方數(shù)不相同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結果的一部分.

②整式加減運算中的交換律、結合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運算中仍然適用.

③根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要化為假分數(shù)的形式.

4.二次根式的混合運算

(1)二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先

算括號里面的(或先去掉括號).

(2)在二次根式的運算中，有理數(shù)的運算律、多項式乘法法則及乘法公式(平方差公式、完全平方公

式)仍然適用.

(3)二次根式混合運算的結果一定要化成最簡二次根式或整式.

知識點3勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長

為c,那么a~+b~-c~.

注意：(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關系.

(2)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這

樣就將數(shù)與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式:?2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+b)-lab

知識點4勾股定理證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形.

圖⑴中與力3=（"6）'=1+4乂；演，所以

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

&3=（=25+2所以J+從

知識點5勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足4+62=02,那么這個三角形

就是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角.然后進一步結合

其他已知條件來解決問題.

注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的

兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

>>>核心考點舉一反三<<<

考點一：二次根式的有關定義

氐有意義，則x的取值范圍是（）

例1.（24-25八年級下?山東臨沂?期中）若二次根式

2322

A.xw-B.x—C.xW—D.x<—

3233

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握二次根式被開方數(shù)為非負

數(shù)，分式分母不等于。.根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進行解答即可.

【詳解】解：???二次根式、「^有意義，

V2-3x

-^―>0

：.\2-3x,即2-3尤>0,

2—3%w0

2

解得X<?

故選：D.

【變式訓練】

考點二：二次根式的性質

例2.(24-25八年級下?全國?課后作業(yè))若x<2,則、(工一2『+|3-2=.

【答案】5-2x

【分析】本題考查了二次根式的性質，絕對值，掌握二次根式的性質即病=同是解題的關鍵；根據(jù)二次根

式的性質及絕對值的意義即可求解.

【詳解】解：Vx<2,

x—2V0,3—x〉0,

「?+|3-X|

=|x-2|+|3-x|

——(x—2)+3—n

=5-2%；

故答案為：5-2x.

【變式訓練】

考點三：二次根式的計算

例3.(2025八年級下?湖北?專題練習)計算：

(1)A/12-3^-+^A/2-G)(行;

(2)V48-V3-^1xVi2+V24.

【答案】⑴月-1

⑵4+逐

【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，二次根式性質，

(1)先根據(jù)二次根式乘法及性質進行計算，然后根據(jù)二次根式加減運算法則進行計算即可；

(2)根據(jù)二次根式乘法和除法進行計算，然后根據(jù)二次根式加減運算法則進行計算即可.

【詳解】(1)解：原式=2道-3?￥(2-3)

=273-V3+2-3

=有-1;

(2)原式=.48+3-J；xl2+26

=4-76+276

=4+.

【變式訓練】

考點四：二次根式的求值

例4.(24-25八年級下?江蘇蘇州?階段練習)已知：a=2+石，b=小一2.

⑴求〃2+〃一成的值；

(2)若機為。整數(shù)部分，〃為6小數(shù)部分，求%的值.

n

【答案】⑴17

⑵弋+8

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，分母有理化，無理數(shù)的估算，熟知二次根式的相關知識是

解題的關鍵.

(1)先求出a+6，成1的值，再根據(jù)6+〃-a》=(a+力了-3a)代值計算即可；

(2)根據(jù)無理數(shù)的估算方法分別求出°、6的范圍，進而求出〃八〃的值，最后代值計算即可得到答案.

【詳解】(1)解：；a=2+VLb=y[5-2,

a+b=2+垂，+卡,-2=2垂,,岫=(2+旬(6-2)=1,

,,12+片—ab

=+/+2ab)-3ab

=(a+Z?)2—3ab

=(2出『-3x1

=20-3

=17；

(2)解：；"<指<回

/.2<A/5<3,

，4<2+石<5,0〈為-2<1，

;根為。整數(shù)部分，"為6小數(shù)部分，

??.機=4,n=A/5-2,

.m_4_4M+2)4君+8

"n-V5-2-(75+2)(75-2)-3

【變式訓練】

考點五：二次根式的應用

［、］例5.(24-25八年級下?甘肅蘭州?期中)閱讀材料：

若兩個正數(shù)。，b,則有下面不等式當a=b時取等號，我們把等叫作正數(shù)。，6的算術平

均數(shù)，把肩叫作正數(shù)。，6的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可以表述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于(即

大于或等于)它們的幾何平均數(shù).它在數(shù)學中有廣泛的應用，是解決最大(小)值問題的有力工具.不等式

疝可以變形為不等式a+6N2必，當且僅當4=6時取到等號.(。，6均為正數(shù))

例：已知尤>0,求x+工的最小值.

X

解：由a+得X+工22、k?工=2義4=2,當且僅當尤=L即x=l時，有最小值，最小值為2.根

x\xx

據(jù)上面材料回答下列問題：

(1)5+62^/5^6；6+6276^6；(用“="“<”">”填空)

9

(2)當x>0,則無+—的最小值為------，止匕時％=_；

x

9

(3)當x>2,貝ijx+—^的最小值為_____；

x-2

(4)用籬笆圍一個面積為100n?的長方形花園，問這個長方形花園的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短,

最短籬笆是多少？

【答案】(1)>,=

(2)6,3

⑶8

(4)這個長方形的長、寬為10m時：所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m

【分析】本題考查了二次根式的性質，理解題意是解題的關鍵;

⑴根據(jù)a+b22痣，當且僅當時取到等號.(。，6均為正數(shù))即可求解.

(2)根據(jù)例題的方法，a+b>2y^b,即可求解.

(3)將x-2看成整理，即f=x-2,進而根據(jù)a+622。，代入即可求解；

(4)設這個矩形的長為x米，根據(jù)寬=面積+長，可得寬為WQ米，則所用的籬笆長等于長加寬的和乘以2,

根據(jù)閱讀材料即可求解；

【詳解】(1)解：a+b>2-Jab,5>0,6>0,5w6

/.5+6>275^6；

V6=6

6+6=2yl6x6

故答案為：>,=.

(2)解：Vx>0,

.9I9

??xH—22Jxx—=6

9

???當尸一,即三=3時,有最小值，最小值為6

故答案為：6,3.

(3)解:Vx>2

x-2>0

設方=%—2

99

.?xH-------=t-----2,7x-+2=2x3+2=8

x—2t

9

當,=—時，即r=3時，有最小值，最小值為8

t

故答案為：8.

(4)設這個矩形的長為xm,所用的籬笆總長為>m,

?.?圍一個面積為lOOn?的長方形花園，

Vx>0,

當且僅當"=些時，即龍=10時y有最小值，最小值為40.

X

x=10時，^^=10,

x

.?.當這個長方形的長、寬為10m時：所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.

【變式訓練】

考點六：勾股定理的有關計算

[4^]例6.（24-25八年級下?遼寧營口?期中）在VABC中，AB=AC=1O,5c=16,點。是BC的中點,

點E是線段2D上的動點，過點E作交于點R連接AE,若NAEF=NB.

（2）求￡>E的長.

【答案】（1）見解析

（2）4.5

【分析】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟知勾股定理是解題的關鍵.

（1）根據(jù)等腰三角形的性質得到N3=/C,證明/E4c=90。，根據(jù)垂直的定義即可得證；

（2）根據(jù)勾股定理可得AE2+AC2=CE2,再由三線合一定理得到A。則可利用勾股定理求出AD的

長，進而得到AE?=4。2+。序=62+。石2,據(jù)此建立方程求解即可.

【詳解】（1）證明：AB=AC,

:.ZB=ZC,

EF±BD,

:.ZAEF+ZAED^90°,

ZAEF=NB,/B=NC,

:.ZC+ZAED^90°,

r.NE4c=90°,

:.AErAC；

(2)解：NE4c=90°,

:.AE2+AC2=CE2,

AB=AC,點。是3C的中點,

BD=DC=—x16=8,AD_LBC,

2

:.AD=AC2-CD1=V102-82=6，

CE=CD+DE=DE+8,

AE~=CE2-AC2=(r>E+8)2-102,

在RtADE中，AE2=AD2+DE2=62+DE2,

.-.(DE+8)2-102=62+DE2,

解得：DE=4.5.

【變式訓練】

考點七：勾股定理與平方關系

例7.(23-24八年級下?安徽蚌埠期中)如圖，在VABC中，AD±BC.

A

⑴求證：AB--AC2=BD2-CD2;

(2)當AB=8,BC=6,AC=2而時，求AD的值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)")=4"

【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關證明和計算及解二元一次方程組，熟練掌握和運用勾股

定理是解決問題的關鍵.

22

(1)在RCABO和RL4X:中，分別運用勾股定理可得AB?=仞?+勖2,AC=AD-+CD,利用AD邊

相等，聯(lián)立兩式移項即得證.

(2)根據(jù)第一問的結論，可求出BD?-C》的值，利用平方差公式，結合BC=8D+CD=6,可求得3D-Q),

而BD+CD=6,由此可求得80、CD,由勾股定理即可求出AD.

【詳解】(1)證明：ADJ.BC,

???在Rt^ABD和Rt">C中，根據(jù)勾股定理得，

AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD-,

AB2-BD1=AD2=AC2-CD2,

移項得：AB2-AC2=BD2-CD2.

故AB2-AC2=BD2-CD2.

(2)解：AB2-AC2=BD2-CD2,A5=8,AC=2713

BD2-CD2=AB2-AC-=82-(2A/13)2=64-52=12,

BD--CD2=(BD+CD)(BD-CD)=12,

BC=6,^BD+CD=6,

?e-BD—CD=2,

[BD+CD=6,[BD=4

"[BD-CD=2'解得]。=2，

AD2^AB2-BD2=82-42-64-16-48,

AD=473.

【變式訓練】

考點八：勾股定理與翻折問題

例8.8.(24-25八年級下?遼寧沈陽?期中)如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線8。對折，點C落在

點E的位置，AD與8E相交于點尸.

BC

(1)求證：V3D尸是等腰三角形；

(2)若AB=8,AD=10,求S"見.

【答案】(1)見解析

【分析】本題考查的是翻折變換，矩形的性質，勾股定理，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵.

(1)證明NEBD=NADB,得出BF=DF,則結論得證；

(2)^BF=x,則Ob=x,AF=W-x,在RtAB尸中，根據(jù)勾股定理有8。+(10-4=/，解方程得出。尸

的長為最41，進而根據(jù)三角形的面積公式，即可得解.

【詳解】(1)證明：由折疊可知/￡BD=NCBQ,

AD//CB,

:.ZADB=/CBD,

:.ZEBD=ZADB,

:.BF=DF,

.?jBDF是等腰三角形.

(2)^BF=x,貝lJOb=x,Ab=10—%,

在RtABF中，根據(jù)勾股定理有82+(10-%)2=公.

解得：尤=不，

41

.?.D尸的長為

?a_l_141?164

??S'BFD=-nDFFX4ARB=-X-XS=-^-

【變式訓練】

考點九：勾股定理的證明

例9.(24-25八年級下?內蒙古烏蘭察布?期中)直角三角形的三邊關系：如果直角三角形兩條直角

邊長為a、b,斜邊長為c,則42+從=02.

⑴圖1為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖1推導上面的關系式.利用以上所得的直

角三角形的三邊關系進行解答；

(2)如圖2,在一條東西走向河流的一側有一村莊C,河邊原有兩個取水點A、B,其中鉆=AC,由于某種

原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點”(A、H、B在一條

直線上)，并新修一條路CH,且SLAB.測得C"=6千米，"B=4千米，求新路C”比原路C4少多

少千米？

⑶在第(2)問中若ABHAC時，CH±AB,AC=8,3c=10,AB=12,設=求尤的值.

【答案】(1)見解析

(2)新路C"比原路C4少0.5千米

⑶尤

【分析】本題考查的是勾股定理的證明方法以及勾股定理的應用；

(1)梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列

出關系式，化簡即可得證；

(2)設C4=x千米，則AH=(x-4)千米，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可得到結果；

(3)在Rt_AC”和RtABC"中，由勾股定理得求出CH?=04?-AH?=08?，列出方程求解即可得到結

果.

【詳解】(1)解：AB±AD,BC±AB,DELCE,

11

梯形ABCZ)的面積為耳(。+b)(〃+b)或//+ab,

Clb02=_〃2-|人2

222

即片+〃=/,

(2)解：設C4=x千米，則A"=(x-4)千米，

在RtACH中，CAi=CH2+AH2,

即W=62+(X—4)2,解得：x=6.5,即C4=6.5,

CA-CH=6.5-6=0.5(千米)，

答：新路CH比原路C4少0.5千米，

(3)解：由題得，BH=12-x,

在RtACH中，CH2=C^-AH2,

在RtABCH中，CH2=CB--BH-,

:.C^-AH1=CB2-BH2,

、o

gp82-%2=102-(12-X),解得：x=-\

【變式訓練】

考點十：勾股定理的應用

一］例10.(24-25八年級下?河南三門峽?期中)八年級11班松松同學學習了“勾股定理”之后，為了測量

如圖的風箏的高度CE,測得如下數(shù)據(jù)：

①測得2。的長度為8米：(注：B”CE)

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為17米；

③牽線放風箏的松松身高1.6米.

(1)求風箏的高度CE.

(2)若松松同學想風箏沿CD方向下降9米，則他應該往回收線多少米?

【答案】（1）16.6米

⑵7米

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關鍵;

（1）利用勾股定理求出CD的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度；

（2）根據(jù)勾股定理即可得到結論：

【詳解】（1）解：在Rt/XCDB中，

由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=172-82=225

所以，CD=15（負值舍去），

所以，CE=CD+DE=15+1.6=16.6（米）,

答：風箏的高度CE為16.6米；

（2）如圖：由題意得，00=9米，，DM=6米，

BM2=DM2+BD2=82+62=100,

，3M=10米，

BC-BM=1（米）,

.?.他應該往回收線7米.

【變式訓練】

考點十一：勾股定理的逆定理

例11.（24-25八年級下?重慶長壽?期中）如圖，長壽某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖

中的四邊形ABC。），經(jīng)測量，在四邊形ABC。中，ZACB=90°,AB=15m,BC=9m,AD=5m,DC=13m.

（1）ACD是直角三角形嗎？為什么？

（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試間鋪滿這塊空地共需花費多少元?

【答案】（DAACD是直角三角形，理由見解析

（2）6720元.

【分析】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應用、三角形的面積公式.判斷三角形是否為直角三角

形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

（1）先在Rt^ABC中，利用勾股定理可求AC=12cm,在，ACD中，易求AC?+川爐+5?=13?=C加,

再利用勾股定理的逆定理可知ACD是直角三角形，且ND4C=90。；

（2）分別利用三角形的面積公式求出SMC+S^C，即是四邊形ABC。的面積，再乘以80,即可求總花費.

【詳解】（1）解：ACZ）是直角三角形，理由如下：

如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,AB=15m,BC=9m,

AC=y/AB2-BC2=7152-92=12cm

在/ACD中，AD=5m,ZX7=13m,AC-12cm

3+A￡（2=]2?+52=132=CD2,

...AGO是直角三角形，ZZMC=90°；

（2）VS.?+S=-xACxBC+-xACxAr）=-xl2x9+-xl2x5=84cm2,,

/IDrC2Anr222

,"S四邊形ABCD=84cm,

費用=84x80=6720（元）.

答：鋪滿這塊空地共需花費6720元.

【變式訓練】

考點十二：勾股定理與最值問題

住1例12.（24-25八年級上?甘肅蘭州?期中）綜合與實踐

背景介紹：勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對它的證明趨之若鷲，其中有著名

的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者.向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.

（1）把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為。、b、c.顯然，ZDAB=ZB=90°,ACLDE.用

含a、b、c的式子分別表示出梯形ABC。、四邊形AEC。、￡BC的面積，再探究這三個圖形面積之間的

關系，可得到勾股定理.上述圖形的面積滿足的關系式為,經(jīng)化簡，可得到勾股定理〃+從=02.

（2）如圖2,鐵路上A、8兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、O為兩個村莊（看作兩個點），ADJ.AB,

BCLAB,垂足分別為A、B,AD=24千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為千米（直接填

空）；

（3）在（2）的條件下，要在上建造一個供應站P,使得PC=PD,求出AP的距離.

（4）借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式7?3+&67）2+81的最小值（0＜犬＜16）.

【答案】⑴+

（2）8726

（3）16千米

（4）20

【分析】（1）根據(jù)皿鉆=/3=90。可得四邊形ABCD為直角梯形，則

S梯形ABCD=g（AD+2C），42=3（/+。6）,根據(jù)AB=a,AE-b^^BE=AB—AE-a—b,貝U

S3（小〃），由ACS?？傻肧比好S3”DEC,進而可得

S四邊形AEC0=SADE+SCDE=]DE'AC=耳/，再根據(jù)梯形ABCD='EBC+S四邊形AECD可得

:（/+必）=；（小62）+#,據(jù)此即可得出答案；

（2）連接CD,過點C作CELAD于點E,根據(jù)3CLAB可得四邊形ABCE是矩形，進而可得

AE=BC=16千米，CE=AB=40千米，于是可得DE=AZ）-AE=8千米，然后利用勾股定理即可求得C、

。兩個村莊之間的距離；

（3）由題意可知，點尸在CD的垂直平分線上，連接。，作CD的垂直平分線交AB于點尸，則點尸即為所

求；設AP=x千米，則3尸=（40-力千米，在Rt.、APD和RtABPC中，分別利用勾股定理表示出PD和PC,

然后通過PC=PD建立方程，解方程即可求出AP的距離；

（4）根據(jù)軸對稱一最短路線的求法即可求出：先作出點C關于AB的對稱點F,連接OR,過點尸作FE，D4

交D4延長線于點E,則。尸就是代數(shù)式，？7?+，（16-尤）2+81的最小值;然后利用軸對稱的性質、矩形的

判定與性質及勾股定理求出O尸的長即可.

【詳解】（1）解：依題意得：AD=AB=a,AE=BC=b,AC=DE=c,ZADE=ABAC,

ZDAB=ZB=90°,

,\AD//BC,

???四邊形A5CD為直角梯形，

梯形ABCD=；（AO+BC）.AB=：（a+6）?a=；（a2+a。）,

AB=a