專題19圓心角與圓周角(9大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測)

塞內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識

知識點(diǎn)L弧、弦、圓心角的關(guān)系(重點(diǎn))

1.圓心角定義

如圖所示，ZAOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

2.圓心角定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對量相等，那么它們所對的

其余各對量也相等.

要點(diǎn)歸納：

運(yùn)用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，輕松證明相等問題

(1)在同圓或等圓中，證明等孤的問題目前可以有三種途徑，一是由垂徑定理得到等孤，二是證明弧

所對的圓心角相等，三是證明孤所對的弦相等.

(2)在同圓或等圓中，當(dāng)證明等弦、等角的問題時(shí)，除利用三角形全等及其他相關(guān)的性質(zhì)外，一定要

善于利用孤、弦、圓心角三者的相關(guān)定理.

同圓或等圓中，弧、弦、圓心角

弦心距之間的關(guān)系

孤相等??,?弦相等

^****^*^

圓7角相等?,修心形相等

知識點(diǎn)2.圓周角

圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

文字語言符號語言圖示

ZBAC是圓周角.

一條弧所對的留NBOC是IHI心角?

隔同角

周角等于它所對那么NBAC=*

定理()J

的留心角的一半

B

NACB.NAD3是

同弧或等弧所對

畫周角.那么NAC3=

的圓周角相等()

ZADB/》

重要

r,為直徑.則

推論半圓(或直徑)所

ZACB=ZADB=

對的圓周角是直Jo?

90。若NACB=9O?

角.90°的圓周角

或/ADB-90°.則

所對的弦是H徑

AB為直徑

要點(diǎn)歸納：

(1)圓周角定理中的圓周角與圓心角是通過它們所對的同一條孤聯(lián)系在一起的，故不能把“一條孤所對

的”去掉

⑵同一條孤所對的圓周角有無數(shù)個(gè)，它們都相等，但注意不要誤以為“同一條弦所對的圓周角都相等“，

一條弦(非直徑)所對的圓周角有兩類，它們是相等或互補(bǔ)的關(guān)系，即圓周角在弦的同側(cè)時(shí)相等，異側(cè)時(shí)

互補(bǔ)

知識點(diǎn)3.圓內(nèi)接多邊形

一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接

1.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角(就是和它相鄰的內(nèi)角的對角)

溫馨提示：

(1)內(nèi)接與外接是相對的概念，描述的是圖形的位置關(guān)系.

(2)每一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)內(nèi)接四邊形，但并不是所有的四邊形都有外接圓，只有對角互補(bǔ)的四邊形才有

外接圓.

方法總結(jié)：圓中求角的四個(gè)常用思路

(1)同孤所對的圓周角相等；

(2)一條孤所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

(3)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

(4)同圓的半徑相等，在以兩半徑為邊的三角形中，等邊對等角.

練題型強(qiáng)知識

18圓心角與圓周角

【類型一】圓心角與圓周角的概念

1.（24-25九年級上?河南商丘?期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了圓周角與圓心角的識別，掌握圓周角和圓心角的定義是解答本題的關(guān)鍵.頂點(diǎn)在

圓周上，角的兩邊與圓相交的角是圓周角；圓心角的定義：頂點(diǎn)在圓的角是圓心角.根據(jù)圓周角和圓心角

的定義解答即可.

【詳解】解：A.圖中只有圓周角，沒有圓心角，選項(xiàng)不符合題意；

B.圖中既有圓心角，也有圓周角，選項(xiàng)符合題意；

C.圖中圖中只有圓周角，沒有圓心角，選項(xiàng)不符合題意；

D.圖中只有圓心角，沒有圓周角，選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.（24-25九年級上?全國?假期作業(yè)）如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是（）

A.ZABCB.ZAOBC.ZOABD.ZOCB

【答案】B

【分析】本題考查圓心角的概念，確定一個(gè)角是否是圓心角，只要看這個(gè)角的頂點(diǎn)是否在圓心上，頂點(diǎn)在

圓心上的角就是圓心角，否則不是.

【詳解】解：根據(jù)圓心角的概念，ZABC.ZOAB,的頂點(diǎn)分別是2、A、C,都不是圓心。，因此

都不是圓心角.只有B中的，AO3的頂點(diǎn)在圓心，是圓心角.

故選：B.

3.（2023?福建廈門?模擬預(yù)測）如圖，在半圓。中，48為直徑，下列四個(gè)選項(xiàng)中BC所對的圓周角是（）

D

A.NBECB.NDCEC.NABCD.ZCDE

【答案】D

【分析】本題考查的是圓周角的定義，根據(jù)圓周角的定義解答即可，熟知頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相

交的角叫做圓周角是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：BC所對的圓周角是NCDE與，C4B，

故選：D.

【類型2】弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

4.（24-25九年級上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）如圖,已知在中，是直徑，AB=DC,則下列結(jié)論不一

定成立的是（）

A.AB=DCB.OA=OB=AB

C.。到AB、CD的距離相等D.ZAOB=NCOD

【答案】B

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一

組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：：A8=DC,

,,AB-DC，

???ZAOB=NCOD,

;OA=OB=OC=OD,

IAO3烏COD（SAS）,

到AB、CD的距離相等，

所以A、C、D選項(xiàng)正確，

不能證明是等邊三角形，==不一定成立，

故選：B.

5.（2024九年級上.全國?專題練習(xí)）如圖，在，。中，已知AB=CZ），則AC與3。的關(guān)系是（）

D

o

\

AC

A.AC=BDB.AC<BDC.AC>BDD.不確定

【答案】A

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AB=C￡>，得到AB-BCuCD-BC，于是推出AC=BD，

根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：AB=CD>

AB-BC=CD-BC，

AC=BD，

:.AC=BD.

故選：A.

6.(23-24九年級上?全國?課后作業(yè))在同圓或等圓中，若A8的長度等于C。的長度，則下列說法正確的有

()

①A8的度數(shù)=C。的度數(shù)；②A8所對的圓心角等于C。所對的圓心角；③A8和CD是等弧；④AB所對的

弦長等于C。所對的弦長.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)弧、弦、角的關(guān)系即可判斷.

【詳解】解：①「AB的長度等于CO的長度，且在同圓或等圓中，.?.AB的度數(shù)=C。的度數(shù).①正確；

②在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等.②正確；

③:AB的長度等于CL?的長度，且在同圓或等圓中，和CD是等弧.③正確；

④在同圓或等圓中，等弧所對的弦相等.④正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查弧、弦、角的關(guān)系.熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

【類型3】有關(guān)弧、弦、圓心角的計(jì)算

7.(24-25九年級上?云南昆明?期中)如圖，在中，AB=CD,Nl=45。，則N2=()

B

A.60°B.30°C.45°D.40°

【答案】C

【分析】本題主要考查了弧與弦之間的關(guān)系，弧與圓心角之間的關(guān)系，根據(jù)AB=CD，則可得到Z2=Z1=45°.

【詳解】解：：在I。中，AB=CD，

：./2=N1=45°，

故選：C.

8.（24-25九年級上?陜西安康?期末）如圖，。的弦，連接若ZAOB=/BOC,則

弦AB,8c之間的數(shù)量關(guān)系為（）

A.AB=2BCB.AB=-BCC.AB=BCD.AB=-BC

23

【答案】C

【分析】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，根據(jù)在同圓或等圓中，弧，弦，角之間任意一組量相等，另外

兩組也相等，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：ZAOB=ZBOC,

:.AB=BC.

故選：C.

9.（23-24九年級上.廣東江門?期中）在。中，=NA=45。，則的度數(shù)為（）

A.67.5°B.75°C.85°D.135°

【答案】A

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)（等弧對等弦）、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,

熟練掌握等弧對等弦和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.本題根據(jù)同圓中弧相等則對應(yīng)的弦相等，得出

AB=AC,從而判定,ABC為等腰三角形，再利用等腰三角形兩底角相等以及三角形內(nèi)角和為180。來計(jì)算

的度數(shù).

【詳解】解：矗Jc

:.AB=AC（同圓中，等弧所對的弦相等）

A5C是等腰三角形，/B=/C（等腰三角形兩底角相等）

-ZA=45°,且NA+/3+/C=180。（三角形內(nèi)角和定理）

^B=|x（180°-45°）

^B=-xl35°

2

/3=67.5°

故選：A.

10.（2025?云南楚雄?三模）如圖，點(diǎn)A,B,C在：。上，C是A8的中點(diǎn)，若44。？=160。，則NQ4c的

度數(shù)是（）

;

A.10°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】本題考查圓心角與弧的關(guān)系，圓心角與圓周角的關(guān)系.連接OC,由點(diǎn)C是劣弧A8的中點(diǎn)得

1QQO_OQO

AC=BC^故NAOC=NBOC=80。，再由AO=OC得到NOAC=——-——二50。即可.

【詳解】解：如圖，連接OC,

AC=BC^

.\ZAOC=ZBOC,

ZAOB=160°f

XAOC=NBOC=80°,

,:AO=OC,

?…吟j.

故選：c.

11.（24-25九年級上?吉林長春?期中）如圖，AB為I。的直徑，點(diǎn)C、。是BE的三等分點(diǎn)，ZAOE=60°,

求—3OC的度數(shù).

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，先求出/BQE=120。，根據(jù)點(diǎn)C、D是BE的三等分點(diǎn),

求出8c的度數(shù)是40°,即ZBOC=40°

【詳解】解：為的直徑,

.-.ZAOB=180°

NAOE=60°

:.ZBOE=180°-ZAOE=180°-60°=120°

v點(diǎn)C、D是BE的三等分點(diǎn)

BC的度數(shù)是3'120。=40。

4OC=40°

故答案為40。

12.（21-22九年級上?福建廈門?期中）己知：如圖所示,42,C,。是。。上的點(diǎn)，且AC=80,ZAOB=125°,

【答案】/COD=125。.

【分析】由題意易知A2=C。，然后根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：B,C,。是0。上的點(diǎn)，AC=BD，

?*-AC+BC=BD+BC>即AB=C。，

/.ZAOB=NCOD,

"?ZAOB=125°,

：./COD=125。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等是解題的關(guān)鍵.

【類型4】有關(guān)弧、弦、圓心角的證明

13.（21-22九年級上.吉林?期中）如圖，。。中，弦AB與相交于點(diǎn)E,AB=CD,連接AD,BC.求證:

【答案】證明見詳解

【分析】由AB=CD知AS=CD，得到AD+AC=5C+AU即可得出=

【詳解】解：AB=CD,

-AB=CD>AD+AC=BC+AC

AD=BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，理解在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等,

③所對的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等是解題關(guān)鍵.

14.（24-25九年級上?浙江金華?期中）如圖所示，已知Ar>=3C,求證：AB=CD.

［分析］本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AD=得到=3C，則CD=A8，

從而可判斷AB=CD.

【詳解】解：：/⑦二以人

AD=BC^

AD+AC=AC+BC^即CO=AB，

AB=CD.

15.（23-24九年級上.甘肅武威?期末）己知，如圖，在。中，AB=DE,BC=EF,求證：AC=DF.

B

F

E&

AO.

D

【答案】證明見解析

【分析】此題考查了弧與弦的關(guān)系，熟練掌握在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一

組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題的關(guān)鍵.利用AB=DE，BC=EF,得出AB=DE，

Be=EF'即可得AC=DF，即可證.

【詳解】證明：：AB=DE，BC=EF,

?"AB=DE>BC=EF'

AC=DF>

：.AC=DF.

16.（24-25九年級下?廣東茂名?階段練習(xí)）如圖，D,E分別是OO的半徑0403上的點(diǎn)，且

CD±OACELOB,垂足分別為E,CD=CE.求證：AC=CB.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識點(diǎn)，求出

ZCDO=ZCEO=90°,根據(jù)HL得出RtACDO/RtAC￡O,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NAOC=/BOC,

即可得出答案.

【詳解】證明：VCDYOA,CEYOB,

NCDO=NCEO=90°,

在RtCC?和RtzXCOE中，

(CO=CO

?[CD=CE'

RtCOD0RtCOE(HL),

ZAOC=/BOC,

■■AC=CB-

17.（24-25九年級上?福建南平?期末）如圖，在。中，弦=于E,OHLBC于H.

B

(1)求證：AB=CD.

⑵若。的半徑為5,CD=8,求OE的長.

【答案】(1)見解析

(2)3

【分析】本題主要考查弧、弦之間的關(guān)系及垂徑定理，勾股定理，熟練掌握弧、弦的關(guān)系及垂徑定理是解

題的關(guān)鍵；

(1)由題意得AB=C￡＞，進(jìn)而問題可求證；

(2)連接08,垂徑定理得到鉆=￡B=4,由勾股定理，得緲=3.根據(jù)垂徑定理可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)證明：AD=BC,

：.AD=BC，

??AD+BD=BC+BD，

即AB=CD，

:.AB=CD；

(2)解：連接03,

AB=CD=8,OE1AB,

：.AE=EB=4.

:.OE=ylOB--BE2=3.

【類型5】圓周角定理

18.(2025?廣西欽州?二模)如圖，A8是。的直徑，若NC=30。，則NAOD的度數(shù)是()

c

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角是圓心角的一半，進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：是的直徑，NC=30。，

ZAOD=2/C=60。.

故選：B.

19.（2025?青海西寧?二模）如圖，A8是O直徑，C是O上一點(diǎn)，連接OC,若NAOC=132。，則/ABC

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理：同弧所對圓周角是圓心角的一半，根據(jù)NAOC,-ABC所對的弧都是弧AC,

即可解答.

【詳解】解：：NAOC,/ABC所對的弧都是弧AC,ZAOC=132°,

：.ZABC=-ZAOC=66°,

2

故選：B.

20.（2025?陜西商洛?二模）如圖，VA5c是。的內(nèi)接三角形，且Q4〃3C.若NACB=25。，則/C4B的

A.55°B.45°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓周角定理、

平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

連接08,由圓周角定理求出，AO3的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角定理和等腰三角形的性質(zhì)求出,AO3的度數(shù);

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到Z0AC的度數(shù)，最后根據(jù)ZCAB=ZOAB-ZOAC計(jì)算ZCAB的度數(shù)即可.

【詳解】解：如圖，連接08.

NACB=25。，

ZAOB=2ZACB=2x25°=50°,

OA=OB,

ZOAB=；(180°-ZAOB)=1x(180°-50°)=65°,

QOA//CB,

ZOAC=ZACB=25°,

ZCAB=ZOAB-ZOAC=65°-25°=40°.

故選：D.

21.(2025?四川南充?二模)如圖，點(diǎn)A、B、C、尸都在。上，若NA03=100。，ZAOC=30°,則—P

的度數(shù)為.

【答案】35。/35度

【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)已知可得NBOC=70。，根據(jù)圓周角定理可得NP=；NBOC=35。,

即可求解.

【詳解】解：VZAOB=100°,ZAOC=30°,

：.ZBOC=10°,

：.ZP=-ZBOC=35°,

2

故答案為：35°.

【類型6】圓周角定理的推論

22.（2025?山西?中考真題）如圖，48為。的直徑，點(diǎn)C、D是t。上位于48異側(cè)的兩點(diǎn)，連接AD、CD.若

AC=BC＞則一￡＞的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，連接AC、BC,由超為＜。的直徑可得NACB=90。，進(jìn)而由AC=BC得

ZCAB=ZCBA=45°,再根據(jù)圓周角定理即可求解，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接AC、BC,

:AB為:。的直徑，

ZACB=90°,

AC=BC＞

：.ZCAB=ZCBA=45°,

：."=/CBA=45°,

故選：B.

23.（2025?海南三亞?模擬預(yù)測）如圖，A8為。的直徑，C,。為。上兩點(diǎn)，ZBCD=30°,連接AC,

BD,則—ABD的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理的推論，熟悉相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出NACB=90。，再結(jié)合/次第=30。及圓周角定理可求—ABD的度數(shù).

【詳解】AB為。的直徑，

:.ZACB=90°,

又ZBCD=30°,

ZACD=ZACB-ZBCD=60°,

.\ZABD=ZACD=60°.

故選：C.

24.（24-25九年級下?福建漳州?期中）如圖，是。的直徑，C,。為。上A3同側(cè)的兩點(diǎn)，連接50,

BC,CD,且AC=C0，若NCBD=31。,則/BCD的度數(shù)為（）

A.58°B.32°C.29°D.28°

【答案】D

【分析】本題考查了圓周角定理，連接AD,先由等弧所對的圓周角相等求出/4BC=NCBD=31。，再求出

44=28。,然后再根據(jù)等弧所對的圓周角相等即可求出/3CD的度數(shù).

【詳解】解：連接AD,

?；AC=CD，/CBD=3I。，

：.ZABC=ZCBD=31°,

?「AB是。的直徑，

JZADB=90°

：.NA=90?！?1?！?1。=28。，

,?*BD=BD，

：.ZBCD=ZA=2S°.

故選D.

25.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，VABC內(nèi)接于O,45為C。的直徑，DE為。的弦，且BC=C。,

連接BE.若ZABC=65。，則/E的度數(shù)為

【答案】50。/50度

【分析】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理.

如圖，連接AD,根據(jù)A5為，。的直徑，得出NC=90。，從而求出/54C=25。，根據(jù)BC=C。得出

ZCAD=ABAC=25°,即可得/&【￡>=50。，再根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】解:如圖，連接AD，

4?為C。的直徑，

.-.zc=90°,

ZABC=65°,

:.ZBAC=25°,

BC=CD，

ZCAD=ABAC=25°,

.-.ZBAD=50°,

BD=BD'

ZE=ZBAD=50°.

【類型7】圓周角的有關(guān)計(jì)算與證明

26.（24-25九年級上?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，VABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在。上，AB=AC,ZBAC=120°,

BD為:。的直徑，且AD=6,求A3的長.

D

O

BC

A

【答案】26

【分析】本題考查圓周角定理，解直角三角形，等邊對等角求出NBC4=30。，圓周角定理得到/3口4=30。，

ZBAD=90°,利用銳角三角函數(shù)求出A3的長即可.

【詳解】解：ZBAC=nO°,AB=AC,

/.ZBC4=30°,

/.ZBZM=30°,

又Q3D為直徑，

:.ZBAD=90°,

,AD=6,

=AO-tan30°=6x立=2技

2

27.(24-25九年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))如圖，VABC中，AB=AC,AB為。的直徑，AC交(。于點(diǎn)

(1)求證：BD=CD；

(2)連接BE,若NA=45。，求/E3C的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)NEBC=225。

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角，三角形內(nèi)角和定理等知識，屬于基礎(chǔ)題.

(1)連接AD,則AD人3C,由等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論成立；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)及24=45。，可求得等腰三角形的兩個(gè)底角的度數(shù)，再直徑對的圓周角是直角,

得NABEE5。,由=即可求解.

【詳解】(1)證明：連接4),如圖，

：AB為。。的直徑,

ADJ.BC,

'：AB=AC,

：.BD=CD；

ZABC=ZC=1x(180°-ZA)=67.5°；

???AB為。的直徑,

ZABE=90°1

：.^ABE=45°,

:.ZEBC=ZABC-ZABE=22.5°.

【類型8】圓內(nèi)接四邊形

28.（2025?云南西雙版納?二模）如圖，四邊形ABC。是?。的內(nèi)接四邊形，若4=76。，貝?。荨?（）

B.86°C.94°D.104°

【答案】D

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可得到答案.

【詳解】解：???四邊形ABCO是I。的內(nèi)接四邊形,

AZB+ZD=180°,

VZB=76°,

AZD=104°,

故選：D.

29.（24-25九年級下?安徽宿州?期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。，過點(diǎn)B作交AO于點(diǎn)石.若

ZAEB=13°,則/ABC的度數(shù)為（）

A.117°B.107°C.105°D.97°

【答案】B

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先由平行線的性質(zhì)求出-WC的度數(shù)，再

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可得到答案.

【詳解】解：:BECD,

：./ADC=ZAEB=73。,

:四邊形ABCD內(nèi)接于O,

ZABC=180°-ZADC=107°,

故選；B.

30.（2025?安徽安慶?二模）如圖，AE是直徑，點(diǎn)8、C、。在半圓上，若ZB=120。，則〃=.

【答案】150。/150度

【分析】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

連接BE,根據(jù)直徑所對的圓周角為90度可得ZABE=90。，進(jìn)而可得/CBE=30。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對

角互補(bǔ)即可求解.

【詳解】解：如圖，連接BE,

是直徑，點(diǎn)B在半圓上，

..NASE=90。，

ZCBE=ZABC-ZABE=120°-90°=30°,

?..四邊形BCDE是：。的內(nèi)接四邊形，

ZD+ZCBE=180°,

:.ZD=180°-ZCBE=150°,

故答案為：150。.

【類型9】圓有關(guān)角的綜合計(jì)算與證明

31.(24-25九年級上?重慶潼南?期末)如圖，VABC是。的一個(gè)內(nèi)接三角形，點(diǎn)C是劣弧A3上一點(diǎn)(點(diǎn)

C不與A,B重合)，Z.OAB-a,2c=/3.

(1)當(dāng)&=31。時(shí)，求夕的度數(shù)；

(2)猜想a與夕之間的關(guān)系，并給予證明.

【答案】(1)尸=121。

(2)#=90。+a

【分析】本題考查圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角是圓心角的一半，圓內(nèi)

接四邊形的性質(zhì).

(1)在優(yōu)弧A3上取一點(diǎn)。，連接ZM、DB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出/AO3,根據(jù)同弧或等弧所對的

圓周角是圓心角的一半，求出/ADB=59。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可；

(2)在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)。，連接DA、DB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出/AOB=180。-2/，根據(jù)同弧或

等弧所對的圓周角是圓心角的一半，求出4。8=90。-&,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可.

【詳解】(1)解：在優(yōu)弧4B上取一點(diǎn)。，連接ZM、DB,如圖，

,?OA=OB,

：.ZOAB=NOBA=a=31°,

：.ZAOB=180o-2x31°=118°,

ZAOB=2ZADB=118°,

：.NAT?=59。，

:四邊形AD3c是圓內(nèi)接四邊形，

/.ZADB+ZACB=180°=59°+ZACB,

：.ZACB=⑵。，

...#=121°.

(2)解：尸=90。+￡，證明如下：

在優(yōu)弧48上取一點(diǎn)。，連接D4、DB,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=a,

：.ZAOB=180°-2a,

'：ZAOB=2ZADB=180°-2。，

ZADB=90°-a,

四邊形AD3c是圓內(nèi)接四邊形，

ZADB+ZACB^180°^90°-a+ZACB,

：.ZACB=180°-(90°-(z)=90°+(z,

/7=9O°+?.

32.（23-24九年級上.浙江溫州?期末）如圖，BC是。。的直徑，點(diǎn)A在。。上，ADI3C,垂足為￡?,AB=AE，

班分別交AD,AC于點(diǎn)EG.

⑴求證：FA=FG；

（2）若3。=。0=3,求弧EC的長度.

【答案】（1）見解析

4

(2)§乃

【分析】此題主要考查了圓周角定理和應(yīng)用，以及弧長的計(jì)算方法，要熟練掌握.

(1)根據(jù)5c是0的直徑，ADLBC,AB=AE^推出NAGg=N。⑦，即可推得E4=FG.

(2)連接49、EO,根據(jù)加>=00=2,ADJ.BC,求出NAQ5=60。，再根據(jù)AB二AE，求出/￡。。=60。,

進(jìn)而可得出答案.

【詳解】(1)證明：???5C是。的直徑，

???=90°,

???ZABE+ZAGB=90°；

,:ADJ.BC,

：.ZC+ZG4￡>=90°；

[AB=AE^

：./C=ZABE,

：.ZAGB=NCAD,

FA=FG.

(2)解：如圖，連接49、EO,

VBD=DO=2,ADJ.BCf

：.AB=AO,

AO=BO,

：.AB=AO=BO,

???ABO是等邊三角形，

???ZAOB=60°,

AB=AE，

：.ZAOE=6Q0,

???ZEOC=60。,

:.弧EC的長度=2^x(2x2)x^^=g萬.

33.(18-19九年級上?全國?單元測試)如圖，已知OE為，。的直徑且OE=4,A為。上一個(gè)動點(diǎn)(不與

點(diǎn)。、E重合)，線段A8經(jīng)過點(diǎn)E,且AE=￡B,F為。上一點(diǎn)，NFEB=90。，BF的延長線與AD的延

長線交于點(diǎn)C.

⑵當(dāng)點(diǎn)A在。上運(yùn)動時(shí)，求四邊形尸CQ￡的最大面積.

【答案】(1)見解析

⑵8

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)連接ORAF,首先證明四邊形ADEF是矩形，推出所=4%即可解決問題；

(2)證明四邊形石FCD是平行四邊形，推出S矩形所以=S所⑺，根據(jù)題意計(jì)算即可；

【詳解】(1)證明：連接ORAF,

。石是直徑，

:.ZEAD=90°,

FE1AB,

.-.ZFE4=90o,

.?.AF是直徑，

:.ZADF=90°,

ZFEA=ZEAD=ZADF=90°,

二?四邊形AD￡F是矩形，

:.EF=ADf

EB=EA,ZBEF=ZEAD=90°,

BE=AE,

:.BF=CF,

:.AC=2EF,

，EF=AD=CD,

QEF〃CD,

，四邊形跖CD是平行四邊形，

AD=CD,EF//AC,

…S矩形￡77%=SEFCD，

.?.矩形石廠D4面積最大時(shí)，四邊形EFCD的面積最大，

當(dāng)AF1QE時(shí)，矩形瓦面積最大，

此時(shí)矩形￡"）4面積最大值為：；x4x4=8,

故四邊形EFCD的面積最大值為8.

34.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）己知。。的半徑為2,弦AB=2,AC=2叵,求/BAC的度數(shù).

【答案】ZBAC的度數(shù)為15?；?05。

【分析】本題考查等邊三角形和等腰直角三角形.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，利用等邊三角形的判

定和性質(zhì)得到ZOAB=60°,然后根據(jù)狗狗股定理的逆定理得到ZAOC=90°,進(jìn)而得到ZOAC=45°即可

解題.

【詳解】①如答圖①，連接。4,OB,OC.

'：CM=O3=AB=2,

.二。4s是等邊三角形，

二NOAB=60。.

AC=2A/2,OA=OC=2,

：.OA2+OC2=AC2,

/AOC=90。，

,Q4c=45。，

NBAC=NOAB—NOAC=15°.

①②

②如答圖②，同理得，。AB=60。，4c=45。，

NBAC=ZOAB+ZOAC=105°.

綜上，/BAC的度數(shù)為15?；?05。.

35.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）已知VABC中，AB=AC,以A3為直徑的::。交于。，交AC于

E.

AEA

C

(1)如圖①，當(dāng)2A為銳角時(shí)，連接8E,試判斷—A4c與NC3E的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)將圖①中的邊48不動，邊AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NA4c為鈍角時(shí)，如圖②，C4的延長線與,；。相

交于E.請問：-A4c與NC3E的數(shù)量關(guān)系是否與(1)中得出的關(guān)系相同？若相同，請加以證明；若不同，

請說明理由.

【答案】(1)/R4c=2/CBE.理由見解析

(2)相同.理由見解析

【分析】本題考查了圓周角定理的推論、三線合一的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定

理是解本題的關(guān)鍵.

(1)連接AD,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出,再根據(jù)三線合一的性質(zhì),得出ABAC=2ZCAD,

再根據(jù)同圓或等圓所對的圓周角相等，得出NCAD=NCBE,再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論；

(2)連接AD,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出AD2,再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出ABAC=2ZCAD,

再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出NCAD=NCBE,再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)NBAC=2NCBE

證明：如圖，連接AD,

：A3為直徑,

ADJ.BC,

又：AB=AC,

ABAC=2ACAD,

ZCAD=ZCBE,

：.ABAC=2ZCBE■,

(2)解：相同，證明如下:

如圖，連接AD,

EA

C

B

???AB為直徑，

???ADJ.BC,

又「AB=AC,

：.ZBAC=2ZCAD,

???/。1￡＞是圓內(nèi)接四邊形4￡5。的外角，

，ACAD=180?！猌.EAD=ZCBE,

???ZCAB=2ZCBE.

36.（2021?福建福州?二模）如圖，四邊形ABC。中，AC=AD,?ABD90?,過A民。三點(diǎn)的圓與CO交

于點(diǎn)E.

⑴求證：E是CD的中點(diǎn)；

⑵若CD=28C,求證：ZBCD=2ZADB.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和

圓周角定理是解答的關(guān)鍵.

（1）連接AE,先根據(jù)圓周角定理證得AD為直徑，進(jìn)而AELCD,再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可

得結(jié)論；

（2）連接BE.根據(jù)已知和（1）中結(jié)論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到NCEB=NCBE,再根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理得到ZBCD=2ZAEB,再利用圓周角定理得到NAEB=Z4T!B即可證得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖，連接AE.

A,8,O三點(diǎn)共圓，且？ABD90?,

二AD為直徑，

:.ZAED^9Q°,即AE_LCD

又AC=AD

:.CE=DE

即片是CO的中點(diǎn).

(2)證明：連接班.

CD=2BC,CE=DE,

:.CB=CE

:./CEB=NCBE

則ZBCD=180?！猌CEB-ZCBE=180?！?Z.CEB,

又ZAEB=ZAEC—NCEB=90?！?CEB,

,\ZBCD=2ZAEB

AB=AB，

:.ZAEB=ZADB

.\ZBCD=2ZADB.

8串知識識框架

【類型一】圓心角與圓周角的概念

【類型9】圓有關(guān)角的綜合計(jì)算與證明

【類型2】弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

【類型8】圓內(nèi)接四邊形

圓心角與圓周角（9大【類型3】有關(guān)弧、弦、圓心角的計(jì)算

【類型7】圓周角的有關(guān)計(jì)算與證明

類型精準(zhǔn)練）【類型4】有關(guān)弧、弦、圓心角的證明

【類型6】圓周角定理的推論

【類型5】圓周角定理

8過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.（2025?湖南長沙?三模）如圖，A、B、C是：。上的點(diǎn)，OC±AB,垂足為點(diǎn)O,BC//OA,若3c=6,

則OD的長為（）

H

C

A.3^B.3C.273D.4

【答案】B

【分析】通過連接OB,利用垂徑定理、平行線性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)，推導(dǎo)出0。與2C的關(guān)系來求解.

【詳解】解：連接03,

OC1AB,OA=OB

AD=BD,ADO=90°.NAOD=/BOD,

BCOA,

...ZAOD=NBCD=NBOD.

又二OA=OB=OC,

NOBC=NBCD=NBOC.

...,O3C是等邊三角形,

OC=BC=6

OCA.AB,O3C是等邊三角形,

:.OD=-OC=3.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟

練掌握垂徑定理和利用角度、邊的關(guān)系推導(dǎo)線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(24-25九年級下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))如圖，AD是半圓。的直徑,3C兩點(diǎn)在半圓上，且AB=BC=CD，

點(diǎn)P在CD上，連接0尸，若ZPCB=130°,貝！|?3Po()

30°C.35°D.40°

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與

性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握并靈活運(yùn)用圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

本題先連接08,OC,OP,得到VA03、3OC均是等邊三角形，求得？PCO70?,再根據(jù)等邊對等角

和三角形內(nèi)角和定理可求得？3Q尸100?,然后根據(jù)等邊對等角即可求解；

【詳解】解：連接OB,OC,OP,如圖：

AoD

??,AD是是半圓。的直徑，

:CADO180?,

,**AB=BC=CD，

：.ZAOB=ZBOC=ZCOD=60°,

由題可得：OA=OB=OC=OD=OP=r,

：.NAOB、BOC均是等邊三角形，

???ZBCO=60°,

=130°,

?PCO1PCB?BCO130?60?70?,

?；OC=OP,

：.?PCO?CPO70?,

?COP180??PCO?CPO180?70?70?40?,

?BOP2cop?BOC100?,

OB=OP,

：.NBPO=1(180°-NBOP)=40°,

故選：D.

3.(2025?黑龍江哈爾濱?三模)如圖，已知銳角NAOB,(1)在射線Q4上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心，OC

長為半徑作防，交射線02于點(diǎn)連接CD(2)分別以點(diǎn)C,。為圓心，CZ)長為半徑作弧，交所于點(diǎn)

G,H；(3)連接OG,GH.下列四個(gè)結(jié)論：①OG=OD；?ZCOG=Z.COD■,③GH〃CD；?GH=3CD.所

有正確的結(jié)論是()

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】連接GC,GD,DH,OH,根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，圓心角與弧，弦的關(guān)系，平行

線的判定，三角形三邊關(guān)系定理解答即可.

【詳解】解：連接GC,GD,DH,OH,

Z.COG=Z.COD=ADOH,

GC=CD=DH，

Z.CDG=ZCGD=ZDGH,

：.GH//CD,

GC+CD>GD,

：.GC+CD+DH>GD+DH,

/.3CD>GD+DH,

,：GD+DH>GH,

3CD>GH,

①②③正確，④錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，圓心角與弧，弦的關(guān)系，平行線的判定，三角形三

邊關(guān)系定理，熟練掌握作圖和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?江蘇泰州?三模）如圖，在圓。中，點(diǎn)C是弧A8的中點(diǎn)，CO垂直平分半徑Q4,且。4=2,則8。

長為（）

A.2B.3C.73D.4

【答案】D

【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系、解直角三角形、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.作BE，AO交A0延長線于點(diǎn)E,連接OC、,由C。垂直平分半徑OA,得到OD==1,CDJ_,

在R3OCD中利用余弦的定義推出cosNCOD=；,則有NCOD=60。，根據(jù)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，得出

ZBOC=ZCOA=60°,解RtjBOE求出BE、OE的長，最后在中利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，作BE1.AO交A。延長線于點(diǎn)E,連接OC、OB,

17t\8垂直平分半徑。4，

:.OD=-OA=lCDVOX.

2f

OB=OC=OA=2,

在RtzXOCZ）中，cos/COD-——,

OC2

.?./COD=60。，

?點(diǎn)。是弧回的中點(diǎn)，

ZBOC=ZCOA=60°,

/.ZBOE=180O-ZBOC-ZCOA=60°,

BE上AO,

ZE=90°,

DE10E1

.在RtBOE中，sinZBOE=—=sin60°=—,cosZBOE=——=cos60°=-,

OB2OB2

:.BE=2OB=M,OE=-OB=1,

22

:.DE=OD+OE=1+1=2,

BD=-JBE2+DE2='（扃+22=/7.

故選：D.

5.（2025?海南?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是r。的內(nèi)接四邊形，連接AC,延長AB至點(diǎn)E,若

【答案】D

【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是利用同弧或等弧所對圓周角相等求

出相關(guān)角的度數(shù).

先根據(jù)等弧所對圓周角相等求出/CAD和/S4,再利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角求出NCBE.

【詳解】AC=CD-ZACD=40°,

：.ZCDA=ACAD=1（180°-ZAC￡＞）=1x（180°-40°）=70°,

???四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，

ZABC=180O-ZCDA=110°,

Z.CBE=180°-ZABC=70°.

故選：D.

6.（2025?云南昆明?二模）如圖，已知四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，連接OAOC,若NAOC=140。，

B

A.70°B.110°C.130°D.140°

【答案】B

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識點(diǎn).根據(jù)圓周角定理得出

ZADC=|ZAOC=70°,求出，。的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NADC+NABC=180。，即可求

出結(jié)果.

【詳解】解：：NAOC=140。,

ZADC=-ZAOC=70°,

2

?..四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，

ZADC+ZABC=180°,

^ABC=180°-ZADC=110°,

故選：B.

7.（2025?廣西百色?二模）如圖，四邊形AB。內(nèi)接于C。，若NABC=135。，AC=2,則。的半徑是（）

A.72B.6C.20D.4

【答案】A

【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角與圓