專題09立體幾何

?Ml

2025高考真題

一、單選題

1.（2025?天津?高考真題）若加為直線，①〃為兩個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若mlla,nua,則加/〃B.若加J_a,zw_L夕，則a_L〃

C.若1/3,則a_1_/?D.若加ua,a_1_尸，則僅_1_/?

二、多選題

2.（2025?全國一卷?高考真題）在正三棱柱48C-44cl中，。為3c中點，貝!!（）

A.AD1AfiB.3C_L平面A4Q

C.4D〃4耳D.CG〃平面44。

三、填空題

3.（2025?上海?高考真題）如圖，在正四棱柱NBCD-44GA中，BD=4?,DB、=9,則該正四棱柱的體

積為.

BlG

也———力

/、、、/

---------

4.（2025?全國二卷?高考真題）一個底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）

內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

5.（2025?北京?高考真題）某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其

中A8CDE戶是一個平面多邊形，平面4ra_L平面48C,平面CD7_L平面/2C,AB1BC,AB//EF//RS//CD,

BC//DE//ST//AF若AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD二,則該多面體的體積為.

2

1/81

四、解答題

6.(2025?上海?[Wj考真題)如圖，尸是圓錐的頂點，。是底面圓心，是底面直徑，且48=2.

(1)若直線出與圓錐底面的所成角為:，求圓錐的側(cè)面積；

JT

(2)已知。是母線燈的中點，點C、。在底面圓周上，且弧NC的長為、，CD//AB.設(shè)點M在線段OC

上，證明：直線?！啊ㄆ矫嫘摹?

7.(2025?全國一卷?高考真題)如圖所示的四棱錐尸-48CA中，尸/，平面/BCD,BC//AD,ABLAD.

(1)證明：平面尸N3_L平面P/D；

(2)PA=AB=41,AD=\+^,BC=2,P,B,C,。在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為O.

(i)證明：O在平面A8C。上；

(ii)求直線/C與直線尸。所成角的余弦值.

8.(2025?天津?高考真題)正方體/BCD-44GA的棱長為4,￡、廠分別為4〃，G片中點，CG=3GC-

2/81

(1)求證：GF_L平面用￡；

(2)求平面FBE與平面EBG夾角的余弦值;

(3)求三棱錐。-必￡的體積.

9.(2025?北京?高考真題)如圖，在四棱錐尸-48CD中，A/DC與△氏4C均為等腰直角三角形,

ZADC=9Q0,/A4c=90。，￡為3C的中點.

C

⑴若尸,G分別為尸。，尸E的中點，求證：FG//平面為2；

(2)若尸/_L平面NBC。，PA=AC,求直線與平面PCD所成角的正弦值.

10.(2025?全國二卷?高考真題)如圖，在四邊形N3CO中，AB//CD,ZDAB=90°,k為CD的中點，點E

在上，EF//AD,AB=3AD,CD=2AD,將四邊形￡尸。4沿跖翻折至四邊形EFD4,使得面EFD4與

面EFCB所成的二面角為60。.

(1)證明:〃平面CDF；

(2)求面BCD'與面EFD'A'所成的二面角的正弦值.

3/81

?m

2025高考模擬題

一、單選題

1.（2025?甘肅白銀?二模）設(shè)/￡是兩個平面，私〃是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若m1a,m〃，則〃_L

B.若mua,rtu0jnLn,則aJ_￡

C.若切_La,〃_L加，則〃〃a

D.若加ua,〃ua,加〃￡,"〃尸，則a〃4或a與4相交

2.（2025?湖南?一模）亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是園林風(fēng)景的重

要點綴.重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐以及一個圓臺（圖2）的組合

體.已知某重檐涼亭的圓臺部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺部分的側(cè)面積為（）

圖1圖2圖3

A.3.671m2B.3.871m2C.4.27im2D.5.47im2

3.（2025?山東濟(jì)南?三模）如圖，下列正方體中，M,N,P,0分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中,

直線和尸。為異面直線的是（）

4.（2025?遼寧大連?三模）設(shè)以尸為兩個平面，狐"為兩條直線，且an￡=，〃.下述四個命題:

①若m//n,則〃//a或〃〃夕

②若m-Ln,則〃_Le或〃_L￡

③若"http://c且〃//",則機(jī)//〃

④若"與a4所成的角相等，則冽，〃

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

4/81

5.（2025?湖南益陽?三模）己知圓錐的母線長為2百，其外接球體積為手，則該圓錐的表面積為（）

A.3兀B.6兀C.9兀D.12K

6.（2025?北京大興?三模）《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)名著，書中記載了一類名為“羨除”的五面體.如

圖，在羨除/8CO防中，底面A8C。是正方形，的〃平面/BCD,EF=2,其余棱長都為1,則這個幾何

體的體積為（）

A.20B.42C.*D.在

33

7.（2025?河南?二模）棱長均為2的正三棱柱43cl的各個頂點都在球。的球面上，則球。的體積為

（）

,14亞兀口23671門77771c2872171

27542427

8.（2025?湖北武漢?三模）如圖，如圖1的“方斗”古時候常作為一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一

3

個上大下小的正四棱臺，Z8=10,4耳=2,現(xiàn)往該方斗杯里加水，當(dāng)水的高度是方斗杯高度的二時，水

4

的體積為84,則該方斗杯可盛水的總體積為（）

9.（2025?遼寧?三模）在正四棱柱/BCD-44GA中，皿=2/昆瓦尸,G分別是的中點，則

直線4G與跖所成角的余弦值為（）

AV3n娓娓nV30

A.D.rC.U.

23510

10.（2025?云南?三模）正三棱臺/8。-4呂￡的上、下底邊長分別為6,18,該正三棱臺內(nèi)部有一個內(nèi)切球

（與上、下底面和三個側(cè)面都相切），則正三棱臺的表面積為（）

A.144>AB.15373C.225班D.23473

11.（2025?河北秦皇島?三模）如圖，在棱長為2的正方體-44GA中，E、尸分別為4月、3c的

5/81

中點，則過點E、F、A的平面a與側(cè)面BCG4的交線長為（）

A.—B.-C.—D.

362

12.（2025?湖北三模）在正三棱臺43C-DEF中，尸,。分別為棱/氏3。的中點，AB=2DE,四邊形尸QFD

為正方形，則8c與平面/CED所成角的正弦值為（）

A出口V6「VJnV6

?----Jj?----\_z?1_Z?----

3366

13.（2025?甘肅?二模）如圖，在三棱錐S-/8C中，"，平面48C,NB/C=90。且"==/C=及，

若在△SBC內(nèi)（包括邊界）有一動點P,使得N尸與平面S3。所成角的正切值為"，則點尸的軌跡長為（）

4兀-2兀/

A.—B.兀C.—D.6

33

14.（2025?天津河西?二模）在正四棱錐P-4BCZ）中，底面四邊形/8C。是邊長為行的正方形，當(dāng)該正四

棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑廠之比最小時，則該正四棱錐的體積為（）

A.20+2B2屬+1c.272+2D.2’虛+2

333

二、多選題

15.（2025?山東濰坊?二模）在正方體N38-44CA中，E、F分別為線段42、N8的中點，貝U（）

A.EF與8C異面B.跖〃平面

C.EFLACD.BD上平面ENG

16.（2025?河北衡水?三模）如圖，該幾何體是高相等的正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體，若該幾何體底

6/81

面邊長和上面正四棱錐的側(cè)棱長均為10cm,則下列選項中正確的是（）

B.該幾何體的表面積為（100V5+200^）cirf

C.該幾何體的體積為迎迪cn?

3

D.一只小螞蟻從點E爬行到點S,它所經(jīng)過的最短路程為J150+50Ccm

17.（2025?河北秦皇島?一模）已知在正三棱柱/6C-4gG中，￡為棱8片的中點，尸為棱的中點，則

（）

A.〃平面GAF

B.若4B=44，則

c.若*=2必，則直線4￡與直線C/所成角的余弦值為「

D.若48=44］，則平面QE尸與平面N3C的夾角為30°

18.（2025?江蘇蘇州?三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-44G4中，E為43的中點，廠為側(cè)面8。6片

內(nèi)的動點（含邊界），則下列說法正確的是（）

A.使三棱錐F-NRE體積取得最大值的點廠唯一

B.存在點尸，使得直線G尸與GE的夾角為￡

c.2EJ-/尸時，點尸的軌跡是線段

D.。也//平面4G尸時，點尸的軌跡長為之叵

7/81

19.（2025?江蘇蘇州?三模）已知四棱錐P-4BCD中，PC，平面48co,4D，CO,/C=4,四棱錐尸一48CD

的外接球的球心為O.記四棱錐P-ABCD,O-ABCD的體積分別為匕匕，三棱錐尸-48,尸-”5C的體積

分別為匕匕，則下列說法中正確的有（）

A.ABLBP

B.匕=2%

C.匕=2匕

D.若二面角尸-N5-C的平面角大小為45°,則匕的最大值為電1

27

JT

20.（2025?四川自貢三模）如圖1,在VN8C中，AC1BC,ZS=y,AB=8,D、￡分別在/￡AC

上，且4詼=3Z.將V4DE沿DE翻折得到圖2,其中4c1廢.記三棱錐/-BCD外接球球心為Q,球Q

表面積為B，三棱錐/-EC?外接球球心為心，球&表面積為$2,則在圖2中，下列說法正確的有（）

圖1圖2

A.BDLAD

B.直線與DE所成角的正弦值為典

5

C.。。2〃平面3CDE

D.Sx+S2=ISTI

21.（2025?四川眉山?三模）某廣場內(nèi)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四

面體得到的（被稱作阿基米德體），如圖所示，若該石凳的棱長為2后，下列結(jié)論正確的有（）

A./G,平面3CDGB.該石凳的體積為§

8/81

C.A,F,C,。四點共面D.點3到平面/C￡＞的距離為逅

3

22.（2025?山東德州?三模）在四棱錐尸中，底面/BCD是邊長為1的正方形，P/_L平面N8CO,

且P/=l,點￡,F,G分別為棱ZBMAPC的中點，貝!!（）

A.AG1PD

TT

B.異面直線尸G和/C所成的角為自

C.平面所G與平面/BCD所成角的正弦值為YS

3

D.過點E,F,G的平面截四棱錐尸-所得的截面圖形為五邊形

三、填空題

23.（2025?黑龍江哈爾濱?三模）在三棱錐尸-48C中，尸/，平面/2C,4BLC8,尸C=13,則三棱錐尸-48C

外接球的半徑為.

24.（2025?遼寧大連?三模）已知正四棱臺/8。-4g02，/3=24綜￡,尸分別是棱44,4。的中點，平

面EFDB將正四棱臺割成兩部分，則較小部分與較大部分的體積之比為.

25.（2025?湖南?三模）如圖，在直三棱柱4BC-481G中，△/BC是正三角形，。為NC的中點，點E在

棱上，且CE=2EG，若/B=2,四=3,則點4到平面瓦法的距離為.

26.（2025?遼寧鞍山?一模）正四面體內(nèi)切球與其外接球表面積之比為.

2兀

27.（2025?安徽蚌埠?三模）三棱錐P-48c中，PA=PB,3=4,BA=BC=2,ZABC=—,則三棱錐

P-ABC的體積的最大值為.

IT

28.（2025?安徽合肥?三模）在長方體/BCD—446A中，BD=2AB=2.AAXBA+ZA{CA+AAXDA=-,

9/81

點M在長方體內(nèi)且前=y/3MC,則平面ADM截長方體ABCD-44GA的截面面積為

四、解答題

29.(2025?北京?三模)如圖，在四棱柱48CD-44G〃中，側(cè)面/￡嗎4和底面/BCD均為菱形，且仞=2,

7T

ZAlAD=ZDAB=-,E為4。的中點，用G與平面CDE交于點尸，

(1)求證：尸為qG的中點;

(2)若平面ADD^，平面ABCD,求二面角3-441-。的余弦值.

30.(2025?黑龍江哈爾濱?二模)如圖，矩形/BCD中，AB=2,AD=4,￡為3。的中點，將ACDE沿翻

折至△PDE,平面PDE±平面ABED.

⑴求證：PO_L平面PE/；

(2)求直線PD與平面EB4所成角的正弦值.

31.(2025?福建廈門?三模)在三棱錐尸-/BC中，AC1BC,APLCP,AP=CP=2,。是NB的中點,

且平面PAC1平面ABC.

(1)證明：/尸」平面8cP；

(2)已知平面a經(jīng)過直線PC,且N8〃a,直線PZ)與平面a所成角的正弦值為逅，求三棱錐尸-/8C的體

3

積.

32.(2025?山西?三模)如圖，在三棱柱48C-4耳。中，所有的棱長均相等，。是/C的中點，。在上底面

10/81

4月G的投影為△4與G的重心。.

⑴證明：ACLBO-,

(2)求平面4BC與平面N/CG的夾角的正弦值.

33.(2025?重慶?三模)如圖，已知在四棱錐尸-N8C。中，AD=1,AB=2,P￡)_L平面/BCD,平面尸

平面PAD.

(1)證明：AB1AD；

Q)若AC=PD=26,且BD=CD,G為△尸3c的重心，求直線。G與平面尸4B所成角的正弦值.

34.(2025?河北邢臺?三模)如圖，在斜三棱柱-48cl中，AB1AC,/8=NC,點&在底面4BC上

的投影為BC的中點。，點M滿足或;=4場(0V4V1).

(1)當(dāng)力=；時，證明：平面4兒Q，平面48C；

(2)已知明=2AB=4,若平面43c與平面4MC夾角的余弦值為疸，求4的值.

11/81

35.（2025?山東煙臺三模）如圖，在四棱錐P-48C。中，是邊長為2的正三角形,且二面角尸-

的大小為60。.底面/3CD為平行四邊形，AB=1,NN3C=60°,點。在棱尸。上且網(wǎng)=/1而（0<4<1）.

（2）求直線AP與平面BQC所成角的正弦值的取值范圍.

36.（2025?四川巴中?二模）如圖，在直三棱柱ABC一/耳C1中，=/4：=BC=4,平面48C，平面ABBXAX,

點及尸分別是棱4GBG的中點，點G是線段AtB上的一點

B

(1)求證：EF1BC-,

（2）若直線4G與平面斯G所成角的正弦值為叵，求笑的值.

5GB

37.(2025?湖南岳陽?三模)如圖，在梯形48CA中，AB//CD,CD=2AB=6,AD=2,ZADC=60°,E,

廠分別為線段CD上異于端點的一點，EhAB,將梯形/EFO沿斯翻折至與梯形E3C尸垂直的位

置，得到多面體43EDCF.

⑴若BDLEC,證明：DF=FC.

⑵若CD〃平面N8尸,求直線8C與平面月所成角的正弦值.

12/81

38.(2025?甘肅白銀?二模)如圖，已知正方形N2C。的邊長為4,瓦廠分別為ND,8c的中點，以斯為棱將

正方形/8CA折成如圖所示，使得二面角/-￡尸-。的大小為60。，點M在線段上且不與點42重合.

圖1圖2

(1)直線板與由4。,E三點所確定的平面相交，交點為。，若CELMF,求N"的長度，并求此時點。到

平面CDE尸的距離;

(2)若加=：而，求平面MEC與平面。跖夾角的正弦值.

39.（2025?江西萍鄉(xiāng)三模）已知四棱錐S-/3C。中，二面角S-4D-3為直二面角,

4

AD=-CD=2SD=4BC=4,ZBCD=ZADC=ZASD=90°,〃為棱上一點.

3

(2)若M為。/中點，求二面角5-SC-M的正弦值；

JT

⑶若〃平面SCO,點N在平面上，若直線ZN與平面SCO所成角為:，求的最小值.

6

40.(2025?湖北黃岡?三模)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，PN，底面N8CD,3C//ND,2c=140,四面體

2

4

P-ABC的體積為△尸的面積為2vL

13/81

(1)求點。到平面PBC的距離；

(2)若AP=AB,平面P8C_L平面N8尸，證明：BCLL平面48尸

⑶在(2)的條件下，在棱尸C上是否存在一點N,使平面48N與平面8NC夾角為60。,若存在，求NC的

長.若不存在，說明理由

41.(2025?山東聊城?二模)如圖，柱體上下底面是橢圓面，A'B\分別是上下底面橢圓的長軸，CD,.

CD分別是上下底面橢圓的短軸，四邊形'和COD'C'為矩形，O'、。分別為上下底面橢圓的長短軸的

交點，AB=yflCD=2A/2.M、N是下底面橢圓上兩動點，MN不與48平行或重合.

DM

⑴證明：。。」平面NO3C；

(2)若△。同8,面積為定值，求。。'的長度；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)平面平面時，求點。到直線的距離的取值范圍.

14/81

專題09立體幾何

?Ml

2025高考真題

一、單選題

1.（2025?天津?高考真題）若加為直線，①〃為兩個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若mlla,nua,則加/〃B.若加J_a,zw_LQ,則aJ■力

C.若1B,則a_L/?D.若加ua,a_1_尸，則加_L/?

【答案】C

【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的正誤.

【詳解】對于A,若m"a,nua,則嘰〃可平行或異面，故A錯誤；

對于B,若冽，a,加，尸，則a%,故B錯誤；

對于C,兩條平行線有一條垂直于一個平面，則另一個必定垂直這個平面，

現(xiàn)加〃。，機(jī)_L〃，故。_1〃，故C正確；

對于D,，"ua,a_L/，則m與尸可平行或相交或加u￡,故D錯誤；

故選：C.

二、多選題

2.（2025?全國一卷?高考真題）在正三棱柱48。-4月。|中，D為BC中點、,則（）

A.AD1AtCB.BC_L平面說。

C.4D//4耳D.CG〃平面4V）

【答案】BD

【分析】法一：對于A,利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可判斷；對于B,利用線面垂直的判定

與性質(zhì)定理即可判斷；對于D,利用線面平行的判定定理即可判斷；對于C,利用反證法即可判斷；法二:

根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可得解.

【詳解】法一：對于A,在正三棱柱/3C-4月G中，平面N3C,

15/81

又NOu平面48C,則44_LNQ,則基.近二。，

因為V/8C是正三角形，D為BC中點,則/O28C,則函.詬=0

JLAfi=A^A+AD+CD,

所以就.而=（基+15+函）=+函.而=益，0,

則ND,4c不成立，故A錯誤；

對于B,因為在正三棱柱ABC-48G中，44J平面/8C,

又BCu平面N3C,則用_L8C,

因為VN8C是正三角形，。為8c中點，則/D/3C,

又441n4D=444],40u平面44Q,

所以8C_L平面44。，故B正確；

對于D,因為在正三棱柱NBC-N4G中，CCXUAAX

又/4u平面44℃G仁平面W4Q,所以CCJ/平面44Q,故D正確;

對于C,因為在正三棱柱NBC-44G中，A^BJ/AB,

假設(shè)40〃44，貝!]4D//48,這與4Dc/B=/矛盾，

所以45//不成立，故C錯誤；

故選：BD.

法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為2,高為〃，

則。(0,0,0),.(6,0,0),4(■o,A)cQ,TO)c,0,-1/)BQ,I,O祝Q,i,h),

對于A,而=卜6,0,0),雨=(-6,-1,-〃)，

貝!JZ5.布=卜百)xb@+0=3/0,

則NO，4c不成立，故A錯誤；

對于BD,BC=(0,-2,0),南=(0,0,A),AAt=。,0,〃)力=1百0,0),

設(shè)平面W4Q的法向量為萬=(x/,z),

16/81

AA,-n=hz=0(、

則,廣，得x=z=O,令歹=1,則為=0,1,0),

ADn=-yJ3x=0

所以8C=(O,-2,O)=-2/f,CG〃=0,

則BC,平面440,CC"/平面44。，故BD正確；

對于C,25=(-V3,0,0)，4^=(^3,1,0),

_、n0

則產(chǎn)w?,顯然ND//4與不成立，故C錯誤；

-V31

故選：BD.

三、填空題_

3.（2025?上海?高考真題）如圖，在正四棱柱/BCD-44GA中，BD=45DB、=9,則該正四棱柱的體

積為.

51G

星——

/、、

/、、、

A'-Z-------

【答案】112

【分析】求出側(cè)棱長和底面邊長后可求體積.

【詳解】因為AD=4后且四邊形/BCD為正方形，故胡=4,

而。4=9,故網(wǎng)2+5》=81,故班1=7,

故所求體積為7x16=112,

故答案為：112.

4.（2025?全國二卷?高考真題）一個底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）

內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

【答案】2.5

【分析】根據(jù)圓柱與球的性質(zhì)以及球的體積公式可求出球的半徑；

【詳解】

17/81

圓柱的底面半徑為4cm,設(shè)鐵球的半徑為r,且r<4,

由圓柱與球的性質(zhì)知AB2=（2r）2=（8-24+（9-2r）2,

即4r2-68r+145-（2r-5）（2r-29）=0,?.-,-<4,

/.r—2.5.

故答案為：2.5.

5.（2025?北京?高考真題）某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其

中48CDEF是一個平面多邊形，平面4F7?_L平面N3C,平面CDT_L平面/8C,AB1BC,AB//EF//RS//CD,

BCI/DEIIST//AF若AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD="則該多面體的體積為.

2

【答案】60

【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱小?尸-2"7和四棱錐3-”2%后結(jié)合體積公式可求幾何體

的體積.

【詳解】先證明一個結(jié)論：如果平面a，平面7,平面萬，平面7,平面貝！

證明：設(shè)ac/=a,0Cy=b,在平面7取一點0,。電a,O正b,

在平面7內(nèi)過。作直線加，使得加JL。，作直線〃，使得〃_Lb,

因為平面a_L平面,故加_La,而/ua,故加_L/,

同理〃_L/,而加=加,〃uy,故.

連接5￡,因為且4F7/BC,故/尸_L45,同理8C_LCZ),EF1ED,

18/81

而4B=BC=8,AF=CD=4,故直角梯形ABEF與直角梯形CBED全等，

故NBEF=NBED=45。,

在直角梯形/3E尸中，過3作BT_LEF,垂足為7,

則四邊形ABTF為矩形，且ABTE為以NBTE為直角的等腰直角三角形，

=FT+TE=AB+BT=AB+AF=n,

平面冗4尸_L平面ABEF,平面冗4尸Cl平面48E/=4F,AF1AB,

48匚平面/8￡尸，故48_1_平面

取/尸的中點為BE的中點為U,CD的中點為％,連接RM,MU,SU,UV,

則MU//ES,同理可證尺M(jìn)_L平面/3E尸，而QWu平面RWL7S",

故平面RMUS_L平面ABEF,同理平面VUS_L平面ABEF,

而平面Q以7SCI平面8S"=SU,故SU_L平面ABEF,

極RMHSU,故四邊形mWZS為平行四邊形，故WU=RS=；（8+12）=10.

在平面4aHR中過3作8H7/M?,交RH于H,連接HT.

則四邊形NAffl?為平行四邊形，且RH〃4B,RH=AB,故RHWFT,RH=FT,

故四邊形R尸汨為平行四邊形，

而BHLAB,BTLAB,BTCBH=B,BT,BHu平面BHT,

故N8，平面BHT,故平面ARF//平面BHT,

而AR=BH,RF=HT,AF=BT,故工ARF三叢BHT,

故幾何體NRF-BHT為直棱柱，

而S、ARF=；x4xJ]]-4=3,故"般=8x3=24，

因為ABUEF,故所_1_平面/RF,

而跖u平面及SEF,故平面N7aJ"平面RSEF,

在平面NR尸中過A作NGLEL垂足為G,同理可證/G，平面ASEF,

11211915

而34G義RF=3,AG=—,故/.HTES=§*不義5（2+4）*5=6,

由對稱性可得幾何體的體積為2x（24+6）=60,

故答案為：60.

19/81

四、解答題

6.(2025?上海?高考真題)如圖，尸是圓錐的頂點，。是底面圓心，N2是底面直徑，且NB=2.

(1)若直線為與圓錐底面的所成角為:，求圓錐的側(cè)面積；

JT

(2)已知。是母線口的中點，點C、。在底面圓周上，且弧NC的長為CD//AB.設(shè)點”在線段OC

上，證明：直線加〃平面尸20.

【答案】⑴2兀

(2)證明見解析

【分析】(1)由線面角先算出母線長，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.

(2)證明平面。OC//平面尸8。，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.

【詳解】(1)由題知，NPAB=?即軸截面是等邊三角形，故*48=2,

底面周長為271X1=2兀，則側(cè)面積為：yx2x27t=271；

(2)由題知/。=。,/。=。8,則根據(jù)中位線性質(zhì)，QO//PB,

又。。(Z平面PRO,心匚平面2臺。，則。。//平面尸2。

---JT__TTJT

由于/c=§,底面圓半徑是1,則又CD〃AB,貝！］NOCO=§,

又OC=OD,貝UAOCO為等邊三角形，則。。=1,

于是0)〃30且CD=03,則四邊形OADC是平行四邊形，故0C〃BD,

又。C<Z平面PBD,BDu平面PBD,故OC//平面PAD.

又。"0。=0,"。。一面。。。，

根據(jù)面面平行的判定，于是平面。OC//平面尸2。，

又MGOC,則。Mu平面。OC,則〃平面尸

20/81

p

7.(2025?全國一卷?高考真題)如圖所示的四棱錐尸-4BC。中，尸/_L平面/BCD,BC//AD,AB1AD.

(1)證明：平面尸N3_L平面P/D；

(2)PA=AB=41,AD=\+yj3,BC=2,P,B,C,。在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為O.

(i)證明：O在平面N8CA上；

(ii)求直線/C與直線尸。所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；

(2)(i)證明見解析；

(ii)—.

3

【分析】(1)通過證明/尸APIAD,得出/3_L平面P4D,即可證明面面垂直；

(2)(i)法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點的坐標(biāo)，假設(shè)R民C,。在同一球面。上，在平面工力中，

得出點。坐標(biāo)，進(jìn)而得出點。在空間中的坐標(biāo)，計算出Q尸|=|。同=|OC|=|OD|,即可證明結(jié)論；

法二：作出△8C。的邊8c和CA的垂直平分線，找到三角形的外心。，求出尸求出出外心已到P,B,

c,D的距離相等，得出外心a即為尸，B,c,。所在球的球心，即可證明結(jié)論；

(ii)法一：寫出直線/C和PO的方向向量，即可求出余弦值.

法二：求出ZC的長，過點。作/C的平行線，交8c的延長線為。，連接/G，尸。，利用勾股定理求出4a

的長，進(jìn)而得出尸G的長，在△POG中由余弦定理求出cos/POG，即可求出直線/C與直線PO所成角的

余弦值.

【詳解】(1)由題意證明如下，

在四棱錐P-48C。中，尸/，平面48CA,AB1AD,

48u平面48cZ),/Ou平面48CZ),

/.APLAB,AP1AD,

21/81

:《^匚平面"。，ADu平面PAD,APcAD=A,

：.NB_L平面PAD,

VABu平面PAB,

，平面PAB±平面PAD.

(2)(i)由題意及(1)證明如下，

法一：

在四棱錐P-N2CZ）中，APLAB,APLAD,ABLAD,BC//AD,

尸/=”=&，AD=\+6,

.?./（0,0,0）,8（60,0）,。（也2,0）0@1+式0,（）,0,4"）,

若P,B,C,。在同一個球面上,

則10Pl=|O同=|OC|=|OD|,

在平面x4y中,

D（0,l+V3）,

線段中點坐標(biāo)尸存

直線C。的斜率：41+叱2

0-V2

41V6+V2

直線C。的垂直平分線所斜率：k2=

A/3-I?-2~

22/81

6+3V6+V2

，直線E尸的方程：y-X---

22I2J

互駕也±2

即＞=

2〔2)2

,,A/6+A/Z-y[3+3._

當(dāng)了=1時，1=---------Xo--—+—--,解得：xo=0,

\)

：.0(0,1)

在立體幾何中，0(0,1,0),

\OP\=^02+12+(0-A^)2

\OB\=^(0-V2)2+l2+02

?.?V

\OC\=^(0-A/2)2+(1-2)2+02

\OD\=^02+(1-1-A/T)2+02

解得：|。尸1=1。同=pc|=p"=6,

...點。在平面/BCD上.

法二：

,:P,B,C,。在同一個球面上，

二球心到四個點的距離相等

在△BCD中，到三角形三點距離相等的點是該三角形的外心,

作出8c和CZ)的垂直平分線，如下圖所示，

OXE=AB=y/2,BE=CE=AOl=GOi=^BC=1,OXD=AD-AOX=43

BO,=CO,=yjl2+(亞,=￡,

:.O[D=BO[=CO1,

???點a是△a。。的外心,

23/81

在RtA/O尸中，APIAD,AP=也,

由勾股定理得，

/.PO、=BOi=COX=O、D=也,

???點a即為點p,B,c,。所在球的球心

此時點O在線段40上，4Du平面/BCD,

.?.點。在平面/BCD上.

設(shè)直線AC與直線PO所成角為6,

八AC-PO|0+2xl+0|VI

"司^^(V2)2+22+0X^)+12+(-^J3?

法2：

由幾何知識得，PO=6，

ABLAD,BC//AD,

：.ABLBC,

在RtVNBC中，AB=6,BC=2,由勾股定理得，

AC=yjAB2+BC2=《可+A=&,

過點。作NC的平行線，交BC的延長線為G，連接“G，PC,,

24/81

p

則OG=AC=&,直線AC與直線尸。所成角即為△尸OG中/POG或其補(bǔ)角.

VPA1平面ABCD,AC}c平面ABCD,PA^ACX=A,

：.PAVACX,

在Rf/BG中，AB=6,BCt=BC+CC}