人教A版數(shù)學(xué)一數(shù)列專題八

知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的單調(diào)性，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，求等比數(shù)列中的最大(小)

項(xiàng)，

數(shù)列新定義

典例1、設(shè)數(shù)集S滿足：①任意％wS,有xNO；②任意x,"S,有x+)，eS或|x-,

則稱數(shù)集S具有性質(zhì)P.

(1)判斷數(shù)集4=｛0,1,2,4｝和8=｛0,2,4｝是否具有性質(zhì)尸，并說明理由；

(2)若數(shù)集C=｛qg，…M”｝且4Vq.i(i=12…，〃-1)具有性質(zhì)p.

(i)當(dāng)〃=5時(shí)，求證：《，生，…，明是等差數(shù)列；

(ii)當(dāng)1,%，…，4不是等差數(shù)列時(shí)，求〃的最大值.

隨堂練習(xí)：已知項(xiàng)數(shù)為M%CNXN3)的有窮數(shù)列也｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列｛q｝具

有性質(zhì)產(chǎn)；

①1Wqv/v的＜…v4;②對(duì)任意的i、川式區(qū)/”),土與。凡至少有一個(gè)是數(shù)列｛為｝

ai

中的項(xiàng).

(1)分別判斷數(shù)列1、2、4、16和2、4、8、16是否具有性質(zhì)尸，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛《,｝具有性質(zhì)P,求證：4=(%%"a"；

⑶若數(shù)列㈤｝具有性質(zhì)P,且｛叫不是等比數(shù)列，求k的值.

典例2、對(duì)于無窮數(shù)列｛?！ǎ?若對(duì)任意且〃件〃，存在使得。+q,=q成

立，則稱仁｝為“G數(shù)列”.

（1）若數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式為4=2〃｛/的通項(xiàng)公式為。=2〃+1,分別判斷也是否

為“G數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，

①若｛凡｝是“G數(shù)列，且%>4,求的所有可能的取值；

②若對(duì)任意〃eN,存在丘N',使得4=S.成立，求證：數(shù)列｛q｝為“G數(shù)列”.

隨堂練習(xí)：已知上外?！勾藶檎麛?shù)數(shù)列，滿足〃；生“上風(fēng).記S=q+%+-+%.定

義力的伴隨數(shù)

列低｝（1工4工〃+1）如下：①Z=0；②，*=4+4。式14無《〃），其中

心。，（I”.

4=-1,7；>0

(1)若數(shù)列44,3,2,1,直接寫出相應(yīng)的伴隨數(shù)列管｝（IW女工5）；

(2)當(dāng)〃22時(shí)，若S=2〃-2,求證：%=凡=1;

（3）當(dāng)〃22時(shí)，若S=2〃-2,求證：2=0.

典例3、已知數(shù)列A：?i,生,…，滿足：4仁］0,1｝（/=1>2,…，〃，n>2）,從A

中選取第4項(xiàng)、第&頂、…、第"項(xiàng)"〈心…"，，心2）稱數(shù)列為,4,…，”

為A的長(zhǎng)度為〃?的子列.記丁儲(chǔ)）為A所有子列的個(gè)數(shù).例如A：0,0,1,其T（A）=3.

（1）設(shè)數(shù)列A：1,1,0,0,寫出A的長(zhǎng)度為3的全部子列，并求?。ˋ）；

（2）設(shè)數(shù)列A：%,%,…，，A'：〃“，,…，％,A":1-4,1一生，…，1一?！?，

判斷7（A）,7（4）,?。ùǎ┑拇笮。⒄f明理由；

（3）對(duì)于給定的正整數(shù)〃，k（1<%<及一1），若數(shù)列A：,《，…，4滿足：4+a2+---+an=k,

求7（4）的最小值.

隨堂練習(xí)：若項(xiàng)數(shù)為A（A”N?且"3）的有窮數(shù)列｛凡｝滿足：I"-%網(wǎng)外-引

則稱數(shù)列｛4｝具

有“性質(zhì).

（1）判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)M”,并說明理由;①1,2,4,3；②2,4,8,16.

（2）設(shè)九小冊(cè)一心/?〃=1,2,…，"1）,若數(shù)列具有“性質(zhì)且各項(xiàng)互不相同.求

證："數(shù)列｛《』為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列也,｝為常數(shù)列”；

（3）己知數(shù)列｛q｝具有“性質(zhì)切”.若存在數(shù)列｛4｝，使得數(shù)列｛〃,』是連續(xù)攵個(gè)正整數(shù)1,

2,…，々的一個(gè)排列，且14-。21+14-61+-,+1%-41=4+2,求女的所有可能的值.

典例5、記S”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，己知S"=〃6-/+〃.

(1)證明：｛為｝是等差數(shù)列；

々+9

(2)若％=-7,記勿=市可，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，.

隨堂練習(xí)：數(shù)列｛4｝滿足6=1,〃4+「(〃+l)q,=〃(〃+D(〃wN)

(1)證明：數(shù)列｛｝

為等差數(shù)列.

(2)若"=，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和s“.

，+2

典例6、己知正項(xiàng)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為工，且《=2,4S"，〃wN".

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)歹代，的前,項(xiàng)和好求證：k*

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列｛〃“｝滿足4=1，"4.=（〃+1）q+〃（〃+1）,

（1）證明：數(shù)列｛半｝為等差數(shù)列：

（2）設(shè)數(shù)列低｝滿足〃=卜雪,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S”.

人教A版數(shù)學(xué)一數(shù)列專題八答案

典例1、答案：(1)數(shù)集A不具有性質(zhì)P,數(shù)集〃具有性質(zhì)P,證明見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)4

解：(1)證明：對(duì)于數(shù)集A,4+"4,|4-所以數(shù)集A不具有性質(zhì)P,

對(duì)于數(shù)集3,任意內(nèi)￡3,\x-y\eBf所以數(shù)集。具有性質(zhì)P.

(2)(i)當(dāng)〃=5時(shí)，數(shù)集。=…具有性質(zhì)P,

%+為=2%>%,所以%+出在C,即出一6|=。￡。，因?yàn)?44〈出</〈。4<%，

貝I]%=0,又因?yàn)椋十卬>牝十%>a5+a2>as,所以6+4eC(z=2,3,4),

則a5-a,eC(/=2,3,4),因?yàn)椋?0<%-44Va5-%<a5-a2<a5,

所以得6-%=%，%-%=外,

因?yàn)?+%>%+%=%，所以a+JEC,則4一/eC,

乂因?yàn)?=()<4一/<%,所以或%，因?yàn)椋?4=4，

所以4-%=%(舍去)，即％-%=%,=%,

所以％-4=。3-見=%-。3=&-4=。2，即當(dāng)〃=5時(shí)，％,〃2，…，4是等差數(shù)

列.

(ii)若數(shù)集C={4,4,…，4}且4</i(i=12…,〃T)具有性質(zhì)P,

按照⑴推導(dǎo)的方式得出〃25一般結(jié)論,具體如下：因?yàn)?/p>

4+q-1>4+？-2>?>4,+%>4,

所以4+4史C(i=2,3,，〃-1),即qeC?=2,3,，〃一1),

因?yàn)閝=°va?-an_2<?<a,,-a2<aH，

所以—q+i。=2,3,…,，-1)①,所以%=%+a2,an=an_2+%,

因?yàn)?+an-2>%+%-3>->%+%>%+%=Cln，

所以￡C(i=3,4,5,-，〃一2),即為_]-q.€C(i=3,4,5,-,〃一2),

因?yàn)?=0<%<%一限<?<-4<an-\，

根據(jù)。<4</<…<%，分兩種情況：

第一種情況為01一6-2=%，&T一q_3=%，…，an-\-a3=《T，

第二種情況為alt_2=ak(k>3),a,--%=442〃-2),

先考慮第二種情況=%-2+42/.2+%=4，與題意矛盾，

6I=%+42%+4.2=%，與題意矛盾，

所以只能為第一種情況，可得%-4=4.固=3,4,…,〃-2)②,

由①-②，得4一(7=4+1-4.狗=3,4廣?,〃一2),即

-=*一*=…=/一/=%=4一%,

即當(dāng)〃N5時(shí)，％,生，…，4是等差數(shù)列，

當(dāng)〃=4時(shí)，。4+。3>%，所以即。4一66。，

由前面得出％=0<。4-%V4-叼律4,所以包一。3=。2,%-。2=。3，

當(dāng)內(nèi)-%工%成立時(shí)，%,小,4，牝不是等差數(shù)列，所以〃的最大值為4.

隨堂練習(xí)：答案：(1)數(shù)列1、2、4、16不具有性質(zhì)P,數(shù)列2、4、8、16不具有性質(zhì)

P,見解析

(2)證明見解析(3)&=4

解：⑴對(duì)于數(shù)列1、2、4、16,因?yàn)榕c=8紀(jì){1,2,4.16},2x16=32任{1,2,4,16},

所以，數(shù)列1、2、4、16不具有性質(zhì)產(chǎn)；

對(duì)于數(shù)列2、4、8、16,當(dāng)吃時(shí)，色=幺=包=幺=1g{246,8},々M。[2,4,68},

a\a2aya4

所以，數(shù)列2、4、8、16不具有性質(zhì)P.

(2)證明:因?yàn)镮Wq<%<%<一<4,

因?yàn)?)生，則i=F為數(shù)列｛〃，，｝中的項(xiàng)，所以，4=1，

設(shè)2金?”且ieN,因?yàn)椤１?gt;《，則。必不是數(shù)列｛叫中的項(xiàng)，

所以，奈為數(shù)列?。械捻?xiàng)，

因?yàn)?=1="<幺<<—<—=?t,所以，—=^1,—=?2,L,—=akf

/％%a、ak/*q

上述等式全部相乘可得一^二%出一《，因此，《=(%。2

44?見

(3)解：當(dāng)％=3時(shí)，由(2)可知q=1,

由題意可得F=%=?，這與數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列矛盾；

a2a\

當(dāng)出=4時(shí)，由(1)可知，數(shù)列1、2、4、8具有性質(zhì)P；

當(dāng)*25時(shí)，由⑵可知，—=?(0</<^-1),①

0k-l,+1

當(dāng)3￡日&-1時(shí)，—4,所以，*4不是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng),

因?yàn)?=羅<羅<Y號(hào)吟=。51=6<。2<???<4-3<4-2，

所以，位=4,如=生，L,如=%,所以，也=《(以.人-3),

4-1ak-2。3ak-i

因?yàn)殡?5,所以，—=?i,—=?2,

ak-lak-2

所以，—=ak-\,—=ak-2,所以，—=②

4。2

由①+②可得子=子(134-1),這與數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列矛盾，不合題意.

綜上所述，左=4.

典例2、答案：⑴電｝是“G數(shù)列”，億｝不是“G數(shù)列”；⑵①9,10,12,16；②

證明見解析.

解：(1)2=2〃，對(duì)任意的〃?,〃wN*,〃件〃，bm=2m,bn=2n,bm+bn=2rn+2n=2(m+n)f

取攵=，〃+〃，則0+a=a,???依｝是“G數(shù)列”，

乙=2〃+l,對(duì)任意的〃?,〃wN*,m^nftm=2m^\,tn=2n+\,

&+，n=2m+2〃+2=2(/n+〃+l)為偶數(shù),而/”=2〃+l為奇數(shù)，因此不存在上eN*

使得鼠+乙=3???億｝不是“G數(shù)列”；

(2)數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

①若｛〃"｝是"G數(shù)列，％=8,%eN"，且生>4，d=a?-a\>()，dwN*,q=8+(〃-l)d,

對(duì)任意的〃，7〃WN*,m^n,q”=8+"〃-l)d,。“=8+(〃-1)4,

4+4=8+8+(m+〃-2)d,由題意存在使得品+%=心，

即8+8+(/"+〃-2)4=8+伏-1)”,顯然攵2〃?+〃，

所以(/〃+〃-2)4+8=(&-1)〃,(&-〃L〃+1)4=8,

k-m-〃+leN*,所以d是8的正約數(shù)，即d=l,2,4,8,

〃=1時(shí)，生=9,k=ni+n+7；

d=2時(shí)，％=1。，k=m+n+3；

4=4時(shí)，％=12,A=〃z+〃+l；

d=8時(shí)，丐=0￡=〃?+〃.

綜上，出的可能值為9,10,12,16；

②若對(duì)任意〃cN*,存在攵?N”,使得a=S.成立，所以存在YN*,4+%=S2=q,

t>3,

設(shè)｛"”｝公差為d,則2q+d=4+(f-l)d,ay=(t-2)d,

atl=(/-2)d+[n-\)d=(f+〃-3)d,

對(duì)任意的犯〃eN的m^nfam=(t+m-3)d,a?=(t+n-3)d,

a”r+a“=(2f+m+〃-6)d,取左=z+〃z+〃-3￡N*,則

ak=(t-3+k)d=(2t+m+n-6)d=ain4-an,

所以kJ是“G數(shù)列”.

隨堂練習(xí)：答案：(1)｛0.4,1,-1,0｝；(2)見解析；(3)見解析.

解：(1)因?yàn)閿?shù)列4：4,3,2,1,a｝>a2>>ant所以4=4,出=3,%=2,4=1.

I1<0

'7'/=1,2,…所以7>0,q=>4%=0+4=4,

｛T/

4=4+4。2=4-〃2=1，

北=7；+4%=1-6=-1，7；=4+%/=-1+1=0.故數(shù)列力的伴隨數(shù)列為

｛0,4,1,-1,0｝.

(2)當(dāng)〃=2時(shí)，S=2〃-2=2,顯然有。1=勺=1;

當(dāng)〃23時(shí)，只要證明%+%=2.用反證法,假設(shè)“之3,

則生之生？,?2勺.222,從而S=q+%++q?2(〃一2)+3=2〃-1,矛盾.所以

4V2.

再根據(jù)4,生,…，氏為正整數(shù)，可知%.1=4=1,故當(dāng)〃22時(shí)，/_]=4〃=1.

當(dāng)〃=2時(shí)，，S=2n-2=2t有q-=勺=1,此時(shí)(=0+1-1=0,命題成立；

(3)當(dāng)〃23時(shí)，由(2)的結(jié)論，4嗎,…M”中至少有兩個(gè)1,

現(xiàn)假設(shè)卬，〃2,…4中共有"?(〃7之2)個(gè)1,即]“”則

UE之2,

因?yàn)槿?之加+1,貝ljS=4+%+L+凡2m+1+2(〃-,〃-1)+"?=2〃-1,矛盾.所以44m.

根據(jù)區(qū)｝(10注〃+1)的定義可知，T『2n,。<7；=q-/Km,

園Kmax｛仆/卜〃?，

以此類推可知一直有叮皿|<max｛?！耍齂凡再由后面9=，*=?-=j=1,

可知圖歸;

另一方面卻與S奇偶性相同，所以&廣0.

2

典例3、答案:(1)6(2)T(A)=T(4)=T(A").(3)nk+n-k-2

解：(1)由T(A)的定義以及A：l,L0,0,可得：A的長(zhǎng)度為3的子列為：I，。，。“，】，。,

有2個(gè)，

A的長(zhǎng)度為2的子列有3個(gè)，A的長(zhǎng)度為4的子列有1個(gè)，所以7(A)=6.

(2)T(A)=T(4)=T(A").理由如下：

若班，〃4,L，〃1，砥是4：%,a2,L,4的一個(gè)子列,

則〃“，〃如,L，嗎，叫為A：a”,an.｝,L,%的一個(gè)子列.

若叫，嗎,L，叫T，恤與%％,L，〃1，%是A：%,%,L,an的兩個(gè)不同子列,

則叫，叫t，L，嗎，叫與，小〃-，L,%，一也是一%，%，L,4的兩個(gè)不同子列.

所以7(A)<T(A)),同理7(4)"⑷，所以7(4)=7(A).

同理7(A)=T(An).所以有7(A)=7(A)=7(A〃).

(3)由已知可得，數(shù)列A：4,.，L，4中恰有攵個(gè)1,〃-4個(gè)0.

令A(yù)：?*2攵4()*下證：T(A)”(A)

”-￡個(gè)氏個(gè)

由于)：隈)2八°"211

個(gè)人個(gè)

所以A"的子列中含有i個(gè)0,/個(gè)1。=。工，_/=0兒?.，k,i+j>2)的子列有且

僅有1個(gè)，

設(shè)為：9心1名°*上1】.

,/個(gè)，個(gè)

因?yàn)閿?shù)列A：q,生，L，&的含有i個(gè)0,，個(gè)1的子列至少有一個(gè)，所以

7(A)27(A)

數(shù)列A'：丫如人。打2%3】中，不含有0的子列有k-1個(gè)，

nd個(gè)A個(gè)

含有1個(gè)0的子列有k個(gè),含有2個(gè)0的子列有攵+1個(gè)，LL,

含有"T個(gè)0的子列有k+1個(gè)，所以T(A?)=(〃一外伐+1)+"2=成+〃一嚴(yán)一2.

所以7(A)的最小值為成+〃一公_2.

隨堂練習(xí)：答案：(1)數(shù)列1,2,4,3不具有“性質(zhì)獷；數(shù)列2,4,8,16具有“性

質(zhì)/

(2)證明見解析(3)女=4或5

解：(1)|2-4|>|4-3|,.??該數(shù)列不具有“性質(zhì)〃”；

|2-4H4-8|<|8-16|,「?該數(shù)列具有“性質(zhì)用”；

(2)證明：充分性，若數(shù)列。｝是常數(shù)列，貝吐.5=1.2-I，

即I4一H4+限I,-J—%+2或a?-Ji=~(am+l-am+2)

又?jǐn)?shù)列｛《』且各項(xiàng)互不相同，”二數(shù)列｛*為等差數(shù)列；

必要性，若數(shù)列⑸｝為等差數(shù)列，則即/"刈，???數(shù)列例｝為常數(shù)

列；

(3)數(shù)列m｝是連續(xù)攵個(gè)正整數(shù)1,2,攵的一個(gè)排列，當(dāng)攵=3時(shí)，

&-%+/，，2伙=1,2),

.?Jlrt)-a2\+\a2<5,不符合題意；

當(dāng)A=4時(shí)，數(shù)列3,2,4,1滿足，I4-4|+14-/1+1弓-41=6,符合題意；當(dāng)&=5

時(shí)，

數(shù)列2,3,4,5,1滿足4-引+4-引+&-。41+1。4-勾1=7,符合題意；

當(dāng)一.6時(shí),令包,=lq”一勺“1（m=1,2,…，I）,則陽(yáng)力2馳…？如,

且4+偽+…+如=人+2,.?也，的取值有以下三種可能

l（m=1,2,…，攵一3）

l(〃z=l,2,…，&-2)WT2.94)，③3

①4(吁1),②九=2（m=k-2）

2Qn=k-3,k-2,k-l)

3（m=k-\）

l(〃z=1,2,…，&-2)

當(dāng)?shù)?時(shí)4=優(yōu)=4=???=4.：，

4(0=k-i)

由（2）知q,出，小…，4-是公差為1或-1的等差數(shù)列，

若公差為1時(shí)，由%=4得%=%+4或《=%-4,.?.《=%+4=4+A+2>A,不合

題意，《=。*-4=4+?-6=%2（不合題意；

若公差為-1，同上述方法可得不符合題意；

[1（/〃=1,2,…,左一3）

1（IP-\2?-—4）

當(dāng)滿足②超=；「：③九=2（〃?="2）時(shí)，同理互證不符

2（旭=攵-3,攵一2/—1）

3（〃?二衣一I）

合題意，

故：々=4或5.

典例4、答案：（1）%=3〃-1（2）

解：（1）設(shè)｛〃“｝的公差為"，因?yàn)?=2,%是4，%的等比中項(xiàng)，

所以（2+24）2=2（2+10"）,所以1-34=0.

因?yàn)椤℉0,所以4=3,故q=2+3(〃-1)=3〃-1.

因?yàn)椤耙?(3/1)(3〃+2)一3〃-1-3〃+2'

所以s.=("+『.?+p___q-旦

"(25)(51)(3〃一13n+2)23〃+26〃+4*

隨堂練習(xí)：答案：⑴勺=4心GN](2)[白弓、

.43()4

解:(1)因?yàn)?2K-4-=3a；+12an,所以+2an^an-3a：=4〃向+12an

所以（%-%）（見X+%〃）=4（q用+3凡）,

因?yàn)椋?｝各項(xiàng)均為正數(shù)，＜%+3%＞。，所以-q=4,

所以數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列，

a“=4+(〃_l)x4=4〃，所以數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為q=4〃(〃eN)

11111

(2)因?yàn)閝=4〃(〃GN*)所以一----------=—x---

r

anan+24〃x4(〃+2)167/(/7+2)32V?n-2)

則Fl11I14--1---L

+2〃+1〃+2

3I11

----------1------+-------

6432[〃+1〃+2

1131

因?yàn)椤╟N.,故-----+-----＞--。,所以格可又“。,所以――

〃+1〃+2

所以S.的取值范圍為

2n

典例5、答案：（1）證明見解析（2）T?=

n+\

2

解：(1)當(dāng)〃22且〃eN時(shí)，=(/?-!)?n_)-(n-1)+(//-1),

2

%=Sn-S“_\=nan-n~+/7+(zz-l)-(/i-l),

整理可得：(〃-1)%=("-1)《“+2(〃-1),「.a.=(*+2,

數(shù)列｛q｝是公差為2的等差數(shù)列.

(2)由(1)得：q=-7+2(〃—1)=2〃—9,

2〃2__1_

=2

IlII+1

"1223

1

隨堂練習(xí)：答案：（1）見解析（2）正-4（〃+|）］〃.2）2

解：（1）證明：因?yàn)椤?用-（〃+1）4=〃（〃+1）,所以臺(tái)2=1,又?=1,

n1

所以數(shù)列殳?是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列;

n

(2)由(1)得?=1+(〃-1)=4=〃

1〃+11I

azr(H+l)(n+2)2〃2(〃+])2(〃+2)24n2(n+1)-(〃+1)~(〃+2)~

則S”=；]___________]_l________]

2222+

1X2-2X3n2(n+\)2(〃+l『(〃+2)244(,?+l)2(/?+2)2

J_________]

164(〃+l)2(〃+2)2.

典