福州2026屆高三第一學期開學質量檢測數(shù)學學科試卷（完卷120分鐘滿分150分）（注意：不得使用計算器，并把答案寫在答案卷上）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)，則的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.2.集合，，若，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.3.關于的方程，有下列四個命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2；?。涸摲匠虄筛愄?如果只有一個假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.在的展開式中的系數(shù)為（）A. B.21 C.35 D.845.已知函數(shù)則的解集為A B.C. D.6.將含有甲、乙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通的概率為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)（，）的圖象過點，其相鄰對稱軸間的距離為.設且，若，則的值為（）A. B. C.1 D.8.已知定義域均為的函數(shù)，且滿足.若在單調遞增，則（）A.是奇函數(shù)B.是上的增函數(shù)C.，使得D.，二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且公比，則（）A. B.C. D.10.已知曲線的方程為，則下列結論正確的是（）A.當時，曲線為圓B.當時，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C.“”是“曲線為焦點在軸上的橢圓”的必要條件D.存在實數(shù)使得曲線為雙曲線，其離心率為11.設正整數(shù)，其中，記.已知集合，下列說法正確是（）AB.對任意的，有C.若，則使成立的m的取值個數(shù)為D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且，則與夾角為_________.13.已知正項數(shù)列，的前n項和為，且，，則________.14.三棱錐的體積為，且，，則三棱錐的外接球半徑的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求角C；（2）若點D在邊AC上，，，，求AD長.16.在一個系統(tǒng)中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟用的設備），已知某計算機網(wǎng)絡服務器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這3臺設備中，只要有1臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡就不會斷掉，設3臺設備的可靠度均為0.7，它們之間互不影響.（1）記能正常工作的設備臺數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當前的計算機網(wǎng)絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗可知，計算機網(wǎng)絡斷掉會給該產(chǎn)業(yè)園帶來約500萬元的經(jīng)濟損失.為減少給該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟損失，可以升級設備，每臺設備的升級費用為2.5萬元，升級后可以使設備的可靠性提升到0.8，從總損失期望最小的角度，應該升級幾臺設備？17.如圖，四面體ABCD中，，，，E為AC中點.（1）證明：平面平面；（2）設，，點F在線段BD上，（i）求二面角的余弦值；（ii）記CF與平面ABD所成角為，求的最大值.18.拋物線焦點為，第一象限內點在上，A的縱坐標是.（1）若到焦點的距離為3，求；（2）若，在上，且的重心恰為，求直線的方程；（3）直線，令是第一象限上異于的一點，直線交于是在上的投影，若點滿足“對于任意都有”，求的取值范圍.19.已知函數(shù).（1）若，，求實數(shù)a的取值集合；（2）設，（i）對任意正整數(shù)n，證明：函數(shù)有唯一的零點（記零點為）；（ii）證明：.

福州2026屆高三第一學期開學質量檢測數(shù)學學科試卷（完卷120分鐘滿分150分）（注意：不得使用計算器，并把答案寫在答案卷上）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.【1題答案】【答案】B【2題答案】【答案】C【3題答案】【答案】A【4題答案】【答案】D【5題答案】【答案】B【6題答案】【答案】D【7題答案】【答案】C【8題答案】【答案】D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.【9題答案】【答案】AD【10題答案】【答案】ABC【11題答案】【答案】AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.【12題答案】【答案】【13題答案】【答案】11【14題答案】【答案】##四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【15題答案】【答案】（1）（2）【16題答案】【答案】（1）見解析（2）升級2臺