廣東省八校聯(lián)盟2025-2026學年高三質(zhì)量檢測（一）數(shù)學試題注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置.3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)z滿足，則（）A. B.1 C.3 D.252.已知集合，，則（）A. B.C. D.3.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4.已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后與原圖象重合，則的最小值是（）A. B. C. D.5若，，則（）A. B. C. D.6.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，BC邊上一點D滿足，且AD平分.若的面積為，則（）A. B.2 C. D.47.是圓上動點，是直線上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.8.如圖，在外接球體積為的正方體中，E是線段上的動點（不包括端點），過A，，E三點的平面將正方體截為兩個部分，且交于點F，當截得的較小部分的幾何體的體積為時，（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.B.當時，C.D.隨機變量落在與落在概率相等10.已知點在雙曲線（，）上，則下列結(jié)論正確的是（）A.C的實軸長小于2B.C的漸近線方程可能為C.C的離心率大于D.C的焦距不可能為411.已知函數(shù)的定義域為，對于，都有，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，則，則________．13.從1，2，3，…，19，20中選三個不同的數(shù)a，b，c，且滿足的數(shù)組（a，b，c）的個數(shù)為________．14.已知為拋物線上兩點，為焦點，為坐標原點，在第一象限，且點的縱坐標大于點的縱坐標，若，則點的坐標為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項和為，滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，且數(shù)列的前n項和為，求證：．16.如圖，在正四棱錐中，已知，平面，點在平面內(nèi)，點在棱上．（1）若點是的中點，證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．17.某學校為提升學生的科學素養(yǎng)，要求所有學生在學年中完成規(guī)定的學習任務，并獲得相應過程性積分．現(xiàn)從該校隨機抽取100名學生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應過程性積分數(shù)據(jù)，整理如下表：科普測試成績x科普過程性積分人數(shù)4103a2b12302（1）當a=25時，（i）從該校隨機抽取一名學生，估計這名學生的科普過程性積分不少于3分的概率；（ii）從該校科普測試成績不低于80分的學生中隨機抽取2名，記X為這2名學生的科普過程性積分之和，估計X的數(shù)學期望；（2）從該校科普過程性積分不高于1分的學生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為，上述100名學生科普測試成績的平均值記為．若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫出a的最小值．18.如圖，，是橢圓：兩個頂點，，直線的斜率為，是橢圓長軸上的一個動點，設(shè)點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與，軸分別交于點，，與橢圓相交于，.證明：面積等于的面積.（3）在（2）的條件下證明：為定值.19.已知函數(shù)的導函數(shù)為．（1）當時，求的圖象在處的切線方程；（2）若有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知，若在定義域內(nèi)有三個不同的極值點，且滿足，求實數(shù)的取值范圍．參考答案1-8【答案】A【答案】D【答案】C【答案】B【答案】D【答案】B【答案】C【答案】B9.【答案】ABC10.【答案】AC11.【答案】ACD12.【答案】##13.【答案】18014.【答案】15.【小問1】由，則（n≥2），兩式左右分別相減得，即．得，則，，…，，，將以上個式子相乘得．上式對仍成立，所以．【小問2】，∴．故命題得證．16.【小問1】證明：由題意可得正四棱錐所有棱長均為，而是的中點，所以，又因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．【小問2】如圖，連接，易知兩兩互相垂直，分別以為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，可得，．由，得，所以，進而．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為．易知平面的一個法向量為，設(shè)二面角S-AC-P的平面角為θ，則，故二面角的余弦值為．17.【小問1】（i）由表知，科普過程性積分不少于3分的學生人數(shù)為，則從該校隨機抽取一名學生，這名學生的科普過程性積分不少于3分的頻率為，所以從該校隨機抽取一名學生，這名學生的科普過程性積分不少于3分的概率估計為0.35．（ii）依題意，從樣本中成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為3分的頻率為，所以從該校學生科普測試成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為3分的概率估計為，同理，從該校學生科普測試成績不低于80分的學生中隨機抽取一名，這名學生的科普過程性積分為4分的概率估計為，X的所有可能值為6，7，8，，，，所以X的數(shù)學期望.【小問2】由表知，，則，從該校科普過程性積分不高于1分的學生中隨機抽取一名，其科普測試成績記為，則的最大值為69，100名學生科普測試成績的平均值記為，要使恒成立，當且僅當，顯然的最小值為各分數(shù)段取最小值求得的平均分，因此，則，解得，所以根據(jù)表中信息能推斷恒成立的a的最小值是7．18.（1）∵?是橢圓的兩個頂點，且，直線的斜率為，由，，得，又，解得，，∴橢圓的方程為；（2）證明：直線的方程為，即，將其代入，消去，整理得.設(shè)，.∴，.記的面積是，的面積是.由題意，，∵，∴，∵，.∴的面積等于的面積；（3）證明：由（2）知，，，，∴，，，.19.【小問1】當時，，則，所以，則，所以的圖象在點處的切線方程為，即．【小問2】由題知，，因為有三個不同的零點，所以方程有三個不等實根，化簡可得方程有三個不等實根，即可看成直線與曲線有三個不同的交點，，所以當或時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以當時，有極小值為，當時，有極大值為，當時，，且當時，，所以作出函數(shù)的圖象如圖1所示，所以數(shù)形結(jié)合可知，即實數(shù)的取值范圍為．【小問3】由題知，，其定義域為，則，令，得或，設(shè)，則，當時，，所以單調(diào)遞增；當時，，