27.1圓的認(rèn)識（難點練）一、單選題1．（2021·廣東深圳·九年級專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內(nèi)一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連接CM．分析下列結(jié)論：①AP⊥BN；②BM＝DN；③點P一定在以CM為直徑的圓上；④當(dāng)AN＝時，PC＝．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021·重慶八中三模）如圖，是的直徑，為的弦，且于點，點為圓上一點，若，，，則的長為（）A． B． C．4 D．53．（2021·湖南·長沙市怡雅中學(xué)九年級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是邊BC上一點，且BE＝3，以點A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點F、G，DF與AE交于點H．并與⊙A交于點K，連結(jié)HG、CH．給出下列五個結(jié)論中正確的選（）（1）H是FK的中點（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝（5）HG⊥HCA．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2021·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校九年級月考）半徑OA⊥弦BC于D，將⊙O沿著BC對折交AD于點E，，△ABE的面積為36，則OD的長為（）A．3 B． C．4 D．5．（2021·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校二模）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，，，D是上的一個動點，連接AD．過點C作于E，連接BE，則BE的最小值是（）A． B． C． D．6．（2021·安徽義安·二模）如圖，的半徑為2，定點在上，動點，也在上，且滿足，為的中點，則點，在圓上運動的過程中線段的最大值為（）．A． B． C． D．7．（2021·江蘇·鎮(zhèn)江市大路實驗學(xué)校九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，點，以點A為圓心，4個單位長度為半徑作圓，點C是⊙上的一個動點，則的最小值為（）A． B． C． D．8．（2021·廣東·廣州市第一中學(xué)九年級期中）如圖，直角中，，，點是內(nèi)部一動點，總滿足∠APC=150°，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．9．（2021·廣東華僑中學(xué)二模）如圖，已知的半徑為3，弦，為上一動點（點與點、不重合），連接并延長交于點，交于點，為上一點，當(dāng)時，則的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．1210．（2021·江蘇·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)九年級期中）如圖，矩形中，，以為圓心，3為半徑作，為上一動點，連接，以為直角邊作，使，，則點與點的最小距離為（）A． B． C． D．11．（2021·安徽·三模）如圖，中，，，，，為，邊上的兩個動點，且，為中點，則的最小值為（）A． B． C． D．12．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習(xí)）在矩形中，已知，，現(xiàn)有一根長為的木棒緊貼著矩形的邊（即兩個端點始終落在矩形的邊上），按逆時針方向滑動一周，則木棒的中點在運動過程中所圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題13．（2021·浙江浙江·九年級期末）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計了圖2的機械設(shè)備，磨盤半徑，把手，點O，M，Q成一直線，用長為的連桿將點Q與動力裝置P相連（大小可變），點P在軌道上滑動并帶動磨盤繞點O轉(zhuǎn)動，．（1）點P與點O之間距離的取值范圍是_______．（2）若磨盤轉(zhuǎn)動500周，則點P在軌道上滑動的路徑長為__________m．14．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級期中）在中，，，，點、分別在邊、上，且，，將繞點旋轉(zhuǎn)至，點、分別對應(yīng)點、，當(dāng)、、三點共線時，的長為______．15．（2021·湖北青山·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為3的⊙O與y軸的負(fù)半軸交于點A，點B是⊙O上移動點，點C為弦AB的中點，直線與x軸、y軸分別相交于點D、E，則△CDE面積的最小值為_________．16．（2021·浙江·一模）如圖1是護眼臺燈，該臺燈的活動示意圖如圖2所示．燈柱，燈臂繞著支點C可以旋轉(zhuǎn)，燈罩呈圓弧形（即弧和?。谵D(zhuǎn)動過程中，（）總是與桌面平行．當(dāng)時，．，測得（點M在墻壁上，且）；當(dāng)燈臂轉(zhuǎn)到位置時，，測得，則點E到桌面的距離為______．若此時點C，F(xiàn)，M在同一條直線上，弧的最低點到桌面的距離為，則弧所在圓的半徑為_____（保留一位小數(shù)）．17．（2021·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在邊長為6的等邊中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，交于點，連接，則的最小值為___________．三、解答題18．（2021·福建省泉州實驗中學(xué)九年級期中）在中，弦直徑于點，為線段上一點，，連接并延長交于點，連接，．（1）求證：；（2）連接，，，若，，求線段的長度．19．（2021·江蘇·靖江市靖城中學(xué)一模）以AB為直徑作半圓O，AB＝10，點C是該半圓上一動點，連接AC、BC，并延長BC到點D，使DC＝BC，過點D作DE⊥AB于點E、交AC于點F，連接OF．（1）如圖1，當(dāng)點E與點O重合時，求∠BAC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)DE＝8時，求線段EF的長；（3）在點C運動過程中，若點E在線段OA上，是否存在以點E、O、F為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出此時線段OE的長；若不存在，請說明理由．20．（2021·浙江·衢州市實驗學(xué)校教育集團（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團）九年級期中）如圖，點A和動點P在直線上，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圓O．點C在點P右側(cè)，PC=4，過點C作直線⊥，過點O作OD⊥于點D，交AB右側(cè)的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF=CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF，設(shè)AQ=3x（1）用關(guān)于的代數(shù)式表示BQ，DF；（2）當(dāng)點P在點A右側(cè)時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長；（3）在點P的整個運動過程中，當(dāng)AP為何值時，矩形DEGF是正方形．21．（2021·湖南·長沙麓山國際實驗學(xué)校九年級月考）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：已知線段BC=2，使用作圖工具作∠BAC=30°，嘗試操作后思考：（1）這樣的點A唯一嗎？（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），…．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為_______；②△ABC面積的最大值為_______；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為A′，請你利用圖1證明∠BA′C＞30°．（3）請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖2，已知矩形ABCD的邊長AB=，BC=5，點P在直線CD的左側(cè)，且∠DPC=60°，求線段PB長的最小值為_______．22．（2021·云南·昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校九年級月考）如圖，是的直徑，點、是上的點，且，分別與、相交于點、．（1）求證：點為的中點；（2）若，，求的長；（3）若的半徑為，，點是線段上任意一點，試求出的最小值．23．（2021·江蘇·無錫市第一女子中學(xué)九年級月考）閱讀理解：小明熱愛數(shù)學(xué)，在課外書上看到了一個有趣的定理--“中線長定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在△ABC中，點D為BC的中點，根據(jù)“中線長定理”，可得：AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明嘗試對它進行證明，部分過程如下：解：過點A作AE⊥BC于點E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，為證明的方便，不妨設(shè)BD=CD=x，DE=y，∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…（1）請你完成小明剩余的證明過程；理解運用：（2）①在△ABC中，點D為BC的中點，AB=6，AC=4，BC=8，則AD=；②如圖3，⊙O的半徑為6，點A在圓內(nèi)，且OA=2，點B和點C在⊙O上，且∠BAC=90°，點E、F分別為AO、BC的中點，則EF的長為；拓展延伸：（3）小明解決上述問題后，聯(lián)想到如下的題目：如圖4，已知⊙O的半徑為5，以A（-3，4）為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B，C都在⊙O上，D為BC的中點，求AD長的最大值．請你利用上面的方法和結(jié)論，求出AD長的最大值．24．（2021·江蘇·宜興市實驗中學(xué)二模）問題提出：（1）如圖①，在中，，，，若平分交于點，那么點到的距離為______．問題探究：（2）如圖②，四邊形內(nèi)接于，為直徑，點是半圓的三等分點（弧?。?，連接，若平分，且，求四邊形的面積．問題解決：（3）為把“十四運”辦成一屆精彩圓滿的體育盛會很多公園都在進行花卉裝扮，如圖③所示是其中一塊圓形場地，設(shè)計人員準(zhǔn)備在內(nèi)接四邊形區(qū)域內(nèi)進行花卉圖案設(shè)計，其余部分方便游客參觀，按照設(shè)計要求，四邊形滿足，，且（其中），為讓游客有更好的觀體驗，四邊形花卉的區(qū)域面積越大越好，那么是否存在面積最大的四邊形？若存在，求出這個最大值，不存在請說明理由．25．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校二模）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，且點A是弧CD的中點，點F在弧AB上，連接CF、BF．（1）求證：∠C+∠F+∠B＝90°（2）點G在弧BD上，連接CG與直徑AB交于點H，連接DG，且DG＝CH．求證：AE＝EH；（3）在（2）的條件下，點K為弧FD的中點，連接FK、BK，F(xiàn)K＝5，過點C作CQ∥FK，交⊙O于點Q，交BK、BF于點M、N，MN＝3，OE＝EH，KM﹣4＝CN，連接FQ，求FQ的長．26．（2021·江蘇·江門市第二中學(xué)九年級月考）問題提出如圖1，AB、AC是⊙O的兩條弦，AC＞AB，M是的中點，MD⊥AC，垂足為D，求證：CD＝BA+AD．小敏在解答此題時，利用了“補短法”進行證明，她的方法如下：如圖2，延長CA至E，使AE＝AB，連接MA、MB、MC、ME、BC．∵M是的中點∴∴∠MCB＝∠MAC（請你在下面的空白處完成小敏的證明過程．）推廣運用如圖3，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝1，D是上一點，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足為E，則△BDC的周長是．拓展研究如圖4，若將“問題提出”中“M是的中點”改成“M是的中點”，其余條件不變，“CD＝BA+AD”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，寫出CD、BA、AD三者之間存在的關(guān)系，并說明理由．27．（2021·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校九年級開學(xué)考試）如圖，為的弦，?。交?，連接的延長線交于點．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，于點交于點，連接交于點，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，的延長線交于點，求的長．28．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校模擬預(yù)測）已知AB、CD均為的直徑，連接AC，AD，已知．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點E在弧BC上，連接AE、DE，過點A作AE的垂線交于點F，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BF交AD于點G，在AC上取點M，連接EM，若，，，求線段DE的長度．29．（2021·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校九年級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圓，連接BO并延長交邊AC于點D．（1）如圖1，求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）如圖2，過點B作BH⊥AC于點H，延長BH交⊙O于點G，連接OC，CG，OC交BG于點F，求證：BF＝2HG；（3）如圖3，在（2）的條件下，若AD＝2，CD＝3，求線段BF的長．30．（2021·浙江·杭州市豐潭中學(xué)二模）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．設(shè)∠B＝α，∠ADC＝β．（1）求∠BOD的度數(shù)（用含α，β的代數(shù)式表示）；（2）若α＝30°，當(dāng)AC的長度為多少時，以點A、C、D為頂點的三角形與B、C、O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程．（3）若α＝β，連接AO，記△AOD、△AOC、△COB的面積分別為S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中項，求OC的長．31．（2021·黑龍江·哈爾濱市