2025年數(shù)學(xué)必修2考試題及答案

一、單項選擇題1.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.以上都有可能答案：D2.已知直線\(l\)過點\((1,0)\)且垂直于\(x\)軸，若\(l\)被拋物線\(y^{2}=4ax\)截得的線段長為\(4\)，則拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((3,0)\)D.\((4,0)\)答案：A3.若一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）A.\(\frac{1+2\pi}{2\pi}\)B.\(\frac{1+4\pi}{4\pi}\)C.\(\frac{1+2\pi}{\pi}\)D.\(\frac{1+4\pi}{2\pi}\)答案：A4.直線\(3x+4y-13=0\)與圓\((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1\)的位置關(guān)系是（）A.相離B.相交C.相切D.無法確定答案：C5.正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，異面直線\(A_{1}C_{1}\)與\(B_{1}C\)所成角的大小為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)答案：C6.已知圓\(C_{1}:(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1\)，圓\(C_{2}\)與圓\(C_{1}\)關(guān)于直線\(x-y-1=0\)對稱，則圓\(C_{2}\)的方程為（）A.\((x-2)^{2}+(y+2)^{2}=1\)B.\((x+2)^{2}+(y-2)^{2}=1\)C.\((x-2)^{2}+(y-2)^{2}=1\)D.\((x+2)^{2}+(y+2)^{2}=1\)答案：A7.一個圓錐的母線長為\(2\)，圓錐的母線與底面的夾角為\(\frac{\pi}{4}\)，則圓錐的內(nèi)切球的表面積為（）A.\(8\pi\)B.\(4(2-\sqrt{2})^{2}\pi\)C.\(4(\sqrt{2}-1)^{2}\pi\)D.\((6-4\sqrt{2})\pi\)答案：B8.過點\(P(2,3)\)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）A.\(3x-2y=0\)B.\(x+y-5=0\)C.\(3x-2y=0\)或\(x+y-5=0\)D.以上都不對答案：C9.已知點\(A(1,2)\)，\(B(3,1)\)，則線段\(AB\)的垂直平分線的方程是（）A.\(4x+2y=5\)B.\(4x-2y=5\)C.\(x+2y=5\)D.\(x-2y=5\)答案：B10.已知直線\(l_{1}:ax+2y+6=0\)和直線\(l_{2}:x+(a-1)y+a^{2}-1=0\)平行，則\(a\)的值為（）A.\(2\)B.\(-1\)C.\(2\)或\(-1\)D.\(-2\)或\(1\)答案：B二、多項選擇題1.下列說法正確的是（）A.若直線\(l_{1}\)與\(l_{2}\)斜率相等，則\(l_{1}\parallell_{2}\)B.若直線\(l_{1}\parallell_{2}\)，則兩直線的斜率相等C.若直線\(l_{1},l_{2}\)的斜率均不存在，則\(l_{1}\parallell_{2}\)D.若兩直線的斜率不相等，則兩直線不平行答案：CD2.一個正方體的展開圖如圖所示，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)為原正方體的頂點，則在原來的正方體中（）A.\(AB\parallelCD\)B.\(AB\)與\(CD\)相交C.\(AB\perpCD\)D.\(AB\)與\(CD\)所成的角為\(60^{\circ}\)答案：AD3.下列關(guān)于圓的方程的說法正確的是（）A.圓心為\((3,4)\)且過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25\)B.圓\(x^{2}+y^{2}-4x+6y=0\)的圓心坐標(biāo)為\((2,-3)\)C.圓\(x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0\)的半徑為\(2\)D.方程\(x^{2}+y^{2}+ax+2=0\)表示圓，則\(a\)的取值范圍是\(a\gt2\sqrt{2}\)或\(a\lt-2\sqrt{2}\)答案：ABCD4.已知\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)是三個不同平面，則下列說法正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(\alpha\perp\gamma\)，\(\beta\perp\gamma\)，則\(\alpha\parallel\beta\)C.若\(m\parallel\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，\(\alpha\cap\beta=n\)，則\(m\paralleln\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(m\paralleln\)，則\(\alpha\parallel\beta\)答案：CD5.已知圓\(C\)：\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\)，直線\(l\)：\((2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0\)，則以下幾個命題正確的是（）A.直線\(l\)恒過定點\((3,1)\)B.直線\(l\)與圓\(C\)相交C.當(dāng)\(m=-\frac{1}{2}\)時，直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最短D.直線\(l\)被圓\(C\)截得的最短弦長為\(4\sqrt{5}\)答案：ABD6.下列關(guān)于空間幾何體的說法正確的是（）A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B.棱錐的側(cè)面都是三角形，且所有側(cè)面都有一個公共點C.棱臺的側(cè)棱延長后交于一點D.圓柱的母線都相等，且母線與底面垂直答案：BCD7.已知點\(P(x_{0},y_{0})\)在圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}(r\gt0)\)外，則直線\(x_{0}x+y_{0}y=r^{2}\)與圓的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.不確定答案：A8.已知\(a\)，\(b\)為兩條不同直線，\(\alpha\)，\(\beta\)為兩個不同平面，則下列說法正確的是（）A.若\(a\parallel\alpha\)，\(b\parallel\alpha\)，則\(a\parallelb\)B.若\(a\parallel\alpha\)，\(b\perp\alpha\)，則\(a\perpb\)C.若\(a\parallel\alpha\)，\(a\parallel\beta\)，\(\alpha\cap\beta=b\)，則\(a\parallelb\)D.若\(a\perp\alpha\)，\(a\perp\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)答案：BCD9.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的體積與球的體積之比為\(3:2\)B.圓錐的體積與球的體積之比為\(1:2\)C.圓柱的表面積與球的表面積之比為\(3:2\)D.圓錐的表面積與球的表面積之比為\(1+\sqrt{5}:4\)答案：ACD10.已知圓\(C_{1}:x^{2}+y^{2}+2ax+a^{2}-4=0(a\inR)\)與圓\(C_{2}:x^{2}+y^{2}-2by-1+b^{2}=0(b\inR)\)只有一條公切線，則\(a+b\)的取值范圍是（）A.\([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)B.\((-\sqrt{2},\sqrt{2})\)C.\([-\sqrt{2},\sqrt{2})\)D.\((-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)答案：AB三、判斷題1.若直線\(l\)的斜率\(k=\tan\alpha\)，則其傾斜角為\(\alpha\)。（×）2.垂直于同一個平面的兩個平面平行。（×）3.圓\(x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0\)的圓心坐標(biāo)為\((1,-2)\)，半徑為\(3\)。（√）4.若兩條直線\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)，\(l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行，則\(\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq\frac{C_{1}}{C_{2}}\)。（×）5.棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點。（×）6.直線\(Ax+By+C=0\)與圓\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)相切，則圓心到直線的距離\(d=R\)。（√）7.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則\(l\perp\alpha\)。（×）8.球的體積公式是\(V=\frac{4}{3}\piR^{3}\)（\(R\)為球的半徑）。（√）9.經(jīng)過空間任意三點有且只有一個平面。（×）10.圓\(x^{2}+y^{2}=1\)與圓\(x^{2}+y^{2}-6x+8y+25=0\)相外切。（×）四、簡答題1.求過點\(A(2,-1)\)，且與直線\(2x+y-10=0\)垂直的直線方程。答案：已知直線\(2x+y-10=0\)的斜率為\(-2\)。因為所求直線與已知直線垂直，根據(jù)兩垂直直線斜率之積為\(-1\)，所以所求直線的斜率為\(\frac{1}{2}\)。由點斜式可得直線方程為\(y-(-1)=\frac{1}{2}(x-2)\)，整理得\(x-2y-4=0\)。2.已知一個圓錐的底面半徑為\(r=2\)，高為\(h=4\)，求該圓錐的側(cè)面積。答案：首先求圓錐的母線長\(l\)，根據(jù)勾股定理\(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}\)。圓錐的側(cè)面積公式為\(S=\pirl\)，把\(r=2\)，\(l=2\sqrt{5}\)代入可得\(S=\pi\times2\times2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\pi\)。3.已知圓\(C\)的方程為\(x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0\)，求圓心坐標(biāo)和半徑。答案：將圓\(C\)的方程\(x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0\)轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過配方可得\((x-2)^{2}+(y+1)^{2}=9\)。所以圓心坐標(biāo)為\((2,-1)\)，半徑\(r=3\)。4.簡述直線與平面垂直的判定定理。答案：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直。即已知直線\(m\)，\(n\)在平面\(\alpha\)內(nèi)，\(m\capn=P\)，直線\(l\perpm\)，\(l\perpn\)，則可得出\(l\perp\alpha\)。此定理是判斷直線與平面垂直的重要依據(jù)。五、討論題1.在空間中，如何判斷兩個平面的位置關(guān)系？并舉例說明。答案：兩個平面的位置關(guān)系有平行和相交兩種。判斷方法如下：若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面平行，比如生活中，天花板和地板，可看作兩個平行平面，它們的位置關(guān)系符合此判定。若兩個平面有一條公共直線，則這兩個平面相交，像教室的相鄰兩面墻，它們有一條公共棱，說明這兩個平面是相交關(guān)系。2.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法，并比較它們的優(yōu)缺點。答案：判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種常見方法。一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小來判斷，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交。優(yōu)點是直觀形象，缺點是需準(zhǔn)確計算距離。二是代數(shù)法，將直線與圓的方程聯(lián)立，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。優(yōu)點是計算過程較規(guī)范，缺點是計算量較大，有時易出錯。3.已知圓錐和圓柱的底面半徑和高都相等，討論它們的體積和表面積之間的關(guān)系。