第1章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)1.1數(shù)制與編碼1.2邏輯代數(shù)1.3邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1.4邏輯函數(shù)的變換與化簡(jiǎn)Multisim10仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)訓(xùn)本章小結(jié)習(xí)題

1.1數(shù)制與編碼

1.1.1數(shù)制

1.十進(jìn)制（Decimal）

十進(jìn)制數(shù)規(guī)納后，有以下特點(diǎn)。

（1）采用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，亦稱數(shù)碼表示。就是說(shuō)，十進(jìn)制數(shù)中的任一位，只能出現(xiàn)這十個(gè)數(shù)碼中的某一個(gè)；基數(shù)為10，即計(jì)數(shù)符號(hào)的個(gè)數(shù)為10。（2）十進(jìn)制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是9，低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢十進(jìn)一”或“借一當(dāng)十”，故稱為十進(jìn)制。因此，每一數(shù)碼處于不同的位置時(shí)，它所代表的數(shù)值是不同的。任何一個(gè)十進(jìn)制數(shù)N可展開(kāi)表示為（1.1.1）式中，Ki

表示第i位的數(shù)碼，它可以是0~9這十個(gè)數(shù)碼中的任何一個(gè)；n為整數(shù)位數(shù)，m為小數(shù)位數(shù)，m、n均為正整數(shù)；10i

稱為Ki所在位的權(quán)，是以基數(shù)10為底的i次冪；下標(biāo)D或10表示為十進(jìn)制數(shù)。通常把式（1.1.1）稱為十進(jìn)制數(shù)的位權(quán)展開(kāi)式。例如，十進(jìn)制數(shù)858.38按式（1.1.1）的位權(quán)展開(kāi)式為雖然，十進(jìn)制數(shù)858.38中有三個(gè)數(shù)碼都是“８”，但最左的一位是百位數(shù)，表示800，即8×102，它的權(quán)值為102；中間的一位是個(gè)位數(shù)，表示8，即8×100，它的權(quán)值為100；最右邊的一位是小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)，表示0.08，即8×10－2，它的權(quán)值為10－2。所以，同一數(shù)碼所處位置不同，代表的數(shù)值大小不同。若以R取代式（1.1.1）中的D，就可以得到任意R進(jìn)制數(shù)的位權(quán)展開(kāi)式（1.1.2）

2.二進(jìn)制（Binary）

二進(jìn)制數(shù)有以下特點(diǎn)。

（1）采用0、1兩個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，基數(shù)為2。

（2）十進(jìn)制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是1，低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢二進(jìn)一”或“借一當(dāng)二”，故稱為二進(jìn)制。任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)N可展開(kāi)表示為（1.1.3）根據(jù)位權(quán)展開(kāi)式（1.1.3），可計(jì)算出二進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的大小。例如二進(jìn)制數(shù)(101.01)2對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為5.25。

3.八進(jìn)制（Octal）

八進(jìn)制數(shù)有以下特點(diǎn)。

（1）采用0、1、2、3、4、5、6、7八個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，基數(shù)為8。

（2）八進(jìn)制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是7，低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢八進(jìn)一”或“借一當(dāng)八”，故稱為八進(jìn)制。任意一個(gè)八進(jìn)制數(shù)N可展開(kāi)表示為（1.1.4）根據(jù)位權(quán)展開(kāi)式（1.1.4），可計(jì)算出八進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的大小。例如八進(jìn)制數(shù)(57.2)8對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為47.25。

4.十六進(jìn)制（Hexadecimal）

十六進(jìn)制數(shù)有以下特點(diǎn)。

（1）采用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，基數(shù)為16。

（2）十六進(jìn)制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是F，低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢十六進(jìn)一”或“借一當(dāng)十六”，故稱為十六進(jìn)制。任意一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)N可展開(kāi)表

示為（1.1.5）根據(jù)位權(quán)展開(kāi)式（1.1.5），可計(jì)算出十六進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的大小。例如十六進(jìn)制數(shù)(2A.8)16對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為42.5。1.1.2數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

1.二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)將二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)時(shí)，只要依式(1.1.2)將它們按權(quán)位展開(kāi)，然后按十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則求和，即可得到對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

［例1.1.1］將二進(jìn)制數(shù)1011.101轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。［解］［例1.1.2］將八進(jìn)制數(shù)25.6轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。

［解］

2.十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)

十進(jìn)制數(shù)等值轉(zhuǎn)換，整數(shù)部分和小數(shù)部分轉(zhuǎn)換方法不同，需分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后將結(jié)果再進(jìn)行相加合成。

(1)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)

①整數(shù)部分采用“除2取余法”，即把十進(jìn)制整數(shù)連續(xù)除以2，并依次記下余數(shù)，直到商為0。然后把每次所得余數(shù)按相反的次序排列，即得轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分。［例1.1.3］把十進(jìn)制數(shù)59轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

［解］所以，(59)D=(111011)B

②小數(shù)部分采用“乘２取整法”，即把十進(jìn)制小數(shù)連續(xù)乘以2，直到小數(shù)部分為零或者滿足誤差要求進(jìn)行“四舍五入”達(dá)到要求的精度為止，然后將每次所取整數(shù)按序排列，即得轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分。

［例1.1.4］把十進(jìn)制數(shù)0.6875轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

［解］由于最后小數(shù)部分為零,k－5應(yīng)為0。所以,(0.6875)D=(0.1011)B［例1.1.5］把十進(jìn)制數(shù)0.706轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，要求其誤差小于2－5。

［解］由于小數(shù)0.296小于0.5，根據(jù)“四舍五入”的原則，ｋ－5應(yīng)為0。所以，(0.706)D=(0.1011)B

(2)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)

采用上述方法，很容易把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)，即整數(shù)部分采用“除基數(shù)(8或16)取余法”，小數(shù)部分采用“乘基數(shù)(8或16)取整法”。

3.二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)之間的互換

因?yàn)椋负?6都是２的整數(shù)冪，所以二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間的互換是比較容易的。

(1)二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)之間的互換

三位二進(jìn)制數(shù)正好表示0~7八個(gè)數(shù)字，因此一個(gè)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分從最低位開(kāi)始，每三位分成一組，每一組對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制數(shù)，若最后不足三位時(shí)，應(yīng)再前面加0，補(bǔ)足三位再轉(zhuǎn)換；小數(shù)部分從最高位開(kāi)始，每三為分成一組，每一組對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制數(shù)，若最后不足三位時(shí)，應(yīng)再后面加0，補(bǔ)足三位再轉(zhuǎn)換。反之，一個(gè)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，每一位八進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)三位二進(jìn)制數(shù)。［例1.1.6］將二進(jìn)制數(shù)1011001.1011轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。［解］所以，(1011001.1011)B=(131.54)O。

(2)二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)之間的互換

四位二進(jìn)制數(shù)正好表示0~Ｆ十六個(gè)數(shù)字，因此一個(gè)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分從最低位開(kāi)始，每四位分成一組，每一組對(duì)應(yīng)一位十六進(jìn)制數(shù)，若最后不足四位時(shí)，應(yīng)再前面加０，補(bǔ)足四位再轉(zhuǎn)換；小數(shù)部分從最高位開(kāi)始，每四位分成一組，每一組對(duì)應(yīng)一位十六進(jìn)制數(shù)，若最后不足四位時(shí)，應(yīng)再后面加０，補(bǔ)足四位再轉(zhuǎn)換。反之，一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，每一位十六進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)四位二進(jìn)制數(shù)。［例1.1.8］將二進(jìn)制數(shù)1011001.1011轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。［解］所以(1011001.1011)B=(59.B)H。［例1.1.9］將十六進(jìn)制數(shù)C7.3轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

［解］所以(C7.3)H=(11000111.0011)B。1.1.3編碼

1.二—十進(jìn)制編碼（BCD碼）

用4位二進(jìn)制數(shù)碼表示1位十進(jìn)制數(shù)的方法稱為二—十進(jìn)制編碼，也稱BCD（BinaryCodedDecimal）碼。4位二進(jìn)制碼有16種不同的組合，可任選其中的10種組合來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)的10個(gè)數(shù)碼，就有不同的二—十進(jìn)制編碼方案。表1.1.1列出了幾種常用的BCD碼。

1)有權(quán)BCD碼

有權(quán)BCD碼是以代碼的位權(quán)值命名的。在表1.1.1中8421碼、2421碼、5421碼都屬于有權(quán)碼。在這些表示0～9共10個(gè)數(shù)碼的4位二進(jìn)制代碼中，每一位數(shù)碼都有確定的位權(quán)值。因此，按相應(yīng)的位權(quán)展開(kāi)，就可以求得該代碼所代表的十進(jìn)制數(shù)。其中8421BCD碼是一種最簡(jiǎn)單、最常用有權(quán)碼。［例1.1.10］寫(xiě)出(457.39)10對(duì)應(yīng)的8421BCD碼。

［解］(457.39)10=(010001010111.00111001)8421BCD

2)無(wú)權(quán)BCD碼

無(wú)權(quán)BCD碼就是沒(méi)有確定的位權(quán)值。例如余3碼是由8421BCD碼加3（0011）形成的，所以稱為余3BCD碼。

2.格雷碼（Gray碼）

在數(shù)字系統(tǒng)中，除BCD碼外，常用的還有格雷碼、奇偶校驗(yàn)碼、ASCⅡ碼等。格雷碼是一種常見(jiàn)的無(wú)權(quán)碼，其編碼如表1.1.2所示。格雷碼的特點(diǎn)是任意相鄰兩組代碼之間只有一位代碼不同，且首尾0和15兩組代碼之間也只有一位代碼不同。因此，格雷碼是循環(huán)碼。格雷碼的這個(gè)特點(diǎn)使它在代碼形成與傳輸中引起的誤差較小。表1.1.2格雷碼與二進(jìn)制碼的對(duì)照表課堂活動(dòng)

一、課堂提問(wèn)和討論

1.數(shù)制是什么？什么是數(shù)碼？基數(shù)是什么？位權(quán)指的是什么？

2.十進(jìn)制數(shù)有什么特點(diǎn)？二進(jìn)制數(shù)有什么特點(diǎn)？

3.常用的二—十進(jìn)制編碼有哪些？為什么說(shuō)用4位二進(jìn)制數(shù)碼對(duì)十進(jìn)制數(shù)的10個(gè)數(shù)碼進(jìn)行編碼的方案有很多？

4.什么是有權(quán)BCD碼？什么是無(wú)權(quán)BCD碼？試舉例說(shuō)明。

5.格雷碼是什么碼？二、學(xué)生演講和演板

1.試將十進(jìn)制數(shù)123.675轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，要求精確到10－3。

2.為什么格雷碼能在信號(hào)傳輸和轉(zhuǎn)換過(guò)程中減少失誤，提高可靠性？三、課堂練習(xí)

1.試將下列數(shù)值轉(zhuǎn)換為等值的二進(jìn)制數(shù)。

(1)(8C)H(2)(136.45)O(3)(372)O

2.試將下列十進(jìn)制數(shù)表示為8421BCD碼。

(1)(43)D(2)(95.12)D

2.試將下列BCD碼轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。

(1)(010101111001)8421BCD

(2)(10001001.01110101)8421BCD

(3)(010011001000)5421BCD

(4)(10001011)余3BCD1.2邏輯代數(shù)

邏輯代數(shù)中最基本的邏輯常量是0和1，用以表示兩種邏輯狀態(tài)，如電平的高和低、燈的亮和熄、開(kāi)關(guān)的閉合和斷開(kāi)等。邏輯代數(shù)中的邏輯變量常由字母或字母加數(shù)字組成，邏輯變量的取值只有兩種可能，1或0。1或0并不表示數(shù)值，只表示兩個(gè)對(duì)立的狀態(tài)。邏輯變量可以分為兩類，邏輯自變量（輸入邏輯函數(shù)）和邏輯因變量（輸出邏輯函數(shù)）。

邏輯自變量A、B、C、…取值確定以后，邏輯因變量Z的值也被唯一地確定了。因此，因變量Z是自變量A、B、C、…的邏輯函數(shù)，記作

Z=F（A,B,C,…）1.2.1基本邏輯和復(fù)合邏輯

在邏輯代數(shù)中只有三種基本的邏輯，即“與”邏輯、“或”邏輯和“非”邏輯。與之對(duì)應(yīng)，在邏輯代數(shù)中只有三種基本的邏輯運(yùn)算，即與、或、非。

邏輯是一種函數(shù)關(guān)系，可用語(yǔ)言描述，亦可用邏輯代數(shù)表達(dá)式描述，還可用表格或圖形描述。輸入邏輯函數(shù)所有取值的組合與其所對(duì)應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值構(gòu)成的表格，稱為真值表。用規(guī)定的邏輯符號(hào)表示的圖形稱為邏輯圖。

1.“與”邏輯

在圖1.2.1所示電路中，只有當(dāng)電路中的兩個(gè)開(kāi)關(guān)都合上，燈泡才會(huì)亮。如果用邏輯變量A、B代表兩個(gè)開(kāi)關(guān)，用1代表接通，0代表斷開(kāi)；用Y代表燈泡，用1代表亮，0代表不亮，則可得出與運(yùn)算真值表如表1.2.1所示。若用邏輯代數(shù)表達(dá)式描述，則有

Y=A·B或Y=AB（1.2.1）

能實(shí)現(xiàn)與運(yùn)算的邏輯電路稱為與門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖1.2.2所示。圖1.2.1與邏輯電路圖1.2.2與邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)；(b)國(guó)際常用符號(hào)

2.“或”邏輯

在圖1.2.3所示電路中，只要電路中的一個(gè)開(kāi)關(guān)合上，燈泡會(huì)亮。能實(shí)現(xiàn)或邏輯關(guān)系的運(yùn)算稱為或運(yùn)算。如果用邏輯變量A、B代表兩個(gè)開(kāi)關(guān)，用1代表接通，0代表斷開(kāi)；用Y代表燈泡，用1代表亮，0代表不亮，則可得出或運(yùn)算真值表如表1.2.2所示。若用邏輯代數(shù)表達(dá)式描述，則有

Y=A+B（1.2.2）

能實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算的邏輯電路稱為或門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖1.2.4所示。圖1.2.3或邏輯電路圖1.2.4或邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)；(b)國(guó)際常用符號(hào)

3.“非”邏輯

在圖1.2.5所示電路中，當(dāng)電路中的開(kāi)關(guān)合上時(shí)，燈泡就不亮；當(dāng)電路中的開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，燈泡就會(huì)亮。這種互相否定的因果關(guān)系稱為非邏輯。能實(shí)現(xiàn)非邏輯關(guān)系的運(yùn)算稱為非運(yùn)算。如果用邏輯變量A代表開(kāi)關(guān)，用1代表接通，0代表斷開(kāi)；用Y代表燈泡，用1代表亮，0代表不亮，則可得出非運(yùn)算真值表如表1.2.3所示。圖1.2.5非邏輯電路顯然A與Y總是處于相反的邏輯狀態(tài)。

若用邏輯代數(shù)表達(dá)式描述，則有

（1.2.3）

式中，變量A上方的“—”號(hào)表示非運(yùn)算。能實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算的邏輯電路稱為非門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖1.2.6所示，圖中的小圓圈強(qiáng)調(diào)的是邏輯狀態(tài)關(guān)系，表示非運(yùn)算。圖1.2.6非邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)；(b)國(guó)際常用符號(hào)

4.幾種常用的復(fù)合邏輯

在實(shí)際邏輯運(yùn)算中，除了與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算外，還經(jīng)常使用一些在基本邏輯運(yùn)算基礎(chǔ)上構(gòu)成的復(fù)合邏輯運(yùn)算，例如與非、或非、與或非、異或和同或。

與非運(yùn)算是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合。與非邏輯符號(hào)如圖1.2.7所示，邏輯運(yùn)算真值表如表1.2.4所示。如前述正邏輯關(guān)系，有與非邏輯代數(shù)表達(dá)式:

（1.2.4）圖1.2.7與非邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)；(b)國(guó)際常用符號(hào)所謂正邏輯，是指在邏輯電路中用1代表高電平、用0代表低電平導(dǎo)出的邏輯關(guān)系；反之，如果在邏輯電路中用0代表高電平、用1代表低電平，導(dǎo)出的邏輯關(guān)系則為負(fù)邏輯。

對(duì)于一個(gè)數(shù)字電路或系統(tǒng)，可以采用正邏輯，也可以采用負(fù)邏輯，由此導(dǎo)出的邏輯真值表和邏輯代數(shù)表達(dá)式是不同的。如圖1.2.8（a）所示，輸入端的小圓圈，強(qiáng)調(diào)的是輸入邏輯1，經(jīng)反相成邏輯0，作為輸入信號(hào)；輸出端的小圓圈，強(qiáng)調(diào)的是輸入邏輯0，經(jīng)反相成邏輯1，作為輸出信號(hào)。在需要強(qiáng)調(diào)邏輯低電平有效的場(chǎng)合，是在邏輯符號(hào)單元框有關(guān)的輸入、輸出處，標(biāo)注半個(gè)空心箭頭符號(hào)表示，箭頭的方向同時(shí)也是信息流的方向，如圖1.2.8（b）所示。如本書(shū)中不作特別說(shuō)明，所采用的邏輯均為正邏輯。

或非運(yùn)算是或運(yùn)算和非運(yùn)算的組合?；蚍沁壿嫹?hào)如圖1.2.9所示，邏輯運(yùn)算真值表如表1.2.5所示。如前述正邏輯關(guān)系，有或非邏輯代數(shù)表達(dá)式:

（1.2.5）圖1.2.9或非邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)；(b)國(guó)際常用符號(hào)圖1.2.10與或非邏輯符號(hào)與或非運(yùn)算是與、或和非三種運(yùn)算的組合。與或非邏輯運(yùn)算的次序是，先組內(nèi)與，再組間或，最后再非，由此不難導(dǎo)出其邏輯運(yùn)算真值表（略）。能實(shí)現(xiàn)與或非運(yùn)算的邏輯電路稱為與或非門(mén)。與或非邏輯符號(hào)如圖1.2.10所示。如前述正邏輯關(guān)系，有與或非邏輯代數(shù)表達(dá)式:

（1.2.6）異或的邏輯關(guān)系是：當(dāng)兩個(gè)輸入信號(hào)相同時(shí)，輸出為0；當(dāng)兩個(gè)輸入信號(hào)不同時(shí)，輸出為1。異或邏輯符號(hào)如圖1.2.11所示，邏輯運(yùn)算真值表如表1.2.6所示。如前述正邏輯關(guān)系，有異或邏輯代數(shù)表達(dá)式:

（1.2.7）圖1.2.11異或邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)；(b)國(guó)際常用符號(hào)同或的邏輯關(guān)系和異或的邏輯關(guān)系剛好相反：當(dāng)兩個(gè)輸入信號(hào)相同時(shí)，輸出為1；當(dāng)兩個(gè)輸入信號(hào)不同時(shí)，輸出為0。同或邏輯符號(hào)如圖1.2.12所示，邏輯運(yùn)算真值表如表1.2.7所示。如前述正邏輯關(guān)系，有同或邏輯代數(shù)表達(dá)式:

=A⊙B（1.2.8）圖1.2.12同或邏輯符號(hào)(a)國(guó)標(biāo)符號(hào)；(b)國(guó)際常用符號(hào)1.2.2邏輯函數(shù)的表示方法

圖1.2.13所示為一個(gè)上下樓道路燈開(kāi)關(guān)控制電路，該電路在樓上和樓下均可控制樓道路燈的點(diǎn)亮和熄滅。設(shè)Y表示樓道路燈，用1代表點(diǎn)亮，0代表熄滅；樓上開(kāi)關(guān)A和樓下開(kāi)關(guān)B的動(dòng)作狀態(tài)，向上為1、向下為0。顯然，只有當(dāng)開(kāi)關(guān)A和開(kāi)關(guān)B同時(shí)向上或同時(shí)向下時(shí)，樓道路燈Y才會(huì)點(diǎn)亮，否則樓道路燈Y熄滅。圖1.2.13上下樓開(kāi)關(guān)電路

1.真值表表示方法

根據(jù)上述實(shí)例中邏輯輸入、輸出變量的符號(hào)和狀態(tài)定義，亦稱邏輯賦值，及圖1.2.13所示電路，有Y與A、B邏輯關(guān)系的真值表如表1.2.8所示。

特別要指出，列真值表時(shí)，一定要把輸入邏輯函數(shù)所有取值的組合與其所對(duì)應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值全部列出，才能完整描述整個(gè)邏輯關(guān)系，n個(gè)輸入邏輯變量共有2n個(gè)邏輯取值組合。

2.邏輯代數(shù)（函數(shù)）表達(dá)式表示方法

在上述實(shí)例中，對(duì)照表1.2.8所示真值表，可知在A、B狀態(tài)的四種不同組合中，只有第一（A=B=0）和第四（A=B=1）兩種組合才能使樓道路燈Y點(diǎn)亮（Y=1）。對(duì)于邏輯輸入變量A、B和邏輯輸出變量Y，凡取1值的用原變量表示、取0值的用反變量表示，則可寫(xiě)出圖1.2.13所示電路的邏輯代數(shù)（函數(shù)）表達(dá)式:

（1.2.9）

這種表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式（積之和式）。A⊙B

3.邏輯圖表示方法

將式（1.2.9）中所有的與、或、非邏輯運(yùn)算符號(hào)用相應(yīng)的邏輯符號(hào)代替，并按照邏輯運(yùn)算的先后次序?qū)⑦@些邏輯符號(hào)連接起來(lái)，就得到了圖1.2.13所示電路的邏輯圖，如圖1.2.14（a）所示。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，也可以用同或邏輯符號(hào)表示，得到如圖1.2.14（b）所示的邏輯圖。圖1.2.14圖1.2.13所示電路的邏輯圖（a）用與、或、非邏輯符號(hào)構(gòu)成的邏輯圖；（b）用同或邏輯符號(hào)構(gòu)成的邏輯圖

4.波形圖表示方法

如果將輸入邏輯變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對(duì)應(yīng)邏輯變量的輸出值按時(shí)間順序依次排列起來(lái)，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖。

將表1.2.8給出的輸入邏輯變量與對(duì)應(yīng)輸出邏輯變量的取值按時(shí)間順序依次排列起來(lái)，就得到了圖1.2.13所示電路的波形圖，如圖1.2.15所示。圖1.2.15圖1.2.13所示電路的波形圖

5.各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換

（1）真值表與邏輯代數(shù)（函數(shù)）表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換。

從前述簡(jiǎn)單實(shí)例表示方法的討論中，可以總結(jié)出由真值表寫(xiě)出邏輯函數(shù)表達(dá)式的一般方法：

①找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的那些輸入變量取值的組合；

②每組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)與項(xiàng)，組合中取值為1的寫(xiě)入原變量，取值為0的寫(xiě)入反變量；

③將這些與項(xiàng)進(jìn)行或運(yùn)算，即得Y的邏輯函數(shù)表達(dá)式。［例1.2.1］已知邏輯函數(shù)Y=A+ＡB，試求出其對(duì)應(yīng)的真值表。

［解］將輸入變量A、B的各種取值逐一代入邏輯函數(shù)表達(dá)式中計(jì)算，并將計(jì)算列表，即得所求真值表，如表1.2.9所示。顯然，這是一個(gè)二變量的或邏輯。初學(xué)時(shí)，為避免差錯(cuò)，可先將ＡB項(xiàng)算出，然后與變量A進(jìn)行或運(yùn)算求出Y的值。（2）邏輯代數(shù)（函數(shù)）表達(dá)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換。

由邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的邏輯圖，只要用邏輯圖形符號(hào)代替邏輯函數(shù)表達(dá)式中的邏輯運(yùn)算符號(hào)并按運(yùn)算順序?qū)⑺鼈冞B接，就可以得到所求的邏輯圖。

而由邏輯圖轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的邏輯函數(shù)表達(dá)式，只要從邏輯圖的輸入端到輸出端逐級(jí)寫(xiě)出每個(gè)邏輯圖形符號(hào)輸出端的邏輯函數(shù)式，就可以在輸出端得到所求的邏輯函數(shù)表達(dá)式。［例1.2.2］已知邏輯函數(shù)的邏輯圖如圖1.2.16所示，試求其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)表達(dá)式。

［解］從圖1.2.16所示邏輯圖的輸入端開(kāi)始，逐個(gè)、逐級(jí)寫(xiě)出每個(gè)邏輯圖形符號(hào)輸出端的邏輯函數(shù)式，有其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)表達(dá)式：

顯然，這是一個(gè)Y恒為1的兩變量邏輯。圖1.2.16例1.2.2的邏輯圖（3）波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換。

由邏輯函數(shù)波形圖求相應(yīng)的真值表，首先需要從波形圖上找出每個(gè)時(shí)間段里輸入邏輯變量與輸出邏輯函數(shù)的取值，然后將這些輸入、輸出取值對(duì)應(yīng)列表，就得到了所求的真值表。

由真值表求相應(yīng)的邏輯函數(shù)波形圖，只需將真值表中所有的輸入邏輯變量與對(duì)應(yīng)的輸出邏輯函數(shù)的取值依次排列

畫(huà)成以時(shí)間為橫軸的波形，就得到了所求的波形圖，如前所述。1.2.3邏輯代數(shù)的基本定律和基本規(guī)則

1.基本定律

表1.2.10給出了邏輯代數(shù)的基本定律（基本公式），亦稱布爾恒等式，這些公式反映了邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)律，而不是數(shù)量之間的關(guān)系，其正確性都可以用真值表加以驗(yàn)證。如果等式兩邊對(duì)應(yīng)邏輯函數(shù)的真值表相同，則等式成立?；蛘哒f(shuō)，如果兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，那么這兩個(gè)邏輯函數(shù)的真值表一定相同。在表1.2.10所列基本定律中，反演律又稱為摩根定理，它常用于求一個(gè)原函數(shù)的反函數(shù)或?qū)壿嫼瘮?shù)進(jìn)行變換。表1.2.10中所列常用恒等式可以用其他基本定律加以證明，下面以其中的一條為例進(jìn)行證明。

2.基本規(guī)則（定理）

1）代入規(guī)則（定理）

因?yàn)樽兞浚林挥?和1兩種可能的狀態(tài)，所以無(wú)論將Ａ=0代入，還是將Ａ=1代入，等式都一定成立。而任何一個(gè)邏輯函數(shù)的取值也只有0和1兩種可能的狀態(tài)，所以用它取代邏輯等式中的Ａ?xí)r，等式自然也成立。因此，代入定理是無(wú)需證明的公理。

［例1.2.3］試用代入定理證明摩根定理也適用于多變量的情況。

［解］如表1.2.10中所列二變量的摩根定理為

現(xiàn)依代入定理，以邏輯函數(shù)（B·C）替換等式中的變量B，于是有

2）反演規(guī)則（定理）

根據(jù)摩根定理，對(duì)于任何一個(gè)原函數(shù)Ｙ的表達(dá)式，若將其中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，1換成０，０換成1，原變量換成反變量，反變量換成原變量，保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序，即先運(yùn)算括號(hào)里的內(nèi)容，其次進(jìn)行與運(yùn)算，最后進(jìn)行或運(yùn)算，并保留反變量以外的非號(hào)不變，則得到的邏輯函數(shù)表達(dá)式就是原函數(shù)Ｙ的非函數(shù)Y，亦稱反函數(shù)。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則，亦稱反演定理。［例1.2.4］試求

的反函數(shù)Y。

［解］根據(jù)反演定理，保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序，并保留反變量以外的非號(hào)不變，有

3）對(duì)偶規(guī)則（定理）

對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)式Ｙ，若將其中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，１換成０，０換成１，并保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序，即“先括號(hào)、然后與、最后或”，但變量不變，則得出的一個(gè)新的邏輯函數(shù)式就是Ｙ的對(duì)偶式，記作Y′。這個(gè)規(guī)則稱為對(duì)偶規(guī)則，亦稱對(duì)偶定理。但需要指出，一般情況下，Y′≠Y，只是在某些特殊情況下才有Y′=Y。若兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也一定相等。利用對(duì)偶定理，可從已知公式中得到更多的運(yùn)算公式。如表1.2.10所述基本定律，每一定律的左邊公式和右邊公式都是一對(duì)互為對(duì)偶的對(duì)偶式。

［例1.2.5］已知，試求其對(duì)偶式Y(jié)′。

［解］根據(jù)對(duì)偶定理，有課堂活動(dòng)

一、課堂提問(wèn)和討論

1.在邏輯代數(shù)中，基本的邏輯關(guān)系有幾種？是哪幾種？試說(shuō)出其邏輯運(yùn)算的邏輯代數(shù)表達(dá)式，并列舉出幾個(gè)相關(guān)的實(shí)例。

2.什么是復(fù)合邏輯？常用的復(fù)合邏輯有哪幾種？試舉例說(shuō)明。

3.異或和同或的邏輯關(guān)系是什么？試用真值表說(shuō)明。

4.邏輯函數(shù)都有哪些表示方法？

5.邏輯代數(shù)的基本定律（基本公式）當(dāng)中，哪些公式的運(yùn)算規(guī)則和普通代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則相同？哪些不同？哪些是需要特別記住的？

6.利用反演定理求取原函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，應(yīng)如何處理變換的運(yùn)算順序和非運(yùn)算符號(hào)？二、學(xué)生演講和演板

1.試畫(huà)出基本邏輯函數(shù)的邏輯符號(hào)，并寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的邏輯代數(shù)表達(dá)式和真值表。

2.試畫(huà)出與非、或非、與或非邏輯關(guān)系的邏輯符號(hào)，并寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的邏輯代數(shù)表達(dá)式和真值表。

3.試畫(huà)出異或和同或邏輯函數(shù)的邏輯符號(hào)，并寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的邏輯代數(shù)表達(dá)式和真值表。三、小組活動(dòng)

1.分小組討論邏輯函數(shù)真值表、邏輯函數(shù)表達(dá)式、邏輯電路圖三者之間有什么關(guān)系，并簡(jiǎn)述由真值表寫(xiě)出邏輯函數(shù)表達(dá)式的方法。

2.分小組討論實(shí)現(xiàn)一個(gè)確定邏輯功能的邏輯電路是不是唯一的，試舉例說(shuō)明。四、課堂練習(xí)

1.試畫(huà)出下列邏輯函數(shù)的邏輯圖。

(1)Y=AB+CD(2)

2.試用邏輯代數(shù)的基本定律（基本公式）證明下列邏輯等式。

(1)A（A+B）=A(2)

1.3邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

1.3.1邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法

1.邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

邏輯函數(shù)確定后，相應(yīng)的真值表是唯一的，但利用邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律可以將同一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式變換為多種表達(dá)形式。按照表達(dá)式中乘積項(xiàng)的特點(diǎn)和各乘積項(xiàng)間的關(guān)系，可大致分為：與或式、與非—與非式、與或非式、或與式、或非—或非式等五種類型。例如：即使是同一類型的邏輯函數(shù)其表達(dá)式也有多種表達(dá)形式。如上例中，與或式有可見(jiàn)，一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種表達(dá)形式。進(jìn)行邏輯設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)邏輯問(wèn)題歸納出來(lái)的邏輯函數(shù)表達(dá)式往往不是最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)式，并且可以有不同的形式。

2.公式化簡(jiǎn)法

邏輯函數(shù)公式化簡(jiǎn)法就是反復(fù)應(yīng)用邏輯代數(shù)的基本定律（基本公式），以消去邏輯函數(shù)表達(dá)式中多余的乘積項(xiàng)和多余的因子，進(jìn)行邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的方法。

公式化簡(jiǎn)法沒(méi)有固定的步驟。下面介紹幾種常用的方法。

1）并項(xiàng)法

利用公式AB+AB=A，將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，同時(shí)消去一個(gè)變量。例如：

2）吸收法

利用公式A+AB=A和消去多余項(xiàng)。例如：

3）消去法

利用公式A+ＡB=A+B，消去多余的因子。例如：

4）配項(xiàng)法利用公式A+A=1或A·A=0及A+A=A，給某個(gè)乘積項(xiàng)配項(xiàng)再化簡(jiǎn)，以達(dá)到進(jìn)一步化簡(jiǎn)的目的。例如：證明又例如：通常對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，需綜合利用上述方法。［例1.3.1］化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式Y(jié)=AD+AＤ+AB+

ＡC+BD+ACEF+ＢEF+DEFG。

［解］［例1.3.2］化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式［解］公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)沒(méi)有限制，但需要熟練掌握和靈活應(yīng)用邏輯代數(shù)的基本定律及基本公式，并有一定的技巧，而且難以判斷所得結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。因此，公式化簡(jiǎn)法一般適用于變量個(gè)數(shù)較多，且邏輯函數(shù)表達(dá)式較為簡(jiǎn)單的情況。1.3.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

1.最小項(xiàng)

最小項(xiàng)是指邏輯函數(shù)中的一個(gè)乘積項(xiàng)（與項(xiàng)），它包含了該邏輯函數(shù)中所有的變量，每個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。

在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含全部變量的乘積項(xiàng)，則稱m為該邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。因?yàn)樵趍中，每個(gè)變量均有原變量和反變量?jī)煞N形式，所以n個(gè)變量構(gòu)成的最小項(xiàng)有

2n個(gè)。例如，使最小項(xiàng)ABC＝1的各變量取值組合為０００，則二進(jìn)制數(shù)０００對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為０，即該最小項(xiàng)的編號(hào)i＝０，記作m0。依次類推，可得出表示該三變量邏輯函數(shù)的全部最小項(xiàng)及編號(hào)，如表1.3.1所示。由表1.3.1可以看出，最小項(xiàng)具有如下性質(zhì)：

（1）對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，輸入變量只有對(duì)應(yīng)的一組取值組合使它的值為1，而在其他各組變量取值時(shí)，這個(gè)最小項(xiàng)的值都為０。

（2）不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那一組輸入變量的取值也不同。

（3）對(duì)于輸入變量的任一組取值組合，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為０。（4）對(duì)于輸入變量的任一組取值組合，全體最小項(xiàng)之和為1。

（5）若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性，且這兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并將一對(duì)不同的因子消去。例如：

2.邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

如果一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式是與或式，而且其中每個(gè)乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）都是最小項(xiàng)，則稱該邏輯函數(shù)表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)與或式，亦稱最小項(xiàng)表達(dá)式。

例如，就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)與或式。為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，該式還可以表示為任何一種邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以展開(kāi)為標(biāo)準(zhǔn)與或式，亦即最小項(xiàng)表達(dá)式，而且是唯一的。

［例1.3.3］試將Y=AB+BC展開(kāi)為最小項(xiàng)表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)與或式）。

［解］

3.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

1）邏輯變量的卡諾圖

最小項(xiàng)的相鄰原則，是指兩個(gè)最小項(xiàng)中，除了一個(gè)變量為互反變量外，其余的變量都相同。幾何位置上相鄰，是指在方格陣列中任一方格內(nèi)的最小項(xiàng)，與其幾何位置上下左右方格內(nèi)的最小項(xiàng)相鄰。這包括，水平方向同一行里，最左端和最右端的方格也相鄰；垂直方

向同一列里，最上端和最下端的方格也相鄰。

根據(jù)卡諾圖的構(gòu)成原則，畫(huà)出的二變量、三變量和四變量的卡諾圖如圖1.3.1所示。圖1.3.1填入最小項(xiàng)的卡諾圖(a)二變量卡諾圖；(b)三變量卡諾圖；(c)四變量卡諾圖

2）邏輯函數(shù)的卡諾圖

當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項(xiàng)表達(dá)式時(shí)，在對(duì)應(yīng)變量的卡諾圖中找出和表達(dá)式中最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填上1，其余的小方格填上０（也可不填，用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。反之，由卡諾圖也可以得出相應(yīng)的邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式。即如1.2.2節(jié)中所述，卡諾圖也是邏輯函數(shù)的表示方法之一。［例1.3.4］試畫(huà)出例1.3.3中邏輯函數(shù)［解］由有對(duì)應(yīng)的卡諾圖，如圖1.3.2所示。圖1.3.2例1.3.3中邏輯函數(shù)的卡諾圖［例1.3.5］試寫(xiě)出圖1.3.3所示卡諾圖所對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式。

［解］由圖1.3.3所示卡諾圖得所對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式:圖1.3.3例1.3.5的卡諾圖

4.在卡諾圖上合并最小項(xiàng)的規(guī)則

利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)依據(jù)的基本原理就是具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去不同的因子。

（1）在卡諾圖中，若兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰，則可以合并為一項(xiàng)，并消去一對(duì)不同的因子。例如，在圖1.3.4（a）和（b）畫(huà)出的兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰的幾種可能情況中，對(duì)于圖1.3.4（a），由于最小項(xiàng)ＡBC(m3)和ABC(m7)相鄰，故有（2）在卡諾圖中，若四個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形，則可以合并為一項(xiàng)，并消去兩對(duì)不同的因子。例如，在圖1.3.4（c）和（d）畫(huà)出的四個(gè)最小項(xiàng)相鄰的幾種可能情況中，對(duì)于圖1.3.4（d），由于最小項(xiàng)ABCD(m5)、ABCD(m7)、ABCD(m13)和ABCD(m15)相鄰，故有=BD又例如，在圖1.3.4（d）中，由于四個(gè)頂角的最小項(xiàng)(m0)、(m２)、(m10)相鄰，故有（3）在卡諾圖中，若八個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形，則可以合并為一項(xiàng)，并消去三對(duì)不同的因子。例如，在圖1.3.4（e）畫(huà)出的八個(gè)最小項(xiàng)相鄰的幾種可能情況中，由于上邊兩行的八個(gè)最小項(xiàng)相鄰，故可以將它們合并為一項(xiàng)A；由于左右兩側(cè)兩列的八個(gè)最小項(xiàng)相鄰，故可以將它們合并為一項(xiàng)D。圖1.3.4最小相鄰的幾種情況(a)、(b)兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰；(c)、(d)四個(gè)最小項(xiàng)相鄰；(e)八個(gè)最小項(xiàng)相鄰由此，可以歸納出利用卡諾圖合并最小項(xiàng)的一般規(guī)則：如果有2n個(gè)最小項(xiàng)相鄰（n=1，2，…）并排列成一個(gè)矩形，則可將它們合并為一項(xiàng)，并消去n對(duì)不同的因子，合并后的結(jié)果中僅剩這些最小項(xiàng)的公共因子。

5.卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)可按以下步驟進(jìn)行：

（1）將邏輯函數(shù)變換成最小項(xiàng)表達(dá)式；

（2）畫(huà)出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；

（3）找出可以合并的最小項(xiàng)，以2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)矩形（稱為卡諾圈），合并相鄰的最小項(xiàng)；

（4）選取簡(jiǎn)化后的乘積項(xiàng)，寫(xiě)出最簡(jiǎn)的與或函數(shù)表

達(dá)式。合并具有相鄰性的最小項(xiàng)時(shí)，應(yīng)遵循下列原則：

（1）由相鄰最小項(xiàng)構(gòu)成的矩形（卡諾圈）應(yīng)覆蓋卡諾圖中所有的“1”項(xiàng)，且個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能少，這樣可使化簡(jiǎn)后的與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；

（2）由相鄰最小項(xiàng)構(gòu)成的矩形（卡諾圈）按2n個(gè)的規(guī)律，應(yīng)盡可能得大，以包含盡可能多的最小項(xiàng)，這樣可使化簡(jiǎn)后的每個(gè)乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）包含的變量個(gè)數(shù)最少；

（3）由相鄰最小項(xiàng)構(gòu)成的矩形（卡諾圈）選中的最小項(xiàng)可以重復(fù)，但至少有１個(gè)最小項(xiàng)是沒(méi)有被其他卡諾圈選擇過(guò)。［例1.3.6］試用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)［解］首先畫(huà)出表示該四變量邏輯函數(shù)的卡諾圖，如圖1.3.5所示。畫(huà)出可以合并相鄰最小項(xiàng)的卡諾圈，如圖1.3.5所示。對(duì)卡諾圈中的最小項(xiàng)進(jìn)行合并化簡(jiǎn)，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,有圖1.3.5例1.3.6的卡諾圖［例1.3.7］試用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

［解］首先畫(huà)出表示該三變量邏輯函數(shù)的卡諾圖，如圖1.3.6所示。

由于該邏輯函數(shù)表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，所以應(yīng)先將其化為最小項(xiàng)表達(dá)式，但為快捷簡(jiǎn)便，也可直接在卡諾圖中標(biāo)出其乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）所包含的最小項(xiàng)。同理，乘積項(xiàng)AC應(yīng)包含m5、m7兩個(gè)最小項(xiàng)。如此，有對(duì)應(yīng)的卡諾圖，如圖1.3.6所示。

根據(jù)合并具有相鄰性最小項(xiàng)的原則，在卡諾圖中畫(huà)出卡諾圈。由圖1.3.6(a)和圖1.3.6(b)所示的畫(huà)法可以看出，雖然兩者卡諾圈畫(huà)法不同，但都符合原則。由此，有兩種化簡(jiǎn)結(jié)果，分別為圖1.3.6例1.3.7的卡諾圖(a)F1的畫(huà)法；(b)F2的畫(huà)法利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，如果卡諾圖中各小方格被為“1”的項(xiàng)占去了大部分，雖然仍可用卡諾圈圍1的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，但由于要重復(fù)利用1項(xiàng)，往往顯得零亂而容易出錯(cuò)。這時(shí)，如果采用卡諾圈圍0的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，則往往更為簡(jiǎn)單。即先求出邏輯函數(shù)的非函數(shù)，然后再對(duì)非函數(shù)求非，其結(jié)果相同。［例1.3.8］試用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)［解］首先畫(huà)出表示該四變量邏輯函數(shù)的卡諾圖，如圖1.3.7所示。根據(jù)合并具有相鄰性最小項(xiàng)的原則，在卡諾圖上畫(huà)出卡諾圈。圖1.3.7例1.3.8的卡諾圖(a)圍1的畫(huà)法；(b)圍0的畫(huà)法采用卡諾圈圍1的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，畫(huà)出的卡諾圖如圖1.3.7(a)所示，有采用卡諾圈圍0的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，畫(huà)出的卡諾圖如圖1.3.7(b)所示，有

6.具有約束項(xiàng)和任意項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

1）約束項(xiàng)和任意項(xiàng)

約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)。無(wú)關(guān)項(xiàng)在卡諾圖中，通常以符號(hào)×（或Ｏ）表示；無(wú)關(guān)項(xiàng)在邏輯函數(shù)表達(dá)式中，通常以字母d表示，d后面括號(hào)內(nèi)的數(shù)字是無(wú)關(guān)項(xiàng)的最小項(xiàng)編號(hào)。例如，對(duì)十進(jìn)制數(shù)碼0～9進(jìn)行編碼的8421BCD碼，A、B、C、D四個(gè)變量取值的組合只能出現(xiàn)0000～1001這10種情況，不會(huì)出現(xiàn)1010、1011、1100、1101、1110、1111這六種情況，所以四變量取值組合1010～1111所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)就是約束項(xiàng)或稱無(wú)關(guān)項(xiàng)。

2）具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

在化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，由于無(wú)關(guān)項(xiàng)是0或1對(duì)邏輯函數(shù)都不會(huì)產(chǎn)生影響，所以無(wú)關(guān)項(xiàng)（符號(hào)×）是作為1還是0處理，是以所能得到的相鄰最小項(xiàng)矩形組合（卡諾圈）

最大，且矩形組合（卡諾圈）的數(shù)目最少，即使邏輯函數(shù)盡量得到簡(jiǎn)化為原則。［例1.3.9］試化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)［解］首先畫(huà)出表示該四變量邏輯函數(shù)的卡諾圖，如圖1.3.8所示。根據(jù)化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的原則，在卡諾圖上畫(huà)出卡諾圈，如圖1.3.8所示。圖1.3.8例1.3.9的卡諾圖由此，化簡(jiǎn)結(jié)果為［例1.3.10］試化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)［解］首先畫(huà)出表示該四變量邏輯函數(shù)的卡諾圖，如圖1.3.9所示。根據(jù)化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的原則，在卡諾圖上畫(huà)出卡諾圈，如圖1.3.9所示。由此，化簡(jiǎn)結(jié)果為圖1.3.9例1.3.10的卡諾圖課堂活動(dòng)

一、課堂提問(wèn)和討論

1.最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)是什么？化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)有什么實(shí)際意義？

2.公式法化簡(jiǎn)有哪幾種常用的方法？試舉例說(shuō)明。

3.什么是最小項(xiàng)？最小項(xiàng)具有什么性質(zhì)？

4.使用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù)是什么？

5.什么是無(wú)關(guān)項(xiàng)？使用卡諾圖化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的原則是什么？二、學(xué)生演講和演板

1.試畫(huà)出三變量和四變量的卡諾圖。

2.試用公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

3.試用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

4.試用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)三、小組活動(dòng)

1.分小組討論利用卡諾圖合并最小項(xiàng)的一般規(guī)則和步驟，試舉例說(shuō)明。

2.分小組討論公式化簡(jiǎn)法、卡諾圖化簡(jiǎn)法各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

1.4邏輯函數(shù)的變換與化簡(jiǎn)Multisim10仿真

1.由邏輯函數(shù)表達(dá)式求真值表

從Multisim10儀器儀表庫(kù)欄目中把邏輯轉(zhuǎn)換儀拖出，雙擊邏輯轉(zhuǎn)換儀圖標(biāo)，在顯示的面板圖底部最后一行的空白位置中輸入需轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)表達(dá)式，如圖1.4.1所示。按下邏輯轉(zhuǎn)換儀表板上“由表達(dá)式轉(zhuǎn)換為真值表”的按鈕，即可得到與邏輯函數(shù)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的真值表，如圖1.4.2所示。圖1.4.1邏輯轉(zhuǎn)換儀的面板圖及表達(dá)式的輸入圖1.4.2邏輯函數(shù)表達(dá)式和對(duì)應(yīng)的真值表

2.邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

從Multisim10儀器儀表庫(kù)欄目中拖出邏輯轉(zhuǎn)換儀，雙擊邏輯轉(zhuǎn)換儀圖標(biāo)，在彈出的邏輯轉(zhuǎn)換儀面板上輸入需化簡(jiǎn)的邏輯函數(shù)表達(dá)式，將邏輯函數(shù)表達(dá)式通過(guò)邏輯轉(zhuǎn)換儀轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的真值表，如圖1.4.3所示。然后，再按下邏輯轉(zhuǎn)換儀面板上的“由真值表轉(zhuǎn)換為最簡(jiǎn)表達(dá)式”的按鈕，在邏輯轉(zhuǎn)換儀面板底部最后一行的邏輯函數(shù)表達(dá)式的欄目中即可得到化簡(jiǎn)的最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如圖1.4.4所示。圖1.4.3邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為真值表圖1.4.4真值表轉(zhuǎn)換為最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式

3.由邏輯電路圖求真值表和最簡(jiǎn)表達(dá)式

在Multisim10實(shí)驗(yàn)工作區(qū)中搭建已知的邏輯電路圖，如圖1.4.5所示。將該邏輯電路的輸入、輸出端分別連接到邏輯轉(zhuǎn)換儀的輸入、輸出端鈕上，如圖1.4.6所示。雙擊邏輯轉(zhuǎn)換儀圖標(biāo)，在彈出的邏輯轉(zhuǎn)換儀表面上，按下“由電路圖轉(zhuǎn)換為真值表”的按鈕，即可得到該邏輯電路圖所對(duì)應(yīng)的真值表，如圖1.4.7所示。然后，再按下“由真值表轉(zhuǎn)換為最簡(jiǎn)表達(dá)式”的按鈕，即可得到所求的最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如圖1.4.8所示。圖1.4.5在實(shí)驗(yàn)工作區(qū)搭建邏輯電路圖圖1.4.6邏輯轉(zhuǎn)換儀電路連接圖1.4.7由邏輯電路圖到真值表的轉(zhuǎn)換圖1.4.8由真值表到最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換

4.包含無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

試用Multisim10系統(tǒng)中的邏輯轉(zhuǎn)換儀，求已知邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式。在打開(kāi)的邏輯轉(zhuǎn)換儀面板頂部選擇4個(gè)輸入端（A、B、C、D），此邏輯轉(zhuǎn)換儀真值表區(qū)就會(huì)自動(dòng)出現(xiàn)對(duì)應(yīng)4個(gè)輸入邏輯變量的所有組合，而右邊輸出列的初始值全部為零，依據(jù)已知的邏輯函數(shù)表達(dá)式對(duì)其賦值（1、0或×），得到如圖1.4.9所示的真值表。按下“由真值表轉(zhuǎn)換為最簡(jiǎn)表達(dá)式”的按鈕，即可在邏輯轉(zhuǎn)換儀底部邏輯函數(shù)表達(dá)式欄中得到化簡(jiǎn)后的最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如圖1.4.10所示。圖1.4.9