矩形綜合題

1.(2025?西山區(qū)校級開學(xué))某廣告公司現(xiàn)對廣告設(shè)計圖案進行涂色.有以下問題請你幫忙解決.

(1)如圖1是某個矩形廣告圖案的一部分，每平方米涂刷需要用油漆0.5千克，已涂色部分涂刷用

去3.75千克油漆.求矩形廣告的高是多少米？

(2)大約還需要多少千克油漆才能把圖1中①②部分涂完？(71-3.14)

(3)如圖2中的矩形是面積為18〃「的廣告牌，現(xiàn)已用同樣的油漆對圖中的陰影承分完成涂刷、

已知SAAM=S△?尸=6川2.現(xiàn)需對空白的△AEF部分用特殊涂料涂色，求△AE77面積.

2.(2025?松原四模)如圖，在矩形ABC/)中，43=3,連接AC,N8AC=60。，點?從點A出發(fā)，以每

秒右個單位長度的速度沿線段4)向終點。運動；同時點。從點3出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度

沿折線AfA—C向終點C運動，以AP,AQ為鄰邊作平行四邊形APEQ.設(shè)運動時間為x秒，平行四

邊形4PEQ和矩形4/丸力重疊部分的圖形面積為y.

(1)當點E在CD上時，x=:

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍:

(3)連接C￡,直接寫出當ZDC￡=3O°時x的值.

3.(2025春?羅定市期中)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,/\C=40C/M,N4=6O。，點。從點C出發(fā)沿C4

方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，問時點K從點A出發(fā)沿方向以Lanis的速度向點B勻速運動,

當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D,E運動的時間是fs(0</,,10).過點。

作。尸于點尸，連接。E,EF.

(1)求證：四邊形4￡陽為平行四邊形；

(2)①當"$時，四邊形狙迫為菱形；

②當，=$時，四邊形OEM為矩形，請寫出解答過程.

4.(2025?宛城區(qū)校級四模)綜合與實踐：折紙中的數(shù)學(xué)折紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，也是同學(xué)們喜

歡的手工活動之一，幸運星、紙飛機、千紙鶴、密信等折紙活動在生活中都廣為流傳的，通過折紙我

們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識，折紙往往從長方形紙片開

始，下面就讓我們帶著數(shù)學(xué)的限光來探究一下有關(guān)長方形紙片的折疊問題，看看折疊長方形紙片蘊含

著哪些豐富的教學(xué)知識.

(1)折紙1:如圖①，在一張長方形紙片上任意畫一條線段旗,將紙片沿線段折疊(如圖②).

問題1：重疊部分的A/WC的形狀(是、不是)等腰三角形.

問題2:如果長方形紙片人4=4(m，BC=5cm,重疊部分AABC的面積為an2.

(2)折紙2:如圖③，長方形紙片ABC。，點石為邊CD上一點，將MCE沿著直線班:折疊，使點。的

對應(yīng)點廠落在邊AD上，請僅用無刻度的尺子和圓規(guī)在圖③中找出點石的位置.

(3)折紙3:如圖④，長方形紙片A3CD,48=5,BC=6,若點M為射線3。上一點，將A4BM沿著

直線4W折疊，折卷后點D的對應(yīng)點為B',當點ZT恰好落在3C的垂直平分線上時，求的長.

5.（2025?鄉(xiāng)寧縣二模）綜合與實踐：問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的

折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.在矩形AM；/）中，巴為/W邊上一點，〃為49邊上一點，連接CE,C?,

分別將ABCE和ACD/沿CE,CF翻折，D,8的對應(yīng)點分別為G,H,且C,H,G三點共線.

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1,若尸為4）邊的中點，AB=8C=1O,點G與點H重合，則/ECF=0,AE=

問題探究：（2）如圖2,若NDb=22.5。，AB=2立+2,8C=4,求AE的長；

拓展延伸：（3）A8=1O,AO=6,若尸為AD的三等分點，請直接寫出AE的長.

茶用圖

6.（2025?宜都市二模）已知，四邊形A8CD是矩形，A8=6,BC=8,E,尸分別是AB,8c邊上的

點，且BE=CF,￡"_LAC與AD交于點”，垂足為點P,以EH,EF為鄰邊作口EFGH.

（1）如圖1,當點G在邊8上時，求證：MEH^ACGF；

（2）如圖2,當QE產(chǎn)G〃是矩形求AE的長：

（3）當點6在/\4。。內(nèi)部（含邊上）B寸，求線段CF的取值范圍.

7.(2025?濮陽二模)數(shù)學(xué)綜合實踐課上，老師與同學(xué)們探索了下列問題：

如圖，矩形中，點”為叱中點，點七為49上一動點，將四邊形沿“折疊，A>4的對

應(yīng)點分別為“、N連接孫、CN.

【問題解決】

(1)如圖(1),當44律=125。時，ZA8N的大小為.

4.45。5.55°C.60?！?gt;,65°

【問題探究】

如圖(2),連接目V.

(2)分別判斷所與NC,BN與NC的位置關(guān)系，并給出證明；

(3)若A8=3,BC=8,當ABNC與AEAW相似時，直接寫出AE的長度.

8.(2025?梁溪區(qū)一模)在平面直角坐標系中，四邊形AO8C是矩形，點0(0,0),點45.0),點4(0,3),

以點”為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形AD￡F,點O,B,C的對應(yīng)點分別為。，E,F.

(1)如圖①，當點。落在邊上時，求點。的坐標；

(2)如圖②，當點。落在線段比上時，AD與3C交于點“，求點”的坐標.

(3)記K為矩形AO8C對角線的交點，S為AKDE的面枳,直接寫出S的取值范圍.

im)im)

9.(2025春?蓮池區(qū)期末)如圖，在四邊形/WC￡>中，NA=NB=NBCD=9()。，AB=DC=3,A/)=AC=7.延

長HC到上，使CE=4,連接〃上，由直角三角形的性質(zhì)可知/比;=5.動點、產(chǎn)從點、B出發(fā),以每秒2個

單位的速度沿CD-ZM向終點4運動，設(shè)點尸運動的時間為/秒.(/>0).

(1)當/=3時，BP=；

(2)當4v/v5時，CP=;(用含/的代數(shù)式表示)

(3)當/=時，點P運動到4的角平分線上；

(4)請用含/的代數(shù)式表示的面積S;(不包括點尸與點A,點8重合的情況)

(5)當點夕在3c邊上時，直接寫出點P到四邊形/WED任意相鄰兩邊距離相等時/的值.

10.(2025?崇川區(qū)校級四模)如圖，矩形48CD中，A8=3,4)=4.

(1)點打是邊“'上一點，將AARE沿支線翻折，得到AA/7?.

①如圖1,當"平分NE4D時，求8E的長；

②如圖2,連接當跖=1時，求AA力9的面積；

(2)點E為射線BC上一動點，將矩形/WC7)沿直線AE進行翻折，點。的對應(yīng)點為C,當點、E,C,

。三點共線時，求昭的長.

圖1圖2備用圖

11.(2025?李滄區(qū)三模)如圖，已知矩形AB=(x:m,BC=8cm,點、F為CD中點、.點、P從點、D出

發(fā)，沿〃4方向勻速向點A運動，問時，點七從點C'出發(fā)，沿CA方向勻速向點A運動，點〃，點"的

運動速度均為la〃/s；當點?、E中有一點停止運動時，另一點也停止運動.連接PE、PF.設(shè)運動

時間為，⑸(0</<8),解答下列問題：

(1)當點尸在NABZ)的平分線上時，求f的值；

(2)設(shè)AP￡F的面積為)《加)，求)，與/之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)連接。E,在運動過程中，是否存在某一時刻，，使得是等腰三角形.若存在，求出f的值：

若不存在，請說明理由.

12.(2025?新昌縣模擬)如圖，在矩形A3CD中，KC=2AB=2。，點M是對角線3。上一個動點，以

直線CM為對稱軸，點3的對稱點為E點，連結(jié)DE與ME.

(1)直接寫出點C到直線成)的距離：

(2)當點E落在矩形的邊4)上時，求N4cM的度數(shù);

(3)當為直角三角形時，求QE長.

13.（2025春?林州市期末）已知，在矩形八班7）中，=人C的垂直平分線防分別

交4）、于點、E、”,垂足為

（1）如圖1,連接AF、CE,求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

（2）如圖2,動點尸、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿/MF8和△（?”：各邊勻速運動一周，即點P自

4f/.8.A停止，點Q自CTOFEfC停止，在運動過程中，點P的速度為每秒kw,設(shè)運動時

間為，秒.

①問在運動的過程中，以A、尸、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求由運

動時間/和點Q的速度；若不可能，請說明理由;

②若點。的速度為每秒0&7〃，當A、P、C、。四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求/的值.

14.（2025?綠園區(qū)校級三模）如圖①，在矩形八ACO中，點E、F,G分別是AC、AB.4）的中點，

連結(jié)所、DF,H為DF的中點、,連結(jié)GH.將MEF繞點、B旋轉(zhuǎn),線段GH、CE的位置和長度也隨之

變化.當ABEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。時，解決下列問題：

（1）如圖②，若AB=8C,此時點石落在AB的延長線上，點尸落在線段8c上，連結(jié)"，猜想G”、

C￡之旬的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖③，若A4=〃?，BC=n,則：（用含/〃、〃的式子表示）

CE

（3）如圖④，若NAF￡>=90。，則把=

CE

15.（2025?二道區(qū)校級模擬）【感知】如圖1,在矩形AHC力中，P是BC上的點、,MBP沿AP折疊4

點的行應(yīng)點是M點，延長交直線于點上求證：EA=E/J.

【應(yīng)用】如圖2,Q是AD上的點，QD=BP;bCDQ沿CQ折疊。點的對應(yīng)點是N點，若P、M、N、

Q在同一直線上，且M、N互相重合，則組的值是____.

AD

【拓展】如圖3,Q是4）上的點，QD=BP,AC>2ABf△COQ沿CQ折疊。點的對應(yīng)點是乂點，若AB=4,

MN的最小值是1,則4）的長是

16.（2025春?臺江區(qū)期末）矩形AACO的邊長。4=3,AB=5,將矩形ABCO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角a得

到矩形OEFO,點A、B、C的對應(yīng)點分別為。、E、

（1）如圖1,當小過點C時，求DC的長;

（2）如困2,當點。落在AC上時，連結(jié)C￡、OF..

①四邊形Q4C￡是何特殊的四邊形？請說明理由;

②證明點8、C、E三點共線.

17.（2025秋?南陽期末）在我們的數(shù)學(xué)活動中，若身旁沒有量身器或三角尺，又需要作60°,30。，15°

等大小的危，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：如圖1,對折矩形紙片A3CD,使4）與8C重合，得到折痕EF,再把紙片展開；

第二步：如圖2,再一次折疊紙片，使點A落在斯上，并使折痕經(jīng)過點8,得到折痕8M,同時得到

線段B/V.

（1）在圖2中，請至少寫出3個30°的角；

（2）猜想論證：若延長交于點夕，如圖3所示，請判定及外小的形狀并證明你的結(jié)論；

（3）拓展探究：在圖3中，若BC=bf請說明當“，〃滿足什么關(guān)系時，才能在矩形紙片ABCD

中剪出符合（2）中的AfiW/L

圖I

18.（2025春?徐匯區(qū)期末）在矩形A3CD中，A8=8,BC=16,E、尸是直線AC上的兩個動點，分

別從力、。兩點同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個單位長度，運動時間為/秒，其中（0物）10）.

（1）如圖1,M、N分別是AB、8中點，當四邊形田W/W是矩形時，求/的值;

（2）若G、〃分別從點A、C沿折■線A—/—C,C-O—A運動，與石尸相同的速度同時出發(fā).

①如圖2,若四邊形ECTH為菱形，求/的值：

②如圖3,作4c的垂直平分線交,以）、BC于點、P、Q,當四邊形PGQH的面積是矩形AAC7）面積的日，

則/的值是

圖I圖2圖3

19.（2025?福田區(qū)校級模擬）在矩形八4c7）中，點E是射線BC上一動點，連接AE,過點“作跖_LAE

于點G.交直線C/）于點f.

（1）當矩形48CD是正方形時，以點尸為直角頂點在正方形ABCZ）的外部作等腰直南三角形CF"，連

接EH.

①如圖1,若點E在線段8C上，則線段AE與E”之間的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;

②如圖2,若點E在線段3c的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明：如果不成

立，請說明理由：

（2）如圖3,若點E在線段AC上，以BE和BF為今0邊作口BEHF,M是2〃中點，連接GM,八4=6,

8C=4.

①則AECH面積的最大值是多少？

②直接寫出GM的最小值是.

AD

ADE---------

&連

BECBCE

BEC

圖1圖2圖3

20.（2025?二道區(qū)模擬）【實踐操作】如圖①，在矩形紙片438中，AB：=5cm,AD=3cm,E1為邊AB

上一點，把AADE沿著。E折疊得到^A'DE,作射線EV交射淺DC于點尸.過點/作FH工AB于點、H.

（1）求證：△^DF=^HFE\

（2）當AE=2C7〃時，CF=____cm;

（3）【問題解決】如圖②，在正方形紙片A8CD中，取邊中點E,AD=3cmf將4叱沿著。石折疊

得到△47）石，作射線￡）4交邊8C于點G,點尸為8邊中點，?是邊8c上一動點，將沿著尸尸折

疊得到△CFP,當點C落在線段AZ）上時，tanNCFP=.

AMl囪

I

F\CDFC

（圖①）（圖②）

1.(2025?西山區(qū)校級開學(xué))某廣告公司現(xiàn)對廣告設(shè)計圖案進行涂色.有以下問題請你幫忙解決.

(1)如圖1是某個矩形廣告圖案的一部分，每平方米涂刷需要用油漆0.5千克，己涂色部分涂刷

用去3.75千克油漆.求矩形廣告的高是多少米？

(2)大約還需要多少千克油漆才能把圖1中①②部分涂完？(n-3.14)

(3)如圖2中的矩形A8CZ)是面積為18川的廣告牌，現(xiàn)已用同樣的油漆對圖中的陰影部分完成

涂刷、已知S/MB￡=S/W>=6〃P.現(xiàn)需對空白的AAE/部分用特殊涂料涂色，求b面積.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，已涂色部分涂刷用去3.75千克油漆，每平方米涂刷需要用油漆0.5

千克，

則涂色部分面積為3.75+0.5=7.5加2,

設(shè)矩形廣告的高是x米.

貝IJ有X+L+X=7.5.

2

解得x=3.

答:矩形廣告的高是3米.

(2)圖中①部分的面積為Si=』X3X3=4.5層.

2

圖中②部分的面積為S2=2X3?工冗.22=2.86,后

4

/.0.5X(4.5+2.86)=3.86依.

答：大約還需要3.68千克油漆才能把圖1中①②部分涂完.

(3)設(shè)矩形ABC。的寬和長分別為a、b,如下圖，

根據(jù)題意，可得必=18,

SsBE^S"DF=&n‘,SMBC=SMDC=-S短形A8CO=9〃廣,

2

^S^AEC=SMFC=9-6=3n?2,

.SAAEC2a>CECE31

解得CE=《b，

同理DFf，

o

?*.S^cfc：F--^CE?CF=4-WbWa=_^_ab=lm2,

NZoolo

=2

:?SLAEF=S^w>ABCD-S乙ABE-S^ADF18-6-6-1=5/H.

答：三角形AE/的面積為5〃R

2.（2025?松原四模）如圖，在矩形A8CD中，A8=3,連接AC,N3AC=60。，點尸從點4出發(fā)，以

每秒6個單位長度的速度沿線段4）向終點。運動；同時點Q從點8出發(fā)，以每秒3個單位長度的速

度沿疔線3-AfC向終點C運動，以AP,4Q為鄰邊作平行四邊形APEQ.設(shè)運動時間為x秒，平行

四邊形APEQ和矩形ABCD重疊部分的圖形面積為y.

（1）當點￡■在CD上時，x=-;

一5一

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出尤的取值范圍;

在RtAABC中，A8=3,ZBAC=60°,

;CB=ABtanZBAC=3tanZ60°=3G,

ZACB=900-ABAC=30°,

AC=2A13=6,

?.?四邊形ABC/）是矩形，

二AD=BC=3&,

vAP=\f5x?AB+AQ=3x?

:.DP=AD-AP=30-瓜,AQ=3x-3,

?.?四邊形AQEP是平行四邊形，

AP=BQ=&,PE=AO=3x-3,

:.CQ=AC-AQ=(3x-3)=9-3Xl

?:AD11EQ,

：."=2QEC,ePE="EC，

\'AQ//EPf

:"PEQ=/EQC,

:./EQC=/DPE,

ADPE^/iEQC,

DPEP

「?----=-----9

EQCQ

.3G-瓜3x-3

=9-3x，

解得x=2.

5

故答案為：--

5

(2)如圖，

點Q在線段4?運動時間為|=Is,

當0<4,1時，

?.?四邊形4PEQ是平行四邊形，zBAD=Z90°,

四邊形APEQ是矩形，

?/AQ=AB-BQ=3-3x1AP=小、

c2

S矩形A?EQ=>/3X-(3-3A-)=-36+30,

y與T的函數(shù)關(guān)系式為y=-3x/3r+3&,

當1〈幾,2時，延長EQ與AB交于點H,

5

?.?四邊形APEQ是平行四邊形,

API!//EH,AP=HQ=&，

/.ZA^E=ZB=90°,

ZAQH=90°-ABAC=30°,

I133

/.AA/=-A()=-(3x-3)=|x-；,

?S-]一碼3],

??J平行區(qū)邊形APE2_y22)22

.?.y與T的函數(shù)關(guān)系式為)，=孚/-羋x,

?.?點P在AO上的運動時間是號:3s,點Q從點4到A再到點C運動時間為亨=3s,

.?.當\＜玉,3時，設(shè)EQ與CD交于點N,PE與CD交于點M,

???ABNCD,

NNCQ=NBAC=60°,

?.?四邊形APEQ是平行四邊形,

AP//EQ,

NO=NQNC=90。，

?.?CQ=4C-AQ=6-(3x-3)=9—3x,

在RtACQN中，NQ=CQsin/QCN=(9-3x)xsin60°=竽一與x，

EN=EO-QN=AP-QN=yj3x-(-y/3-

n

?.?四邊形APEQ是平行四邊形,

ZE=ZPAC=90°-NBAC=30°,

39

在RtAMNE中，MN=ENtanE=（）xtan30°=—x——

2222

3P33邪8—

。近合~J平行網(wǎng)邊形“EQ.g4g?

），與X的函數(shù)關(guān)系式為產(chǎn)獨寸+電處&

.?848

2

-3\/3x+3X/5X（O〈兀,1）

9

綜上所述，y='Ml<X,-）

22

36

---x+世空二3，3）

888

（3）情況一，如圖,設(shè)直線EQ與AB交于點G,與CD交于點H,

由（1）知八Q=3x-3,C（?=9-3A,

在RtAAGQ中，NAQG=30。,

AG=^AQ=3x-3

2

ABHCD,

AG_AQ

~CH~~CQf

3r-3

工（9—3X）9-3工

3x—32

VZZX?F=30°,

ZECQ=ZACD=/DCE=30°,

AP/!EQ,

AEQC=NPAQ=90°+NBAC=30°,

r.EC=EQ=AP=&,

在RtAEHC中，—=cosZECH=cos30°=—,

CE2

9一3%

~T~G

3

■x=2；

情況二，如圖,

vZZX?H=30°,

Z.QCE=^ACD+NDCE=90°，

在RtAQCE中，ZEgC=30°,QE=AP=&,CQ=9-3x,

絲=cosNCQE=正，

QE2

9-3x_百

解得x=2.

綜上所述，x的值為2或3.

2

3.(2025春?羅定市期中)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AC=40cm,N4=60°,點。從點。出發(fā)沿C4

方向以4a〃/s的速度向點A勻速運動，同時點后從點4出發(fā)沿A3方向以2o〃/s的速度向點3勻速運動,

當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點。，E運動的時間是/s(0<*10).過點。

作。尸_L4c于點尸，連接DE,EF.

(1)求證：四邊形物7)為平行四邊形；

(2)①當y型s時，四邊形A￡7T)為菱形；

一3一

②當/=—s時，四邊形OEM為矩形，請寫出解答過程.

【解答】（1）證明：由題意得：AE=2/,8=4],

?rDFA.BC

...NC7D=90°,

vZC=90°-60°=30°,

/.DF=-CD=-x4t=2t,

22

:.AE=DF;

￡?1BC,

/.ZC/T>=ZB=90°,

：.DF//AE,

四邊形AEFD是平行四邊形.

（2）解：①8c

「.NOT）=90°

vZB=90°

:./B=NCFD

:.DF//AB,

由（1）得：DF=AE=Z,

二.四邊形AEFD是平行四邊形，

當40=4?時，四邊形AE7%>是菱形，

即40-4/=27,

解得：/=竺，

3

即當/二衛(wèi)時，。4日7）是菱形，

3

故答案為：竺；

3

②若四邊形。奴小為矩形.則DE_LA8,

:.DE//BC,

.?.ZWE=NC=30°

:.AI）=2AEf

,.,CD=4/,

:.DF=2t=AEf

：.AD=4t,

/.4z=40-4r,

/./=5:

故答案為：5.

4.（2025?宛城區(qū)校級四模）綜合與實踐：折紙中的數(shù)學(xué)折紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，也是同學(xué)們喜

歡的手工活動之一，幸運星、紙飛機、千紙鶴、密信等折紙活動在生活中都廣為流傳的，通過折紙我

們既瓦以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識，折紙往往從長方形紙片開

始，下面就讓我們帶著數(shù)學(xué)的限光來探究一下有關(guān)長方形紙片的折疊問題，看看折疊長方形紙片蘊含

著哪些豐富的數(shù)學(xué)知識.

（1）折紙1:如圖①，在一張長方形紙片上任意畫一條線段回，將紙片沿線段/W折疊（如圖②）.

問題1：重疊部分的A/WC的形狀是（是、不是）等腰三角形.

問題2：如果長方形紙片人3=4（加，BC=5ctn,重疊部分AABC的面積為cm2.

（2）折紙2：如圖③，長方形紙片48a＞，點石為邊C。上一點，將MC石沿著直線既折疊，使點C的

對應(yīng)點尸落在邊4）上，請僅用無刻度的尺子和圓規(guī)在圖③中找出點E的位置.

（3）折紙3:如圖④，長方形紙片ABC。，A3=5,8c=6,若點M為射線3c上一點，將沿著

直線4W折疊，折疊后點6的對應(yīng)點為夕，當點夕恰好落在3c的垂直平分線上時，求8M的長.

【解答】解:（1）問題1：如圖②，設(shè)點M是紙片下邊上的點,

?.?紙片為矩形,則8C/MM,

：.ZCBA=ZBAM,

由折疊的性質(zhì)知，/MAB=/CAB,

NC84=NC4B,

.?.A4HC的形狀為等腰三角形，

故答案為：是；

問題2：過點C作SJLA3于點H,貝lj/4〃=84=，AB=2,

2

貝ljCH=《CA，-AH，=6-22=后,

則AABC的面積=！xABxC"=4x4x歷=2萬（a/）,

22

故答案為：2xf2\；

（2）以點3為圓心，以3c長度為半徑作圓交4力于點r，作NF4C的角平分線皮3交,CD于點、E,

作圖過程如下：

（3）過點￡作方”JL8C于點”，交4）于點N,

由題意得：A8=A8=5,

???點9恰好落在5c的垂直平分線上，^AN=DN=-AD=-BC=3,

22

wyfRy與

在用△AB'N中，cos/BAN=—=-=sin/BAN,

AB15

???A￡=5,AN=3,則8N=4,則tan/斤AN=3,

3

則577=4+5=9,

"4V+ZAHN=90°,ZAB'N+ZHBM=90°,

AMBH=4BAN,

ft/?/△BHM，tan=—=—=tan^AN=-,

B'H93

解得：HM=12,

則BM=BH+HM=3+12=15.

當點笈落在矩形內(nèi)部時，

同理兀得，W=12-3=9.

故答案為9或15.

圖③

5.（2025?鄉(xiāng)寧縣二模）綜合與實踐：問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的

折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.在矩形/WCD中，E為邊上一點，尸為4）邊上一點，連接CE,CF

分別將MC七和△€；/小沿。上，O翻折，D,4的對應(yīng)點分別為G,H,且C,H,G三點共線.

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1,若f為AD邊的中點，AB=8C=10,點G與點“重合，則NECr=45

AE=;

問題探究：（2）如圖2,若NDCT=22.5。，AB=2C+2,BC=4,求AE的長；

拓展延伸：（3）AB=10,AO=6,若/為AD的三等分點，請直接寫出AE的長.

【解答】解：(1)-,AB=BC=10,四邊形A3CD是矩形，

.??四邊形A3CD是正方形，

人。=A3=10,/BCD=ZA=90。，

?"為4)的中點，

;.DF=AF=5>

?.?將MCE和△Cb'沿CE、C/翻折，點力，8的對應(yīng)點分別為點G,H,

:.BE=EG,DF=FG=5,

設(shè)8￡=x,則A￡=10-x,

.\EF=EG+FG=x+5f

-EF2=AE2+AF2,

(5+A)2=(10-X)2+52,

10

:.x=—，

3

:.BE=—,

3

/.AAEL=1s010=—20;

33

?.?將MCE和△O'沿CE、C/翻折，點。、3的對應(yīng)點分別為點G、H,

:.ZBCE=ZGCEf4DCF=4GCF,

???N8CD=90°,

...ZECF=izBCD=-x90o=45°.

22

故答案為：45；型；

3

(2)如圖2,延長CG交于點

圖2

?.?N3=N4,Z1=Z2=22.5°,

?.?ZBCD=90°,

.?.ZBCH=90°-45o=45o,

?/Z￡77M=ZB=90°,

..△CBM和AEWM均為等腰直角三角形，

/.4M=4C=4,EM=41EH=立BE,

.?.BE+EM=4,

即BE+&BE=4,

解得%：=4忘-4,

=8E=2&+2-(4夜-4)=6-2&;

(3)分兩種情況：①當AF=2D尸時,

如圖3,過點E作EP//GH,交R7的延長線于點P,連接則四邊形G”樣為矩形,

圖3

由折疊的性質(zhì)可知，CD=CG=10,BC=CH=6,

:.HG=CG-CH=\0-6=4f

?;AF=2DF,

:.AF=4,DF=2,

;.AF=EP,

在KtAEbP和KtAbEA中，

AF=EP

EF=FE'

/.RtAEFP=RtAFEA(HL),

:.AE=FP,

設(shè)BE=EH=a,FP=a+2,AE=FP=W-at

:.a+2=\0-a,

解得々=4,

.?.BE=4,

.-.AE=10-4=6.

②當力尸=2AF時，

如圖4,過點、E作EP//GH,交尺;的延長線于點P,連接所，則四邊形G〃EP為矩形,

:.GH=EP,EH=GP,

\'DF=2AF,

/.AF=2,DF=4.

'設(shè)BE=EH=a,產(chǎn)P=〃+4,AE=\O-af

EF2=AF1+AE2=*+FP1,

2?+(10-4=42+(a+4)2,

解得。=?，

IQ57

/\E=10-?=10--=—.

77

綜上正知，AK的長為6或“.

7

6.(2025?宜都市二模)已知，四邊形八4a＞是矩形，AB=6,質(zhì):=8,E,產(chǎn)分別是HA,4C邊上的

點，且座=CF,石〃_1八。與4）交于點”，垂足為點P，以EH,所為鄰邊作oE/P”.

圖2備用圖

（1）如圖1,當點G在邊CD上時，求證：AAEHsACGF;

（2）如圖2,當Q￡FG"是矩形時，求4￡?的長：

（3）當點G在AAOC內(nèi)部（含邊上）時，求線段CF的取值范圍.

【解答】（1）證明：?.?四邊形EFG"是平行四邊形，

AHD

:.EH=FG,EHHFG、

?：EHLAC>

:.FGlACf

ZAPE=NCQG=90°,

■.?四邊形A8C77是矩形，

NEAH=4FCG=90°,AB//CD,

/./EAP=NQCG,

ZAEH=NCGQ,

在MEH和ACG尸中,

NEAR=NFCG

-NAEH=ZCGF,

EH=FG

:.^AEH^^CGF(AAS)；

(2)解：如圖2,設(shè)4￡=x,則8E=C『=6-x,BF=8-(6-x)=x+2,

?.?四邊形瓦6〃是矩形，

"EH=90。，

EH1AC>

ZCPf7=90°,

7.ZCW=4卜七H,

:.EF/!AC,

:.些:世,即三=9,

AECFx6-x

解得：尸身，

7

經(jīng)檢驗：x=?是原方程的解，

二.AAEL=—18;

7

(3)解：當點6在人。上時，如圖3,

圖3

?：FGUEH,EH±AC

:.FG1AC>

ZCGF=90°,

?;/FCG=ZACB,

「.tanZFCG=tanZACB?

/.FG=AB=—6=—3，

CGBC84

設(shè)尸G=3a,CG=4a,則。尸=5a,

?:AD〃BC,

"AH=ZACB，

ZAPH=NCGF=9(甲，

:.NCFG=ZAHP,

?.?ZEAH=ZCGF=9(r,

:.MEH^GCF，

日口

-A-E=-E-H-,即-6--5--a=—3a,

CGCF4a5a

30

??a=—9

37

當點G在邊C7)上時，如圖4,

?;ZAHP=NCFG,EH=FG,NEAH=NFCG=W,

^AEH=ACGF(AAS),

AH=CF,

VZBAC+ZAEP=ZBAC+ZACB=^，

:.ZAEP=ZACB,

?.?/E4W=N8=90°,

/.MEH^^BCA，

.AEAH即6—bCF

~BC~~AB，'8~~6~"

~18

.tCF=—，

7

二.線段CF的取值范圍是竺如尸”匕

737

7.(2025?濮陽二模)數(shù)學(xué)綜合實踐課上，老師與同學(xué)們探索了下列問題：

如圖，矩形A8CD中，點尸為8C中點，點石為4)上一動點，將四邊形AE/話沿所折疊，A、8的對

應(yīng)點分別為M、N連接BN、CN.

【問題解決】

(1)如圖(1),當ZA￡F=125。時，ZA4/V的大小為_B_.

A45°

3.55。

C60°

7165°

【問題探究】

如圖(2),連接硒.

(2)分別判斷跖與NC,與/VC的位置關(guān)系，并給出證明；

(3)若八3=3,BC=8,當郎”。與相似時，直接寫出AE的長度.

MM

NN

【解答】解：(1)?.?四邊形ABC。為矩形，

/.ZA=ZB=90°,AD//BC,

.-.ZAEF+Z￡ra=180°,

ZAEF=125°,

/.ZEFB=180-ZAEF=55°,

?.?四邊形ABF七折疊得到四邊形MNFE,

:.BF=FN,ZNFE=/EFB=55。，

:.ZBFN=110。,

;./FBN=/FNB=35度。,

ZABN=90°-NFBN=55°,

故選：B,

(2)EF//NCBN工NC,

理由如下：由翻折得得到⑻=zLBFE=4EFN,EF工BN,

???點尸為BC中點,

:.BF=NF=FC,

:.AFNC=AFCN,

又ZB/-7V=4FNC+/FCN,

/.ZBFE+/EFN=NFNC+/FCN,

：.2NEFN=24FNC,

..ZEFN=ZFNC?

:.EF/fNC,

?.?EF工BN,

:.BNINC,

(3)

M

圖(1)圖⑵

如圖(1)過點石作￡G_L8C于點G,

.\ZEGF=90°,

?.?四邊形在折疊得到四邊形MNFE,

/.ZM=ZA=Z￡GF=90°,AB=MN,

???NA-NADG—NKGZ7—90°,

四邊形48GE是矩形，

/.AB=EG,AE=BG,

ABNC^AEMN,

:.ZNBC=ZMNE,

?；EF工BN,

Z1NBF+Z1EFG=Z1EGF+NEFG=90°,

:.ZEGF=ZNBF=ZMNEf

.,.AEGFwANME(ASA),

:.ME=GF,

?.?AE=BG=ME,

；.BG;GF,

VBC=AB=8,/為8。中點，

.?.BF=4,

AE=BG=2,

如圖2,過點￡作反;_L執(zhí)7于七，

由圖(1)可得，/FEG="EN,/EGF=EMN=90。,

.EGFG

設(shè)=則￡^=45=8—工，F(xiàn)G=4-x,

?;EG=MN=3,

34-x

?.-----=------9

8-x3

解得X|=x/i3+6,^2=-x/13+6,

屈+6>8,

.??不符合題意舍去，

x-—q13+6，

/\￡=8-(-713+6)=>/|3+2,

綜上所述：AE的長度為2或舊+2,

8.（2025?梁溪區(qū)一模）在平面直角坐標系中，四邊形AQ5C是矩形，點0（0.0）,點A（5,0）,點8（0,3）,

以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AQ8C,得到矩形ADEF,點O,B,。的對應(yīng)點分別為。，E,F.

（1）如圖①，當點。落在3c邊上時，求點。的坐標；

（2）如圖②，當點D落在線段犯上時，4）與4C交于點”，求點〃的坐標.

（3）方K為矩形AQ4C對角線的交點，S為A/GE的面積，直接寫出S的取值范圍.

【解答】解：（1）如圖①中,

圖①

A(5,0),8(0,3),

:.OA=5>OB=3,

?.?四邊形AOBC是矩形,

AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=ZC=90°,

?.?矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到,

AD=AO=5,

在RtAADC中，CD=yJAD2-AC2=4,

;.BD=BC-CD=T,

D(l,3).

圖②

由四邊形ADEF是矩形，得到ZADE=90。，

?.?點O在線段3E上，

/.ZA￡?=90o，

由(1)可知，AD=AO,又=404=90。,

RtAADB=RtAAOB(HL).

ZZMD=ZR4O,

又在矩形人OAC中，OA//BC,

:"CBA=ZOAB,

:.ZBAD=ZCBAf

；.BH=AH,設(shè)==則"。=3。-3"=5—〃7,

在RtAAHC中，AH2=HC2+AC2,

/.itr=32+(5-m)2，

17

in=——，

5

.RH-17

..till----，

5

,3).

G30-3后雙,30+3A

〈3)-------------雙好11c-------

4

如圖③中，當點。在線段4K上時，ADEK的面積最小,

最小值=；g“K=；x3x(5-爭二土警，

y

當點。在取的延長線上時，△0EK的面積最大，

最大面積=」X0EXK0=L3X（5+^）=30+3V^.

2224

綜上所述，30—3扃邠30+3序.

44

9.（2025春?蓮池區(qū)期末）如圖，在四邊形A8CZ）中，ZA=ZB=ZBCD=9O°,AB=DC=3,A￡>=3C=7.延

長〃。到E,使C