北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng).

1.已知向量"=（1'一2）,匕二⑷），則。小=（）

【答案】A

【解析】由4=（1,-2）,5=（4/），所以4力=1x4+（—2）xl=2.

故選:A.

2.如圖，在平行四邊形中，連結(jié)B。，下列運(yùn)算正確的是（）

-------------------------

A.AB+BD=DAB.BA+BC=BD

C.AB-AD=BDD.BD-BA=DA

【答案】B

【解析】由向量加法的三角形法則得，AB+BD=AD^故A錯(cuò)誤：

由向量加法的平行四邊形法則得，BA+BC=BD，故B正確：

由向量的減法法則得，AB—AD=DB，BD—BA=AD，故CD錯(cuò)誤.

故選：B

3.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=l—2i，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

2

【解析】由i-z=l—2i,則z=—i-2i■==i-9-i=—2—i,

ii2

則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第三象限.

故選：C.

4.將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為（）

【答案】B

【解析】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次共有62個(gè)基本事件，點(diǎn)數(shù)和大于8的事件有

(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共10個(gè)，

所以出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為

3618

故選：B.

5.在VABC中，角A&C的對(duì)邊分別是〃，b,明已知〃-2,b=R,c-4,貝U

cosB=()

5八3一7-15

A.-B.-C.-D.—

84816

【答案】C

【解析】在VABC中利用余弦定理得，cosB=a~+c~~b~=4+16~6=1.

2ac2x2x48

故選：C

6.已知平面向量〃，b，則或a=-/2”是“。二忖”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若4=〃或則卜卜W，反過來，若|”忖，兩個(gè)向量的方向不確定，不

能推出或〃=—人，所以‘％=人或〃=是“卜卜W”的充分不必要條件.

故選：A

7.已知平面向量〃，〃是不共線的兩個(gè)向量，AB=a+2b，AC=4a_4Z?，

CD=-a+2b，則()

A.AaC三點(diǎn)共線B.A區(qū)。三點(diǎn)共線

C.AC,。三點(diǎn)共線D.民。,力三點(diǎn)共線

【答案】D

【解析】由題意，AB=a+2b，AC=4a-4bCD=一a+2b，不存在唯一的實(shí)數(shù)4使

得AB=/IAC，所以A,B,。三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)呆，

由于BC=AC-AB=4a-4b-(a+2/?j=3a-6h,

所以3c=-3CO,則3，C,。三點(diǎn)共線，故D正確.

由于A￡>=AB+8C+CO=4+2/7+34-6/?-a+2b=3a-2/7，

不存在唯一的實(shí)數(shù)2使得AB=AAD^

不存在唯一的實(shí)數(shù)％使得AC=4A。，故BC錯(cuò)誤，

故選：D.

8.一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1、2；紅球有

兩個(gè)，編號(hào)為3,4.從盒中不放回的依次取出兩個(gè)球，A表示事件“第一次取出的是紅

球”，〃表示事件“取出的兩球同色”，。表示事件”取出的兩球不同色”，則下列說法正確的

是（）

A.A與8互斥B.A與?；コ?/p>

C.1D.P（AC）=1

【答案】D

【解析】由題意,事件析包含（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（24）,

事件5包含（1,2）,（2,1）,（3,4）,（4,3）,

事件。包含（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,

顯然3工0,ACCw0,A與A不互斥，A與C不互斥，故AB錯(cuò)誤，

總事件的情況為(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)(2,4),

（4,2）,（3,4）,（4,3）,共12種情況,

其中AI8包含（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,（4,3）,共8種情況,

82

故夕（AJ8）=丘=],故C錯(cuò)誤,

事件?包含（3,1）,（4,1）,（4,2）,（3,2）,（3,4）,（4,3）,共6種情況,

則和包含事件（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,共4種情況,

故尸(Kcj=2=g,故D正確.

故選：D.

9.在V4BC中，角4&C的對(duì)邊分別是。，b,J則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）

①若優(yōu)osA=Aos8,則VA8C一定為等腰三角形

②若則VA3c一定為銳角三角形

③若。二;，c、=2,則VA8C面積的最大值為G

A.0B.1C.2D.3

11.在VA8C中，角A,8,C的對(duì)邊分別是。，b,c,已知。=3,A=f,sinB=-,

43

則人二.

【答案】V2

【解析】在VA3C中，由正弦定理可得‘一=一也，又。=3,A=sinB=",

sin4sin343

3_b

所以.兀一1,解得b=a.

sin——

43

故答案為：母.

12.已知復(fù)數(shù)4="z+(m—l)i,z2=2-2z,若Z1+Z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)根=.

【答案】-2

【解析】Z|+z2=〃?+(〃Ll)i+2-2i=(〃z+2)+(〃?-3)i,

由題意得〃7+2=0,解得帆=—2,止匕時(shí)機(jī)一3。0,滿足要求.

故答案為：-2

13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).在最

后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙兩名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每名同學(xué)回答正確與否互

31

不影響.已知甲回答正確為概率為一，甲、乙兩人都回答正確的概率是一.若甲、乙同學(xué)

42

都回答這個(gè)問題，則乙回答正確的概率為：甲、乙兩名同學(xué)中至少有1名同學(xué)回

答正確的概率為.

211

【答案】—；—

312

【解析】設(shè)甲回答正確為事件A,乙回答正確為事件

31?

由題意,P(A)="尸(AB)=P(A)P(3)=5,則P(3)=］；

甲、乙兩名同學(xué)中至少有1名同學(xué)回答正確的概率為

故答案為：?—；—.

312

14.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖)它

是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.若

AB\=2>/5,AF=^AE,則向量。。在R尸上的投影向量的模為

：設(shè)

DA=a，DC=b，若HE=4。+〃。，則％+〃=

【答案】4；——

【解析】由題意，設(shè)=則AE=2x,DE=x,由AO?=入石2+。石2,

則（2不了=（2x『+f,解得冗=2,

因?yàn)镺C=A3，所以向量OC在B/7上的投影向量即為在BE上的投影向量，

即為FB，則DC在BF上的投影向量的模為網(wǎng)=2x=4.

22V7

=-|DC--AE\-DA=-DC-DA--AE,

2}24

2—4一2.4-

則AE=-OC——DA=-b——a，

5555

42422

所以2=一不,〃=彳，貝IJ2+〃=_彳+1=_1.

JJJJJ

故答案為：4；一1.

res

15.在銳角VABC中，AC=BBC=3,且tanA-l=---------,若點(diǎn)M為平面內(nèi)

cos4cos8

一點(diǎn)，且8M=8C+484（；l￡R）,給出下列四個(gè)結(jié)論：

.uni

①卜8:4；

②.的面積為3：

③卜歷|的最小值為手；

④若BC=CM,則2的值為一士旦或也.

44

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析1在銳角V4BC中，由taM-l=———，

cosAcosB

e..-cos(A+B)..

得tarbA-1=----------=-1+tanAtanB,

cosAcosB

而tanA>0,解得tanB=1,又B是銳角，則B=45，

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCCGSB，即5=AB2+9—30A3，

解得AB=&或A3=2上，顯然A是VA8c的最大角，

當(dāng)時(shí)，ABAC是鈍角，不符合題意；

48=aCOSA=^<O>A

2A8AC

當(dāng)A8=2正時(shí)，cosA=.+2叱>oA是銳角，符合題意，AB=2g，

2ABAC

①錯(cuò)誤；

S.RC=-ABBCsinB=-x2y[2x3x—=3^②正確；

相。222

IBM[=卜+8父+2232萬當(dāng)=y/822+l22+9=J(2"1+爰尸+g>半，

當(dāng)且僅當(dāng)％=時(shí)取等號(hào)，即BM的最小值為主區(qū),③正確；

42

由8W=BC+4BA，得CM=2BA，則|4||B4|=|C"|=BC，即2行"|=3，

因此4=一逑或；[=述，④正確，

44

所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④.

故答案為：②③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在V45c中，45,C所對(duì)的邊分別為。，b,J已知〃=5,b=2.

4

(1)若cosC=《，求c及..ABC的面積；

(2)若麻—2c、sinB=0,求C.

由余弦定理可得c2=a2+b2-加〃cosC，

所以=52+22-2x5x2x3=25+4—16=13,所以°=舊，

113

所以VA8C的面積為一"sinC=-x5x2x-=3；

225

（2）由麻一2csinB=0,可得bsinB—2sinCsin5=（）,

同

乂因?yàn)?<〃<兀，所以sin6H0,所以sinC=*,

2

又OVCVTT,所以。二工或C=三.

33

17.已知平面向量Q，b，其中|。|=2,出|=&，且a與Z?的夾角為上.

4

（1）求〃??+〃）的值；

（2）求慳叫的值;

（3）若向量（版-力與（A+U）互相垂直,求實(shí)數(shù)少的個(gè)數(shù).

解：（1）由|〃|二2,|b|=>/2?且a與/?的夾角為得。?/?=2xJJxY^二2，

42

所以。?（a+Z?）=a+aZ?=6?

（2）|2?-/?|=74t/2+/72-4?-/?=74x224-（72）2-4x2=x/i（）-

（3）由向量（后一力與（a+幅）互相垂直,

得（ka—b）（a+kb）=kU-k￡+（k2—Dab=2k2+2k—2=。，

解得左=7±百,所以k的值有2個(gè).

2

18.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8,乙的中靶概率為0.9,

甲、乙射擊中靶與否互不影響.甲、乙每次射擊中靶與否也互不影響.

（1）甲、乙各射擊I次，兩人都脫靶的概率；

（2）甲射擊2次恰有1次中靶的概率；

（3）甲、乙各射擊2次，記“4次射擊中至少有1次中靶”為事件M，記“4次射擊中至多

有1次中靶“為事件N.判斷M與N是否相互獨(dú)立.（結(jié)論不要求證明）

解.：（1）設(shè)甲1次中靶為事件A,乙1次中靶為事件B,

設(shè)甲1次脫靶為事件A,乙1次脫靶為事件與，

兩人都脫靶為事件4與，且A，用相互獨(dú)立，

由題意得尸(A)=0.8,P(B)=0.9,

則甲1次脫靶的概率為P(4)=I-P(A)=I-0-8=0-2,

乙1次脫靶的概率為尸(8)=1-尸(8)=1-0.9=0.1,

故兩人都脫靶的概率為P(A4)=0.2x0.!=0.02.

(2)由題意得甲射擊2次恰有1次中靶可以分類如下，

第一次中靶，第二次脫靶，第一次脫靶，第二次中靶，

而第一次中靶，第二次脫靶的概率為68x(1-0.8)=0.16,

第一次脫靶，第二次中靶的概率為(1—0.8)X0.8=0.16,

由分類加法計(jì)數(shù)原理得恰有1次中靶的概率為0.16+0.16=0.32.

(3)不獨(dú)立，證明如下，

由題意得記“4次射擊中至少有1次中靶”為事件M，

則事件M的對(duì)立事件Mi為“4次射擊中全部脫靶”，

得到P(M,)=(1-0.8)x(I-0.8)x(l-0.9)x(l-0.9)=0.0004,

故P(M)=l-P(M1)=l-0.0004=0.9996,

而記“4次射擊中至多有1次中靶”為事件N,

可分類為4次射擊中全部脫靶，甲1次中靶，乙全部脫肥或甲全部脫靶，乙1次中靶,

而4次射擊中全部脫靶的概率為0.0004,

甲1次中靶，乙全部脫靶的概率為C；x。.8x(1—0.8)x(l—0.9)x(l—0.9)=0.0032,

乙1次中靶，甲全部脫靶的概率為C；x(l—0.8)x(l—0.8)x0.9x(1—0.9)=0.0072,

由分類加法計(jì)數(shù)原理得HN)=0.0004+0.0032+0.0072=0.0108,

而MN表示4次射擊中恰好1次中靶，可分類如下，

為甲1次中靶，乙全部脫陽或甲全部脫靶，乙1次中靶，

得到P(MN)=0.0032+0.0072=0.0104,

則F(MN)工,不滿足獨(dú)立事件的定義，故M與N不獨(dú)立.

19.設(shè)復(fù)數(shù)2=。+加(。,〃￡1<).

(1)若z=i(2+i),求〃、力的值.

(2)若Z與復(fù)數(shù)4=2+i是互為共攏復(fù)數(shù)，求z-z”

(3)當(dāng)3工0時(shí),若z+—=r(fwR),求同.

解：(1)因?yàn)閦=i(2+i)=-l+2i=a+歷(〃,beR),故〃=一1,b=2.

(2)因?yàn)閦與復(fù)數(shù)4=2+i是互為共軻復(fù)數(shù)，則z=2—i，

故z?Z]=(2-i)(2+i)=4+l=5.

2

(3)因?yàn)??工0,z+-=f(，eR),

z

rll22(a-歷)(la\(.lbY

a+bi+(a~-\-b~)\a~+b~)

故衛(wèi)=巴匕亞

a2+b2a2+b2

因?yàn)椤ā?,故標(biāo)+從=2,所以|z|=J77^=夜.

7T

20.在VA3C中，角A8,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,ci=7,A=—.

3

（1）再?gòu)南旅娼o出的條色①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得

V43c存在，求VA3C的面積；

條件①：〃=10：

條件②：c=8；

條件③：cosB=――.

（2）若AB-BC〉0,求VABC周長(zhǎng)的取值范圍,

注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解

答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：（1）選條件①：b=\0,由正弦定理得一絲=一生，

sinBsinA

1（）_7r

即高萬一百，解得sin8=生色＞1,

T7

故〃無解，所以VA3C不存在；

選條件②：c=8，由余弦定理得/=62+/一2"834

則49=02+64-8/?，解得0=3或Z?=5,

S"8c=gbcsinA=gx3x8x*=6&；

當(dāng)Z?=3時(shí).，

S=|besinA=；倉(cāng)市8?乎106.

當(dāng)人=5時(shí)，bAliC

選條件③：cosB=--<0,則sinB=V1-cos2B=勺叵

77

「4A/3

,?D7x-----

由正弦定理得‘一二-----,則7='八巾二——/一=8,

sinAsin8sinA，3

2

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

二正x（」+L迪二也

272714

所以S/Rjc=；4〃sinC=gx7x8x^=6G.

(2)由4B?8C=〃c?(一cosB)>0,則cos4<0,則4為鈍角,

因?yàn)锳=],所以BE（：,

〃_714G

又2R

sinA63，

2

則VA3C的周長(zhǎng)為a+人+c=7+此叵sin5+MsinC=7+幽

sinB+sin

333

5yIIT

^cos^+—sinB=7+14sinB+一

22I6

,?，兀2吟”n兀（2兀5兀）,.f兀1（16、

因?yàn)锽七,3所以5+片[丁丹則Mn+土屋

所以7+14sinB+—h(14,7+7x/3),

\6

即VA8C周長(zhǎng)的取值范圍為（14,7+76卜

21.如圖，已知正方形46co的邊長(zhǎng)為2,圓。內(nèi)切于正方形A8CO,點(diǎn)E，尸為切

點(diǎn)，點(diǎn)/＞為劣弧緒上的一點(diǎn)，過/，作尸GJLQE,垂足為G,過Q