16.3.2完全平方公式一．選擇題（共7小題）1．（2025春?蓮湖區(qū)期末）如圖，有甲、丙兩種正方形和乙一種長方形紙片若干張（a＞b）．若選取4張甲種紙片、12張乙種紙片、9張丙種紙片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為（）A．2a+3b B．3a+2b C．2a﹣3b D．3a﹣2b2．（2025春?路橋區(qū)期末）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a6＝a9 B．（ab）3＝ab3 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b23．（2025?弋陽縣一模）下列式子計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（ab2）3＝a3b6 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b24．（2024秋?淮南期末）已知m﹣n＝3，則m2﹣n2﹣6n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．105．（2025春?蜀山區(qū)校級期末）如圖1為學校七年級兩個班的勞動實踐基地，圖2是從實踐基地抽象出來的幾何模型：兩塊邊長為m、n的正方形，其中重疊部分B為池塘，陰影部分S1、S2分別表示兩個班級的基地面積．若m﹣n＝2，mn＝8，則S1﹣S2的值等于（）A．12 B．10 C．8 D．166．（2025春?寬城區(qū)校級期中）如圖，點C是線段AB上一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝60，則圖中陰影部分的面積為（）A．10 B．20 C．40 D．257．（2025?長春模擬）下列圖形陰影部分的面積能夠直觀地解釋（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（）A． B． C． D．二．填空題（共5小題）8．（2025春?碑林區(qū)校級期末）若a﹣b＝4，a2+b2＝58，則ab的值為．9．（2025春?錦江區(qū)期末）已知x+y＝4，則12x210．（2025春?蒼南縣期中）如圖，邊長分別為a、b（a＞b）的兩個正方形緊貼擺放．設陰影面積為S．如圖1，若b＝3，則S的值是；如圖2，若a﹣b＝2，a2+b2＝8，則S2的值是．11．（2025?淮安區(qū)校級一模）已知實數(shù)x滿足等式（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，則代數(shù)和式（x﹣2023）2的值是．12．（2025春?建鄴區(qū)校級期末）如圖，點M是線段AB的中點，點P在MB上，分別以AP、PB為邊，在線段AB同側作正方形APCD和正方形PBEF，連接MD和ME．若AP＝m，BP＝n，m+n＝6，mn＝7，則圖中陰影部分的面積為．三．解答題（共3小題）13．（2025春?陳倉區(qū)期中）根據(jù)幾何圖形的面積關系，可以直觀的解釋一些整式乘法的等式．（1）根據(jù)下圖可以寫出的整式乘法的等式是；（2）請你畫出一個幾何圖形解釋等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．14．（2025春?睢寧縣校級月考）閱讀理解：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25，∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19，參考上述過程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．求x2+y2和（x+y）2的值；（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求x﹣y的值．15．（2025春?豐縣期中）一個長方形的長為m，寬為n，周長為18，面積為14，求m2+n2的值．

16.3.2完全平方公式參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．（2025春?蓮湖區(qū)期末）如圖，有甲、丙兩種正方形和乙一種長方形紙片若干張（a＞b）．若選取4張甲種紙片、12張乙種紙片、9張丙種紙片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為（）A．2a+3b B．3a+2b C．2a﹣3b D．3a﹣2b【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】A【分析】由題意可得正方形的面積為4a2+12ab+9b2，然后利用完全平方公式計算后即可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意得正方形的面積為4a2+12ab+9b2，則4a2+12ab+9b2＝（2a+3b）2，那么這個正方形的邊長為2a+3b，故選：A．【點評】本題考查完全平方公式，熟練掌握該公式是解題的關鍵．2．（2025春?路橋區(qū)期末）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a6＝a9 B．（ab）3＝ab3 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【考點】完全平方公式；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的除法．【專題】整式；運算能力．【答案】A【分析】利用完全平方公式，同底數(shù)冪乘法及除法，積的乘方法則逐項判斷即可．【解答】解：a3?a6＝a9，則A符合題意，（ab）3＝a3b3，則B不符合題意，a8÷a4＝a4，則C不符合題意，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，則D不符合題意，故選：A．【點評】本題考查完全平方公式，同底數(shù)冪乘法及除法，積的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．3．（2025?弋陽縣一模）下列式子計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（ab2）3＝a3b6 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2【考點】完全平方公式；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法則，積的乘方法則以及完全平方公式逐一計算判斷即可．【解答】解：A、a2?a3＝a5，a5≠a6，計算錯誤，不符合題意；B、（a2）3＝a6，a5≠a6，計算錯誤，不符合題意；C、（ab2）3＝a3b6，計算正確，符合題意；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，a2﹣2ab+b2≠a2﹣2ab﹣b2，計算錯誤，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，完全平方公式，掌握各項運算法則是關鍵．4．（2024秋?淮南期末）已知m﹣n＝3，則m2﹣n2﹣6n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵m﹣n＝3，∴m2＝（n+3）2，∴m2＝n2+6n+9，∴m2﹣n2﹣6n＝9，故選：C．【點評】本題考查完全平方公式，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎題型．5．（2025春?蜀山區(qū)校級期末）如圖1為學校七年級兩個班的勞動實踐基地，圖2是從實踐基地抽象出來的幾何模型：兩塊邊長為m、n的正方形，其中重疊部分B為池塘，陰影部分S1、S2分別表示兩個班級的基地面積．若m﹣n＝2，mn＝8，則S1﹣S2的值等于（）A．12 B．10 C．8 D．16【考點】完全平方公式的幾何背景．【專題】整式；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，求出m+n的值，再根據(jù)S1﹣S2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）進行計算即可．【解答】解：∵m﹣n＝2，mn＝8，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4+32＝36，即m+n＝6（取正值），∴S1﹣S2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝12．故選：A．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵．6．（2025春?寬城區(qū)校級期中）如圖，點C是線段AB上一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝60，則圖中陰影部分的面積為（）A．10 B．20 C．40 D．25【考點】完全平方公式的幾何背景．【專題】整式；運算能力．【答案】A【分析】設AC＝m，BC＝n，可得m+n＝10，m2+n2＝60，然后根據(jù)完全平方公式求出12【解答】解：設AC＝m，BC＝n，∵AB＝10，∴m+n＝10，又∵S1+S2＝60，∴m2+n2＝60，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴102＝60+2mn，解得：mn＝20，∴S陰影部分故選：A．【點評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是關鍵．7．（2025?長春模擬）下列圖形陰影部分的面積能夠直觀地解釋（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（）A． B． C． D．【考點】完全平方公式的幾何背景．【專題】整式；幾何直觀；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式的幾何背景，結合面積之間的和差關系進行判斷即可．【解答】解：選項A中的陰影部分的面積可以用（x﹣1）2＝x2﹣2x+1來解釋，故選：A．【點評】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025春?碑林區(qū)校級期末）若a﹣b＝4，a2+b2＝58，則ab的值為21．【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】21．【分析】將a﹣b＝4兩邊同時平方并利用完全平方公式展開，然后代入已知數(shù)值計算即可．【解答】解：∵a﹣b＝4，∴（a﹣b）2＝16，∴a2﹣2ab+b2＝16，∵a2+b2＝58，∴58﹣2ab＝16，∴ab＝21，故答案為：21．【點評】本題考查完全平方公式，熟練掌握該公式是解題的關鍵．9．（2025春?錦江區(qū)期末）已知x+y＝4，則12x2【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】8．【分析】將原式利用完全平方公式變形后代入已知數(shù)值計算即可．【解答】解：∵x+y＝4，∴原式=12（x2+2xy+y=12（x+y=12＝8，故答案為：8．【點評】本題考查完全平方公式，將原式進行正確地變形是解題的關鍵．10．（2025春?蒼南縣期中）如圖，邊長分別為a、b（a＞b）的兩個正方形緊貼擺放．設陰影面積為S．如圖1，若b＝3，則S的值是92；如圖2，若a﹣b＝2，a2+b2＝8，則S2的值是12【考點】完全平方公式的幾何背景．【專題】整式；運算能力．【答案】92【分析】用代數(shù)式表示陰影部分的面積，再根據(jù)完全平方公式進行計算即可．【解答】解：如圖1，連接AC，則AC∥GE，∴S陰影部分＝S△CEG=12b2圖2中，∵a﹣b＝2，a2+b2＝8，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，即4＝8﹣2ab，∴ab＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+8＝12，S陰影部分＝S△ADG+S△FDG=12a（a﹣b）+12b（=12（a+b）（a﹣∴S2=14（a+b）2（a﹣b=1＝12．故答案為：92【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵．11．（2025?淮安區(qū)校級一模）已知實數(shù)x滿足等式（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，則代數(shù)和式（x﹣2023）2的值是13．【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】13．【分析】將原式變形為[（x﹣2023）+2]2+[（x﹣2023）﹣2]2＝34，利用完全平方公式展開后即可求得答案．【解答】解：∵（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，∴[（x﹣2023）+2]2+[（x﹣2023）﹣2]2＝34，∴（x﹣2023）2+4（x﹣2023）+4+（x﹣2023）2﹣4（x﹣2023）+4＝34，則2（x﹣2023）2+8＝34，則（x﹣2023）2＝13，故答案為：13．【點評】本題考查完全平方公式，將原式進行正確地變形是解題的關鍵．12．（2025春?建鄴區(qū)校級期末）如圖，點M是線段AB的中點，點P在MB上，分別以AP、PB為邊，在線段AB同側作正方形APCD和正方形PBEF，連接MD和ME．若AP＝m，BP＝n，m+n＝6，mn＝7，則圖中陰影部分的面積為13．【考點】完全平方公式的幾何背景．【專題】整式；運算能力．【答案】13．【分析】根據(jù)m+n＝6，mn＝7求出m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝36﹣14＝22，再根據(jù)陰影部分的面積為m2+n2?12×12（m+n）?m?12×12（m+n）?n，即3【解答】解：∵點M是線段AB的中點，AP＝m，BP＝n，∴AM＝BM=12（m+∵m+n＝6，mn＝7，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝36﹣14＝22，∴陰影部分的面積為m2+n2?12×12（m+n）?m?1＝m2+n2?14m2?14mn?=34（m2+n2）=34×＝13．故答案為：13．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵．三．解答題（共3小題）13．（2025春?陳倉區(qū)期中）根據(jù)幾何圖形的面積關系，可以直觀的解釋一些整式乘法的等式．（1）根據(jù)下圖可以寫出的整式乘法的等式是（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）請你畫出一個幾何圖形解釋等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．【考點】完全平方公式的幾何背景；單項式乘多項式；多項式乘多項式．【專題】應用題．【答案】（1）（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）見解析．【分析】（1）應用多項式乘法乘多項式的法則進行計算即可得出答案；（2）應用多項式乘法乘多項式的法則進行計算即可得出答案．【解答】解：（1）由圖可知，（a+b）（a+2b）＝a2+ab+2ab+2b2＝a2+3ab+2b2，故答案為：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）（x+p）（x+q）＝x2+qx+px+pq＝x2+（p+q）x+pq，圖形如下：【點評】本題主要考查了多項式乘以多項式與圖形面積，熟練掌握多項式乘法的乘法法則進行求解是解題的關鍵．14．（2025春?睢寧縣校級月考）閱讀理解：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25，∵ab＝3，∴a