第14章全等三角形一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?玉溪期末）如圖，已知△ABD≌△AEC，若BC＝2，AD＝6，則AB的長為（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2025春?碑林區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，要說明△ABC≌△DEF，則添加的條件不能是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．AC∥DF3．（2025?魯山縣模擬）如圖所示，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作弧交BC于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于12BD長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線AE，交BC于點(diǎn)F，若BF＝5，則A．42 B．9 C．254．（2025春?清城區(qū)期中）如圖，BC＝AD，為了證明△ABC≌△CDA，還需添加條件（）A．AC＝CA B．∠BAC＝∠DCA C．∠ACB＝∠CAD D．∠B＝∠D5．（2024秋?衡東縣期末）如圖，AP平分∠CAB，PD⊥AC于點(diǎn)D，若PD＝5，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于線段PE敘述正確的是（）A．PE＝5 B．PE＞5 C．PE≤5 D．PE≥56．（2025春?新邵縣期中）如圖，在△ABC中AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F，若BF＝AC，DF＝DC，則∠1與∠2的和為（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（2025春?永定區(qū)期中）如圖，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，且DE＝BF，若利用“H．L．”證明△DEC≌△BFA，則需添加的條件是（）A．DC＝BA B．EC＝FA C．∠DCE＝∠BAF D．∠D＝∠B8．（2024秋?福州期末）如圖所示，BC、AE是銳角△ABF的高，相交于點(diǎn)D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，則BD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．59．（2025春?崇明區(qū)期中）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的△ABC的是（）A．AB＝5，BC＝4，AC＝10 B．AB＝6，∠A＝80°，BC＝7 C．∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝8 D．∠C＝90°，AB＝910．（2025春?深圳校級(jí)期中）如圖，BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，點(diǎn)M在線段CB上以3cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在射線CQ上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．在射線BP上取點(diǎn)A，在M、N運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有△ABM與△MCN全等，則此時(shí)AB的長度為（）cm．A．1或32 B．2或92 C．2或32二．填空題（共6小題）11．（2024秋?湘西州期末）如圖是兩個(gè)全等的三角形，圖中字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為．12．（2024秋?湘西州期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D，若PD＝4，則點(diǎn)P到邊OA的距離是．13．（2024秋?鹽山縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，M，N，P分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，且BM＝CP，CN＝BP，∠A＝92°，則∠MPN的度數(shù)為°．14．（2024秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E、F為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．若AE＝15，AF＝7，則DE的長度為．15．（2024秋?南沙區(qū)期末）如圖，等邊△ABC的邊長為23，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，連接AD、BE交于點(diǎn)F．則∠BFD＝：連接CF，線段CF長的最小值為16．（2024秋?開州區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC的中心，AB＝6，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)，作∠EOF＝120°，射線OF交邊AC于點(diǎn)F，則四邊形AEOF的面積等于．三．解答題（共7小題）17．（2024秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，BC與AD交于點(diǎn)E，AD＝BC，求證：AE＝BE．18．（2024秋?浦北縣期末）如圖，點(diǎn)D在BC上，AC，DE交于點(diǎn)F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠BAD＝∠CAE．（1）證明：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度數(shù)．19．（2025春?北京校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＞AD，CD＞CB，E在線段BD上，且AE⊥BD，∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝∠ACD．求證：BE+BC＝DC+DE．20．（2025春?北京校級(jí)期中）如圖，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于點(diǎn)D，且BD＝CD．求證：AB＝AC．21．（2025春?北京校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，DA平分∠CDE，且AB＝AE，若CD＝2，BD＝3，求DE的長．22．（2025春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABC是等邊三角形，D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，且CD＝AE，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，求證：BP＝2PQ．23．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，C是∠MAN的角平分線上一點(diǎn)，CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分別為E，F(xiàn)．過點(diǎn)C作CD∥AN，交AM于點(diǎn)D，在射線EN上取一點(diǎn)B，使∠CBE＝2∠DCA．（1）求證：CF＝CE；（2）求證：DF＝BE．

第14章全等三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?玉溪期末）如圖，已知△ABD≌△AEC，若BC＝2，AD＝6，則AB的長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AD，再利用線段的和差來求解．【解答】解：∵△ABD≌△AEC，BC＝2，AD＝6，∴AC＝AD＝6，∴AB＝AC+BC＝6+2＝8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，理解全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解答關(guān)鍵．2．（2025春?碑林區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，要說明△ABC≌△DEF，則添加的條件不能是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．AC∥DF【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】A【分析】由全等三角形的判定方法，即可判斷．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF．A、∠B和∠DEF分別是AC和DF的對(duì)邊，不能判定△ABC≌△DEF，故A符合題意；B、由ASA判定△ABC≌△DEF，故B不符合題意；C、由BE＝CF，得到BC＝EF，由SAS判定△ABC≌△DEF，故C不符合題意；D、由AC∥DF推出∠ACB＝∠F，由AAS判定△ABC≌△DEF，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．3．（2025?魯山縣模擬）如圖所示，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作弧交BC于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于12BD長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線AE，交BC于點(diǎn)F，若BF＝5，則A．42 B．9 C．25【考點(diǎn)】作圖—基本作圖．【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義和勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，AF⊥BC，∵AB＝13，BF＝5，∴AF=A∵AF＝12，AC＝15，∴CF=A故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2025春?清城區(qū)期中）如圖，BC＝AD，為了證明△ABC≌△CDA，還需添加條件（）A．AC＝CA B．∠BAC＝∠DCA C．∠ACB＝∠CAD D．∠B＝∠D【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】C【分析】由全等三角形的判定方法，即可判斷．【解答】解：A、AC＝CA是圖形已有的條件，證明△ABC≌△CDA還需添加條件，故A不符合題意；B、∠BAC和∠DCA分別是BC和DA的對(duì)角，添加∠BAC＝∠DCA，不能證明△ABC≌△CDA，故B不符合題意；C、由SAS證明△ABC≌△CDA，故C符合題意；D、∠B和∠D分別是AC和CA的對(duì)邊，添加∠B＝∠D不能證明△ABC≌△CDA，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．5．（2024秋?衡東縣期末）如圖，AP平分∠CAB，PD⊥AC于點(diǎn)D，若PD＝5，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于線段PE敘述正確的是（）A．PE＝5 B．PE＞5 C．PE≤5 D．PE≥5【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；垂線段最短．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】過P作PH⊥AB于H，由角平分線的性質(zhì)推出PH＝PD＝5，由垂線段最短得到PE≥5．【解答】解：過P作PH⊥AB于H，∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，∴PH＝PD＝5，∴PE≥PH＝5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)推出PH＝PD．6．（2025春?新邵縣期中）如圖，在△ABC中AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F，若BF＝AC，DF＝DC，則∠1與∠2的和為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】由AD⊥BC于點(diǎn)D，得∠BDF＝∠ADC＝90°，而BF＝AC，DF＝DC，即可根據(jù)“HL”證明Rt△BDF≌Rt△ADC，得∠DBF＝∠2，BD＝AD，則∠DBA＝∠DAB＝45°，所以∠1+∠2＝∠BDA＝45°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，BE交AD于點(diǎn)F，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=ACDF=DC∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠DBF＝∠2，BD＝AD，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴∠1+∠2＝∠1+∠BDF＝∠BDA＝45°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明Rt△BDF≌Rt△ADC是解題的關(guān)鍵．7．（2025春?永定區(qū)期中）如圖，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，且DE＝BF，若利用“H．L．”證明△DEC≌△BFA，則需添加的條件是（）A．DC＝BA B．EC＝FA C．∠DCE＝∠BAF D．∠D＝∠B【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】A【分析】題目中已經(jīng)給出一對(duì)直角邊相等，再添加斜邊對(duì)應(yīng)相等可得答案．【解答】解：∵DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，∵△DEC與△BFA均是直角三角形，在Rt△DEC和Rt△BFA中，CD=ABDE=BF∴△DEC≌△BFA（HL）．所以需要添加的條件是DC＝AB．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形全等的判定，熟知斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?福州期末）如圖所示，BC、AE是銳角△ABF的高，相交于點(diǎn)D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，則BD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】B【分析】證明△BCF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，即可求解．【解答】解：∵BC、AE是銳角△ABF的高，∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°，∴∠F+∠CAD＝∠F+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠CAD，在△BCF和△ACD中，∠BCF=∠ACD∠CBF=∠CAD∴△BCF≌△ACD（AAS），∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．9．（2025春?崇明區(qū)期中）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的△ABC的是（）A．AB＝5，BC＝4，AC＝10 B．AB＝6，∠A＝80°，BC＝7 C．∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝8 D．∠C＝90°，AB＝9【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】C【分析】由全等三角形的判定方法，即可判斷．【解答】解：A、5+4＜10，不能構(gòu)成三角形，故A不符合題意；B、∠A是邊BC的對(duì)角，不能畫出唯一的△ABC，故B不符合題意；C、由AAS判定能畫出唯一的△ABC，故C符合題意；D、由∠C＝90°，AB＝9，不能畫出唯一的△ABC，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．10．（2025春?深圳校級(jí)期中）如圖，BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，點(diǎn)M在線段CB上以3cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在射線CQ上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．在射線BP上取點(diǎn)A，在M、N運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有△ABM與△MCN全等，則此時(shí)AB的長度為（）cm．A．1或32 B．2或92 C．2或32【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)題意分兩種全等情況：①當(dāng)△ABM≌△MCN時(shí)，②當(dāng)△ABM≌△NCM時(shí)，然后利用全等的性質(zhì)求解即可．【解答】解：由題意得：CM＝3tcm，CN＝tcm，∵BC＝6cm，∴BM＝BC﹣CM＝（6﹣3t）cm，分兩種情況：①若△ABM≌△MCN，則BM＝CN，AB＝CM，可得：t＝6﹣3t，AB＝3t，解得：t＝1.5，AB＝4.5cm；②若△ABM≌△NCM，則BM＝CM，AB＝CN，可得：3t＝6﹣3t，AB＝t，解得：t＝1，AB＝lcm；∴AB的長度為1cm或4.5cm，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題的全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，分兩種情況討論是解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）11．（2024秋?湘西州期末）如圖是兩個(gè)全等的三角形，圖中字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)為70°或60°．【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】70°或60°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由三角形內(nèi)角和定理得，∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵兩個(gè)三角形全等，∴∠1＝∠2＝70°或∠1＝60°，故答案為：70°或60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解本題的關(guān)鍵．12．（2024秋?湘西州期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D，若PD＝4，則點(diǎn)P到邊OA的距離是4．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【答案】4．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，∵點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝4，即點(diǎn)P到邊OA的距離是4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?鹽山縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，M，N，P分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，且BM＝CP，CN＝BP，∠A＝92°，則∠MPN的度數(shù)為44°．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠B，∠C的度數(shù)，證明△BMP≌△CPN（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BMP＝∠CPN，從而可求出∠BPM+∠CPN的度數(shù)，進(jìn)而求出∠MPN的度數(shù)．【解答】解：在△BMP和△CPN中，BM=CP∠B=∠C∴△BMP≌△CPN（SAS），∴∠BMP＝∠CPN，∵∠A＝92°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝44°，∴∠BMP+∠BPM＝136°，∴∠BPM+∠CPN＝136°，∴∠MPN＝180°﹣（∠BPM+∠CPN）＝44°，故答案為：44．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E、F為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．若AE＝15，AF＝7，則DE的長度為4．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】4．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠E＝∠CFD，再根據(jù)AAS即可證明△BDE≌△CDF，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差即可求解．【解答】解：∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠E＝∠CFD，在△BDE與△CDF中，∠E=∠CFD∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，∵AE＝15，AF＝7，∴EF＝15﹣7＝8，∴DE=12故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?南沙區(qū)期末）如圖，等邊△ABC的邊長為23，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，連接AD、BE交于點(diǎn)F．則∠BFD＝60°：連接CF，線段CF長的最小值為2【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】60°，2．【分析】首先由已知條件證明△ABD≌△BCE（SAS），得到∠BFD＝60°，通過構(gòu)造圓，找到線段CF的最小值時(shí)，點(diǎn)F的所在的位置，進(jìn)而求解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵AE＝CD∴BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠BFD＝∠BAD+∠ABE，∴∠BFD＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠BFD＝60°，作△ABF的外接圓⊙O，連接OC交⊙O于N，交AB于P，則OC⊥AB，根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝120°，∠AOP＝60°，AP＝BP=3∴sin60°=AP∴OA＝2，∴OC＝2OA＝4，當(dāng)點(diǎn)F與N重合時(shí)，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，故答案為：60°，2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2024秋?開州區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC的中心，AB＝6，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)，作∠EOF＝120°，射線OF交邊AC于點(diǎn)F，則四邊形AEOF的面積等于33．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】33．【分析】由ASA可證△AOE≌△COF，可得S△AOE＝S△COF，即四邊形AEOF的面積＝S△AOC=13S△【解答】解：如圖，連接AO，CO，∵△ABC是等邊三角形，AB＝6，∴S△ABC=34×∵點(diǎn)O是等邊△ABC的中心，∴AO，CO是角平分線，∴∠BAO＝∠CAO＝∠ACO＝30°，∴AO＝CO，∠AOC＝120°，∵∠EOF＝120°，∴∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，∠BAO=∠ACOAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE＝S△COF，∴四邊形AEOF的面積＝S△AOC=13S△ABC＝3故答案為：33．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）17．（2024秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，BC與AD交于點(diǎn)E，AD＝BC，求證：AE＝BE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】見解答．【分析】由HL證明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB=BABC=AD∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理，以及等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（2024秋?浦北縣期末）如圖，點(diǎn)D在BC上，AC，DE交于點(diǎn)F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠BAD＝∠CAE．（1）證明：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度數(shù)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）見解析過程；（2）20°．【分析】（1）由SAS可證△ABC≌△ADE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE＝∠B，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ADB＝∠B＝80°，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC與△ADE中，AC=AE∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ADE＝∠B，∵∠BAD＝20°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝80°，∴∠ADE＝80°，∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2025春?北京校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＞AD，CD＞CB，E在線段BD上，且AE⊥BD，∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝∠ACD．求證：BE+BC＝DC+DE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；圖形的全等；推理能力．【答案】證明過程見解答．【分析】在CD上截取CF＝BC，在BE上截取ME＝DE，證明△CBA≌△CFA（SAS），得出AB＝AF，∠BAC＝∠CAF，證明△BAM≌△FAD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BM＝DF，則可得出結(jié)論．【解答】證明：在CD上截取CF＝BC，在BE上截取ME＝DE，在△CBA和△CFA中，BC=CF∠ACB=∠ACF∴△CBA≌△CFA（SAS），∴AB＝AF，∠BAC＝∠CAF，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠CAF＝∠DAE，∵AE⊥BD，ME＝DE，∴AM＝AD，∴∠DAE＝∠MAE，∴∠CAF＝∠MAE，∴∠CAM＝∠FAE，∴∠BAM＝∠FAD，∴△BAM≌△FAD（SAS），∴BM＝DF，∴BE+BC＝BM+ME+CF＝DF+CF+DE＝DC+DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2025春?北京校級(jí)期中）如圖，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于點(diǎn)D，且BD＝CD．求證：AB＝AC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】證明見解答．【分析】由BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，得∠AEB＝∠AFC＝∠BFD＝∠CED＝90°，而∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，可根據(jù)“AAS”證明△BFD≌△CED，得DF＝DE，則BE＝CF，再根據(jù)“AAS”證明△ABE≌△ACF，則AB＝AC．【解答】證明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于點(diǎn)D，∴∠AEB＝∠AFC＝∠BFD＝∠CED＝90°，在△BFD和△CED中，∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDE∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF＝DE，∴BD+DE＝CD+DF，∴BE＝CF，在△ABE和△ACF中，∠AEB=∠AFC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AB＝AC．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BFD≌△CED，推導(dǎo)出BE＝CF，進(jìn)而證明△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．21．（2025春?北京校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，DA平分∠CDE，且AB＝AE，若CD＝2，BD＝3，求DE的長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】7．【分析】由“AAS”可證△ADC≌△ADH，可得AC＝AH，CD＝DH＝2，由“HL”可證Rt△ABC和Rt△AEH，可得BC＝EH＝5，即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥DE于H，∵CD＝2，BD＝3，∴BC＝5，∵DA平分∠CDE，∠ACD＝90°，AH⊥ED，∴∠ADC＝∠ADH，∠C＝∠AHD＝∠AHE＝90°，在△ADC和△ADH中，∠ADC=∠ADH∠C=∠AHD∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH，CD＝DH＝2，在Rt△ABC和Rt△AEH中，AC=AHAB=AE∴Rt△ABC和Rt△AEH（HL），∴BC＝EH＝5，∴DE＝DH+HE＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的