第03講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

錄

01考情解碼?命題預(yù)警.............................................................2

02體系構(gòu)建思維可視...............................................................3

03核心突破?靶向攻堅...............................................................4

知能解碼.......................................................................4

知識點1平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念........................................4

知識點2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示................................4

知識點3平面向量數(shù)量積的運算律...........................................5

知識點4平面幾何中的向量方法.............................................6

題型破譯二.........................................................................7

題型1平面向量數(shù)量積的定義...............................................7

重

題型3數(shù)量積的坐標(biāo)表示..................................................11

題型4投影向量..........................................................12

題型5向量在幾何中的應(yīng)用................................................15

題型6向量在物理中的應(yīng)用................................................20

21

04真題溯源考向蝴.............................................................27

05課本典例高考素材.............................................................27

1/34

■01

考情解碼?命題預(yù)警

考點要求考察形式2025年2024年2023年

1.理解平面向量數(shù)量

積的含義及其物理意

義.

2.了解平面向量的數(shù)

量積與投影向量的長

度的關(guān)系.

新課標(biāo)I卷，第3題，5

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)全國二卷，第12新課標(biāo)I卷，第3題，5分

表達式，會進行平面分

題，5分新課標(biāo)II卷，第13題，5

向量數(shù)量積的運算.團單選題新課標(biāo)H卷，第3題，5

上海卷，第題，分

4.能運用數(shù)量積表示□多選題12

分

兩個向量的夾角，會回填空題5分全國甲卷.第4題，5分

全國用卷，第題，分

用數(shù)量積判斷兩個平口解答題95

天津卷，第14題,全國乙卷，第12題，5分

面向量的垂直關(guān)系.天津卷，第14題，5分

5分天津卷，14題，5分

5.會用向量的方法解

北京卷，第5題，4分

決某些簡單的平面幾

何問題.

6.會用向量方法解決

簡單的力學(xué)問題與其

他一些實際問題.

考情分析：平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單

獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn).交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查,

而此時向量作為工具出現(xiàn).向量的應(yīng)月是跨學(xué)科知識的一個交匯點，務(wù)必引起重視.

預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點.

復(fù)習(xí)目標(biāo):

1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.

2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.

3.了解平面向量基本定理及其意義

4.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算

2/34

02

體系構(gòu)建?思維可視u

平

面

向

量

基

本

定

埋

及

坐

標(biāo)

表

示

用向值表示問融中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題

平面幾何中的向量方法通過向■運算，研究幾何元素之間的關(guān)系

把運算結(jié)果"翻譯"成幾何關(guān)系

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(1)數(shù)量積：〃力=同|力|cos0=x\xi+y\y2.

(2)模：\a\=aa=x?+y?.

(3)夾角：cos。一、XM+丹

同網(wǎng)XT+JTxi+yi

(4)兩非零向量的充要條件：ab=Ooxiv+”i'2=0.

(5)口力區(qū)同步|(當(dāng)且僅當(dāng)a//b時等號成立)o|xiX2+w區(qū)x?+元,舄+比.

自主檢測|(多選)若［=(2,—1),力=(3,1),則()

A.a-b=5B.(a+B)_L(a-B)

C.￡與坂的夾角為5D.B在￡方向上的投影向量為工

4

【答案】AC

【分析】選項A：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進行計算即可；選項B：根據(jù)向量加減法的坐標(biāo)表示計算出2+B

和再結(jié)合兩向量垂直，數(shù)量積為0判斷即可；選項C：根據(jù)向量夾角的公式進行計算即可；選項D；

根據(jù)向量的投影向量公式計算即可.

【詳解】對于選項A,a^=(2,-l).(3,l)=2x3+(-l)xl=6-l=5,故選項A正確；

對于選項B,￡+3=(2,-1)+(3/)=(5,0),?-^=(2,-1)-(3,1)=(-1,-2),

(a+S)(a-^)=(5,0)-(-l,-2)=5x(-l)+0x(-2)=-5^0,故選項B錯誤；

-7ab(2,-1)-(3,1)55s

對于選項c,8s<9>=麗="+(.46+十反而近F結(jié)合￡與3的夾角范圍為

[0,兀],故￡與石的夾角為選項c正確；

4

對于選項D,坂在￡方向上的投影向量為曬<￡3>百=6><冬a=/,故選項D錯誤.

故答案為：AC.

知識點3平面向量數(shù)量積的運算律

(1”力=①(交換律).

(2)耐力=，〃?〃)=〃(勸)(結(jié)合律).

(3)(a+b)?c=a?c+Zrc(分酉己律).

|自主檢測|(多選)已知1、八己是三個向量，則下列結(jié)論中正確的是()

A.ab=baB.a(b+c)=ah+a-c

C.(a-b)-c=a-(b-c)D.若〃.萬=ac，則B=c

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【答案】AB

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，以及向量的數(shù)量積的運算律，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，逐項

判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由數(shù)量積的運算公式，可得aBcos(a,B),"a=可dcos?,

所以==所以A正確：

對于B中，由向量數(shù)量積的運算律，可得+=+所以B正確；

對于C中，(d).c=WWcos(a,3=[WWcos{&4)a,

所以(7B)?工與7(九工)不一定相等，所以c錯誤；

對FD中，由￡前二1)，若向量5=6,此時==而九與"不一定相等，所以D錯誤.

故選：AB.

知識點4平面幾何中的向量方法

⑴用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

自主檢測|已知非零平面向量，、5、C,滿足同=4,收-？|=2,若M與B的夾角為。，則|"日的最小值為

()

A.2>/3-2B.6C.2x/3+2D.—

2

【答案】A

【分析】明確K-日的幾何意義，根據(jù)圓外的點到圓上的點的距離的取值范圍求解.

【詳解】如圖：

OA

令成二，OB=b^OC=c

則方一5=在，a-c=CA.

又|5-1卜2,所以點C在以8為圓心，2為半徑的圓上.

6/34

所以畫的最小值為：|兩-2.

又網(wǎng)=4,408=5所以當(dāng)時，網(wǎng)取得最小值為4xsi*=25

所以|引的最小值為:20-2.

即的最小值為2百-2.

故選:A.

題型1平面向量數(shù)量積的定義

例1-1一蜂巢的精密結(jié)構(gòu)由7個邊長均為2的正六邊形組成，擺放位置如圖所示，其中力，B,。為三個固

C.16>/2D.16百

【答案】B

【分析】利用數(shù)量積的定義運算即可求解.

【詳解】由題可知，|萬卜4,|麗卜8,NPAB=],

所以"?前=4x8x85^=16.

故選：B.

|例1-21已知向量回5滿足伍-2司伍+石）一3,且|叫=2,歷|=1,則萬與5的夾角為（）

A.30°B.60°C.120D.150

【答案】C

【分析】根據(jù)向最數(shù)最積的運算律將值-2與傘+3）展開，再結(jié)合向量數(shù)最積公式存5=m||B|cos。求出

cos。的值，最后根據(jù)夾角的取值范圍確定夾角仇

【詳解】由（1-2孫（不+在）=3,可得嚴(yán)+小1好$-*2=12_相方-*2=3

7/34

又|斗2,|昨1

所以2?=3解得：a-b=-1

所以cos（G,B）ab1

2

又0Y（咽4180。所以〈咽=120°

所以后與石的夾角為120。.

故選：C.

方法技巧

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量值與坂，我們把數(shù)量|由出|cos6叫做［與B的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作。?晨即

小6=|引B|cos。，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量枳為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|〃|cosO叫做向量〃在〃方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時，它是正數(shù)；當(dāng)。為鈍角時,

它是負數(shù)：當(dāng)0為直角時，它是0.

②〃/的幾何意義：數(shù)量積〃6等于“的長度|”|與。在。方向上射影|方|cos。的乘積.

【變式訓(xùn)練1-1】已知向量同=2同=2,且向量值與向量B的夾角為條則（25）?（3力=.

【答案】6

【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算即可求解.

【詳解】??響量同=2網(wǎng)=2,且G與B的夾角為三，

則同=2冏=1,

2a3b=6同Wcos）,方=6x2xlxcos-j=6x2xi=6.

故答案為：6

【變式訓(xùn)練1-2】已知邊長為4的菱形44CQ的一個內(nèi)角為則筋.而=.

【答案】8或-8

【分析】由平面向量數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】由題可知，/8力力=方或與，

8/34

若N84/)=W，則方?而二而.而卜os/8/Q=4x4x；=8,

若ZZ?JD=y,則而?布=|前，而cos/B/O=4x4x

2

故答案為：8或-8.

題型2平面向量數(shù)量積的運算重

|例2-1|已知向量值與5的夾角為弓,同=6,同=2,則卜+4=()

A.1B.2-V3C.2+百D.V13

【答案】D

【分析】先求75,再根據(jù)模氏的平方關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.

rrrr

【詳解】因為向量1與5的夾角為3同=G，同=2,則42=卜bcosF=3,

61116

I、，^*2r,

可行力+方=a+2ab+b=3+6+4=13,所以+方|=.

故選：D.

貶目已知平面向量G,b,［均為單位向量，若G與石的夾角為60。，則傳-力打-2坂)的最大值為()

A.2+75B.4C.2+77D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)僅-￡).［-明)=2-c,(a+2b),把問題轉(zhuǎn)化為求［R+2^的最小值，進一步轉(zhuǎn)化為求p+2|

的自，利用向量的數(shù)量積的運算法則求解即可.

【詳解】由題意：.卜W=K|=1，a^=lxlxcos60°=^-.

因為(c-a)，(c-刈=c；+2夕5-c?4+25)=2-°?(a+2可.

乂c?a+2B)=卜|?7+24cos卜,4+23)=卜+24cos(c,q+2^>>-p+2b|,

當(dāng)cos卜,a+2B)=兀時取“=

又口+2才=伍+23『=/+4￡石+4片=1+4xg+4=7,所以口-2可=近.

所以「一a“c-2^”2+V7.

故選：C

|例2-31已知5=(2,0)石=(1,1),若不乂2+萩)，則2=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

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【分析】根據(jù)向量的加法、數(shù)乘向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】5+2d=(2,0)+2(l,l)=(2+2,A),

因為萬J.R+花)，

所以2x(2+4)=0,解得/1=一2.

故選：D.

方法技巧

平面向量數(shù)量積的兩種運算方法

(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角。時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積

的有關(guān)計算問題；

(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.

【變式訓(xùn)練2-1】已知召,當(dāng)是兩個垂直的單位向量.若d=a_=2?+a,設(shè)向量2,5的夾角為。，則

cos。=()

A.，B,包C.在D.如

102510

【答案】D

【分析】首先求出向量的數(shù)量積，然后求出向量瓦B的模，最后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出答案.

【詳解】因為￡￡是兩個垂直的單位向量，所以家W=o.

因為Q=q-e2,b=2e}+e2?

所以不坂=卜］一?2){20+e2^=2-ece2-\=\.

而同二,卜1_，2)=1-出電［=6，可=J(2q+e2)=J4+1+4/仁=亞.

八ab1x/lO

所以85日麗=百蘋二記.

故選：D.

【變式訓(xùn)練2-2?變考法】已知同=慟=卜+司=2,則歸一,=.

【答案】2G

【分析】利用數(shù)量積的運算律求得2小B=-4,然后利用數(shù)量積的運算律求解模即可.

【詳解】因為同=W=B+B|=2,所以2聯(lián)3=伍+必5-廬=_4,

10/34

所以,一可二指2一2小石+戶=34+4=2百.

故答案為：26

題型3數(shù)量積的坐標(biāo)表示

|例3-11已知向量G=(4,3),5=(-3,1),則不很=.

【答案】-9

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解即可.

【詳解】>5=4x(-3)+3xl=—9.

故答案為：-9

|例3-21已知向量￡=(1,2)[=(2,0),則向量3在向量g方向上的投影向量為.

【答案】(L0)

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)求得數(shù)量積以及模長，利用投影向量的計算，可得答案.

【詳解】由￡=。,2)3=(2,0),則4.5=lx2+2xO=2，網(wǎng)="壽=2,

所以向量值在向量B方向上的投影向量為帝=

故答案為：(1,0).

例3?3]已知向量。=(3,-1),i=(2人-3),若￡,坂的夾角為銳角，則2的取值范圍是.

【答案】郢修+8

【分析】￡，坂的夾角為銳角的充要條件是￡,否的數(shù)量積大于o且不共線，由此列不等式求解即可.

【詳解】因為￡=(3,-1),1=(24,-3),a，B的夾角為銳角，

IQ

所以64+3>0且一2丸二一9,解得2>—上且/IH—,

22

(19、,9

口IU的取值范圍是一弓弓U-,+oo

乙乙)IZ

故答案為:

方法技巧坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積

(1)方法依據(jù)：當(dāng)己知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，

1111

即若。=(芭,必)，b=(x2,y2)>Ma-b=x}x2+yxy2；

(2)適用范圍：①已知或可求兩個向量的坐標(biāo)；②己知條件中存(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

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直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。

【變式訓(xùn)練3-1】已知向量4=(1,3),向量取=(-2/)，則向量￡在向量￡+坂上的投影向量的模為()

正I1V17

.517

【答案】B

【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算即可求解.

【詳解】因為向量。=(1,3),向量否=(-2,1),所以。+：=(1,3)+(-2,1)=(-1,4)

向量I在向量I+B上的投影向量的模為“￥〔：)=|=|匚捍卜邛L

\a+b\|(-1,4)|||V17|17

故選：B.

【變式訓(xùn)練3-2】平面向量坂滿足)=僅石)，W=8,￡與辦的夾角為牛，則B在￡方向上的投影向量

為()

【答案】A

rrr

【分析】只需求出屏。?力，再結(jié)合投影向量的定義即可求解.

【詳解】由題意H=H?=3,「卜8,7與加的夾角為與，

所以4.否二3乂8X卜3=-12,

/X

(1?h—17—4—

否在￡方向上的投影向量為可==

IHJ

故選:A.

題型4投影向量

例4-1|己知VABC的外接圓圓心為C,且2方＞=而+衣，|萬卜口心|，則向量存在向量脛二的投影向量

為()

A.產(chǎn)B.-BCC.--BC

4

【答案】D

【分析】根據(jù)條件作圖，可得△/CO為等邊三角形，V力08為等腰三角形，V44。為直角三角形，即

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NO創(chuàng)=30。，|而卜前J,再根據(jù)投影向量的概念求解即可

【詳解】如圖，由2亞=荏+%，可得。為8c的中點，

又因為。為V/18C的外接圓圓心，所以。4=O6=OC,

又因為|石卜|就|，所以XC=O4=O8=OC,

所以△力CO為等邊三角形，即4co=60。，

V力QA為等腰三角形，即/04〃-/0。4-30。，

V43C為直角三角形，|荏卜4|瓦?卜

所以向量布在向量心上的投影向量為

|A&|-COS150°

例4-2|設(shè)向量不方滿足同=6,歸|=4且小B=-12,則向量方在向量5方向上的投影是.

【答案】-3

【分析】利用向量投影的計算公式，即可求解.

【洋解】向量入坂滿足同=6,同=4,且￡石=-12,

ab-12、

向量不在向量辦方向上的投影=下|-=丁=一3,

故答案為：-3.

方法技巧

rrrrr

rrA68r

a器

UULU1uuiurrrr-6

設(shè)向量44是向量ax在向量力上的投影向量，則有44二|Q|cos<a,〃〉-TJarfr

4a6方F

rr

uuur\.\

則144|二a坐hi

網(wǎng)

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jr

【變式訓(xùn)練4/】如圖’在V，尤中，。=“34c于。，AD=2'八6,則存在K上的投影向

C.^ACD.次

【答案】A

【分析】根據(jù)已知及余弦定理得COSNC4?=-Y!Q，再由投影向量的求法求存在衣上的投影向量.

10

【詳解】由題設(shè)，4D=CD=2,貝IJz4C=2x/I，BD=4,

故AB=LD、BD2=2出，

AC2+AB2-BC28+20-36而

所以cos/C43=

2ACAB2x2夜x2天To-

所以劉在就上的投影向量為亞區(qū)就上巴蜀….

WR82

故選：A.

【變式訓(xùn)練42變載體】已知G=(〃1,2),5=(1,〃]).

⑴若,+求川的值；

(2)若歸+*2且機＜0,求。在5方向上的投影數(shù)量.

【答案】⑴〃?=0或-3

⑵-亭

【分析】(1)根據(jù)向量垂直得到方程，求出用=0或〃?=-3；

(2)a+b=(m,m+2),根據(jù)向最模長得到方程，求出加=-2,利用投影向最的公式得到答案.

【詳解】(1)因為不+日=(〃?,〃?+2),b=(l,w),

由于所以伍=0,

所以m=0或-3.

(2)因為。二(加一1,2),b=(1,/H),貝ij不+B=W，〃?+2),

若卜+可=2且?。?,則＜)川+(機+2)'=2

解得w=-2,

〃?＜0

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則a=（—3,2）,B=（l,-2）,可得出B=—7,忖=后

ab77x/5

所以G在5方向上的投影數(shù)量下|~=一方二一一1

題型5向量在幾何中的應(yīng)用

|例5/]已知/。加=],阿=4,且力8_LCU,則卜礪-詞+x礪-g可（xwR）的最小值為（）

A.2石B.2x/3C.3D.-

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，并利用位置關(guān)系求得|萬|=2方，設(shè)而=.?瓦礪=；），結(jié)合平面向量線

性運算以及余弦定理可求得當(dāng)A、D、尸三點共線時取得最小值.

【詳解】由已知|明二函sing=4x半=26，

則卜無一可+x礪―工=|而一可.而—可/理+碑

作E關(guān)于直線04的對稱點尸，連接。尸、4F、AD、FD,

則研=阿卜2仃，"04=2/8043,

所以西卜|明一府卜用上廳,

在》0/中，由余弦定理可得再卜J司“可二2司.回cosg=^3+12-2x/3x2/3>i=S

所以府|+|而卜|而|+匹卜就=3,

當(dāng)且僅當(dāng)A、D、尸三點共線時等號成立，

所以卜礪_火|+xOS-O^xeR）的最小值為3.

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故選:c.

質(zhì)面］已知ZE工是平面向量,工是單位向量，若非零向量）與工的夾角為向量坂滿足/_6加"+8=0,

則*可的最小值是（）.

A.-3V3-1B.V3+1C.3-V3+1D.2-6

22

【答案】A

【分析1由7一63?工+8=0,可得甸*-浜）=0,則坂-血與坂-2工垂直，設(shè)獷共起點，數(shù)形結(jié)合畫

出相應(yīng)圖象，結(jié)合向量減法的幾何意義計算即可得解.

【詳解】設(shè)希共起點，由7-6就+8=0,可得0-4孫,-陰=0,

所以1-41與垂直,如圖,

由向量減法的幾何意義可知,向量］的終點落在圖中的圓上，

由題意可知￡的終點在圖中所示的射線上，

所以斤-石是從圓上的點到射線上的點形成的向量，

要求忖-同的最小值，只需求圓心到射線的距離減去圓的半徑,

故,-可的最小值為3s嗚-1=弓石-1.

故選：A.

方法技巧用向量方法解決實際問題的步驟

【變式訓(xùn)練5-1】已知平面向量而、然、而，網(wǎng)=|就卜1,府+狗=1,△8CQ的面積為2石，則|回

的最小值為（）

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37

A.-B.2C.-D.4

22

【答案】C

【分析】通過|萬+尼卜1平方，求得/歷IC,結(jié)合余弦定理求得BC=0再結(jié)合面積公式求得點D到BC

的距離，進而可求解.

【詳解】已知畫=|畫=1,|翔+福=1,

對河+不平方得胸+衣『=（刀+刀），="+2萬.祝+充二

因為萬Lj而『=1,JC2=|^C|2=I,

設(shè)2BAC=。,0<0<nt則力氏NC=%訓(xùn)力cjcos。=cosO,

所以|益+K『=1+2COS0+1=1,即2+2COS9=1,解得cosO=-g,有。二與.

CV/AC中,由余弦定川行cos6="+'-=一］,可得"0=4.

2hc2

設(shè)點A到4。的距離為九，有九=；.

已知￡*.〃=2百，設(shè)點。到8C的距離為力，

由工功=；忸。卜力=26,解得力=4,

則|赤|的最小值為，L%=4—g=g.

故選：C

【變式訓(xùn)練5-2】已知露魚例=rrrrrr,T2rir

ah=0,c+a+c-a\=4,d-4bd+3=0,則c-d的最大值

為.

【答案】巫+1

3

【分析】由題意首先得出心-,為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為

橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.

【詳解】如圖所示:

17/34

不妨設(shè)1=刀=(6,0)/=方=(0,1),反=\OD=8，q)力工So)，

滿足同=G,W=l，”6=o,

X|c+a|+|c-a|=4,即?小+同+〃2+?小一時I+/=4=2°>2c=2\/J=|44|，

由橢圓的定義可知點。在以4,4為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，

a=2,c=>5,b=yla2-c2=74^3=1，

所以該橢圓方程為二+爐=1,

4'

□J不一41?2+3=0，即p^+g?—4夕+3=0,即p-+(g-2y=1,

這表明了點。在圓/+(?-2)2=1上面運動，其中點E(0,2)為圓心，「=1為半徑，

又卜-2卜|沃-歷卜|。。同。同+怛必二2同+1,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)C2E三點共線，

故只需求|CE|的最大值即可，

因為點。?+/=1在橢圓上面運動，所以不妨設(shè)C(2cose,sine),

所以|。同=J4cos2夕+(sin夕-2f=^4(I-sin2<9)+sin26>-4sin<9+4=J-3sin\"4sin6+8,

?八-42

所以當(dāng)sm?=一直詢=-]且C2E三點共線時，

旨-@有最大值詞小+1=卜乂0_4X([)+8=^^+1.

故答案為：迥+1

3

【變式訓(xùn)練5-3】在邊長為I的正方形月夕C。中，點E為線段CD上靠近。的三等分點，詬=4瓦3+〃就,

則2+〃=，/為線段上的動點，G為4F中點,則酢?麗的最小值為.

18/34

【分析】由向量對應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系用互5,團表示出命,即可得參數(shù)值，令而=〃而，0￡m￡\，

根據(jù)已知得萬?麗=卜?荏+癡5“92刀+（下〉

DI并應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求最值.

【詳解】由題設(shè)屁=就+而=前+；麗=芯+：0=義0+1

tBC,則〃=1,

4

所以4十〃=石,

DEC

o___________________________________

而，

m,

AB

令而=n質(zhì),0<m<\,則力尸=/而+3"=力4+〃?分七=<3+四（5C+CE）

=赤+加（而+；麗）=（14）而+〃石.

所以#.麗=0圄萬+切殉仁妙布+（別可

=（唱（界M+卜費川+仁川通通+d

e）-H刊苧然中T"

當(dāng)加=1時，布麗的最小值為-白.

1O

45

故答案為：-?--

31o

19/34

題型6向量在物理中的應(yīng)用

|例6?1|共點力耳=(lg2,lg2),瓦=(lg5,lg2)作用在物體M上,產(chǎn)生位移?=(21g5,l),則共點力對物體做

的功為()

A.1g2B.1g5C.1D.2

【答案】D

【分析】求出合力了的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得出共點力對物體做的功.

ItULIO

【詳解】根據(jù)題意得：共點力的合力是/=￡+鳥=0g2+lg5,lg2+lg2)=(1,2電2),

對物體做的功為％=[3=2lg5+2lg2=2.

故選：D.

麗萬1如圖所示,支座力受尸一每兩個力的作用，已知閨|=18N,與水平線成。角，優(yōu)|=8N,沿水平方

向，兩個力的合力廠的大小但|=20N,則COS9=()

D-i

【答案】D

【分析】利用平行四邊形法則及向量夾角公式求解.

【詳解】依題意，#=耳+瓦,則江=甲+可+2片用=不+守+2|月11Aleos。，

BP2O2=182+82+2XI8X8COS6>,所以COSO=L.

24

故選：D

【變式訓(xùn)練6-1】如圖，一條河某一段的寬度為8km,一艘船從河岸邊的力地出發(fā)，向河對岸航行.已知船

的速度大小為5km/h,水流速度的大小為3km/h,當(dāng)航程最短時，預(yù)計這艘船行駛到河對岸需要時間為一

h.

____________6

A

【答案】2

【分析】當(dāng)實際速度垂直于河岸航程最短，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則求解即可.

20/34

【詳解】當(dāng)實際速度垂直于河岸，船的航程最短,

設(shè)實際速度、船速、水流速度分別為kX、E，

如圖，V=V]+v2,已知匕=5,T=3,

則何=局-同-=

4(km/h)，河寬d=8km,

所以，船的航行時間，=g=J=2（h）,

|v|4

所以，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要2h.

故答案為：2.

【變式訓(xùn)練6-2】如圖所示，支座A受用用兩個力的作用，已知園=18N,與水平線成。角，|同=8N,

沿水平方向，兩個力的合力戶的大小網(wǎng)=20N,則COSO=.

【分析】根據(jù)向量的加法法則、向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合題中條件即可求解.

【詳解】依題意，萬=耳+瓦,則尸=嚴(yán)+守+2不后=嚴(yán)+守+2|不|可8的，

即2()2-182+82+2X18X8COS<9,解得COSO=}.

24

故答案為：士

題型7向量新定義難

|例7-1]已知4=（X],弘）,b=（x2,y2）,定義新運算。十6=（西+》2-1）（必+%-1），記〃?=sin

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)),滿足〃[十〃

n則sinf2a--

n=I,sin"5()

A舊「回

rx?-------BL?-----

5-410

【答案】A

【分析】根據(jù)題中定義、誘導(dǎo)公式以及二倍角的正弦公式化簡可得出sin（2a-gj的取值范圍.

.冗

【詳解】因為sina----,!./?=I,sin

6))I

n.n\.71it

根據(jù)題中定義可得/〃?〃=sin[aIsin(a+=sina-----sina-----+

3>I6j6J2

=sina一看卜os（a一弓卜gsin（2a尚）=^,故sin（2a-g）=*.

故選：A.

例70）我們可以把平面向量坐標(biāo)的概念推廣為“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對（4/2）（々/2任。視為個向

量，記作a=仁/2）.類比平面向量的線性運算可以定義復(fù)向量的線性運算；兩個復(fù)向量茨=仿衣2）,

A=（Z3，Z4）的數(shù)量積記作應(yīng)/,定義為乙￡:2自+223；狂向量）的模定義為冏=^/^.

⑴設(shè)右=（6,8）,6=（i-2,i）,求復(fù)向量a與方的模;

（2）已知對任意的實向量Q與方，都有忖闋平憫，當(dāng)且僅當(dāng)應(yīng)與6平行時取等號；

①求證：對任意實數(shù)a,b,C,d,不等式|ac+網(wǎng)工必丁■?廬下成立,并寫出此不等式的取等條件;

②求證：對任意兩個復(fù)向量也與/,不等式,闋引述同仍然成立；

⑶當(dāng)艮￡|=同網(wǎng)時，稱復(fù)向量近與。平行.設(shè)b=（l+i,2-i）,B=（i,z）,zeC,若復(fù)向量R與5平行，

求復(fù)數(shù)z的值.

【答案】（1）10；4；

（2）①證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)ad-兒=0等號成立；②證明見解析；

（3）^=|+^i

【分析】（1）代入“復(fù)向量”&和6模的新定義，即可求解兩個向量的模；

⑵①首先設(shè)實向量近二（。力），/=（c,d）,再分別計算日?月和|同網(wǎng)j再結(jié)合公式,/日圓即即可證

明；

②首先設(shè)復(fù)向量近=（4*2）,A=（z；,z；）,根據(jù)復(fù)數(shù)的三角不等式，以及實系數(shù)向量不等式

,也+乂％|《J片+"?，＜+只，即可證明;

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（3）根據(jù)等號成立的條件，再結(jié)合復(fù)數(shù)的三角不等式，即可求解.

【詳解】（1）因為值=（6,8）,所以（53=6x6+8x8=100,

所以近的模為10；

因為》=（i-2,i）,所以S/=（i-2）（T-2）+”T）=6,

可得方的模為逐；

（2）①設(shè)實向量。fl=\c,d）,

則=+\a\=\la2+b2,\fl\=\lc2+d-,而?￡]=,+她，

根據(jù)已知卜彳上同間，當(dāng)且僅當(dāng)C與方平行時取等號，即兒=0,

所以|oc+6"區(qū)y]a2+b2-\lc2+d2,當(dāng)且僅當(dāng)ad-be=0時等號成立：

②因為5=（4,22），/=卜1怎），所以k/HziZi'+ZzZ?],

由復(fù)數(shù)的三角不等式pN+ZzZ；閆平；|+，222卜卜|同+22|卜口，

3=（x”必），5=（馬,%）由B石卜司w，

得J]；：.昔1歹2,1，所以|中2+必先區(qū)&+丁1展+吳，

所以㈤同+同屋卜府府」Z；|+卜；|=7Z1Z1+Z2Z2?，上上+4名=|訓(xùn)刈，

綜上所知，"生同例.

（3）②中考慮①中等號成立的條件知，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角不等式，

復(fù)網(wǎng)量各分量均不為零時，其等號成立的條件是存在非負實數(shù)匕使得1=如

Z2

根據(jù)題意，若復(fù)向曷a=（l+i,2-i）與￡=（i,z）平行，

根據(jù)㈤印同訃信[2+區(qū)（]同2+同2中等號成立的條件,

應(yīng)有㈤同*1同，則團=$*=*.

所以共5（丁317）卜丁31歹'所以z=，3+尹1

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【變式訓(xùn)練7-1】定義：若不相等的兩個向量工=(和必)，坂=(修，為)滿足條件邛卜國且為，乂，/，月均

為整數(shù)，則稱向量￡,B互為“等模整向量”，則與向量5=(1,0)互為“等模整向量”的向量個數(shù)有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】設(shè)坂=。,歹)與萬=。,0)互為”等模整向量”的向量，根據(jù)定義求解即可.

【詳解】設(shè)B=(、/)與2=(1,0)互為“等模整向量”的向量，

則后+/=1,所以x'+V=l,令x=l,