第03講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

目錄

01常考題型過關(guān)練

題型01平面向量數(shù)量積的定義

題型02平面向量數(shù)量積的運算目

題型03數(shù)量積的坐標(biāo)表示

題型04投影向量

題型05向量在幾何中的應(yīng)用

題型06向量在物理中的應(yīng)用

題型07向量新定義|難

02核心突破提升練

03真題溯源通關(guān)練

01

.

?？碱}型過關(guān)練

敢型

1.下面給出的關(guān)系式中，正確的個數(shù)是（）

@Oa=0;②db=6d;③加=，；④,而上=川方.4.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】數(shù)乘的性質(zhì)即可求解①④，根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)即可求解②?.

【詳解】oa=O?萬石=53=|同68s@6）,"=同2,

伍石V表示與2共線的向量，，僅1）表示與2共線的向量，故兩者不一定相等，

故①@③正確，④錯誤，

故選：D

2.已知向量同=2,方在。上的投影向量為-24,則45=（）

A.-8B.8C.4D.-4

【答案】A

【分析】由數(shù)量枳的幾何意義可判斷選項正誤.

【詳解】由向=2得卜切=4,根據(jù)〃在心上的投影向量為-2心可知方在乙上的投影的數(shù)量為Y,

故根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，16等于同與5在。上的投影的數(shù)量的乘積，

故2石=2x（-4）=-8.

故選：A.

3.正六邊形在中國傳統(tǒng)文化中象征著“六合”與“六順”，這種形狀常被用于各種傳統(tǒng)裝飾削建筑中，如

首飾盒、古建筑的窗戶、古井口等.已知6個邊長均為2的正六邊形的擺放位置如圖所示，。是這6個

正六邊形內(nèi)部（包括邊界）的動點，則ACAB的最大值為（）

c

B

A.12B.16C.18D.20

【答案】C

【分析】過C作CE/AB交AB延長線于E點，則而?麗=通?四=|恁|?|布1，當(dāng)C位于D點時，ACAB

取得最大值，求此時的數(shù)量積即可.

【詳解】

C

過C作CE1A8交44延長線于￡點，則衣?麗=屏?麗=|京|?|而

因為6個正六邊形邊長均為2,如圖，當(dāng)C位于D點時，尼?麗取得最大值，

此時NOAE=-^AD=3AF=66,AE=9,

6

ADAB=AEAB=9x2=\S^

故選：C.

4.（多選）下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）

A.設(shè)。，〃為非零向量，若不5>0,則白，5的夾角為銳角

B.設(shè)〃，方,2?為擠零向量,則3一）了=萬（61）

C.設(shè)不，6為非零向量，若伍+B）_L（i—5），則同=忖

D.若點G為VA8C的重心，則GU互+覺=0

【答案】CD

【分析】由箝萬>0,可得值石￡0,5），可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的意義判斷B；根據(jù)向量垂直，數(shù)量積等于

。計算，判斷C根據(jù)三角形重心性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算可判斷D.

代入得：A戶AA=；X9=3.

故選:C

6.如果向量。，5滿足同=1,慟=&,且d_L（d-6）,則乙和6的夾角0大小為（）

A.30°B.45C.75D.135°

【答案】B

【分析】先根據(jù)平面向量垂直得出12=不於再利用平面向量夾角的計算公式即可求解.

【詳解】因為日

所以無,—6）=0,即求=萬/.

乂因為同=1,收卜及

□dB1=>/2

所以兩向?qū)?夾角的余弦值為cos?=麗=lxx/2-T

又因為。4（）,18。］,

所以6=45。,

故兩向量夾角的大小是45、

故選：B

7.在V/WC中，ZC=-KM為邊AC的中點.若尸在邊A4上運動（點尸可與AI重合）

【答案】A

【分析】由題得三角形是等腰直角三角形，利用平面向量基本定理，將齊，初戶用其他己知方向和模長的

向量表示，計算數(shù)量積，求最小值.

【詳解】由題，VA8C為等腰直角三角形，AC=8C=2,AM=1,AB=26,

UUUUUUn

設(shè)AP=/MB，4?r0,l],

則。戶=&5+/148，"戶=歷4+/148，

所以麗及=（京+/1而）（臣+2通）=萬而，+%礪.南+/i或?通+兩言，

37

WMP.CP=8A2-62+2,因為萬[0,1],所以當(dāng)「=一時,麗于最小等于白

88

故選：A.

8.已知向量癡滿足同=1同=2,若卜+可=近,則一與石的夾角為（）

7Te兀-兀-5兀

A.—B.-C.-D.—

126312

【答案】C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算得，建立方程并化簡，可得答案.

【詳解】設(shè)之與3的夾角為6,

由卜+萬卜=Jdf+2小方+懷=Jaf+2同Wcos8+歸-=j5+4cos6=幣，

則cos0=g,解得0=方.

故選：C.

9.若a,b,為單位向量，則卜+司=.

【答案】G

【分析】根據(jù)向量的模長計算公式，及數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】?.?\尻4-5都為單位向量，

|a—/?|=1,

即1『-2ab+\b^=\,

.小+可=yj(ci+b)2=^|t7|2Ylci'b^b|2=Jl+l+l=G,

故答案為：G.

10.設(shè)向量2=(尤4),/?=(7,-1),已知口+4二忖.

（1）求實數(shù)x的值;

(2)求Z與/的夾角的大小.

【答案】(1)工=一3.

⑵竽

【分析】(1)根據(jù)向量的模長及數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.

(2)根據(jù)向量夾角公式即可求解.

【詳解】(1)w=49+1=50,

所以同一，

即2ab+\l^=0,

所以2(7x—4)+50=0,解得x=—3.

(2)設(shè)2與&的夾角為0,￡=(-3,4),」=(7,-1)

所以7萬=-21-4=-25，

忖=的+16=5,由(1)得忖=同=5夜，

_ab-25&

所以8也麗=荻7TF，

?.?同0,可,.?.*￥，即〃與5的夾角為亨.

散型IL03數(shù)量積的坐標(biāo)表示

II.已知已二(2,x),4=(1,3),若不工人則工=()

332

A.—B.—C.—

223

【答案】C

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表達(dá)式計算即得.

2

【詳解】由可得無萬=2+3/=0,解得工二一弓.

故選：C.

12.己知1=(1,2),B=(匕-3),其中女為實數(shù)，若向量萬與5的央角為鈍角，則&的取值范圍()

3、I，6

A.(HO,6)B.(6,+oo)C.6D.-co,-lJU

【答案】D

【分析】由不出<0,結(jié)合,萬不共線可得答案.

3

【詳解】①B<0n2<6，a,5不共線時，2k

所以公6

2）-i)-

故選：D.

fV2交]

13.(多選)已知向量a=(cosl5,sinl5)/i=，則（)

2'2

A.ab=—B.<?,/；>=60C.?±(a-2丐)D.|3-2向=百

2

【答案】BCD

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及垂直，夾角，模的公式,即可判斷選項.

【詳解】對于A,因為B=(cos45,-sin45),

所以〃?五=cosl5cos45-sin15sin45=cos(15+45)=cos60=—,故A錯誤:

乙

對于B,因為同=Jcos?15。+sin:6=岑+]-

=1,

2

所以cos〈ZE〉=fi>=L即。。石?=60°,故B正確;

1。11b12

對干C,因為7（￡-涕）=2?-2￡.B=l-2x；=0,所以￡_1_（￡一2抗，故C正確:

對于D,|a-2Z；|=Jr"-4、?1+4公=Jl-4x；+4=G,故D正確.

故選:BCD.

14.（多選）已知向量九否滿足|。|=1，下=（區(qū)1），c=（-l,x）,則下列說法錯誤的是（

A.若北人則Z=g二

B.若疾+石=0,則以=2

C.|3+引的取值范圍為［1,3］

D.若方與［夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍為（f,百）

【答案】ABD

【分析】對于選項A,利用向量垂直的坐標(biāo)表示以及模為1可以列出方程組求出機(jī)對于選項B,利用向量

的共線可以求出4的值；對于選項C,將模平方，展開后根據(jù)向量夾角的范圍求出模的范圍即可；對于選項

D,根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出x的范圍.

【詳解】對于選項A：

因為〃_1_〃,所以〃石=0.

設(shè)”(x,y),則唐■*?：°，解得］I?

+y-=1V3

V=------

所以"二（；,-等）或所以A錯誤.

對于選項B：

因為痛+5=0,所以%-反，所以網(wǎng)=1川同=2,

所以4=±2,所以B錯誤.

對于選項C：

|?+Z?|=+，+2同“cos（d,Z>>=J1+4+2x1x2cosR/）=15+4cos（a；〃）.

0^-l<cos（a,b）<l,所以l?5+4cos（哂49,所以卜+同叩,3］.所以C正確.

對于選項D：

因為向量/；,［的夾角為鈍角，所以cos9］）=，<0且cos（瓦［w-1.

所以XV6且312+2心+1=（岳+1），0,

所以實數(shù)x的取值范圍為x<G且X—且，所以D錯誤.

3

故選：ABD.

散型（04投影向量

15.已知向量G滿足同=#且單位向量?在G方向上的投影向量為;G,則向量d與G的夾角為（）

【答案】A

【分析】結(jié)合題意，由投影向量的計算公式可得.

【詳解】因為。在6方向上的投影向量為京，所以同cos年㈤百=；萬，

可，聲得,不彳1-即。歷=：3；

同22

因為同=J5,G為單位向量，所以cos,乃=\言=坐，所以=

同同26

故選：A.

16.在V/WC中，已知而?/=()，若向量麗在向量就上的投影向量為‘配，cosC=46，則實數(shù)〃?

ffi5

的值為()

A.72B.5C.2D.75

【答案】B

【分析】由題意川彳JA=90。，可"sinB=&叵，利用同角的平方關(guān)系可求得cosB=@,利用投影向量的

55

~BABC\

定義可得花「=7,計算可求得加.

【詳解】由荏.*=0,可得48mC,所以VA6C是直角三角形，且4=90。，

因為cosC=2,所以sin8=氈，又0。＜3＜90。，所以cosB=JF二病萬=正，

555

I_BA-BC1頁萬

乂因為向量的在向量此上的投影向量為,BC,所以-]壽「ICnzBC,

|明

BABC1IAA|-|BC|COSB1i

所以京二二7,所以』一[*—=-,所以"＜。$8=一，

\BC\,nBC,nBC加

故選：B.

17.已知同二碼，2與5的夾角為。，則3-5在￡上的投影向量為()

G_1-1-1

A.——aB.—aC.—ciD.—(i

222

【答案】C

【分析】由投影向量的定義、數(shù)量積的運算律即可求解.

【詳解】同=|可，￡與B的夾角為則￡-5在.上的投影向量為

a-bcos(a—仇

故選：C.

18.已知不=(2,4),^=(-1,3),則5在1方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

【答案】(1,2)

【分析】利用投影向量的意義求解.

【詳解】由2=(2,4),5=(-1,3),得小石=2x(T)+4x3=10,m|=JF==2石，

所以B在〃方向上的投影向量為普左=：%=(1,2).

故答案為：。，2)

鼓型I105向量在幾何中的應(yīng)用

19.已知V4BC的外接圓圓心為O,且2荷=而+尼，閏=|碼=2,點。是線段8c上一動點，則兩.海

的最小值是()

1993

A.—B.C.—D.—

41644

【答案】C

【分析】先根據(jù)條件，確定VABC的形狀，再以。為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的

坐標(biāo)表示方鼠加，再結(jié)合二次函數(shù)求最小值.

【詳解】因為2而=而+正，所以。為8c中點，

又。為VA8C的外接圓圓心，所以VA4C為直角三角形，N3AC=90。，

又畫=|西=2,所以為等邊三角形,

如圖，以。為原點，建立平面直角坐標(biāo)系:

貝1」91,右)，8(—2,0),設(shè)力(x,o),x?-2,2],

則而=(l-x,G),DS=(-2-x,0),

所以IMDQ=(l-x,V3)-(-2-x,0)=(1-X)(-2-X)

(1A2Q91

2x+-(當(dāng)x=-7時取"=.

=A+X-2=I2；442

故選：C

20.如圖，己知。是VA3c的垂心，且04+20豆+40。=。，貝【Jcos4=()

A.克B.-C.-D.正

3333

【答案】A

【分析】根據(jù)垂心的性質(zhì)，通過面積比，得出三個角的正切值之比，根據(jù)題目條件列出方程，根據(jù)兩角和

的正切公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，求出角的余弦值.

【詳解】是VAB。的垂心,延長CO交。與點P,

設(shè)\BOC=S\，'AOC=S2，SJOB=%，

.1

p.

^-OCAP=BP:AP=(OPian^POB):(OPtanZAOP)

-OCBP

<2

=lan/BOC:lan^AOC=lan(7t-A):tan(n-B)=Ua4:tanB,

同理可得S[:S3=tanA:tanC,S,:S2:S3=tanA:tanB:tanC,

又'京+S??礪+S3衣=0,.?3”員+tan8?礪+tanC灰=0,

又。乂+2?OB+4-OC=0?..tanA:tanB:tanC=1:2:4,

不妨設(shè)tanA=ktan6=2A,lanC=4h其中攵HO,

.r(門/c八\tanfi+tanC

?.?tanA=tann-(B+C)=-tan(B+C)=------------------

1-tanfilanC

,k=一告％解得k==

當(dāng)時，此時ianA<0,ianB<0,tanC<0,則A、B、。都是鈍角,

則A+4+C>7t,矛盾.

段購tanB=2&=g=曰>0,

二.8是銳角，sinB>0,cosB>0,

sing714

于是cosB2,解得cos5=，i.

3

sin8+cos?4=1

故選：A.

21.如圖，?是以"為直徑的半圓和VAAC圍成的區(qū)域內(nèi)一動點（含邊界），若A8=4,AC=3,且AB/AC,

則P/CP3的最大值為（）

A.8B.12C.18D.24

【答案】C

【分析】利用極化恒等式，取中點化數(shù)量積為從而轉(zhuǎn)化為動點到定點的最大值問題，然后借助

圖形分兩類來求最大值，通過比較可產(chǎn)生最大值.

【詳解】

取AC中點為M,由西.定=（兩+際乂而+就）=（閑+雨）■（兩一兩）=而，一耘片.

因為AC=3,所以0,6=|戶力『

若P在VA3C圍成的區(qū)域內(nèi)一動點（含邊界），當(dāng)。與8重合時PM取到最大值,

李’

若P在以A8為直徑的半圓區(qū)域內(nèi)一動點（含邊界），

jlLlbj||<OM+2=^+4+2=1+2=1,當(dāng)尸為直線與半圓的交點時等號成立,

因為2>乂亙，

22

所以方.尸3=愀例］2_\乂?_\=18,

故而?前的最大值為18.

故選:C.

22.圖中所示一個正六邊形.已知該正六邊A6cOE”的邊長為1,點〃在其邊上運動，點?是其內(nèi)部一點（包

UlllUlltl

含邊界），則4PMC的取值范圍是.

ED

【答案】［0,3］

【分析】根據(jù)向量的共線表示以及平面向量基本定理，可表達(dá)；l|AP4C=：(3%+〃)，結(jié)合圖形特征以及數(shù)

量積的運算即可求解.

【詳解】過點C作皿±AB于M，

所以前=麗+就，且|初卜之,|祝卜立，麗=而+濟(jì)=2麗+〃MC，其中-gv/lKl,0</z<2,

4戶Ad爭++AAM'+(2+//)AMMC+i.iMC=(2+/z),

當(dāng)P點與C點重合時，不在前方向上的投影最大，此時4=1,〃=1,Q.而取得最大值為3；

當(dāng)P點與尸點重合時，此時a=-;,〃=1,即衣_|_/，故AAAC=0,取得的最小值為0；

二喬衣的取值范圍是［03.

故答案為：［0,3］.

23.如圖，在梯形ABC。中，48||CD,ABJ.AD,AB=2C￡>=4,E,尸分別為OC,。的中點，月.E尸=2，

產(chǎn)是線段A3上的一個動點.

⑴求一E4A

⑵求(樂+所)?麗的取值范圍.

【答案】吒

⑵1-216]

【分析】⑴建立坐標(biāo)系，設(shè)。（0,），。）（%>0）,表達(dá)出元=（2,%）,加=（2,哼）由淺卷=2得到

方程，求出%=2,利用平面向量夾角余弦公式求出答案；

⑵設(shè)P（M，0）（0WZ）W4）,表達(dá)出（屋+而）.雨=2（%-1>-2,結(jié)合04/44,求出

（PE+PF）PAe[-2,\6].

【詳解】（I）以A為原點，A8為x軸正半軸，AO為V軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

/\

.?.40,0）,8（4,0）,設(shè)。（0,%）（%>0）,則E（L%）,C（2,）b）,F3噂,

I乙）

又%>°,?.?%=2,：.AD=2.

K(l,2),F(3,l),AE=(1,2),"=(3,1),

AEAF=5=\

cosZ.EAF=附網(wǎng)=瓦標(biāo)=函。

又“叩為銳角'.?.㈤產(chǎn)力

MA

（2）設(shè)P（，0）（0W0g4）,.?.星=（1一%2）,瓶=（1一天,2）,

.?.在+所=(4一2%),3),雨=(一如0),

.?.(P￡+尸尸)?雨=(4-2刖3)(-%0)=(4-2%)(-/)=2片-4豌

22

=2[(X0-1)-1]=2(X0-1)-2,

V()<x0<4,(PE+PF)PAG[-2,I6].

敢型L06向量在物理中的應(yīng)用

24.已知三個力耳=(3,4),月=(2,-5),2=(3,1)同時作用于某質(zhì)點上,若對該質(zhì)點再施加一個力耳,該

質(zhì)點恰好達(dá)到平衡狀態(tài)(合力為零)，則耳=()

A.(8,0)B.(8,-8)C.(-8,0)D.(-8,8)

【答案】C

【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出耳即可.

【詳解】由題意,作用在該質(zhì)點上的三個力耳二(3,4),^=(2,-5),耳=(3,1),

則耳+耳+耳=(3+2+3,4—5+1)=(8,0).

想要該質(zhì)點恰好達(dá)到平衡狀態(tài)，只需厲=-(8,0)=(-8,0).

故選:C.

25.已知一條河的兩岸平行，一艘船從河的岸邊A處出發(fā)，向?qū)Π逗叫?，若船的速度?(九3，〃)(〃〉0),

水流速度%=(-3,0),且船實際航行的速度的大小為9,則〃?=()

512

A.3B.-C.—D.12

35

【答案】A

【分析】由平面向量加法的平行內(nèi)邊形法則可知，戶=4+%,求得力的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)求模長建立關(guān)

于沈的方程，解方程即可得解.

【詳解】

設(shè)船實際航行的速度為E則。=環(huán)+%=(〃?-3,3〃。，

乂M=9,所以J(〃L3)2+9〃P=9，解得“7=3(負(fù)值舍去).

故選：A

26.（多選）在口常生活中，我們會看到這樣的情境：兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為E，

作用在行李包上的兩個拉力分別為瓦E，且|耳卜國，耳與耳的夾角為6,則下列結(jié)論中正確的是（）

LII5

A.|同=----0B.0越小越費力，。越大越省力

2cos—

2

C.當(dāng)0=,時，園=恂D.6的范圍為［0,兀］

【答案】AC

【分析】根據(jù)向量的平行四邊形法則，由|同=|同可知平行四邊形法則為菱形，再逐?可驗證求解.

【詳解】

因為園=園，所以平行四邊形法則為菱形，故園8s?=#卜即同=一',故A正確；

C°S2

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則。越小越省力，8越大越費力，故B錯誤；

當(dāng)8=當(dāng)時，=乂AB=AO,所以為等邊三角形，即同=恂，故C正確；

JJ

若。=兀，則4+耳=0，與M+R=G矛盾，所以。H7T，故D錯誤；

故選：AC.

27.如圖，無彈性細(xì)繩。4,04一端分別固定在A,8處，在同樣的細(xì)繩OC的下端吊一重物，要保持此狀

態(tài)，對細(xì)繩的耐力性要求最高的是（三條繩本身質(zhì)量忽略不計，橫線上填0A或03或OC）.

【分析】設(shè)Q4O&OC三條繩受的力分別為工，則2+刃+2=0,根據(jù)向量加法法則和直角三角形三邊關(guān)

系得至4礪卜|麗麗卜|元］,得到答案.

【詳解】設(shè)。A。仇。。三條繩受的力分別為1瓦入則用+2=6,

4,方合力為</=4+〃，/卜。［,

如圖，在.平行四邊形A（加C中，

?.?麗_1南，叫=1網(wǎng)，

???|網(wǎng)>1網(wǎng)網(wǎng),因，

即料>W，W>|4，故細(xì)繩0A受力最大，即對0A繩的耐力性要求最高.

故答案為：0A

散型I>07向量新定義

28.（多選）設(shè)向量3,/；的夾角為巴定義ZoB=HWsin6,已知平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量加G滿足

回=血，且血-力與3的夾角為135。，則正0G的最大值為（）

A.孝+2B.*+1C.>/2+2D.V2+1

【答案】D

【分析】設(shè)〃?=.〃=O*，則84=小―〃，則△OA8中，OA=>/2>Z.OBA=—,外接園的半徑為1,設(shè)

4

AAOB=0,由正弦定理可得，4B=2sinO,O8=2sin（?-。）貝lj

比O，i=|o⑷麗|sin0=2Sq"AB-O8-sin；,利用三角恒等變換化簡，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)正=函，/；=礪，則麗=而—日，

因為「用=夜，而-G）與z；的夾角為135。,

所以△OA8中,…,"BA三，如圖所示,

%

由正弦定理得△。他外接圓的半徑為而隊;1,

則8為圓上與O,A不重合的動點，

設(shè)ZAOB=，(0<^<—),

4

由正弦定理可得，AB=2sinO,O8=2sinj孚一。

I4

則汾°”=O/\||oB|sin0=2SfOAB=AB.Omsin：

■

2夜sinOsin子一。b2&sin2sin^cos^+2sin?0

2

=sin2<9+1-cos20=\/2sin^26>--^1+1,

所以當(dāng)2夕-；=5,即。=個時，石。日取得最大值，且最大值為0+1.

故選:D.

29.令“表示全體平面向量構(gòu)成的集合，若對于任意ZeM，都存在唯一的正整數(shù)（記為/僅））與之對應(yīng),

且對任意向量維和任意實數(shù)d夕都有2/（加+加）工/。+//）+|/。-/阿，則對于集合

N={y|y=/（"）}中所含元素的個數(shù)說法正確的是（）

A.N中至少有兩個元素B.N中至少有無數(shù)個元素

C.N中至多有三個元素D.N中至多有無數(shù)個元素

【答案】C

【分析】由題意可得對任意的的線性組合對應(yīng)的值小于等于D對應(yīng)的值的最大值，目是唯一的，進(jìn)而

舉例分析求解即可.

【詳解】由2/(成+網(wǎng)4/僅)+/僅)+/(w)-/(v)=2max|/|n),/(v)|,

則f(疝+網(wǎng)4max{f(i?)J何},

即對任意的。，。的線性組合對應(yīng)的值小于等于對應(yīng)的值的最大值，且是唯一的.

若對于任意的;;eM，都有/伍/c（c為常數(shù)，且c為正整數(shù)），

滿足對任意向量3,都有/"+m）Kmax{/@/（q}=c,

此時集合'=卜},只有1個元素；

設(shè)對于7,5,對應(yīng)/（〃）="僅）=2,

任取品=疝+m,則/（可=/（加+網(wǎng)Vmax|/（w）,/（v）}=2,

由于/（可wN?，則/?何葉1,2},此時集合N有2個元素；

設(shè)對于H對應(yīng)，M）=2J（，）=3,

仟取—=ai+樂,、則/（而）=/（au+網(wǎng)<max{f（7）J（，）}=3,

由干/（可eN，，則/（可e{l,2,3},此時集合N有3個元素；

當(dāng)集合N中所含元素的個數(shù)有4個及以上時，

設(shè)"={…，々也c,d},=1）=d,且Ov…vavhvcvd,

任取』=aii+m,則/（可=/（疝+癡）4max{/（G）"僅）}=d,

當(dāng)小工人且內(nèi)。時，/（可對應(yīng)的值并不是唯一的，可以取除c,d以外的值，

因此，這種情況不滿足題意.

綜上所述，N中至多有三個元素.

故選：C.

30.（多選）已知兩個非零向量4,b的夾角為0,定義運算必不名石=|司網(wǎng)而。，若日=G，x）,人（生為）,

則下列說法正確的是（）.

1T

A.36>e0-a?h=dh

2

a^b

B.。在5上投影向量的模為

同

C.若。=(2,0),5=(-1,1),則力③5=2

D.a?b=\x,y2-x2y\

【答案】ACD

【分析】對于A,根據(jù)正弦值與余弦值的關(guān)系，結(jié)合題意，可得其正誤；對于B,根據(jù)投影向量的計算公式,

可得其正誤，對于CD,數(shù)量積的坐標(biāo)運算，求得夾角，可得其正誤.

【詳解】對于A,當(dāng)0=:時，sin0-cos0,則。＜8)方=向?網(wǎng)與116=同.|方k03。=6方，故A正確；

對于B,□在5上投影向量的模為忸|cose|,詈^雨皿工忖3或故B錯誤；

對于C,由同=2，W=JI,8s夕=百甫二八%=一孝，則sin?=￥，所以］③石=|郎］.“山夕=2,故C

正確；

對卜D,由止好丁，|*際，皿，二段首章

則sin。=\j\-CQS10=一尸卜匕一『」.

人J/22，所以一/川，故D正確.

U+)，］＜￡+$

故選：ACD.

31.已知向量Z=(X］，X),五=($,%)，定義向量的新運算：2。5=(司+弘)2-伍+%y?設(shè)向量ci=(2,-1)，

分=(-6?).若2〃萬，則,0/；=；若‘06=1,則|￡+4=.

【答案】一8而

【分析】第一空，利用向量共線求得x=3,進(jìn)而利用定義計算即可；第二空，利用定義計算可求得x.

【詳解】第一空:因為3=(2,—1),5=(-6/).a//b，所以2r-(T)x(-6)=0,解得x=3.

所以1；=(-6,3),所以ZO/；=(2-1)2-(-6+3)2=-8；

笫二空：由3。分=1,可得。0%=(2—1)--(-6+x)?=1,

解得x=6,所以B=(-6,6),又。=(2,-1),所以〃+$=(4,5),

所以1+'="6+25=歷.

故答案為：①-8；②〃7.

32.已知向量日=(x,V)與向量v=(y,2y-x)的對應(yīng)關(guān)系用y=(〃)表示.

（1）設(shè)”（2,5）,6=（2,0）,求向量/⑷及/值）的坐標(biāo)；

（2）求滿足f傳）=（42）的向量d的坐標(biāo);

（3）證明:對任意向量乙、5,均滿足/（加+5萬）=2fJ）+5f（@.

【答案】⑴/伍）=（5,8）,則=（0,-2）

⑵"（6,4）

（3）證明見解析

【分析】3）根據(jù)對應(yīng)關(guān)系計算即可；

（2）根據(jù)設(shè)乙=（x,y）,根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可得關(guān)于MP的方程組，求出其解后可得向量e的坐標(biāo)；

（3）設(shè)斤=（%方），石=優(yōu),%），根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可得了3+56）及2〃可+5/伍）后可得兩者相等.

【詳解】（1）因為4=（2,5）,所以〃/）=（5,2x5—2）=（5,8）,

因為/；=（2,0）,所以/伍）=（0,2x0-2）=（0,-2）.

（2）設(shè)乙=（X,丁），則/伍）=（y,2y-x）,

因為/傳）=（42）,則（y,2y—x）=（4,2）,即1;^=2

fx=6,/、

解得1=4因此"（64）.

（3）設(shè)斤=（N，yJ,■=（孫力），；+5石=（2芭+5%,2y+5%）,

f（%+55）=（2%+5y2,2（2y+5%）-（2$+5苛））,

又2/（司=2（%2），/與）=（2W4%-25），V（^）=（5y2J0y2-5x2）,

所以2/⑻+5/例=（2如肛一2%）+（5%,1。%一5%）

=（2y+5+2（2x+5%）一（2%+5々）），

所以對任意向量及，5,均滿足/（2〃+55）=2/（4+5/（5）.

02

核心突破提升練!

1.己知向量14=1，B=(cos8,sin。),且滿足歸+可=歸-閘,則(+叫=()

A.1B.72C.73D.V5

【答案】D

【分析】根據(jù)模長的坐標(biāo)公式以及數(shù)量積的運算律，可得答案.

【詳解】由〃=(cose，sin°),在方=Jcos?e+sin?*=1,

由|"+4=*可，則7+2涼加片=7-27石+片，即7/；=0,

所以,+24=5/，+4。力+4成=占.

故選：D.

2.’獷新考法|人臉識別就是利用計算機(jī)檢測樣本之間的相似度來識別身份的?種技術(shù)，余弦距離是檢測相

似度的常用方法.假設(shè)平面內(nèi)有兩個點4%，y)，8(與，丹)，O為坐標(biāo)原點，定義余弦相似度為

d(A,B)=cos<OA,OB>,余弦距離為1-d(A8).已知點8(0,-1),則A,B兩點的余弦距離為

()

12+63

AQr2-6D.

2222

【答案】D

【分析】利用向量數(shù)量積的定義求出夾角，根據(jù)題意計算即可.

【詳解】根據(jù)題意，)=(苧3詼=(0,-1),

則"AB"。，佟網(wǎng)=溫=號-

所以A8兩點的余弦距離為1々(48)=1{-￡|=/

故選：D.

3.獷新考法眄數(shù)/(x)=2sin(s”),>0,兩昔的部分圖象如圖中實線所示，M，N1一親0,為函數(shù)/3)

與犬軸的交點.圓M與/（M的圖象從左至右依次交于A,B,C,D,E,F六點,且8在>軸上，則下列結(jié)論

第■的是（）

IU1ULBU

B.AFBE=O

r兀

C.a）=2D.—

【答案】B

【分析】A?為圓M的百仔,可得陰IA戶判斷A：由題意可得可求得。,判斷C：利用

262

d=0,可求得。判斷C：由題意得不出8人A尸，可判斷B.

【詳解】根據(jù)的圖象以及圓M的對稱性，可得人，/;關(guān)于例對稱，且人尸為圓時的直徑，

:.BALBF,BABF=O,故A正確；

0+—

同理及，E關(guān)于M對稱,花T7tn2兀，

_3_一，?二一二—=-T=n,:.(o=亍=2

232”62

故c正確；

J兀1八兀ff兀,ryll兀?！?

vy—7=O,/.--+^=bt,^=^+-^€Z.-\（p\<-t：.（p=-t牧D正確.

\U）。J4J

由題意可得A，尸關(guān)于M對稱，B,E關(guān)于例對稱，所以4F,BE為圓的直徑，

而網(wǎng)0詢，M（?O）故面=｛率閭，

若羅.藁=0，則加=16,-今），故4卜行+今，_今），

而f（x）=2sin（2x+：）,/（-x/3+-ji=--|=2sin21-\/5+（）+三=-2sin243,

故；=sin2百，而3.4<26<4,故sin2石<0<J,故矛盾，故BE不垂直于AF,

o6

taximui

故AF-BEHO，故B錯誤.

故選：B.

4.已知。，A,8三點不共線，麗=4函+4礪，其中4，石為實數(shù)且不同時為0,則下列結(jié)論不正確

的是（）

A.若4+4=1,則A,B,P三點共線

B.若4=4=；,則點尸為VAO8的重心

C.若4倒=勾詞，則OP平分N498

D.若力網(wǎng),=4西1則91通

【答案】D

【分析】根據(jù)向量共線、三角形重心、角平分線以及向量垂直的相關(guān)性質(zhì)逐?分析選項.

【詳解】對于選項A：

因為4+4=1,所以4=1-4，

所以。戶=40注+小0月=4。底+（1—4）0月=。8+44印.

所以中一麗=麗=4旗.

所以點ARP三點共線，所以A壬確；

對干選項B：

__1__1__

OP=-OA+-OB,設(shè)A4的中點M,

33

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得函+詼=2兩，所以O(shè)P一=：O2M-.--

根據(jù)三角形重心的定義，三角形的重心是三條中線的交點，且重心分得所在線段長度為2:1,

可知點P為△AOB的重心，B正確；

對于選項C：

__k__k__

設(shè)4囪=4畫=女/工0,則0P徊OA+扇*

OAOB______

同，國分別是與O4OB同向的單位向量，以這兩個單位向量為鄰邊的平行四邊形是菱形,

菱形的對角線平分內(nèi)角，所以O(shè)P平分NAO8,所以C正確；

對于選項D：

訴;W=（4畫+4麗）（痂-網(wǎng)麗麗珂+4研.

因為4匹『=4網(wǎng)'所以喬?福=(4-4)礪礪，

因為(4-4)麗?麗不一定為o,所以所與血不一定垂直，所以D錯誤.

故選：D.

5.在矩形A8CQ中，AB=4,8C=1,點P是邊CO上的一點，且。P=3PC,則Q.而的值為.

【答案】-2

【分析】以彳反而為平面內(nèi)一組基底表示衣，而，再由向量數(shù)量積運算律訂算即可.

【詳解】由題意知經(jīng)=而+而=而+己覺=而+2病，~BP=~BC+CP=AD--DC=AD--AB,

4444

所以Q.而=j而+之前-AD--AB=AD2+-ASAB--AB2=1-3=-2.

\4y\4/216

故答案為：—2

6.'V新角度］如圖，四個功長均相等的等功二角形有一條功在同一條百線卜，功。C上有10個不同的點.

匕巴…，/，記町=福?麗(i=L2,3,…,10),若叫+，％+…+〃％=54(),則等邊三角形的邊長為.

【答案】3

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線從C的方程，將6(七，月)代入直線84c的方程，并用向量的坐標(biāo)

出〃乙=甌?麗(/.=1,2,3,…,10),和上