第03講圓的方程

目錄

01?？碱}型過關(guān)練

題型01圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型02圓的一般方程目

題型03判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

題型04圓的范圍問題屈

題型05圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值

題型06圓的軌跡問題難

02核心突破提升練

03真題溯源通關(guān)練

01

.

?？碱}型過關(guān)練

敢型

I.已知點(diǎn)A(-5,4),以3,-2),則以A6為直徑的圓的方程為()

A.(x+l)2+(3'+l)2=25B.(x+l)2+(y-l)2=25

C.(x+l)2+(>>+l)2=100D.(x+l)2+(y-l)2=100

【答案】B

【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心，利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，從而得到圓的方程即可.

【詳解】設(shè)48中點(diǎn)為。則。[二即。(Tl),

設(shè)圓半徑為r,則「二網(wǎng)△優(yōu)3-(一5)]2+[(-2)一4卜5,

22

則以A8為直徑的圓的方程為*+1)2+(y-1)2=25.

故選：B.

2.圓心在直線3x+y=。上，并且與x軸相切于點(diǎn)(7,0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一.

【答案】(x+l)2+(y-3>=9

【分析】根據(jù)直線交點(diǎn)得出圓心，再結(jié)合圓心及切線得出半徑，最后應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】由題設(shè)可知圓為直線3%->=。與x=-l的交點(diǎn)其半徑為3,

故圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l『+(y-3)2=9.

故答案為：(x+iy+(y—3)2=9.

3.圓心為點(diǎn)M(-5,3),且過點(diǎn)4-8,-1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【答案】*+5)2+0-3)2=25

【分析】由兩點(diǎn)之間的距離公式，求出圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】因?yàn)镸(-5,3),A(-所以圓半徑=-5+8『+(3+1『=5,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+5)2+()，-3)2=25.

故答案為：(x+5)2+(y-3)2=25.

4.已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A(1,T),3(-1,2),則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【答案】x2+(y+l)2=IO

【分析】先求出線段中點(diǎn)得出圓心，再應(yīng)用兩點(diǎn)間距離計(jì)算得出直徑，最后應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】因?yàn)锳(l,-4),8(-1,2),所以線段48的中點(diǎn)坐標(biāo)為(O,T)，|AB|=7(l+l)2+(2+4)2=25/10,

所以以A。,-4),8(7,2)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(Q-1),半徑為亞，

所以以A(LY)，W-1,2)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是丁+()，+])2=1().

故答案為：x2+(y+l)2=10.

散型IL02圓的一般方程

5.若圓。:/+)，2-2丁-3=0關(guān)于直線/對稱，則直線/一定過點(diǎn)()

A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(-1,2)

【答案】A

【分析】由圓的對稱軸過圓心，可求得結(jié)論.

【詳解】把圓。：/+/-2)，-3=0的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+仃_1)2=4,

所以圓C的圓心C的坐標(biāo)為(0,1),

因?yàn)閳AC:f+y2-2y-3=0關(guān)于直線/對稱，則直線/一定過圓心C(0,l).

故選:A.

6.圓心在直線丁=工上，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,l),Q(LT)的圓的方程為()

A.x2+y2-2x-2y-2=0B.x2+y2-4x-4y-2=0

C.x2+y2-2x-2y-\=0D.x2+/-4x-4>--l=0

【答案】A

【分析】由圓心在)，=工，可設(shè)圓的一般方程為丁+丁+6+3，+/=0,然后代點(diǎn)求解即可.

【詳解】解析：設(shè)所求圓的方程為/+/+以+。)，+產(chǎn)=0,

因?yàn)樵搱A過點(diǎn)P(3,l),Qd-1),

9+1+3。+。+產(chǎn)=0

所以《解得。=尸二一2,

l+l+/)-/)+F=O

故迄c

10.點(diǎn)“3M+D與圓C：a-i)2+y2=i的位置關(guān)系是()

A.M在C外B."在C上C.M在C內(nèi)D.不確定，與。的取值有關(guān)

【答案】A

【分析】根據(jù)圓心與點(diǎn)的距離與半徑的關(guān)系判斷即可.

【詳解】由圓心C(LO),例

可得照二J(a_l)2+(a+l『=右、2>72>1,

所以M在。外.

故選:A

11.已知圓C:(x—lf+(y—2)2=25,直線/：〃比一丁一2加=0,則直線,與圓。的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.與機(jī)有關(guān)，不能確定

【答案】C

【分析】根據(jù)直線方程確定定點(diǎn)，再判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，即可得直線與圓的位置，進(jìn)而確定公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】由直線/：(〃-2口一)，二0恒過定點(diǎn)4(2,0),M(2-l)2+(O-2)2=5<25,

所以點(diǎn)A在圓C內(nèi)，故直線/恒與圓C相交，故有兩個(gè)交點(diǎn)，

故選：C

12.(多選)已知圓C:(x-a)2+(y—])2=44的半徑為2,則下列說法正確的是()

A.a=\

B.點(diǎn)(1,4)在圓的內(nèi)部

C.圓。：。-9)2+()，+5)2=64與圓。外切

D.當(dāng)直線"比十)」2=0平分圓C的周長時(shí)，m=1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)圓C的半徑為「=2,求得。的值，可判定A正確；根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法，可判

定B不正確；根據(jù)圓圓的位置關(guān)系的判定方法，可判定C正確：根據(jù)“氏+)，-2=0平分圓。的周長時(shí)，得

到圓心C。1)在直線上，求得小的值，可判定D正確.

【詳解】對于A中,由圓。:(工-0)2+(k1)2=4〃的半徑為「=2,

可存產(chǎn)=4a=4,解得a=l,即(x-l)?+()—)?=4,所以AiE確；

對于B中，由(1-1尸+(4-1)2＞4,可得點(diǎn)(1,4)在圓外，所以B不正確；

對于C中，由圓O:(x—9尸+()，+5)2=64,可得圓心。(9,一5),半徑為〃=8,

又由圓。：。-1)2+()，-1)2=4的圓心。(1,1),半徑為1=2,

可得\CIJ\=7(9-1)2+(-5-1)2=\O=R+r,

即兩圓的圓心距等于半徑之和，所以兩圓相外切，所以C正確；

對「D中，當(dāng)直線/我+y-2=0立分圓C的周長時(shí)，圓心C(L1)在直線上，

可得帆+1-2=。，解得機(jī)=1,所以D正確.

故迄ACD.

散型(04圓的范圍問題

13.已知點(diǎn)4(2,4),網(wǎng)4,4),動點(diǎn)/＞滿足尸4_1〃及則|0/(。為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由小_1_必得到點(diǎn)P的軌跡方程，再由圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑可得.

【詳解】因?yàn)樗渣c(diǎn)/＞在以48為直徑的圓上，

圓的方程為(彳一3『+(丁-4『=1,

所以|。耳的最小距離為圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑，即5-1=4.

故選:B.

14.設(shè)點(diǎn)4(-1,0),4(4,0)。0,3)./＞為圓/+)，2-2尸0上一點(diǎn)，則PA,PB+PC+PCPA的最小值為

()

A.6B.4C.-8D.-10

【答案】D

【分析】令P(cos1+sin0)且J€[0,2兀),應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得PA-PB+PBPC+PC-PA

=-6cos＜9-4,即可得最小值.

【詳解】由/+),2一2)，=0,則如下圖示，

令P(cosa1+Sin6)且6w令2n),則P4=(—1一cos夕一1一sinJ),PB=(4-cos<9,-1-sin6>),

PC=(一cos0,2-sin0),

PA-PB=(-1-cos9)(4-cos^)+(-1-sin夕)(一1一sin夕)

=cos'3cos。-4+sin'8+2sin9+l

=2sin^-3cos^-2,

PB.PC=(4-cose)(-cos^)+(-1-sin^)(2-sin。)

=cos26>-4cos(9+sin26>-sin6>-2

=^cos^-sin^-l,

PC-PA=(-cos6)(-1-cos6)+(2-sin6^)(-1-sin0

=cos?。+cosO+sin?0-s\n0-2

=cos6?-sin6^-1,

所以PA-PB+PB-PC+PC-PA—2sin/9—3cos/9—2—4cos<9—sin/9—l+cos<9—sin<9—1

=-6cos，-4,

當(dāng)cos6=l時(shí)，PAPB+尸8PC+PCPA有最小值為一10.

故選：D

15.(多選)已知點(diǎn)A(-l,0),8(0,2),點(diǎn)。是圓。-1)2+/=［上任意一點(diǎn)，若工尸A8面積的最大值為。,

最小值為力，則()

A.a=2B.a=2+^-

2

C.b=2-^-D.b=^--\

22

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意可得圓的半徑以及圓心到直線兒的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)就三角形面積的最值.

【詳解】由題意知：|A5|=J(T)2+(—2)2=逐,lAB：2x-y+2=0,

且圓心坐標(biāo)為（,0）,半徑為I,

因?yàn)閳A心到直線lAn的距離d=3=生叵.

V4+1V55

所以S加8的最大值a=^^+1=：（4+石）=2+手，故A錯(cuò)誤，B正確：

4\J/J4

Sj的最小值〃有x（竽—1）=（（4—石）=2-孚，故c正確，D錯(cuò)誤；

故選：BC.

16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足（4-2）2+爐=3,則不一），的最大值和最小值之和為.

【答案】4

【分析】應(yīng)用三角換元，令X=2+GCOS。，），=75sin。，且04。<2兀，結(jié)合三角恒等變換有

x-y=2+V6cos（^+-）,即可求.

4

【詳解】由題設(shè)，令x=2+>/Jcos0,1y=6sin0,」1042兀，

所以x-y=2+A/3（COS。一sin6）=2+后cos（夕+—）,—+—,

4444

所以4一丁的最大、最小值分別為2+6、2-瓜,故它們的和為4.

故答案為：4.

17.己知實(shí)數(shù)羽y滿足方程/+./-41+1=（）,/+_/的最大值和最小值分別為和.

【答案】7+467-4x/3

【分析】丁+V表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最

小值，繼而即可求解.

【詳解】已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程爐+），2-4%+1=0,即（x-2>+y2=3,

如圖所示，V+丁表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，

由平面幾何知以知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.

圓心（2,0）到原點(diǎn)的距離為J（2-0）2+（0-0）2=2,

所以x2+j2的最大值是（2+石產(chǎn)=7+4后,

Y+丁的最小值是（2-T3）2=7-473.

故答案為：7+4百；7-4百.

散型圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值

18.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離的比值為定值2（2^1）的點(diǎn)的軌跡是

圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,3間的距

離為2,動點(diǎn)?滿足嚼=百，則的最大值為（）

A.16+86B.8+4&C.7+4右D.3+G

【答案】A

【分析】以A3的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（x,y）,A（-l,0）,B（l,0）,

由除=百，可得點(diǎn)尸的軌跡方程為（x-2）2+./=3,數(shù)形結(jié)合得解.

【詳解】以A8的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨取A（-LO）,8（1,0）.

則總S

設(shè)P(x,y),整理得"—2)2+9=3,

所以點(diǎn)P的軌跡方程為（x-2）2+，=3.

貝『十】叫2—（內(nèi)十］）2十,2+（”一］）2十）,2_2卜2十＞2十］）

X24-），2可看作圓（X-2）2+），2=3上的點(diǎn)（X,），）到原點(diǎn)（0,0）的距離的平方，

所以（/+），2）,小=（2+G）2=7+46，所以［2（f+/+］）］心=16+8后,

即儼1+|尸網(wǎng)2的最大值為16+8&,

故選:A.

19.已知復(fù)數(shù)2滿足忖=1,則|z-4+3i|的最小值是

【答案】4

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式及兩點(diǎn)之間的距離公式，將|z-4+3i|的最小值轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的

最小值，再依據(jù)圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離最小值的求法求解即可.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,依題意|z|=Jf+y2=i,即f+y2=],

其表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)的軌跡是以(0,0)為圓心，1為半徑的圓，

|z-4+3i|=|x+>i-4+3i|=|x-4+(y+3)i|=7(x-4)2+(y+3)2,

其表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(xy)到點(diǎn)(4,-3)的距離，

可得|z-4+3i|的最小值是以(0,0)為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)(4,-3)距離的最小值，

且圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離最小值的公式為d-r(d為圓心到定點(diǎn)距離)，

因此，|z-4+3i|的最小值是，(0-4)2+[0-(一3)。一1=5-1=4.

故答案為：4.

20.已知點(diǎn)P在橢圓]+?=1上，點(diǎn)。在圓W+V—2)，=0上，F(xiàn)(-l,0),則|PQ|+|P尸|的最大值為.

【答案】5+V2

【分析】將點(diǎn)Q在圓上的距離歸0的最大值轉(zhuǎn)化為圓心到。的距離加半徑，根據(jù)橢圓的定義得

\PF\=2a-\PF\t再由三角不等式1Pq-歸耳區(qū)|C￡|,即可求解.

【詳解】橢圓三+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸(一1,0)，￡。,0),長半軸〃=2,

43

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁+()，-1)2=1,所以圓心為C(0,l),半徑為1,

因?yàn)辄c(diǎn)。在圓上，所以歸。《|尸。+1,

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以|尸耳二勿一|尸￡|=4一|尸甲,

所以仍。+|建1?|PC|+l+4—|P用=|尸。一|西|+5,

22

乂|pq—|P4|4|C凰，\CFi\=>/(O-l)+(l-O)=V2,所以|尸@+仍產(chǎn)區(qū)歸。-|尸制+545+夜.

故答案為：5+V2

21.己知點(diǎn)尸是雙曲線G：［-x2=］的上焦點(diǎn)，”是G下支上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是圓C：Y+y2-4x+3=0上一

點(diǎn)，貝的最小值是.

【答案】6

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可求解.

【詳解】由圓6：爐+產(chǎn)―4x+3=0可化為。-2)2+/=1,則。2(2,0),半徑為I,

設(shè)K是C1的下焦點(diǎn)，則用0,-方)，由雙曲線定義可得|叫|=4,如圖：

所以|M目+|MN|=|M用+|同+421G用-1+4=6,乂|G6|=J?75=3,

當(dāng)且僅當(dāng)C，M0M四點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,即|ME|+|MN|的最小值是6.

故答案為：6

散型IL06圓的軌跡問題

22.已知線段AB的端點(diǎn)小的坐標(biāo)是(5,3),端點(diǎn)A在圓/+產(chǎn)=4上運(yùn)動，則線段A8的中點(diǎn)M的軌跡方程

為()

【答案】D

【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及圓的方程，可得答案.

5+a

x=-----（a~2x—5

【詳解】設(shè)A（?〃），”（蒼?。?由M為48的中點(diǎn)，則/即:二:;

?=

pF5+t?<ZV—、

由點(diǎn)A在圓/+>2=4貝11/+/=4，BP（2x-5）2+（2y-3）2=4,

化筒可得（x-g-T=L

故選:D.

23.（多選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知圓。:丁+y2=〃上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線瓜+），+3=0的

3

距離為;.設(shè)點(diǎn)A（-2,0）,8（2,0）,N（（）,4）,點(diǎn)。是圓。上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)4作8MlA。于M,則下

B.點(diǎn)”的軌跡方程為/+）1=4

C.2|QM|+|04|的最小值為2M

D.圓O上存在唯一點(diǎn)Q,使得￡Q4|+|QN|取到最小值

【答案】ABC

【分析】對于A,根據(jù)直線與圓的位置.關(guān)系可得；對于B,易得即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；

對于c,設(shè)NQAB=e,eqo卷，則cose=^,在4人。。中，根據(jù)余弦定理得|“人|=|。人|一向，再由

2|QM|+|QA|二3|QA|-21M4|=|QA|+忌22國即可得到；對于D,設(shè)|QC|=[|QA],得到點(diǎn)C,利用幾何意

義可判斷:

3

【詳解】對于A,因?yàn)閳A心。到直線的距離

乂圓O:/+),2=產(chǎn)上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線64+>3=0的距離為

3

所以r—d=；,即r=3,故A正確；

對于B,由題知3例_1_A例，所以M在以A4為直徑的圓上，

所以點(diǎn)M的軌跡方程為爐+丫2=4,故B正確；

對于C,設(shè)=則cos?:幽，

.2」4

在aA。。中，|OQr=QM+|Q八『一2|。川Q.COS。，

即9=4+\QA^-\QA\\MA\=心|=3一贏

又2|QM|+|04|=2(|QA|+|明=3|QA|-21M4|

=3|例-2"例-向上|例十而N2函，

當(dāng)例=蒜二可，即|M4|=萼,cos9=嚕時(shí)取等，故C正確；

對于D,設(shè)在x軸上.一點(diǎn)C(a,0),使

乙

所以(…)2+)，2=笠(、+2)2+再，整理得f+丁+99+鞏=4(/9)

455

又點(diǎn)Q在圓O：f+V=9h,

4（9+2〃）=0

5解得°=4，

所以?

此為9

、5

3

則^\QA\+\QN\=\QC\+\QN\<|CN],當(dāng)QCN三點(diǎn)共線時(shí)取等,

36

又占：8x-9y+36=0,原點(diǎn)到直線lCN的距離d=~^==<3,

所以，如圖符合題意的點(diǎn)。有兩個(gè)，故D錯(cuò)誤;

24.(多選)已知人一2,0),4(6。,力(2,2),點(diǎn)/＞滿足相=；,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,。為坐標(biāo)原點(diǎn),

則下列說法正確的是()

A.過點(diǎn)4作曲線。的切線，切線長為6夜

B.當(dāng)A及「三點(diǎn)不共線時(shí)，ZAPO=/BPO

C.在C上存在點(diǎn)使得|囤二2|他4|

D.|冏+3|PQ|的最小值為2日

【答案】AB

\PA\1

【分析】設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)扁二§可求得動點(diǎn)軌跡方程，A選項(xiàng)，構(gòu)造直角三角形，即可求得切線長；B

選項(xiàng)可知尸。是內(nèi)角/AP8的角平分線，即可得出結(jié)論：C選項(xiàng)，可以求得動點(diǎn)M的軌跡，判斷兩

曲線的位置關(guān)系來判斷是否存在；D選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)和最小可以求解.

\PA\1J(x+2?+y2?

【詳解】設(shè)戶點(diǎn)坐標(biāo)為a，y),由島二彳，則丁.二不化簡得

l?l3斗/j)一2+),23

A-2-i-/+6x=0,所以動點(diǎn)軌跡是以C(-3,0)為圓心，r=3為半徑的圓.

A選項(xiàng)，過點(diǎn)8作曲線。的切線，切線長為府與=6應(yīng)，A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，當(dāng)A8,尸三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線定理可知，PO是內(nèi)角NA總的角平分線，所

以ZAPO=N8PO.故B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，因?yàn)閨MO|二2|M4|,設(shè)則產(chǎn):;、=2,化簡得軌跡為（工+3?+丁=￡,所以動點(diǎn)時(shí)

y］（x+2y+y-39

84

的軌跡為圓心G（-.,0），半徑為弓=鼻的圓，圓心距

JJ

|CG|=；<|一訃所以兩圓位置關(guān)系為內(nèi)含，所以在C上不存在點(diǎn)M，使得|MO|=2|M4|,故C錯(cuò)誤.

PA1I----------------

D選項(xiàng)，因?yàn)樵佟?］，所以|咫+3|明一3|%+3|*=3（|朝十|加|）t3|A￡>|=3，（—2—2）2十（0—2）2=6的,

故D錯(cuò)誤.

故選:AB.

25.已知過點(diǎn)*-1』）的直線/與圓C"2+）,2+6x=o交于M,N兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)。的軌跡方程

為?

（2

【答案】0+2尸+y1'A=-c

【分析】設(shè)點(diǎn)Q（x,y）,當(dāng)RQ不建合時(shí)，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，利用垂直建立方程求解即可得解，當(dāng)尸.。重

合時(shí)，代入檢驗(yàn)即可.

【詳解】由直線，過點(diǎn)尸（一1,1）,圓。：x2+），2+6x=0可知，圓心。為（一3,0）,

設(shè)點(diǎn)Q（K,y）,

由題意可知，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)P不重合時(shí)，CQSQ,則CQPQ=（x+3,），>（x+l,y-l）=0,整理得

/I\2<

d+），2+4%—），+3=o,即（工+2y+y一一二—,

<2）4

此時(shí)點(diǎn)Q的軌跡為圓*+2）2+卜=；但不包括點(diǎn)P（-l,l）.

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)/）重合時(shí)，其坐標(biāo)滿足方程（X+2）2+（），-g=（.

綜上，點(diǎn)Q的軌跡方程為（x+2）2+（y-J］=-.

V2）4

（\\25

故答案為：（x+2）2+y--=-

<2）4

02

核心突破提升練!

1.過點(diǎn)（。,-3）與圓V+）,2-41=0相切的兩條直線的夾角為a,則tana=（）

6八12「4n12

A.—B.—C.-D.—

51355

【答案】D

【分析】由圓切線的性質(zhì)及已知求得3^=：，再由二倍角正切公式求值.

【詳解】化/+丁―4x=0為（X-2）2+V=4,圓心為（2,0）,半徑為2

所以點(diǎn)（。,-3）到圓心的距離為亞方=V13，則切線長為713^4=3，

ca4

.2tan——12

所以tan[=w，則tana=-----^-=—^y=—

231-tan2-1--5

29

故選:D

2.兩個(gè)圓C[：f+y2+2ar+/-4=0（aeR）與。2：x2+9一物-i+從=。僅^R）恰有三條公切線，則

的最小值為（）

A.3&B.-3x/2C.6D.-6

【答案】B

【分析】由題意得兩圓外切，圓心距等于半徑之和，再利用基本不等式，即可求得的最小值.

【詳解】圓C]：%2+9+2辦+.2一4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x+a）?+y2=4；

圓G：犬+尸-2力-1+。2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程Y+（y-b）-=1,

由千圓C）與圓G恰有三條公切線，

???兩圓外切，

/.\a2+b2=3，得a2+b~=9,

2

/+b>2ab（當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)等號成立），

（￡7+Z>）2-2ab=a~+b2=9,

:.(a+bY=9+2"W9+9=18,

.\-3>/2<f/+Z?<3x/2.

/.Q+〃的最小值為-3狡，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-y/3時(shí)取最小值.

故選:B.

3.已知圓+9-21+〃7)，+1=0(〃蚱2的面積被直線工+2)，+1=()平分，圓C2：(x+2>+(y—3)2=25,

則圓C1與圓G的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

【答案】B

【分析】由題意可得圓心C1位于直線x+2y+l=0上，根據(jù)圓的方程寫出圓心與半徑，結(jié)合圓與圓的位置，

可得答案.

【詳解】?圓G：W+)3-2x+nry+1=0(/?/wR)關(guān)于直線x+2y-l=0對稱，

圓心G1,-在直線x+2.y+l=0卜.，/.1—/?+1=0.m=2?

.?.圓G：f+),2—2x+2y+l=0,B[J(x-l)2+(y+l)2=l,圓心為C[l,-1),半徑為4=1.

圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程是(％+2)2+(y-3)2=25,圓心G(-Z3),半徑1=5,

所以57Vlec|=J(_27『+(3+1)2=5<5+1,

所以圓C1與圓G的位置關(guān)系是相交.

故選：B.

4.‘/新角度|過雙曲線?*=1的右支上一點(diǎn)P，分別向C)G：*+4f+>2=3和CG:(1)、V=]作切

線，切點(diǎn)分別為M,N,則(PM+/W).NM的最小值為()

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，且雙曲線左右焦點(diǎn)為兩圓圓心，連接應(yīng)用勾股

定理及雙曲線定義及已知確定相關(guān)線段和差最值，即可求結(jié)果.

【詳解】由雙曲線方程?一著=1可知：a=2,b=2區(qū)c=*=4

可知雙曲線方程的左、右焦點(diǎn)分別為￡（y0）,馬（4,0）,

圓G：（x+4）2+），2=3的圓心為。（-4,0）（即入），半徑為/;=布;

圓G：（x—4）2+V=l的圓心為G（4,0）（即尸2），半徑為弓=i

連接尸耳，尸心，片M./^N,plljMF}1PM,NF2±PN

可得

（P^+P/V）MW=（PM+P^）（^-P^）=|PM|2-|p/v|2=（|P/;；|2-zj2）-（|Pf；|2-7；2）

=（附「-3）-（附f_i）=|pK「_p瑪片2=（附|—|P段）.（閥|+|P段）—2

=MM+I%）-2之2止2<?-2=2x2x2x4-2=30,

當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號，即（PM+PN）-NM的最小值為30.

故選:B.

5.（多選）'V新考法|已知A（T0），8（4,0）,動點(diǎn)C滿足|C4|二3|CW記。的軌跡為①若過點(diǎn)A的直

線與。交于/>,Q兩點(diǎn)，直線8P與C的另外一個(gè)交點(diǎn)為M,則（）

A.APA"的面積的最大值為12

B.Q,用關(guān)于x軸對稱

C.當(dāng)/PM。：1時(shí)，|PQ|=2&

D.直線AC的斜率的取值范圍為-坐，坐

44

【答案】ABD

【分析】利用給定定義得到C的軌跡并結(jié)合三角形面積公式判斷A,利用角平分線定理逆定理結(jié)合對稱性

判斷B,利用圓周角和圓心角以及垂徑定理判斷C,先求出直線和圓相切時(shí)的斜率情況，再求解取值范圍判

斷D即可.

【詳解】設(shè)C(x,y),由|C4|=3|CB|可得，

2

J(%+4)2+y2=3，(x-4)2+y2,g|J(x-5)+/=9,

所以C的軌跡。是以(5,0)為圓心.3為半徑的圓，記圓。的圓心為S,半徑為

對于A選項(xiàng)，(S.)a=；MM/=；x8x3=12,選項(xiàng)人正確；

乙乙

對于B選項(xiàng)，如圖，圓C關(guān)于x軸對稱，A(-4,0),8(4,0)在工軸上，

直線A"與圓。交于一尸，Q兩點(diǎn)，直線8P與圓C交M兩點(diǎn),

由題可知|%=3|罔,網(wǎng)=3網(wǎng)

\PA\|M4|

由角分線定理逆定理得局=隔=3故=

又根據(jù)圓的對?稱性可知，Q,M關(guān)于犬軸對稱，選項(xiàng)B正確；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)NPMQ二方時(shí)，ZP5(2=y,

而|S0=|"|=3,則&PSQ為等腰三角形，

過S作SO_LPQ于。，則NPSO=』NPSQ=2,

23

則|PQ|=3x#=半，由垂徑定理可得0。=2|叫=36，選頃C錯(cuò)誤;

對rD選項(xiàng)，當(dāng)直線AC與圓Q相切時(shí)，連接5T,

得到AC_LSC,此時(shí)|AS|=9,Q|=3,由勾股定理得|AC|=6啦,

3班

由銳角三角函數(shù)的定義得tanZCAS=懣=丁

由斜率的幾何意義得此時(shí)直線AC的斜率為去

根據(jù)圓的對稱性可知,

得到直線AC斜率的取值范圍為卜￥，￥]‘選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

03

1.（2025?全國一卷?高考真題）若圓/+（丁+2）2=產(chǎn)（/>0）上到直線尸4+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2

個(gè)，則r的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,3）C.（3,+QO）D.（0,+oo）

【答案】B

【分析】先求出圓心E（0,-2）到直線），=3+2的距禽，然后結(jié)合圖象，即可得山結(jié)論.

【詳解】由題意，

在圓/+（、，+2）2=，（,>0）中，圓心石（0,-2）,半徑為「，

到直線y=6r+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，

|0xV3-（-2）xl+2l

?.?圓心儀0,-2）到直線沖底+2的距離為：d=j（可（1J=2,

當(dāng)r=l時(shí),

圓V+（y+2）2=，&>（））上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（A點(diǎn)）到直線），=島+2的距離等于1；

當(dāng)r=3時(shí)，

圓一+（產(chǎn)2）2=,什>0）上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（8C。點(diǎn)）到直線），=61+2的距離等于1；

當(dāng)則「的取值范圍為（1,3）時(shí)，

圓一+（丫+2）2=/（〃>0）上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線y=>/3xi2的距離等于1.

故選：B.

2.（2024?北京?高考真題）圓/+），2-入+6），=0的圓心到直線.—嚴(yán)2=0的距離為（）

A.及B.2C.3D.3&

【答案】D

【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.

【詳解】由題意得。+產(chǎn)-2彳+67=0,BP（x-l）2+（y+3）2=10,

|1-（-3）+2|廠

則其圓心坐標(biāo)為（1,-3）,則圓心到直線x—y+2=0的距離為"+（']f=312.

故選：D.

3.（北京?高考真題）若直線2x+y-1=0是圓（x-af+），2=i的一條對稱軸，則〃=（）

A.；B.----C.1D.—1

22

【答案】A

【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解.

【詳解】由題可知圓心為（。,。），因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即為+0-1=0,解得〃=g.

故選：A.

4.（湖南?高考真題）圓/+/一44-4），-10=0上的點(diǎn)到直線x+）；-14=0的最大距離與最小距離的差是（）

A.36B.18C.5夜D.6夜

【答案】D

【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑，判斷直線與圓的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】解：因?yàn)閳Ad+）/一44一4y一10=0,即（工一2丫+（y-2y=18.

所以圓心坐標(biāo)為（2,2）,半徑r=3&，

因?yàn)閳A心到直線x+y-14=0的距離d=口：2…=5上＞3&,

V12+12

所以直線x+)『14=0與圓(x_2y+(y_2)2=18相離，

所以圓爐+),2_敘-4)，-10=0上的點(diǎn)到直線工+)，-14=0的最大距離與最小距離的差為

(tZ+r)-(J-r)=2r=6^2,

故選：D.

5.(上海?高考真題)已知圓(x+l)2+./=1和圓外一點(diǎn)P(0,2),過點(diǎn)P作圓的切線，則兩條切線夾角的正

切值是.

【答案】|4

【分析】根據(jù)題意作出示意圖，易知圓*+1)2+丁=1和)，軸相切于原點(diǎn)，利用平面幾何知識和直角三角形、

二倍角公式進(jìn)行求解.

【詳解】易知圓。+1)2+)，2=1的圓心為4(_］,0),半徑/=］,

且該圓和y軸相切，切點(diǎn)為原點(diǎn)0,連接外,設(shè)乙針。=。，

則兩條切線的夾角為20,tan。=黑=\tan20=」tan。

PO21-tarr。3

即兩條切線夾角的正切值是不4

4

故答案為：—.

6.(全國乙卷?高考真題)過四點(diǎn)(。，0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

【答案】(4-2『+()，-3)2=13或(x-21+(y-l)2=5或1-3)+y-g)=蔡或［一^)+(y-1)2

【分析】方法一：設(shè)圓的方程為犬+產(chǎn)+加=+小一尸=0,根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；

【詳解】［方法一］:圓的一般方程

依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dr-Ey+F=(),

F=0F=0

(1)若過(0,0),(4,0),(-1,1),則16+4。+產(chǎn)=0解得。=-4,

l+l-D+E+F=0E=-6

所以圓的方程為丁+f-4x-6y=。，即（％-2『+（丁—3）2=13:

F=0尸=0

(2)若過(0,0),(4,0),(4,2),則16+4。+產(chǎn)=。解得《。=—4,

16+4+4O+2E+尸=0E=-2

所以圓的方程為f+)，2—4x—2y=0,BP(x-2)2+(y-l)2=5；

F=0

F=0

Q

(3)若過(0,0),(4,2),(-1J),則1+1-。+e+尸=0解得。=-§,

16+4+4Q+2E+尸=0