練案67離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差

6A組基礎(chǔ)鞏固9

一、單選題

1.(2024.陜西西安八校聯(lián)考)已知某隨機(jī)變量X的分布列如圖表，則隨機(jī)變

量X的方差。(X)=()

X02040

pm2mm

A.120B.160

C.200D.260

C

［解析］由題可知m+2加+機(jī)=1,解得機(jī)=不貝！JE(X)=0x"z+40"z+40m=

80m=20；故D(X)=|(0-20)2+1(20-20)2+1(40-20)2=100+0+100=200.

選C.

2.(2025?浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所

示，則E(2X+1)=()

X123

11

Pa

36

1111

A-TB.

1422

c.-yD.-y

C

［解析］由分布列可得g+a+t=l,解得a=T，則E(X)=lxg+2xT+3xt=

1114

y,所以E(2X+1)=2E(X)+1=7.故選C.

3.(2023?江蘇鎮(zhèn)江一中階段練習(xí))若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=

0)=g,E(X),D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

2

C.D(3X+2)=4D.D(X)=g

C

1?

［解析］隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=O)=］,.?.P(X=1)=1,E(X)

172

=0x^+1x^=3,D(X)=錯(cuò)誤!2x錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!2x錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，在A中，尸(X=l)

=E(X),故A正確；在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=4,故B正確；在C中，

2?

D(3X+2)=9D(X)=9x-=2,故C錯(cuò)誤；在D中，故D正確.故選C.

4.(2023?山東棗莊模擬)口袋中裝有編號分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀完全

相同的小球，從中任取2個(gè)球，記取出的球的最大編號為X,則。(X)=()

24

--

99

AC.B.

28

D.-

3

27

A

［解析］由題意，X可能取值為2,3,

X=2包含事件為取出的兩個(gè)球?yàn)?,2,

所以尸(X=2)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，

X=3包含事件為取出的兩個(gè)球?yàn)?,3或2,3,

所以尸(X=3)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，

1,28

E(X)=2x-+3x-=-,

D(X)=gx錯(cuò)誤!2+錯(cuò)誤!x錯(cuò)誤!2=錯(cuò)誤!.

錯(cuò)誤!.

故選A.

5.近年來中國人工智能產(chǎn)業(yè)爆發(fā)式的增長，推動(dòng)了AI電商行業(yè)的快速發(fā)展,

已知2020—2023年中國AI解決方案提供商企業(yè)數(shù)量分別為1617,2106,2329,

2896,從這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，當(dāng)所取兩個(gè)數(shù)字差的絕對值小于500時(shí),

隨機(jī)變量乂=/當(dāng)所取兩個(gè)數(shù)字差的絕對值不小于500時(shí)，隨機(jī)變量X=l,則

E(X)=()

.115

A-12B-6

C-D

J4-2

B

［解析］從這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，結(jié)果有6種，

|1617-2106|=489,|1617-2329|=712,

|1617-2896|=1279,|2106-2329|=223,

|2106-2896|=790,|2329-2896|=567,

所取兩個(gè)數(shù)字差的絕對值小于500的結(jié)果有2種，

故P錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，不小于500的結(jié)果有4種，故P(X=1)=錯(cuò)誤!，

1175

所以E(X)=5Xa+lXQ=z，故選B.

6.(2025?四川成都石室中學(xué)模擬)4、3兩位同學(xué)各有2張卡片，現(xiàn)以投擲均

勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面向上時(shí)A贏得3一張卡片，否則5贏得A

一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止，那么恰好擲完6次硬幣時(shí)游

戲終止的概率是()

A-16B-32

CD且

J816

C

［解析］設(shè)A贏得3卡片為事件A,5贏得A卡片為事件3,依題意，在第

6次硬幣投擲時(shí)游戲結(jié)束，如果是A贏了5的卡片，則必然是以下4種情形中的

一種：ABABAA,ABBAAA,BABAAA,BAABAA；如果是3贏得了A的卡片，則

必然是以下4種情形中的一種：BABABB,BAABBB,ABABBB,ABBABB,所以

第6次投擲硬幣游戲結(jié)束的概率為錯(cuò)誤!6x2x4=錯(cuò)誤!，故選C.

7.(2024.河南南陽一中開學(xué)考)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，

直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為蜃則E(0=()

7

A.3B.2

B

［解析］由題意知，。的可能取值為2,3,4,其概率分別為尸（。=2）=錯(cuò)誤!=

擊，尸（4=3）=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，尸（4=4）=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，所以E（J=2x錯(cuò)誤！+3x錯(cuò)誤!

+4乂忘=自故選B.

二、多選題

8.（2025?河南調(diào)研）隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，記3次擲出的點(diǎn)數(shù)

之積為X,擲出的點(diǎn)數(shù)之和為匕則（）

A.事件“X=2”和“丫=4”相等

B.事件“X=4”和“Y=6”互斥

C.X為奇數(shù)的概率為:

53

D.r<i7的概率為石

ACD

［解析］事件“X=2”和“y=4”都相當(dāng)于擲出兩個(gè)1點(diǎn)和一個(gè)2點(diǎn)，故A正確；

事件“X=4”和“y=6”都包含擲出兩個(gè)1點(diǎn)和一個(gè)4點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；X為奇數(shù)等價(jià)

于“3次擲出的點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)”，因此其概率為錯(cuò)誤!3=錯(cuò)誤!，故C正確；事件

“K17”的對立事件為“y=17或1=18",P（y=18）=錯(cuò)誤!3=錯(cuò)誤!,P（〈=17）=C

4錯(cuò)誤!3=錯(cuò)誤!，因此尸（y<17）=l一錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，故D正確.故選ACD.

9.（2024.廣東五粵名校聯(lián)盟聯(lián)考）設(shè)Ogt,隨機(jī)變量X的分布列如下所示,

則下列說法正確的有（）

X012

1]—P1+p

P

424

A.E（X）恒為1

B.E（X）隨p增大而增大

C.D（X）恒為;

D.D（X）最小值為0

AC

［解析］因?yàn)?+〒+字=1,解得2=0,

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X012

111

P

424

因?yàn)镋(X)=0x/+1X；+2x/=1,

E(X)恒為1,故A正確，B錯(cuò)誤；

D(X)=(0-1)2X1+(1-1)2X|+(2-1)2X1=1+|=|,

故C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.

三、填空題

10.一袋中裝有5個(gè)球，編號為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取出3球，以X表示

取出的三個(gè)球中的最小號碼，則E(X)=.

3

2

［解析］隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,

P(X=D=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，

P(X=2)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，

P(X=3)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

3313

.*.￡(^)=lx-+2x—+3x—=-

11.(2023?吉林質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為

X012

P22

33

則X的數(shù)學(xué)期望的最小值是.

1

2

［解析］￡(&=0或+1或+2乂錯(cuò)誤!=2一2,

又V1>2>0,1>1—^>0,<*.0</?<|.

331

???當(dāng)尸=1時(shí)，EQO的值最小，E(X)=2—2=2.

12.(2025?湖南長沙月考)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體切割為125

個(gè)同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面

數(shù)為X,則X的均值E(X)=.

6

5

[解析]X的所有可能取值為0,1,2,3,大正方體8個(gè)頂點(diǎn)處的8個(gè)小正方體

涂有3面油漆；每一條棱上除了兩個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體外剩余的都涂有兩面油

漆，所以涂有兩面油漆的有3x12=36個(gè)；每個(gè)表面去掉四條棱上的16個(gè)小正方

體，還剩9個(gè)小正方體，這9個(gè)都是一面涂漆，所以一共有9x6=54個(gè)小正方體

涂有一面油漆；剩余的125—(8+36+54)=27個(gè)內(nèi)部的小正方體6個(gè)面都沒有

涂油漆，所以P(X=]25，PQ'—1)=]25，P(X—2)=]25'P(X=3)=]25，E(X)

=0xP(X=0)+lxP(X=1)+2xP(X=2)+3xP(X=3)=Ox累+lx祺+2x黑+

8_150_6

3X125-T25-5-

13.(2024.湖南三湘名校教育聯(lián)盟、湖湘名校教育聯(lián)合體聯(lián)考)小明準(zhǔn)備用9

萬元投資A,3兩種股票，已知這兩種股票的收益獨(dú)立，且這兩種股票的買入價(jià)

都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示.若投資A種股票。萬元，則小

明兩種股票的收益期望和為萬元.

收益X/元-103

概率0.30.20.5

收益17元-34

概率0.40.6

10.8

［解析］E(X)=-1x0.34-0x0.2+3x0.5=1.2；E(Y)=-3x04+4x0.6=1.2.若

投資A股票。元，則投資3股票90000—。元，E(a&+E［(90000—07］=aE(X)

+(90000-a)E(K)=90000x1.2=108000,即小明兩種股票的收益期望和為10.8

萬元.

四、解答題

14.(2024.九省聯(lián)考試題)盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次

取出3個(gè)小球.

(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

［解析］(1)記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件先確定3個(gè)不

同數(shù)字的小球，有C?種方法，

然后每種小球各取1個(gè)，有?xC3x◎種取法，

所以尸(M)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

(2)由題意可知，X的可能取值為1,2,3,

當(dāng)X=1時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為1的小球、有兩個(gè)數(shù)字為1的

小球，

所以P(X=1)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!；

當(dāng)X=2時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為2的小球、有兩個(gè)數(shù)字為2的

小球，

所以尸(X=2)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤??；

當(dāng)X=3時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為3的小球、有兩個(gè)數(shù)字為3的

小球，

所以P(X=3)=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!,

所以X的分布列為

X123

921

P

14714

92110

所以E(X)=lx—4-2x-+3x—=y.

15.(2024.安徽安慶、池州、銅陵三市聯(lián)考)為發(fā)展體育運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),

甲乙兩班各5名同學(xué)進(jìn)行羽毛球友誼賽，每人至多參加一場比賽，各場比賽互不

影響，比賽勝者本班獲得相應(yīng)積分，負(fù)者班級積分為0,其中甲班5名參賽學(xué)生

的情況如下表：

學(xué)生ABCDE

獲勝概率0.40.50.60.70.8

獲勝積分87654

⑴若進(jìn)行5場比賽，求甲班至多獲勝4場的概率；

⑵若進(jìn)行3場比賽，依據(jù)班級積分期望超過10為參賽資格，請問甲班BCD

三人組合是否具有參賽資格？請說明理由.

［解析］（1）記學(xué)生A,B,C,D,E參賽獲勝事件分別用Mi,M2,M3,航4,

“5表示，

5場全勝的概率為

P（航般3M4M5）=0.4x0,5x0.6x0.7x0,8=0.0672,

甲班至多獲勝4場與5場全勝為對立事件，

故甲班至多獲勝4場的概率為

P=1—2M3“4M5）=1-0.0672=0.9328,

甲班至多獲勝4場的概率為0.9328.

（2）記BCD三人組合班級得分為Y,

丫的取值分別為0,7,6,5,11,12,13,18,

由已知得

P（y=0）=0.5x0.4x0.3=0.06,

P（y=7）=0.5x0.4x0.3=0.06,

P（y=6）=0.5x0.6x0.3=0.09,

P（y=5）=0.5x0.4x0.7=0.14,

P（y=11）=0.5x0.6x0.7=0.21,

P（y=12）=0.5x0.4x0.7=0.14,

P（y=13）=0.5x0.6x0.3=0.09,

P（y=18）=0.5x0.6x0.7=0.21,

E（Y）=0x0.06+7x0.06+6x0.09+5x0.14+11x0.21+12x0.14+13x0.09+

18x0.21=10.6,

因?yàn)镋（K）=10.6>10,

所以BCD三人組合具有參賽資格.

B組能力提升9

1.(2025?四川巴中診斷)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表

X01234

P0.10.2m0.20.1

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=2x+i,貝ij()

A.m=0.4

B.E(X)=2,D(X)=1.2

C.E(Y)=3,D(Y)=3.4

D.E(Y)=5,D(Y)=4.8

ABD

［解析］由離散型隨機(jī)變量X的分布列性質(zhì)可得m=l—0.1~0.2—0.2—0.1

=0.4,A正確;E(X)=OxO.l+lxO.2+2xO.4+3xO.2+4xO［=2,D(X)=(O—2)2x0］

+(1-2)2x0.2+(2-2)2X0.4+(3-2)2x0.2+(4-2)2x0.1=1.2,B正確；由于Y=

2X+1,故E(D=2E(X)+1=5,D(y)=4D(X)=4.8,C錯(cuò)誤，D正確.故選ABD.

2.(2024.天津部分區(qū)聯(lián)考)盒子里有大小和形狀完全相同的4個(gè)黑球和6個(gè)

紅球，每次從中隨機(jī)取一個(gè)球，取后不放回.在第一次取到黑球的條件下，第二

次取到黑球的概率是;若連續(xù)取2次球，設(shè)隨機(jī)變量X表示取到的黑

球個(gè)數(shù)，則E(X)=.

14

35

4

［解析］設(shè)第一次取到黑球?yàn)槭录嗀,第二次取到黑球?yàn)槭录﨎,則P(A)=正

2432PAR

=三，P(AB)=77：X-=—,所以p(3H)=-^-=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!；由題意可得X的取

值為0,1,2,尸(X=0)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，P(X=1)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，P(X=2)=錯(cuò)誤！=

21824

*.".E'(X)=0x-4-lx—+2x—=-

3.(2025?山東青島調(diào)研)甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一

方猜對且另一方猜錯(cuò)，則猜對的一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動(dòng)中，甲、

乙猜對的概率分別為彝吟且每次活動(dòng)甲、乙猜對與否互不影響，各次活動(dòng)也互

不影響.

(1)求在一次猜謎活動(dòng)中，有一方獲勝的概率；

(2)若有一方獲勝則猜謎活動(dòng)結(jié)束，否則猜謎繼續(xù)，猜謎最多進(jìn)行3次，求

猜謎次數(shù)X的分布列和期望.

［解析］(1)設(shè)甲猜對為事件A，乙猜對為事件3,

事件AW表示第一輪活動(dòng)中只有1人猜對，且事件N3與A~B互斥,

一一1

貝UP(AB)=P(A)xP⑻=4,

———1

P(AB)=P(A)xP(B)=2-

P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=1,

即有一方獲勝的概率為今

(2)由題意X的可能取值為1,2,3,

所以尸(X=1)=T，P(X=2)=|x1=^,

111

X-=------

p(3)244

所以分布列為

XI23

III

P

244

1117

所以E(X)=lx-+2x-+3x-=-

4.(2024.江蘇南京市、鹽城調(diào)研)春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商

超策劃了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，計(jì)劃如下：有A、3、C三個(gè)抽獎(jiǎng)項(xiàng)目，它們之間相互不影

響，每個(gè)項(xiàng)目每位顧客至多參加一次，項(xiàng)目A中獎(jiǎng)的概率是小項(xiàng)目3和C中獎(jiǎng)

的概率都是W2

⑴若規(guī)定每位參加活動(dòng)的顧客需要依次參加A、B、C三個(gè)項(xiàng)目，如果A、B、

C三個(gè)項(xiàng)目全部中獎(jiǎng)，顧客將獲得100元獎(jiǎng)券；如果僅有兩個(gè)項(xiàng)目中獎(jiǎng)，他將獲

得50元獎(jiǎng)券；否則就沒有獎(jiǎng)券.求每位顧客獲得獎(jiǎng)券金額的期望；

(2)若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)項(xiàng)目.已知某顧客中獎(jiǎng)

了，求他參加的是A項(xiàng)目的概率.

［解析］(1)設(shè)一位顧客獲得X元獎(jiǎng)券，則X的可能取值為100,50,0,

1221

P(X=IOO)=P5*=芯，

1233

尸(*=50)=不＜(2權(quán)于＜5+不＜錯(cuò)誤!2=錯(cuò)誤!,

1618

P(x=o)=i—=芯，

所以每位顧客獲得獎(jiǎng)券金額的期望是E(X)=100x^+50x卷+0=16(元).

(2)設(shè)“該顧客中獎(jiǎng)”為事件參加項(xiàng)目A,B,C分別記為事件M,Ni,N3,

則

31112127

P(M==3X4+3X5+3X5=20^

l=1

PNiMPNiPMINi

：.P(Ni\M)=PM=~PM=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，

即已知某顧客中獎(jiǎng)了，則他參加的是A項(xiàng)目的概率是寺.

■C組拓展應(yīng)用(選作)9

(2024.新課標(biāo)n卷)某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，

比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，

則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.