第1章勾股定理（基礎(chǔ)篇）

、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.9,16,25B.0.3,0.4,0.5C.1,3,2D.7,24,25

2.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1）,點(diǎn)A,B,C在格點(diǎn)

上，連接AB,AC,BC,則AABC的形狀是（）

B

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法確定

3.已知，如圖長(zhǎng)方形ABC。中，AB=3cm,AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)2

重合，折痕為ER則BE的長(zhǎng)為（）

A.6cmB.9cmC.4cmD.5cm

4.如圖，若圓柱的底面周長(zhǎng)是14cm,高是48cm,從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲

線到頂部5處，則這條絲線的最小長(zhǎng)度是（）

A.49cmB.50cmC.54cmD.64cm

5.如圖，直線上有三個(gè)正方形，若a,c的面積分別為5和H,則b的面積為（）

A.55B.16C.6D.4e

6.如圖，這是用面積為18的四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”.如果大正方形

的邊長(zhǎng)為9,那么小正方形的邊長(zhǎng)為（）

C.3D.4

7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，記載著這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其

中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”大意是：有一個(gè)水池，水

面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根

蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別

是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為x尺，則可列方程為（）

A.x2+52=（x+1）2B.x2+102=（x+1）2

C.x2-52=（x-1）2D.x2-102=（x-1）2

8.我圖古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有方池一丈，葭生其中央，

出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深幾何？（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺）

意思為：如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形水池，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1

尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面.則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)

度是（）

10尺C.12尺D.13尺

9.如圖，一個(gè)梯子長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B離墻角C的距

離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上了，測(cè)得出）長(zhǎng)為0.9米，則梯子頂端A下滑（）.

A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.2米

MeEDN

B

A.2B.3.3C.2.5D.2.8

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.中，三邊分別是a,b,c,斜邊片3,則次+62+C2的值為.

12.如圖，在△ABC中，NACB=90。，以它的三邊為邊分別向外作正方形，面積分別

為Si,S2,S3,己知S/=5,$2=12,則S3=.

13.已知AABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,則AABC的面積是cm2.

14.勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.觀察下列

勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股

相差為1,柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,

17；若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為2機(jī)（機(jī)之3,加為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含機(jī)的

式子表示）.

15.如圖，在RdABC中，ZC=90°,若A8=7,則正方形ADEC和正方形BCFG的面

積和是?

16.明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西

江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代

文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于。點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度

為一尺（AC=1尺）.將它往前推進(jìn)兩步（班，0C于點(diǎn)E,且質(zhì)=10尺），踏板升高到點(diǎn)

B位置,此時(shí)踏板離地五尺（8O=CE=5尺），則秋下繩索（OA或。8）長(zhǎng)______尺.

18.一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風(fēng)吹來(lái)，蘆葦?shù)捻敹恕?/p>

恰好到達(dá)水面的C處，且C到80的距離AC=6米，水的深度（A8）為米

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

19.（8分）如圖，在中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B

出發(fā)，以2cm/秒的速度沿3c移動(dòng)至點(diǎn)C,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

（1）求8C的長(zhǎng)；

⑵在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻t,使得點(diǎn)尸到邊A3的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C

的距離相等？若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（8分）觀察下列勾股數(shù)3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；...；a、b、

c.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問(wèn)題：

21.（10分）如圖①，是兩個(gè)全等的直角三角形硬紙板（直角邊分別為a,b,斜邊為c）.

（1）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖②的圖形，請(qǐng)利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理.

（2）假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，請(qǐng)運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能

驗(yàn)證勾股定理的圖形，畫(huà)出拼后的圖形并利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理.

23.(10分)有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向A2由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)2,已知點(diǎn)C為一海港，且

點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km,又AB=500km,以臺(tái)風(fēng)中心為

圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域.

(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？

(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h,臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？

AB

參考答案

1.D

【分析】

B.V0.3,0.4,0.5不是正整數(shù)，，不是勾股數(shù)，不符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

2.B

【分析】

根據(jù)勾股定理求出AB、BC、AC,再根據(jù)勾股定理的逆定理計(jì)算可得出結(jié)論.

.,.ZfiAC=90°,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理.掌握勾股定理和逆定理是解決問(wèn)

題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得設(shè)AE=x,表示出8E=9-x,然后在RSA8E中，利

用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

解：；長(zhǎng)方形折疊點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，

：.BE=ED,

設(shè)AE=x,則即=BE=9-尤，

解得x=4,

.,.AE的長(zhǎng)是4cm,

?\BE=9-4=5(cm),

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于AE的

長(zhǎng)的方程是解題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】

要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出結(jié)果，在求線段

長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理.

解:如圖，把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，得到矩形AC2D

則從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處，這條絲線的最小長(zhǎng)度是長(zhǎng)方

形的對(duì)角線的長(zhǎng).

,圓柱的底面周長(zhǎng)是14cm,高是48cm,

4^2=142+482=196+2304=2500,

：.AB=5Q(cm).

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形

的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，解題關(guān)鍵是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，化曲面為

平面，用勾股定理解決.

5.B

【分析】

運(yùn)用正方形邊長(zhǎng)相等，根據(jù)“AAS”證明AACB四△DCE,結(jié)合全等三角形和勾股定理即

可得出答案.

解：：。、b、c都是正方形，

：.AC=CD,ZACD=90°；

；ZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC=90°,

：.ZBAC=ZDCE,

'：ZABC=ZCED=90°,AC=CD,

：.△ACB^ADCE<AAS),

：.AB=CE,BC=DE,

在RtAABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即Sb=Sa+Sc=11+5=16,故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題主要考查對(duì)全等三角形和勾股定理的綜合運(yùn)用，結(jié)合圖形證明

△ACB迫ADCE,是解題的關(guān)鍵，本題對(duì)圖形的理解能力要比較強(qiáng).

6.C

【分析】

根據(jù)正方形EFG8的面積=正方形ABC。的面積4SAABE=9,求9的算術(shù)平方根即可得

到結(jié)論.

解：如圖，

:正方形EFG”的面積=正方形A8C。的面積-4%48E=92-4x18=9,

正方形EFGH的邊長(zhǎng)=3,

故小正方形的邊長(zhǎng)為3,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的面積，三角形的面積，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】

首先設(shè)蘆葦長(zhǎng)X尺，則水深為（X-1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程（x-1）2+52=x2.

解：設(shè)蘆葦長(zhǎng)x尺，由題意得：

（x-1）2+52=.￥2,

即x2-52=（x-1）2

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，從題中抽象出勾股

定理這一數(shù)學(xué)模型.

8.D

【分析】

依題意，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為直角三角形的斜邊，水深為一直角邊，另一直角邊為5尺，由勾

股定理即可列出方程，進(jìn)而得到答案.

解：設(shè)水深x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（x+1）尺，

所以蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，將題目描述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形求邊長(zhǎng)的問(wèn)題是

解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】

要求下滑的距離，顯然需要分別放到兩個(gè)直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求得AC和CE

的長(zhǎng)即可.

；.AC=2米，

：80=0.9米，

ACD=BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），

:在RSECD中，EC~=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,

.,.￡C=0.7米，

：.AE=AC-EC=2-0.7=1.3（米），故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】

4、B兩社區(qū)到E站的距離相等，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題

關(guān)鍵.

11.18

【分析】

先由勾股定理求得a2+Z?2=c2=9,然后求得°2+按+C2的值.

解：:△ABC為直角三角形，斜邊片3,

a2+b2=c2=22=9,

a2+b2+c2=9+9=18,

故答案為：18.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形三邊的關(guān)系.

12.17

【分析】

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

解：VZACB=90°,Si=5,52=12,

：.AC2=5,BC2=n,

.*.AB2=AC2+BC2=5+12=17,

.3=17,

故答案為：17.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，正方形的面積，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

13.24

【分析】

解：AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,

：.AB2+CB2=100=AC2,

.?.△ABC是直角三角形，且NB=90。，

故答案為：24.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面積的計(jì)算方法，熟練掌握勾股定

理的逆定理，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

14.m2+l

【分析】

2m為偶數(shù),設(shè)其股是。，則弦為a+2,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

解：：2根為偶數(shù)，

...設(shè)其股是。，則弦為。+2,

根據(jù)勾股定理得,(2m)2+a2-(a+2)2,

解得a=m2l,

二弦長(zhǎng)為「+1,

故答案為：m2+l.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

15.49

【分析】

小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為的平方.兩正方形面積的和為

AC2+BC2,對(duì)于RfAABC,由勾股定理得AB2=AC2+BC2.A3長(zhǎng)度已知，故可以求出兩正方

形面積的和.

解：正方形ADEC的面積為：AC2,

正方形BCFG的面積為：BC2-,

在尺/ABC中，AB^ACr+BC2,AB=1,

則AC^BC2^.

即正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為49.

故答案為：49.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理.關(guān)鍵是根據(jù)由勾股定理得A22=AC2+BC2.注意勾股定

理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

29

16.—

2

【分析】

設(shè)OB=OA=x(尺)，在RdOBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

解：設(shè)。2=。4=無(wú)(尺)，

在RtAOBE中，OB=x,OE=x4,BE=10,

：.x1=\02+(x4)2,

或。8的長(zhǎng)度為彳（尺）.

29

故答案為：—.

【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬

于中考常考題型.

17.①②③

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算公式及勾股定理解答即

可.

解：???△ABC為直角三角形，

,/正方形EFGH的面積為1

：.EF=1,

'.x-y=l,故②正確；

由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，

正確結(jié)論有①②③.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及正方形和三角形的邊的關(guān)系，此圖被稱(chēng)為“弦圖”，熟悉

勾股定理并認(rèn)清圖中的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

18.8

【分析】

先設(shè)水深尤米，則則有BD=Ar>+AB=x+2,由題條件有8O=BC=x+2,又根據(jù)蘆

節(jié)直立水面可知BDLAC,則在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出尤.

解：設(shè)水深x米，則尤，

貝U有：BD=AD+AB=x+2,

即有：BD=BC=x+2,

根據(jù)蘆節(jié)直立水面，可知BOLAC,且AC=6,

解得尸8,

即水深8米，

故答案為8.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，從現(xiàn)實(shí)圖形中抽象出勾股定理這一模型是解答本

題的關(guān)鍵.

19.⑴8cm⑵g

【分析】

(1)直接利用勾股定理求解即可；

(1)解：:,在AABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,

(2)解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作于。，

在Rt&ADP和RtXACP中，

:.Rt&ADPQRtAACP(HL),

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線，構(gòu)造

全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【分析】

(1)仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大的直角邊的差是1,根據(jù)這個(gè)規(guī)律

及勾股定理公式可算出入，。的值；

(2)根據(jù)第一問(wèn)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，代入到勾股定理公式中即可求得》、c.

【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理及規(guī)律題綜合運(yùn)用，仔細(xì)觀察，熟練掌握勾股定理公式

是解本題的關(guān)鍵.

21.(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析

【分析】

(1)根據(jù)梯形的面積公式即可求解；

(2)如圖所示，用圖①的4個(gè)直角三角形，拼成正方形，根據(jù)正方形的面積的兩種計(jì)

算方式即可求解.

⑴解：：四邊形ABC。是梯形,

梯形的面積=:(a+b)(a+6)=2^^ab+^c2,

即；(a2+2ab+b2)=ab+^c2,

".a2+b2=c2；

(2)如圖所示，可以證明a2+b2=c2.

驗(yàn)證：大正方形的面積=4X；ab+(b-a)2

大正方形的面積=〃，

/.4Xab+(6-a)2—c2,

整理得：a2+b2=c2.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明、正方形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算；熟練掌

握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法得出等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【分析】

【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AC.AB的長(zhǎng)，

掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

23.(1)海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，理由見(jiàn)分析⑵臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h

【分析】

(1)利用勾股定理的逆定理得出A