第三章概率的進一步認識單元測試卷2025-2026學年北師大版九年級數學上冊

學校:姓名：班級：考號：

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.甲袋中裝有2個相同的小球，分別寫有數字1和2；乙袋中裝有2個相同的小球，分別寫有數字1和2.從兩

個口袋中各隨機取出1個小球，取出的兩個小球上都寫有數字2的概率是（）

1111

D

-B---

A.2346

2.一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球.每次摸球前，先將盒子里的球

搖勻，任意摸出1個球，記下顏色后放回盒子.通過大量重復摸球試驗后發(fā)現，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在

30%,那么估計盒子中小球的個數"為（）

A.20B.24C.28D.30

3.某數學興趣小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結果出現的頻率，繪制了如圖所示的統(tǒng)計

圖，那么符合這一結果的實驗最有可能的是（）

A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”

B.一副只有四種花色的52張普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

C.拋擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4

D.暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球

4.不透明的盒子中裝有3個小球，每個小球上面寫著一個漢字分別是“向”“前”“沖”，這3個小球除漢

字外無其他差別，從中隨機摸出一個小球，記錄其漢字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其

漢字，則兩次都摸到“沖”字的概率是（）

5.如圖在三條橫線和三條豎線組成的圖形中，任選兩條橫線和兩條豎線都可以構成一個矩形，從這些矩形

中任選一個，則所選矩形含點力的概率是（）

?A

34

--

89

6.小晶和小紅玩擲骰子游戲，每人將一個各面分別標有數字1、2、3、4、5、6的正方體骰子擲一次，把兩

人擲得的點數相加，并約定：若點數之和等于6,則小晶贏；若點數之和等于7,則小紅贏；若點數之和是

其他數，則兩人不分勝負.那么（）

A.小晶贏的機會大B.小紅贏的機會大

C.小晶、小紅贏的機會一樣大D.不能確定

7.如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是（）

B2D1

3-

8.在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同.小

新從布袋中隨機摸出1個球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機摸出1個球，記下顏色，如此大量重復

摸球試驗后，小新發(fā)現其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%,摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%,對此試驗，他總結

出下列結論：①若進行大量重復摸球試驗，摸出白球的頻率將穩(wěn)定于30%；②若從布袋中任意摸出1個

球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球.其中正確的結論是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.某智能垃圾分類回收站內設有可回收垃圾、廚余垃圾、有害垃圾和其它垃圾四種垃圾箱，其中可回收垃

圾箱中有2個塑料瓶和2本舊書籍.現系統(tǒng)隨機從可回收垃圾箱中抽取兩件物品，恰好這兩件物品都是塑料瓶

的概率是.

10.表中記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：

移植的棵數n200500800200012000

成活的棵數m187446730179010836

成活的頻率”0.9350.8920.9130.8950.903

n

由此估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為_____.（精確到0.1）

11.某學習小組在延時課上制作了四張卡片：A鐵釘生銹、艮滴水成冰、C.礦石粉碎、。.牛奶變質，卡片除

圖片內容不同外，其他沒有區(qū)別，放置于暗箱中搖勻.小安從四張卡片中隨機抽取兩張，則抽取兩張卡片均

屬于化學變化的概率是.

12.在不透明的甲、乙兩個盒子中裝有除顏色外完全相同的小球，甲盒中有2個白球、1個黃球，乙盒中有1

個白球、1個黃球，分別從每個盒中隨機摸出1個球，則摸出的2個球都是黃球的概率是.

13.如圖，為測量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個邊長為2爪的正方形，使不規(guī)則

區(qū)域落在正方形內，現向正方形內隨機投擲小石子（假設小石子落在正方形內每一點都是等可能的），經過

大量重復投擲試驗，發(fā)現小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數0.25附近，由此可估計不規(guī)則區(qū)域的面

14.在一個不透明的布袋中裝有黃、白兩種顏色的球共40個，除顏色外其他都相同，小王通過多次摸球試

驗后發(fā)現，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右，則布袋中的黃球可能有個.

15.在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中有5個紅球，4個

藍球.若隨機摸出一個藍球的概率為5則隨機摸出一個黃球的概率為.

16.某興趣學習小組對某品種的小麥在相同條件下進行發(fā)芽試驗，結果如表所示：通過試驗，估計在這批

麥粒中任取1粒在相同條件下能發(fā)芽的概率為.（結果精確到0.1）

試驗的麥粒數n10020050010002000

發(fā)芽的麥粒數小911784509001820

發(fā)芽的頻率”

n0.910.890.900.900.91

三、解答題：本題共6小題，共52分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題8分）

甲、乙兩只不透明的袋子里裝有除顏色外都相同的球.甲袋裝有紅、藍、黃色球各1個，乙袋裝有紅、藍

色球各1個.從每個袋子里分別隨機地摸出1個球，兩個球恰為同色的概率是多少？

18.（本小題8分）

如圖，隨機地閉合開關Si，52,S3,S4中兩個，能夠使燈泡發(fā)光的概率是多少？

19.（本小題8分）

小亮從家里到學校要經過兩個設置有紅綠燈的路口.第1個路口紅綠燈的轉換時間是：紅燈60秒、綠燈30

秒；第二個路口紅綠燈的轉換時間是：紅燈50秒、綠燈50秒.路口之間紅綠燈的轉換互不相關.小亮上學

時兩次都遇到綠燈的概率是多少？

20.（本小題8分）

如圖，有四張反面完全相同的紙牌4B,C,D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將四張紙牌洗勻

后正面朝下隨機放在桌面上.

I）_____

ZZ7

平行四邊形

（1）從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是；

(2)小明和小亮約定做一個游戲，其規(guī)則為先由小明隨機摸出一張，不放回，再由小亮從剩下的紙牌中隨

機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則小亮獲勝;否則小明獲勝.這個

游戲公平嗎?請用列表(或畫樹狀圖)法說明理由(紙牌用4B,C,D表示).若不公平，請你幫忙修改一下游

戲規(guī)則，使游戲公平.

21.(本小題10分)

在一個不透明的盒子里裝有顏色不同的黑、白兩種球共60個，它們除顏色不同外，其余都相同，王穎做摸

球實驗，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中攪勻，經過大量重復

上述摸球的過程，發(fā)現摸到白球的頻率定于0.25

(1)請估計摸到白球的概率將會接近;

(2)計算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個？

(3)如果要使摸到白球的概率為最需要往盒子里再放入多少個白球？

22.(本小題10分)

有一個可自由轉動的轉盤，被分成了三個大小相同的扇形，分別標有數字2,4,6；另有一個不透明的瓶

子，裝有分別標有數字1,3,5的三個完全相同的小球.小杰先轉動一次轉盤，停止后記下指針指向的數

字(若指針指在分界線上則重轉)，小玉再從瓶子中隨機取出一個小球，記下小球上的數字.

(1)請用列表或畫樹狀圖的方法(選其中一種)表示出所有可能出現的結果；

(2)若得到的兩數字之和是3的倍數，則小杰贏；若得到的兩數字之和是7的倍數，則小玉贏，此游戲公平

嗎？為什么？

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了畫樹狀圖法求概率，正確得出所有的結果是解題關鍵.

直接根據題意畫出樹狀圖，再利用概率公式求出答案.

【解答】

解：如圖所示：

開始

廣、2

AA

一共有4種等可能的結果，取出的兩個小球上都寫有數字2的有1種情況，

故取出的兩個小球上都寫有數字2的概率P=

故選：C.

2.【答案】D

【解析】略

3.【答案】C

【解析】解：力、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”的概率為：，故A選項不符合

題意；

B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是言=；,故B選項不符合

題意；

C、擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是4的概率為h。」7,故C選項符合題意；

。、暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率為|,故。選項不

符合題意.

故選：C.

根據統(tǒng)計圖可知，試驗結果在0.17附近波動，即其概率P=0.17,計算四個選項的概率，約為0.17者即為

正確答案.

此題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率.

4.【答案】D

【解析】本題考查的是列表法或畫樹狀圖求解概率，根據題意列出表格即可求解.

【詳解】解：根據題意列表如下：

向前沖

向向，向前，向沖，向

>Z.、，..、，.

刖向，前刖，刖前，沖

沖向，沖前，沖沖，沖

共有9種等可能得情況，其中兩次都摸到“沖”字的情況有1種，

則兩次都摸到“沖”字的概率是：

故選：D.

5.【答案】D

【解析】【分析】

將從左到右的三條豎線分別記作a、b、c,將從上到下的三條橫線分別記作小、n.I,利用表格列出任選

兩條橫線和兩條豎線所圍成的矩形的所有等可能情況，再從中找到所選矩形含點力的的情況，繼而利用概

率公式可得答案.

本題主要考查列表法與樹狀圖法，解題的關鍵是利用表格列出任選兩條橫線和兩條豎線所圍成的矩形的所

有等可能情況，并從所有結果中找到符合條件的結果數.

【解答】

解：將從左到右的三條豎線分別記作a、b、c,將從上到下的三條橫線分別記作小、n、I,列表如下，

abbeac

mnab、mnbe、mnac>mn

nlab、nlbe、nlac、nl

mlab、mlbe、mlac、ml

由表可知共有9種等可能結果，其中所選矩形含點人的有be、mn；be、ml；ac、mn；ac、ml這4種結果,

???所選矩形含點A的概率為《，

故選：D.

6.【答案】B

【解析】解：列表如下：

共有36種等可能的結果，其中點數之和等于6的占5種，點數之和等于7的占

6種，

P（小晶贏）=金P（小紅贏）=卷=

即P（小晶贏）＜P（小紅贏），

所以小紅贏的機會大.

故選：B.

先通過列表得到共有36種等可能的結果，其中點數之和等于6的占5種，點數之和等于7的占6種，再根據概

率的定義得到P（小晶贏）=皋P（小紅贏）=￡=*,即可得到答案.

本題考查了游戲公平性問題：先利用列表或樹狀圖法展示所有等可能的結果數，然后找出兩個事件所發(fā)生

的結果數，根據概率的定義計算出它們的概率，然后通過概率的大小判斷游戲是否公平.

7.【答案】B

【解析】把S】、52、S3分別記為4、B、C,列表如下：

ABc

A(A,B)(4,C)

B(B,A)(B,C)

C(C,4)(C,B)

共有6種等可能的結果，其中同時閉合兩個開關能形成閉合電路的結果有4種，即（48）、（4G、（B,4）、

（C,4）,.?.同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率為:=|.故選8.

63

8.【答案】B

【解析】摸出白球的頻率將穩(wěn)定于1-20%-50%=30%,故①正確；因為摸出黑球的頻率穩(wěn)定于

50%,大于其他頻率，所以從布袋中任意摸出1個球，該球是黑球的概率最大，故②正確；若再摸球100

次，不一定有20次摸出的是紅球，放③錯誤.

9.【答案】

【解析】解：設2個塑料瓶分別是4B和2本舊書籍分別是C,D,

列表如下：

ABcD

A(4B)(4C)(AD)

B(BM)(B,C)(B,D)

C(CM)S)(C,D)

D。，力）(D,B)(D,C)

由列表可知：恰好這兩件物品都是塑料瓶的概率是卷=

1Z。

故答案為：）

o

通過列表的方式列出所有情況，再利用概率公式進行求解.

本題考查了利用列表法活樹狀圖法求概率，解題的關鍵是通過列表的方式列出所有情況求概率.

10.【答案】0.9

【解析】【分析】

本題考查了利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的

幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這

個事件的概率.

用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，據此解答即可.

【解答】

解：根據表格數據可知：

蘋果樹苗移植成活的頻率近似值為0.9,

所以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為0.9.

故答案為：0.9.

11.【答案】吉

【解析】解：列表如下：

ABcDE

A(4B)(4C)（4。）(4E)

B(B,A)(B,C)(B,D)(B,E)

C(C,a)(C,B)CD)(C,E)

DCD,A)(D,B)(D,C)(D，E)

E(E,A)(")(E,C)(E,D)

共有20種等可能的結果，其中小安抽取兩張卡片均屬于化學變化的結果有：（4。），（。,2），共2種，

???小安抽取兩張卡片均屬于化學變化的概率為邕=2，

故答案為：余

列表可得出所有等可能的結果數以及小安抽取兩張卡片均屬于化學變化的結果數，再利用概率公式可得出

答案.

本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出外再從中選出符合事

件4或B的結果數目小，然后根據概率公式求出事件4或B的概率.

12.【答案】1

【解析】解：畫樹狀圖為：，黃

共有6種等可能的結果數，其中2個球都是黃球占1白、/\

一白黃白黃

種，

???摸出的2個球都是黃球的概率=士

故答案為：i

6

先畫出樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，再找出2個球都是黃球所占結果數，然后根據概率公式求解.

本題考查了列表法與樹狀圖法：運用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n,再從中選出符合事件力

或B的結果數目小，然后根據概率公式求出事件4或B的概率.

13.【答案】1

【解析】解：???經過大量重復投擲試驗，發(fā)現小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數0.25附近,

.??估計小石子落在不規(guī)則區(qū)域的概率為0.25.

??,正方形的邊長為2小，

??.正方形的面積為4m2.

估計不規(guī)則區(qū)域的面積為4X0.25=1m2.

14.【答案】14

【解析】略

15.【答案】i

q

【解析】【分析】

此題主要考查了概率公式的應用，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.得到所求的情況

數是解決本題的關鍵.

根據不透明的口袋里有4個藍球，摸出一個球是藍球的概率是，得出不透明口袋里的小球總數為12個，可

求出袋中黃球有3個，再根據概率公式即可得出隨機摸出一個黃球的概率.

【解答】

解：???透明的口袋里有4個藍球，隨機摸出一個藍球的概率為5

可得不透明口袋里的小球總數為12個，

則袋中黃球個數=12-4-5=3（個），

所以隨機摸出一個黃球的概率為制品=p

3十4十54

故答案為

16.【答案】0.9

【解析】解：由表格可得：隨著實驗麥粒數的增加，其發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.9左右，

所以估計在這批麥粒中任取1粒在相同條件下能發(fā)芽的概率為0.9.

故答案為：0.9.

根據表格可知：隨著實驗麥粒數的增加，其發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.9左右，據此解答.

本題考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅

度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個

事件的概率.

17.【答案】解從甲袋中隨機摸出1個球，球的顏色有3個等可能的結果，從乙袋中隨機摸出1個球，球的

顏色有2個等可能的結果.從兩個袋子中各摸出1個球，所有可能的結果可用樹狀圖（如圖）表示如下：

由圖可知，共有6個等可能的結果，其中事件“同色”包含2個結果，于是

P（同色）=1=1-

所以，兩個球恰為同色的概率為《

【解析】見答案

18.【答案】解：回樹狀圖如圖所示:

結果

⑶顯）不發(fā)光

（團,&）發(fā)光

⑶局）發(fā)光

（S2,SJ不發(fā)光

⑸島）發(fā)光

住馬）發(fā)光

陶5）發(fā)光

（&5）發(fā)光

⑸息）不發(fā)光

（S,5）發(fā)光

陶,冬）發(fā)光

陶&）不發(fā)光

從樹狀圖中發(fā)現共有12種等可能結果，其中“能夠使燈泡發(fā)光”這一事件的結果有8個,

P（能夠使燈泡發(fā)光）=盤=|.

【解析】見答案

19.【答案】解：在第1個路口，以30s為單位，則遇到紅燈的機會有2次，遇到綠燈的機會有1次，則畫樹

狀圖如圖所不:

第1個路口第2個路口結果

（紅，紅）

?（紅，綠）

*（紅，紅）

\（紅，綠）

羲（綠，紅）

（綠，綠）

從樹狀圖可以看出共有6種等可能結果，其中兩次都遇到綠燈有1種，所以P（兩次都遇到綠燈）

O

【解析】見答案

20.【答案】解：(1)1;

(2)游戲不公平，理由如下:

根據題意，列表如下：

ABc1)

_____-------------

(/I.8)