專題訓練06不等式

一、單選題

1.信息蠟是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為1,2,…,明且

P（X=i）=B＞0。=1,2,…7）,fPi=1,定義X的信息燧H（X）=￡pJog2p,,若〃=2m,

i=li=l

隨機變量y所有可能的取值為12…，機，且pa—Apj+Pz-C/rz,則（）

A.H（X）2H（Y）B.

C.H（X）＜H（Y）D.

【答案】D

【分析】利用對數(shù)的運算和作差法，隨機變量的創(chuàng)新應用即可判斷.

【詳解】依題意知，P（Y=l）=p,+p2m,P（Y=2）=p2+p2m_x,P（Y=3）=p3+p2m_2,

P（Y^rn）=pm+pm+1,

，“⑺=

lo

-[3+2m）1嗎（Pl+02m）+（。2+）1暇（P2+必,,T）+…+（P,“+A?+l）g2（Pm+Pm+1）]，

又"（X）=-（Plbg2Pl+P210g2P2+…+P,JOg2P,“+…+P2m魄2P2m）,

H（y）-H（X）=log—口—+p210g2—&-+---+p?,logP2m

A222又<1,

Pl+P2MP2+P2NPl+P2mPi+Plm

P2<]Pim

P2+P22'…'A+P2m

故選：D.

2.設0<b<a<4b,m>0,若三個數(shù),yja2+b2-ab^質(zhì)能組成一個三角形的三

條邊長，則實數(shù)根的取值范圍是（）

（4135；、而5c

B.（1,73），D.（石,2）

A.I--2------4-，]c.----------/

724

【答案】C

【分析】由題意可得1＜臺4,可令t=判斷可得審可得

/a2+b2_ab_?+b<mVab<Ja?+b?_ab+@+b,化為

22

2卜;-1-

,結(jié)合基本不等式和導數(shù)判斷單調(diào)性,

以及不等式恒成立思想，即可得到所求范圍.

［詳角軍］,/0<b<a<4b,m>0,

令x=2，y=7a2+b2-ab，z=mVab,

x2-y2=(a；b)2—J.2+b?―「b=--1(a-b)2<0,

/.*+'<y/a2+b2-ab,

2

??xvy,

???x,y,z能組成一個三角形的三條邊長，

可得y—x<z<x+y,

即為+b2_ab_a+b<+b」-2b+a+'

22

設0<b<a<4b,可得1<3<4,可令t」(l<t<4),

bb

2Va2+b2-ab-(a+b)2^a2+b2-ab+(a+b)

--------------L——-------<2m<----------------------------

Jab-----------------------Jab

當且僅當t=l上式取得等號，但可得2jt+2—1+&+亍>4,

貝！J2m<4,EPm<2：

又設k=/+》［2:,—,可得2^t+--1—^\/t+-j=-^=2y/k2—3—k,

導數(shù)為丫，=啟二一1=2y02；3,

由y=2病二？一k的

由2<k<|可得2k)

,收一3,即函數(shù)y為增函數(shù)，

2

可得2^/k—3—k<24備3號岳;

即有2mzA—*,即有m2巫―3，

224

可得巫一

24

故選C.

【點睛】本題考查導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬

于難題，關鍵是轉(zhuǎn)化為關于t=](1<t<4)的函數(shù)求最值.

b

3.已知函數(shù)滿足：①對任意。<玉<馬，都有山上』⑷<0；②函數(shù)y=/(x+2)的

%一%2

圖象關于點(-2,0)對稱.若實數(shù)滿足/'(4+26)4_八一/_20),則當4€1時，%

的取值范圍為()

11]「11]「1J「C41

A.B.C.-JD.[2,4]

_oZJ[_4ZJ|_Z

【答案】B

【分析】先根據(jù)函數(shù)7'(x)滿足的①②條件得函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，再根據(jù)單調(diào)性得

a2+2b>b2+2a,解不等式得償-。)[6-(2-a)[40,再結(jié)合線性規(guī)劃的知識解決即可.

【詳解】由對任意。工芯<々，都有"%)一"")<0,可得，在[。,+功上單調(diào)遞減;

X]一%?

由函數(shù)y=/(x+2)的圖象關于點(-2,0)對稱，得函數(shù)y=〃x)的圖象關于原點對稱，可得

函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)；故在R上單調(diào)遞減.

于是得+2A)4/伊+2。)，.?./+力2[2+2。，；.[2+2。一2%go，；.

伍-4)[6-(2-a)]40.則當ae1時，令。=尤，b=y,則問題等價于點(x,y)滿足區(qū)域

(y-x)[y-(2-x)]<0

<1,如圖陰影部分，由線性規(guī)劃知識可知?為(xy)與(。,。)連線的斜

三一廠

【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，線性規(guī)劃等，考查學生分析問題與解決問題的能

力，是難題.

4.設q=Jx2__xy+y2,6==x+y,若對任意的正實數(shù)天，丫，都存在以。,為三邊

長的三角形，則實數(shù)”的取值范圍是（）

A.（1,3）B.（1,2］C.D.以上均不正確

【答案】A

【分析】先得到a<c,由三角形三邊關系得到c-a<6<c+a,即

所以〃=1爐-孫+V+-3孫<J(x+y1=x+y=c,

\a+b>c

[a+ob1

:.c-a<b<c+a恒成立,

BP%+y—yjx2—xy+y2<py/xy<x+y+Jx2—xy+y2，

...戶+)+2—-p<"+2+3=1,

vvXyyXX\yx

令加=4+2N2」±2=2,當且僅當2即x=y時，等號成立,

yxxyx

因為/=5/〃，+2_航二1=-尸y在［2,+8）上單調(diào)遞減，當加=2時，t取得最大值,

7m+2+

.?./<^/2+2-^/2^T=b

因為〃=Jm+2+JM-1在［2,+8）上單調(diào)遞增,當根=2時，，取得最小值，

uNJ2+2+，2-1=3，

/.1<p<3.

故選：A

【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法，使不等

式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含

參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不

等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.

二、多選題

5.若實數(shù)。22,則下列不等式中一定成立的是()

fl+2fl+1

A.(a+l)>(a+2)B.loga(a+l)>logfl+1(a+2)

C.logfl(a+l)<-^D.loga+1(a+2)<-^1

【答案】ABD

【解析】對于選項A：原式等價于ln("+l)>ln(a+2),對于選項c：廄“3+1)<￡±1

〃+1。+2a

ln(a+l)a+1+\na3THe‘,八|ln(o+2)+,人、由力皿

o」——L<——o」——L<——，對于選項D：變形為二——^<二——L,構(gòu)造函數(shù)

Inaaa+1aa+2a+1

/(%)=?,通過求導判斷其在X￡(G”)上的單調(diào)性即可判斷；

ln(a+l)ln(a+2)

對于選項B:利用換底公式：10ga(Q+l)>10ga+](〃+2)oT―—?

InaIn+

等價于ln2(a+i)>ina.in(a+2),利用基本不等式4V1手j,再結(jié)合放縮法即可判斷；

【詳解】令〃x)=F，則尸(力=匕詈<0在xe(3,”)上恒成立，所以函數(shù)=F

在X￡(e,-+W)上單調(diào)遞減，

對于選項A：因為a>2,所以(a+1)"?>(Q+2)"+Io(a+2)ln(a+l)>(a+l)ln(a+2),

口.人十ln(a+l)ln(a+2)“71n(〃+1)ln(a+2),,_

即原不等式等價于」————二因為a+l<a+2,所以」————L從而

a+1a+2a+1a+2

可得(a+l)-2>(a+2)"\故選項A正確；

)z,、。+1ln(G+l)a+1In(a+1)Ina

對于選項C：loga(a+l)<——----!-<——o」----——，

aInaaa+1a

由于函數(shù)/(尤)=(在(e,+8)上單調(diào)遞減，所以〃4)<〃3),即浮<?,

E、rIn42In2In2ln2In3__.lnf?+l)\na上小小丁工一…、匚

因為一1=—=―丁，所以二i，取a=2,則n二———,故選項C錯誤;

44223a+1a

./c、〃+2ln(o+2)a+2In(a+2)ln(〃+l)—工

對于選項Dlog+2)<----o----r<---o―-----<------，與選項A相同,

a+1ln(?+l)a+1a+2a+1

故選項D正確.

In(a+1)In+2)

對于選項B：1嗚(。+1)>%式。+2)0n因為心,

所以等價于甘(。+1)>小。皿4+2),因為lna-ln(a+2)<-----1~」，

e、，「lna+ln(a+2)Tln(a2+2a\ln(fl2+2?+1)

因為-------——-------乙<—---------乙=ln2(a+l),

2J22v7

所以不等式1。8。(。+1)>1。80+1(。+2)成立，故選項B正確；

故選：ABD

【點睛】本題考查利用對數(shù)的換底公式、構(gòu)造函數(shù)法、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、結(jié)合基

本不等式和放縮法比較大??；考查邏輯推理能力、知識的綜合運用能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和

運算求解能力；屬于綜合型強、難度大型試題.

三、填空題

6.已知.+P元+4歸2對任意xe[l,5]成立，則不超過戶彳的最大整數(shù)是-

【答案】9

【分析】依據(jù)切比雪夫、帕德逼近相關結(jié)論與性質(zhì)即可求解.

【詳解】依題意，

因為儼)"=2,依據(jù)結(jié)論3求得f(x)=x2(xe[l,5])的最佳逼近直線為y=6x-7,

從而可知2T6X-7)|=2,I,3,5是偏差點.

1<%<5l<x<5

2

又由題意知，max|x+jpx+?|<2>綜合這兩個不等式可以得到等式max—+px+同=2.

l<x<5l<x<5

由性質(zhì)14可知。=-6,4=7,則不超過"p2+g2的最大整數(shù)是8

故答案為：9

7.對任意的xe(0,+°°),不等式(x-a+ln-)(-2x?+辦+10)(。恒成立，則實數(shù)。的取值范

圍是.

【答案】而

【分析】由對數(shù)成立可得aw(0,+?),再講該問題轉(zhuǎn)化為對任意的xe(0,+8),不等式

[(x+lnx)-(a+lna)](-2x2+d+10)V0恒成立，構(gòu)造函數(shù)

/(x)=x+lnx,g(x)=-2x2+ar+10,由函數(shù)/'(x)在(0,+℃)上單調(diào)遞增，故0<x<a時

(x+lnx)-(a+lna)<0,貝U—Zx?+辦+1020；x>a時(x+lnx)_(a+lna)>0,則

-2X2+GX+10<0,再根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可求出。的范圍，最后取交集得答案.

X

【詳解】由題可知，xe(0,+s)且In土成立，貝Uae(O,+?)

因為對任意的Xe(0,+8),不等式卜-a+In(-2/+以+10)W0恒成立等價于不等式

[(x+lnx)-(a+lna)](-2x2+ax+10)W0恒成立

記/(x)=x+lnx,g(x)=-2x2+ax+10,則/(x)在(0,+(?)上單調(diào)遞增

當0cx<a時，/(x)</(a),即(x+lnx)-(a+lna)<0恒成立，貝!|一2/+6+1020

g(0)=10>0-

所以《〉〈c2_2I八、C，得0<aV質(zhì)

g(〃)=—2a+〃?。+i1n0=—ci+1020

當x=a時，不等式顯然成立

當x>。時，/(%)>/(?),即(x+lnx)-(a+lna)>。恒成立，則_23+辦+1040

因為函數(shù)g(x)=-2/+辦+10=-2[-小+]~+10在(“，e)上單調(diào)遞減

所以x>a時，g(x)<g(a)=-a2+10<0,得心力5

因為對任意的xe(0,+⑹，該不等式恒成立，故應取交集則0=可

故答案為：回

【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)研究不等式恒成立并求參數(shù)范圍問題，還考查了二次函數(shù)的圖象

及性質(zhì)，屬于難題.

8.用max{a,6,c}表示a,0,c中的最大值，已知實數(shù)羽丁滿足04尤4y410,設

M=max{孫，xy-x-y+1,x+y-2xy},貝！|M的最小值為.

【答案】|

【分析】由題，先求得M最大值時，x和y的關系范圍，再畫出圖像，分別求得不同范圍

的的最小值即可求得答案.

【詳解】由題，^xy>xy-x-y+\:.y>-x+\

當移>x+y-2町，解得尤+、<3孫W返了^-ny>-x+g

4

所以當>>-x+§時，M=xy,即圖像的區(qū)域1

^xy-x-y+l>x+y-2xy,即2(x+y)<l+3xyWl+'x；.，

27

解得y<-x+*所以當y<-x+§,M=xy-x-y+l,即圖像的區(qū)域3

所以當在區(qū)域2時，M=x+y-2xy

綜上可得：在區(qū)域1中，加=外；在區(qū)域2中，M=x+y—2xy；在區(qū)域3中，

M=xy—x—y+1

24

在區(qū)域1中，當且緊當x=y=:時一,取最小值為］

14

在區(qū)域2中，當且緊當x=y=§時，知=》+〉-2盯取最小值為,

14

在區(qū)域3中，當且緊當x=y=m時，"=肛-x-y+l取最小值為§

4

綜上所述，可得M的最小值為］

【點睛】本題考查了函數(shù)與不等式綜合，熟悉理解題意，求最值是解題的關鍵，屬于難題.

11k2

9.設實數(shù)x>0,y>0且滿足x+y=3則使不等式(x+—)(>+—)2(二+7廣恒成立的女的最

xy2k

大值為_______________________

【答案】人=2"+八

k

【詳解】不妨設了〉〉，^m=-,x=m+t,y=m-t,O<t<m,則原不等式化為

+——--)(m-Z+---)>(m+—)2=>t2>———歲——^恒成立，由

m+tm-tmm

m-471<0zn2<2+A/5,：.k=2mM212+小

m

k

【點睛】利用換元法，^m=-,x=m+t,y=m-t,O<t<mf原不等式化為

(〃?+1+')(〃?T+')N(m+工)2整理得產(chǎn)上"?4一4”一1,利用不等式恒成立求最大值.

m+tm-tmm

四、解答題

akbkck3

10.設正實數(shù)〃、b、c滿足：abc=lf求證：對于整數(shù)左22,有---+

a+bb+cc+a2

【答案】證明見解析

【分析】本不等式是對稱不等式，顯然當。=人=。時取等號.從不等式局部入手，當

akl111

------+—(z6r+Z7)+—+-+---+-

a=b=c=l時，a+b4V222,用左元均值不等式即可求解.

.

02個L

2

111,\akk

—(tz+Z?)+—+—+-??+—>^z-^1

【詳解】因為〃+6公)222

?

"2個1

2

匚匚［、］〃、k1jk—2

所以---->—a——(〃+/?)---------

a+b242

hkk1k-2

同理可得-^>-b--(b+c)~一,——>-c--(c+a)-

b+c242c+a242

三式相加可得:

akbk/J,7、I,7、3〃c、

-------1---------1-------之一(a+b+c)—(a+/?+(?)—(k-2)

a+bb+cc+a222

(k-U3333

=+6+(左一2)2^(左一1)一：(左一2)=[.

22222

【點睛】對于對稱型不等式，有時從整體考慮較難入手，故比較管用的手法是從局部入手,

從局部導出一些性質(zhì)為整體服務，這里的局部可以是某一單項也可以是其中的若干項.

11.已知尸為AABC內(nèi)部或邊上一點，尸到三邊的距離分別為PD,PE,PF,證明：

PAPBPC>(PD+PE)(PE+PF\PF+PD).

【答案】證明見解析

【分析】由函數(shù)的凹凸性，根據(jù)琴生不等式證明幾何不等式，即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：如圖，PE=PAsina,PF=PAsm(3,

Azy_BA

PE+PF=PA(sina+sin/?)=2PAsin—cos—<2PAsin—,

同理PE+POV2尸Bsing,PD+PE<2PCsin^,

ABC

：.(PD+P￡)(P￡+PF)(PF+PD)<2PAsin—-2PBsin—-2PCsin—

ABC

=PA-PB?PC-8sin—?sin—?sin一.

222

ARC

現(xiàn)在只要證明85皿5與口,應“,工1,

設“尤)=Insin無，則/'(x)=—,f\x)=:一<0,

sinxsinx

所以/（X）在（0,兀）時是上凸（凹）函數(shù)，當石，々，we（0,兀）時,

ARC

即SsinfSin^sin^Wl,因此上4P3PC“PD+PE)(PE+PP)(PP+PD).

sin《esin修。

12.證明恒等式sin6+sin2。+…+sinnO=-----------方幺——

s嗚

【答案】證明見解析

【分析】利用第二、三類切比雪夫多項式的定義及通項公式即可證明.

【詳解】證明：一方面，由U〃（x）的定義及通項公式可得:

〃一11〃一i〃一1

-s-i-n--3--.--s-i-n---2-0--r.,??H.--s-i-n--n--O-=A)=k

sin0sin6sin0-沙'

Ji=0

1卜(1-〃)￡(i)

2心一'1~a"I3

]2J--i--]⑷+尸")_a)

24-1*2-2x

1-匕(*?

2-2x2-2x

sin90sin0cos0cos萼-cos(〃+1)6

另一方面22=-2---------2——\―2)_

sinysinsin作sin6

cosn0cos+cos-sin〃6sin]-2cos〃+?6

乙乙乙\乙)

2sin亨sin。

cos--cos(〃+J8cosg-cos(〃+/)e

i(x)

.②

4sin2cos(2-2cos6)cos?2-2x

由①②知原式成立.

abc3

13.設”、b、c為正數(shù)'且%=1.對任意整數(shù)心2’證明：礪M+亦+樂高2孤.

【答案】證明見解析

【分析】運用切比雪夫不等式，塞平均不等式和均值不等式進行轉(zhuǎn)化，從而得以證明.

【詳解】證明：不妨設0<aV6Vc,則#77讓4c+a+b>0(整數(shù)〃22),則

運用切比雪夫不等式得到

+I1?(sjb+c+\Jc+a+y[a+b)>3(a+6+c).

^h+b)

其中運用幕平均不等式得到

上忻+際+行1)43±(才)+(〃+6)=島+6+c),

兩邊同除jgm+b+c),

得小=+，=+^^邛<a+b+c)e,

Wc^/c+a^la+bV2

因為。歷=1,再運用均值不等式可得

d|.(3+c嚴明3?炳尸="=擊.

abc3

所以赤彳+赤右+樂高-五?

14.若*M爪1+/對任意正實數(shù)”Z恒成立,求實數(shù)M的最大值.

【答案】2

_____，2+2

【分析】取—。*=1,則R+2>MG'即"<商十構(gòu)造函數(shù)

戶+2

/(')=石耳？’>°，利用導數(shù)求出函數(shù)/(')的最值，從而可得知3=2,再利用Schur不

等式和3-GM不等式證明3+而+y\對任意正實數(shù)QZ恒成立即可.

_____,2+2

【詳解】取x=>=/>0,z=l,則f+2>M32/+i，即M<赤不^,

2

3

產(chǎn)+227?尋2『+l-d+2）.2*.+1

令則廣⑺=—j>0,

（^77T）2

2

令/'(。=。，則2八折節(jié)-(〃+2〉2產(chǎn)?+1'=0，

1

整理得戶一2r+l=0,即?—1乂產(chǎn)+r—l)=0,解得?=1或/=^^

2

又經(jīng)0,所以=1或"土倉

2

當zl^<x<i時，r（r）<0,

當0<x<T丁或X>1時,

-1+5匚導」］上遞減,

所以函數(shù)/(。在0,,。,+8)上遞增，在

2）V2)

又/⑴=將呼/?)=2,所以MV2,下面證明Mmax=2,

即證苫+干+臺2次+yX對任意正實數(shù)力z恒成立,

4—=x2,—=y2,^=z2,貝i|x=iz,y=zx,z=xy,

xyz

生+上+三>2也3+y3+z3o

zxy

（x2+r2+z2）3=x6+3^x2r2（x2+y2）+6X2Y2Z2

=^（x6+x2r2z2）+3^x2y2（x2+r2）+3x2r2z2

2￡*2丫2（乂2+丫2）+3［乂2丫2（乂2+片）+3乂2/22四（±111'不等式的等價形式）

=4^X2Y\X2+Y2）+3X2Y2Z\AM-GM不等式）

>8^x3y3+3x2y2z2>8^x3y3,

所”+三三>2^77/77,

zxy

所以"max=2.

產(chǎn)+2

【點睛】關鍵點點睛:取％=y=/>O,z=l,構(gòu)造函數(shù)/⑺=?>0,利用導數(shù)求出

^2/3+1

函數(shù)/?）的最值是解決本題的關鍵.

15.設實數(shù)4嗎,滿足立（q+1）=在（4「1）,求￡同的最小信

Z=1Z=1?=1

【答案】答案見解析

【分析】由特例可得當〃為偶數(shù)時，flql的最小值為0,當〃為奇數(shù)時，問題可轉(zhuǎn)化為“給

Z=1

定正奇數(shù)〃,設再，…,X用滿足X尸%+4=1,2,“）,立占=立%1，則fl吁電22恒成立

i=li=l/=1Xi-Xi+1

利用逐步調(diào)整法可證后者.

【詳解】當〃為偶數(shù)時，取%=...=%=（）,故tui的最小值為o；

1=1

當"為奇數(shù)時，也可只取q=T,%=1，其余為0，此時￡lql=2,

Z=1

下證當〃為奇數(shù)時，￡|q沫2恒成立.（利用換元可以得到更直觀的形式如問題2）.

Z=1

問題2：給定正奇數(shù)“，設.…，加滿足x尸%（i=l,2,w）,立士=立.％,則

i=li=ii=lXi~Xi+1

恒成立.

證明：注意到若天NO同號，即有%!也21,

xx

i-i+l

因為“為正奇數(shù)，則必定存在一組4?4+]2。同號，否則若與無㈤均異號，則立心立怎』的

Z=1Z=1

符號必定相異.

若還存在其他組外%>0,則可得119包色2成立，

<=1-\~xM

若無其他組尤,,租金。同號，不妨央向20,可設無，>0,x用>0,（若等于。的可以進行小范

圍微調(diào)，只要不影響絕對值內(nèi)數(shù)值的符號即可）.

因為無其他組玉，％+120同號，故

XX

%>0,x2<（）,???,x2k_2<°，尤21>°，lk>°，<°，…，尤,1<°，%>°，?+l>。，

x,+x

此時國,當+］同號.記4=，貝!!口4=1且對IWiW",M

Z=1%-%+14+1

H-1

設了a,9,，14-1||4+1,下面將在自4=1條件下進行調(diào)整.

Z=14+14-1i=l

①若存在4：>1,左W〃T.令d；=1,6?/=dndk>dn,d；=4(iW女,〃),

4T24(4-1)

>0.

4+1(d,一1)同4一1)

②若存在4,4<1,左</工〃一1.令4=1，4=dkdl,di=4(2w￡/),

f(d/d1=11.4]_.4一(1-44)(1-4)(1-4)、1

則〃4，人,…&)八~2…1+:”1+44一(1+4)(1+4)(1+44)

由上述討論知，經(jīng)過有限次調(diào)整可得：對話力-1,除至多一個4"（設為4）外，其余4=L

因此就有44=1,

1一2

n-\二

不妨設4>i,則。<4<1,故/（《，么，…，d〃）=Z14Tl?4+1+上

Z=14+1dn—11+;

d-1d+1

力+力722,原不等式得證.

4,+1dn-l

至此我們完成了問題2在奇數(shù)情況下的解答，即所求4mx=”"）=2.

綜上，當”為偶數(shù)時，flql的最小值為0；當〃為奇數(shù)時，flql的最小值為2.

Z=1Z=1

n11

16.求最大的實數(shù)X,使得不等式Xi）2：+一對任意正整數(shù)量以及任意實數(shù)

k=i4n

。=%W%W%…"X”=1均成立.

【答案】最大實數(shù)2是!

O

【詳解】解法一：設4=二/（七一%），3=則

A+5='(%；+兄3)?-xk_{)

k=\

25￡仁+由j+々尤1+尤3)(々-%)

「k=l

1n

乙k=l2

=￡（Z-Xj）2（片+X/z+片_J

k=\

1313

所以+,即4=］滿足題目要求.

48〃8

另一方面，我們?nèi)?=、口，%=0,1,…，”.此時

Vn

A+5_；=；Z（4一t（4_Xk-1）2

，Lk=\znk=i

-T-xm/x｛（"—滅t）｝=；x（玉一%）=1

2nkIn2nln

--廿的…；之2〃

13131

即止匕時我們有AW:+^x—+石'—/=,這樣滿足題意的4需要滿足

48〃8n<n

48〃8ny/n4n8y/n

33

對所有正整數(shù)〃均成立.故24f，即滿足題目要求的最大實數(shù)4是?.

88

解法二：固定正整數(shù)〃，對任意的實數(shù)0=無。<玉4尤2<…4尤“=1，設Z；=X(4一元1)的最

小值為4.我們有遞推關系:

4=max{(i-y)+/x4j=i-1^=.

題目所需的4是對任意正整數(shù)〃都有：4^7+--即紇=71二對任意〃成立-4=1，

4n4A〃-14X

用=:,我們看看紇的變化情況.

1%+/2+——31r+2t+3

------1--------=------1--------

4A-1-13（?-1）4A--13（/2+/+1）

即｛用｝數(shù)列的增量

上式中的區(qū)間是由>1得到.這樣由歸納法易得：立〈名，即4=]滿足題意.

_33J3o

另一方面，當"充分大時，紇無界增長，4接近于:，7=護工接近于1,增量紇-紇T接

近于彳0.即對任意的a<?7，當〃足夠大時都有4-q1>彳0L+1￡，這樣紇>]〃對充分大的〃成

立.

因此當2即占<3時，對充分大的，有紇>二，即這樣的4不合題意.

842342

因此滿足題目要求的最大實數(shù)力是■!.

O

遞推式是因為：對0工兀2<…<九〃=1

記y=%i，"=’-=)，k=l,2,n—l,則

丸」y

n〃一1

ixt(z-%)=i-y+了它W(%-%.

k=\k=l

17.定義函數(shù)〃x)=xcosx-sinx+l(x>0)的所有零點構(gòu)成嚴格單調(diào)增數(shù)列{%}(〃&).

IT

(2)若對任意的存在負數(shù)4使得方程=4.有兩個不等實解與馬,并且

弋2X2/-1-x2ii(e+3)

<

滿足％<x2j(ie{1,2,…㈤)，試證明:Wd/安萬-

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

3TT二,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可推

【解析】⑴求出/'(x)=fSinx,進而可得rIT

出〃萬<x〃+i<(〃+1)%.玉=

?111111a411

二+=+二+…+二<F4+77+^7+^2_+-+7—，根據(jù)裂項相消法即可證明.

a71

MTqaxa2a3n16253(n-1)

(2)由函數(shù)的增減性得到(2i-2)?<w-<(2i-1)/<x2Z<2譏，從而對所證式子的坐標進行整

理變形并放縮，即可證明.

【詳解】由/(%)=xcos%—sin%+l(x>0)得,/'(%)=-xsin%=0

解得:％=丘水￡N*則/(%)J(x)隨X的變化如下表

X(0,萬)71(%,2%)2〃

f\x)—0+0

fM/

?，(左+1)￡N*上至少一個零點.又/(%)在(左》,(左+1)?),左￡N*

單調(diào),所以物<%〃+1<(〃+1)乃.玉=￡.X?>弋,*3=:

1421

當〃=1^f,-=—<-r^.當2,〃EN*時

ax7i4萬

119411

/-7-—777+…-'T<-T4H------1-----1——+—-------y

alaja；萬［16253(n-1)

194111<94111111、

16252x3(〃-2)(〃-1)_|16252334n-2n-lj

_112089__208921

一式400J<400萬2<萬?

(2)由/(%)在［為"+2版",2萬+2左句，左￡N*單調(diào)遞減，在［2左匹2左句，左￡N*單調(diào)遞增.

而f@k7i)=2k7r+\>D,keN*廳@卜兀+叫=-2k兀一兀+\〈4,keN*.

所以(2，一2)?<九2“<(2，一1)?<%2/<2譏

所以2.八=”<27,"勿

3)

2e7i<---2-e-7-r--<——7i(-e--+-<-

所以方—言之子

Z=1C十Ti=lC7((61)(7^-1),

【點睛】本題考查了導數(shù)的求解，考查了函數(shù)的零點，考查了數(shù)列求和，考查了不等式的放縮.

本題的難點在于，將所證問題范圍進行放縮.易錯點在于沒有透徹分析函數(shù)的零點情況，誤認

37r

為x=F+2k7i,keN*是函數(shù)零點.

18.已知正數(shù)〃、b滿足〃+b=l,求M=Jl+2如+2+。2的最小值.

【答案】嚕

【詳解】由柯西不等式可得（24+l）Q+22j>（?+2）\

八圖］（i+"2"Wd，

所以

I-------------h5_

M=Vl+2a2+2jf—+b2