第四章綜合素質(zhì)評價(jià)

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.[[2024?淄博]]下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.如圖，將△ABC沿方向平移，得至U△JDEF.若BD=8,DE=5,則4E的長

為（）

B4--------------

（第2題）

3.如果點(diǎn)用（1一%,1-）7）在第二象限，那么點(diǎn)—1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱

點(diǎn)所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.如圖所示，在△2BC中，Z.BAC=130°,將△2BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4

DEC,點(diǎn)4B的對應(yīng)點(diǎn)分別為。，E,連接2D當(dāng)點(diǎn)4D,E在同一直線上時(shí),

旋轉(zhuǎn)角乙4CD的度數(shù)是（）

E/------------

（第4題）

A.80°B.70°C.60°D.50°

5.如圖，將AZBC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△9'B'C',則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

（第5題）

A.(1,1)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)

6.如圖，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0。<a<180。），得至以DEC,

點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)。恰好在直線ZB上，則下列結(jié)論不正確的是（）

(第6題)

A.乙CBD=乙ECDB./.CAB=乙CDBC.乙ECB=aD.乙EDB=180°-a

7.如圖，將線段先向左平移，使點(diǎn)8與原點(diǎn)。重合,再將所得到的線段繞原

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到線段4B',則點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)是（）

（第7題）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,-2)D.(-3,2)

8.如圖，已知四邊形是由四邊形2BCD平移得到的，若BB'=3,

A'D'=8,則4。的長可能是（）

(第8題)

A.3B.5C.8D.11

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=-（%+4與％軸、y軸分別交于點(diǎn)4B,

將線段ZB繞點(diǎn)a沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段ac,則點(diǎn)c的坐標(biāo)為（）

A.(7,3)B.(6,4)C.(8,5)D.(8,4)

,2025?濟(jì)寧模擬「

10.幽典規(guī)律探究題如圖，長方形4BCD的頂點(diǎn)4B分別在％軸、y軸上,

。4=OB=AD=V2,將長方形ZBCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次都旋轉(zhuǎn)90。，

則第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

（第10題）

A.(|,l)C,(1,-|)D.(-1,|)

二、填空題（每題3分，共18分）

11.[[2024?江西]]在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)2（1,1）向右平移2個(gè)單位長

度，再向上平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

12./情境題生活應(yīng)用如圖①,教室里有一個(gè)倒地的裝垃圾的灰斗，BC與地面的夾

角為50。，NC=25。，小賢同學(xué)將它扶起平放在地面上（如圖②），則灰斗柄

繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為.

C

①

（第12題）

13.逋曼但汶花麒麟水鄉(xiāng)景區(qū)是國家4A級景區(qū)，是集田園風(fēng)光和水鄉(xiāng)風(fēng)情為一

體的旅游景區(qū)，盛夏的麒麟水鄉(xiāng)秀麗端莊，千畝荷花在微風(fēng)中飄曳，為了便于

游客領(lǐng)略“人從橋上過，如在河中行”的美好意境，景區(qū)工作人員擬在如圖所

示的長方形荷塘上架設(shè)小橋.若荷塘的周長為300m,且橋?qū)捄雎圆挥?jì)，則小橋

總長為m.

（第13題）

14.倒考向傳統(tǒng)支農(nóng)如圖,正方形4BCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，圓中

的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，設(shè)黑色部分的面積為S,

正方形的邊長為2,則5=.

（第14題）

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系％。y中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),

將4O4B沿為軸正方向平移得到△ONE,若點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)4在直線y=，上，

則點(diǎn)B與其對應(yīng)點(diǎn)B'之間的距離為.

(第15題)

16.如圖，在RtZkZBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)P是線段BC上的

動(dòng)點(diǎn)，連接2P,將線段2P繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DP,連接BD,貝UBD

的最小值是.

(第16題)

三、解答題(共72分)

17.(8分)如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)4(—l,4),B(—4,—1),C(1,1).若△ABC向右

平移4個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度得到且點(diǎn)4B,C的對

應(yīng)點(diǎn)分別是4,B',C.

(1)畫出并直接寫出點(diǎn)C'的坐標(biāo);

（2）若aaBC內(nèi)有一點(diǎn)P（a,b）經(jīng)過以上平移后的對應(yīng)點(diǎn)為P',直接寫出點(diǎn)P'的

坐標(biāo).

18.（8分）如圖，在直角三角形ZBC中，乙4cB=90。,乙4=33。，將三角形

4BC沿方向平移得到三角形DEF.

（1）求NE的度數(shù)；

（2）若2E=9cm,DB=2cm,求CF的長.

19.（8分）如圖，將邊長為2的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形，用這四

個(gè)直角三角形拼成符合要求的四邊形，請?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形

（注：①網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；

③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）.

是軸對稱圖形是中心對稱圖形

不是中心對稱圖形不是軸對稱圖形

既是軸對稱圖形既不是軸對稱圖形

又是中心對稱圖形又不是中心對稱圖形

20.[[2025?濟(jì)南月考]](12分)在平面直角坐標(biāo)系中，AZBC的位置如圖

所示(每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形).

(1)若△4BC和△4B1G關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱，畫出△4B1Q；

(2)將△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的2c2，并寫出點(diǎn)

B2的坐標(biāo)；

(3)若在久軸上存在一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)P到點(diǎn)名與點(diǎn)G的距離之和最小，請寫出

PBi+PG的最小值為.

21.(12分)已知△ABC是等腰直角三角形，乙4cB=90。，點(diǎn)。是△ABC所在

平面內(nèi)任意一點(diǎn)，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接2。，DE,BE.

(1)如圖①，若點(diǎn)。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證：AD=BE-,

(2)如圖②，若點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，AD=5,BD=12,求DE的長.

2<a<45。)，點(diǎn)B,C分別在射線4V,AM上，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

180°-2a得到線段BD,過點(diǎn)。作4V的垂線交射線于點(diǎn)E.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在射線4V上時(shí)，求證：C是2E的中點(diǎn)；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在NM4V內(nèi)部時(shí)，作D77/2N,交射線4W于點(diǎn)尸，用等式

表示線段EF與2C的數(shù)量關(guān)系，并證明.

23.(12分)曲蜓更程探究題'綜合與實(shí)踐：

【問題情境】在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師讓小組合作探究兩個(gè)完全相同的含30。角

的三角板拼圖間存在的關(guān)系.

如圖，已知△ABC三△DEC,ZACB=NDCE=90°,NB=30°,AC=DC=4.

【操作探究】

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。，C,B在同一條直線上時(shí)，直線與直線DE的位置關(guān)系

是一；

(2)如圖②，將圖①中的三角板DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，邊DE與邊CB交

于點(diǎn)G,請判斷此時(shí)EC與的位置關(guān)系及△COG的形狀，并說明理由；

(3)如圖③，將圖①中的三角板DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊AB與邊EC交于

點(diǎn)M,當(dāng)△CBM是以BM為腰的等腰三角形時(shí)，求4W的長.

第四章綜合素質(zhì)評價(jià)

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.[[2024?淄博]]下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

2.如圖，將△ABC沿方向平移，得至UADEF.若BD=8,DE=5,則2E的長

為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

3.如果點(diǎn)用（1一%,1-）7）在第二象限，那么點(diǎn)—1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱

點(diǎn)所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

4.如圖所示，在AaBC中，Z-BAC=130°,將△4BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4

DEC,點(diǎn)4B的對應(yīng)點(diǎn)分別為。，E,連接2D當(dāng)點(diǎn)4D,E在同一直線上時(shí),

旋轉(zhuǎn)角乙4CD的度數(shù)是（）

【答案】A

5.如圖，將△ABC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

(第5題)

A.(1,1)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)

【答案】B

6.如圖，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0。<a<180。)，得至以DEC,

點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)。恰好在直線ZB上，則下列結(jié)論不正確的是()

A.乙CBD=乙ECDB.乙CAB=乙CDBC.乙ECB=aD.乙EDB=180°-a

【答案】A

【點(diǎn)撥】???將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180。)，得到△

DEC,：.AC=CD又???點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)。恰好在直線ZB上，

/.CAB=Z.CDB,故選項(xiàng)B正確；???ZCBD是△ABC的夕卜角，.?.乙CBD>

乙4cB=NEC。，故選項(xiàng)A不正確；???NECB為旋轉(zhuǎn)角，??.ZECB=a,故選項(xiàng)C

正確；,:Z.CDE-Z.CAB-Z.CDB,Z.ACD—a,??乙EDB=Z.CDE+Z.CDB—

LCAB+LCDB=180°-LACD=180°-a,故選項(xiàng)D正確.故選A.

7.如圖，將線段先向左平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)。重合，再將所得到的線段繞原

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到線段4B',則點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)是()

(第7題)

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,-2)D.(-3,2)

【答案】A

8.如圖，已知四邊形是由四邊形ZBCD平移得到的，若BB'=3,

A'D'=8,則2D'的長可能是（）

A.3B.5C.8D.11

【答案】C

【點(diǎn)撥】連接

v四邊形是由四邊形ZBCD平移得到的，BB'=3,A'D'=8,

AD=A'D'=8,DD'=BB'=3,

8-3<a。'<8+3,即5<AD'<11.故選C.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=-：久+4與％軸、y軸分別交于點(diǎn)4,B,

將線段ZB繞點(diǎn)a沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段ac,則點(diǎn)c的坐標(biāo)為（）

（第9題）

A.(7,3)B.(6,4)C.(8,5)D.(8,4)

【答案】A

【點(diǎn)撥】作CD1。2于。.^CDA=90°=乙4OB.

將％=0代入y=—+4,得y=4,???8(0,4).OB—4.

將y=0代入y=—1%+4,得%=3,i4(3,0).OA—3.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知ZB=AC,^BAC=90°,

Z.BAO+LCAD=90°.

又；Z.BAO+乙ABO=90°,^ABO=ACAD.

(/.ABO-/.CAD,

在△48。和^CZD中，\^AOB=^CDA,

{AB=AC,

ABO=△CAD..-.AD=OB=4,CD=OA=3.二OD=7,:.C(7,3).故選A.

■2025?濟(jì)寧模擬、

10.慣陋圍規(guī)律探究題如圖，長方形4BCD的頂點(diǎn)4B分別在％軸、y軸上，

04=OB=AD=V2,將長方形2BCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次都旋轉(zhuǎn)90。，

則第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

(第10題)

A.(|,l)B.(-|,-l)C.(1,-|)D.

【答案】A

【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)C作CEly軸于點(diǎn)E,連接。C,則NBEC=90。.

E

1

?:OA=OB=乙AOB=90°,

2

A^ABO=乙BAO=45°.

又?:乙ABC=90°,

“BE=45°,

乙BCE=45°="BE,CE=BE.

vBC=AD=y/2,

在Rt△CBE中，BC=y/CE12+BE2=V2,

CE=BE=1,OE=OB+BE=j,:.C(-l,|).

v長方形ZBCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次都旋轉(zhuǎn)90。，

第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(|,1)；

第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-》；

第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,-1)；

第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,|)；….

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)C的坐標(biāo)每4次為一個(gè)循環(huán).

???2025+4=506……1,

???第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)67的坐標(biāo)為(|,1).

二、填空題(每題3分，共18分)

11.[[2024?江西]]在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)2(1,1)向右平移2個(gè)單位長

度，再向上平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【答案】(3,4)

12./情境題生活應(yīng)甬:如圖①,教室里有一個(gè)倒地的裝垃圾的灰斗，BC與地面的夾

角為50。，ZC=25。，小賢同學(xué)將它扶起平放在地面上(如圖②)，則灰斗柄

繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為.

①

（第12題）

【答案】105°

13.照回雪域支花;麒麟水鄉(xiāng)景區(qū)是國家4A級景區(qū)，是集田園風(fēng)光和水鄉(xiāng)風(fēng)情為一

體的旅游景區(qū)，盛夏的麒麟水鄉(xiāng)秀麗端莊，千畝荷花在微風(fēng)中飄曳，為了便于

游客領(lǐng)略“人從橋上過，如在河中行”的美好意境，景區(qū)工作人員擬在如圖所

示的長方形荷塘上架設(shè)小橋.若荷塘的周長為300m,且橋?qū)捄雎圆挥?jì)，則小橋

總長為m.

(第13題)

【答案】150

14.倒考向傳標(biāo)化如圖,正方形ZBCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，圓中

的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，設(shè)黑色部分的面積為S,

正方形的邊長為2,則5=.

(第14題)

【答案w

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系道》中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),

將4O4B沿X軸正方向平移得到△O0B',若點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)4在直線y=，上，

則點(diǎn)B與其對應(yīng)點(diǎn)B'之間的距離為.

【答案】5

【點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)B與其對應(yīng)點(diǎn)B'之間的距離為a,則AOZB沿K軸正方向平移a個(gè)單

位長度得到△。'49.???點(diǎn)2的坐標(biāo)為(0,4),

???點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(a,4).又：點(diǎn)4在直線y=

.?.|a=4,解得a=5,即點(diǎn)B與其對應(yīng)點(diǎn)B'之間的距離為5.

16.如圖，在Rt△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)P是線段BC上的

動(dòng)點(diǎn)，連接2P,將線段2P繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DP,連接BD,則BD

的最小值是.

A

\\￡）

CPB

（第16題）

【答案】￡

【點(diǎn)撥】如圖，在CB上截取CF=C4連接2F,過點(diǎn)。作DE1BC于點(diǎn)瓦連接

DF.

???△2CF是等腰直角三角形，

^AFC=45°,2C=CF=3.

又；BC=4,

BF=1.

由旋轉(zhuǎn)得2P=PD,LAPD=90°,

^APC+乙DPE=90°.

?:ZC=90°,

^APC+^CAP=90°.

乙DPE-/.CAP.

又：^ACP=Z.DEP=90°,

ACP=APE￡)(AAS),

PE=AC=CF=3,CP=DE,

：.PE-PFCF-PF,

即EF=CP=DE,

即^DEF為等腰直角三角形.??.NBFD=45°.

又???點(diǎn)F為定點(diǎn)，點(diǎn)。在射線FD上運(yùn)動(dòng).

過點(diǎn)B作B。'1DF于點(diǎn)、D',

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。'重合時(shí)，BD最小,即為BD'的長.

易得BD'=GBD的最小值是g.

三、解答題(共72分)

17.(8分)如圖，已知AaBC的頂點(diǎn)4(—1,4),B(—4,-1)￡(1,1).若AaBC向右

平移4個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度得到且點(diǎn)4B,C的對

應(yīng)點(diǎn)分別是4,B',C.

(1)畫出并直接寫出點(diǎn)C'的坐標(biāo)；

(2)若AaBC內(nèi)有一點(diǎn)P(a”)經(jīng)過以上平移后的對應(yīng)點(diǎn)為P',直接寫出點(diǎn)P'的

坐標(biāo).

【答案】

(1)【解】如圖，即為所求，點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(5,—2).

(2)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(a+4,b-3).

18.(8分)如圖，在直角三角形4BC中，乙4cB=90。,乙4=33。，將三角形

ABC沿方向平移得到三角形DEF.

ADBE

(1)求NE的度數(shù);

（2）若ZE=9cm,DB=2cm,求CF的長.

【答案】（1）【解】?.?在RtAABC中，Z.ACB=90°,乙4=33°,=

180°-90°-33°=57°,:.由平移的性質(zhì)，得2E=LCBA=57°.

（2）由平移的性質(zhì)，得2。=BE=CF.AE=9cm,DB=2cm,:.AD=

BE=-BD）=：x（9-2）=3.5cm,CF=3.5cm.

19.（8分）如圖，將邊長為2的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形，用這四

個(gè)直角三角形拼成符合要求的四邊形，請?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形

（注：①網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；

③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）.

是軸對稱圖形是中心對稱圖形

不是中心對稱圖形不是軸對稱圖形

既是軸對稱圖形既不是軸對稱圖形

又是中心對稱圖形又不是中心對稱圖形

是軸對稱圖形是中心對稱圖形既是軸對稱圖形既不是軸對稱圖形

不是中心對稱圖形不是軸對稱圖形又是中心對稱圖形又不是中心對稱圖形

20.[[2025?濟(jì)南月考]]（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖

所示（每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形）.

（1）若△ABC和△4/1Ci關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱，畫出△a/iQ；

（2）將△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的2c2，并寫出點(diǎn)

B2的坐標(biāo)；

（3）若在久軸上存在一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)P到點(diǎn)名與點(diǎn)Q的距離之和最小，請寫出

PBi+PQ的最小值為.

【答案】

（1）【解】如圖所示，△&B1G即為所求.

（2）如圖所示，△A282c2即為所求，52（4,-4）.

（3）V26

【解析】

（3）【點(diǎn)撥】如圖所示，作點(diǎn)G關(guān)于久軸的對稱點(diǎn)E,連接B送交支軸于點(diǎn)P,

22

連接PC〉A(chǔ)PC1=PE,：.PB1+PC1=PB1+PE=ByE=V5+l=V26.

21.（12分）已知△ABC是等腰直角三角形，NZCB=90。，點(diǎn)。是△ABC所在

平面內(nèi)任意一點(diǎn)，CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接ZD,DE,BE.

(1)如圖①，若點(diǎn)。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求證：AD=BE；

(2)如圖②，若點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，AD=5,BD=12,求DE的長.

【答案】

(1)【證明】???△ZBC是等腰直角三角形，AACB=90°,AC=BC.

??-CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,乙DCE=90°=乙4CB,CD=CE,

LACB-乙DCB=乙DCE-乙DCB,即zZCD=乙BCE.

AC=BC,

在△ZCD和△BCE中，，ZACD=NBCE,；.△AC。三△BCE,AD=BE.

CD=CE,

(2)【解】???△ABC是等腰直角三角形，乙4cB=90°,.??乙4=/.ABC=45°.

同(1)易證△ZCD三ABCE,二NCBE=za=45°,AD=BE=5,

乙ABE=^ABC+乙CBE=90°.

在RtZkBDE中，由勾股定理，^BD2+BE2=DE2,/.DE2=BD2+AD2=

122+52=169,DE=13.

22.[[2024?北京]](12分)已知乙MAN=a(0。<a<45°),點(diǎn)B,C分另U

在射線4V,AM±.,將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。-2a得到線段BD,過點(diǎn)

。作4V的垂線交射線ZM于點(diǎn)E.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在射線4V上時(shí)，求證：C是ZE的中點(diǎn)；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在ZM4V內(nèi)部時(shí)，悍DF〃AN,交射線4W于點(diǎn)F,用等式

表示線段EF與2C的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】

(1)【證明】如圖①，連接CD,

ABDN

①

由題意，得BC=BD,Z.CBD=180°-2a,

?,.Z.BDC=乙BCD.

???乙BDC+乙BCD+Z.CBD=180°,

??180°-(180°-2a)

?Z-BDC=-----2--------=a.

又「Z-A=a,

Z.BDC=乙4,CA=CD.

???DE1AN,???Z1+ZX=Z2+ABDC=90°,

???Z1=z2..??CD=CE.CA—CE.

C是AE的中點(diǎn).

(2)【解】EF=22C,證明如下：

如圖②，在射線上取點(diǎn)“，連接B”，使得BH=BA,取EF的中點(diǎn)G,連接

DH,DG,