專題04分布列綜合大題歸類（12題型）

國^歸納|

目錄

題型一：利用排列組合求分布列型...........................................................1

題型二：利用“圖表分析”求分布列型.......................................................2

題型三：兩點型分布列....................................................................3

題型四：二項分布型求分布列...............................................................3

題型五：超幾何分布型分布列...............................................................3

題型六：正態(tài)分布型分布列.................................................................4

題型七：比賽模型........................................................................5

題型八：射擊模型........................................................................6

題型九：取球模型........................................................................6

題型十：答題模型........................................................................7

題型十一：過關(guān)模型......................................................................8

題型十二：傳球模型......................................................................9

優(yōu)選提升................................................................................10

I經(jīng)典基礎(chǔ)題

題型一：利用排列組合求分布列型

1.（2023?江西鷹潭?期中）2024年春晚為觀眾帶來了一場精彩紛呈的視覺盛宴，同時，也是傳統(tǒng)文化

與現(xiàn)代科技完美融合的展現(xiàn).魔術(shù)師劉謙為大家呈現(xiàn)了一個精妙絕倫的魔術(shù)《守歲共此時》，小明深

受啟發(fā)，在家嘗試對這個魔術(shù)進(jìn)行改良，小明準(zhǔn)備了甲、乙兩個期中一樣的袋子，甲、乙兩袋中各

裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2,3,4.乙袋中紅色、

黑色、白色小球的個數(shù)均為3,小明用左右手分別從甲、乙兩袋中取球.

（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；

（2）若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球（左

右手完成各取兩球為兩次取球）的成功取法次數(shù)的隨機(jī)變量X,求X的分布列.

2.（2023?遼寧?期中）在統(tǒng)計學(xué)的實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡稱為第

一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡稱為第三四分位數(shù)），四分位數(shù)應(yīng)用于統(tǒng)計學(xué)的箱型圖繪制，是統(tǒng)

計學(xué)中分位數(shù)的一種，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數(shù)值就是四

分位數(shù)，箱型圖中“箱體”的下底邊對應(yīng)數(shù)據(jù)為第一四分位數(shù)，上底邊對應(yīng)數(shù)據(jù)為第三四分位數(shù)，中

間的線對應(yīng)中位數(shù)，已知甲、乙兩班人數(shù)相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.

（1）由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結(jié)論即可，不用說明理由）

（2）若在兩班中隨機(jī)抽取一人，發(fā)現(xiàn)他的分?jǐn)?shù)小于128分，則求該同學(xué)來自甲班和乙班的概率分別是

多少？

(3)據(jù)統(tǒng)計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學(xué)習(xí)經(jīng)驗交流,

3人中來自乙班的人數(shù)為X,求X的分布列.

3.(2023高二?全國?期中)北方某市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)

行了考核，記考核成績不小于80分的為優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中

隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績，如下表：

成績

人數(shù)55152510

(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

4.(2023高二?全國?期中)某縣教育局從縣直學(xué)校推薦的6名教師中任選3人去參加進(jìn)修活動，這6

名教師中，語文、數(shù)學(xué)、英語教師各2人.

(1)求選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；

(2)設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學(xué)教師的人數(shù)，求X的分布列.

題型二：利用“圖表分析”求分布列型

1.(2223高二下?山東東營?期中)學(xué)生甲想加入?；@球隊，籃球教練對其進(jìn)行投籃測試.測試規(guī)則如

下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機(jī)會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球

線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪，若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，

否則不預(yù)錄??；③若他在三分線處投進(jìn)第一球，則直接錄取，若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，

投進(jìn)則錄取,否則不予錄取.己知學(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為二3，在三分線處投籃命中率為2;.假

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設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響.

(1)求學(xué)生甲被錄取的概率；

(2)在這次測試中，記學(xué)生甲投籃的次數(shù)為X,求X的分布列.

2.(2223高二?遼寧遼陽?期中)某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊，其中高一學(xué)生有8

名、高二學(xué)生有7名、高二學(xué)生有5名.

(1)若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊中隨機(jī)抽取3人參加一項數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自

高一的概率.

(2)現(xiàn)學(xué)校欲對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題答對每道題

計1分，答錯計0分，后2道題答對每道題計2分，答錯計。分，累積計分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)

秀學(xué)員.已知張同學(xué)前2道題每道題答對的概率均為：，后2道題每道題答對的概率均為g,是否

正確回答每道題之間互不影響.記張同學(xué)在本次考核中累積計分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望,

并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的概率.

(1)求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率；

(2)設(shè)小李所得獎金總數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列.

4.(2122高二?全國?期中)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝.投籃進(jìn)行到

有人獲勝或每人都已投球3次時結(jié)束.設(shè)甲每次投籃命中的概率為三2，乙每次投籃命中的概率為彳2,

且各次投籃互不影響.現(xiàn)由甲先投.

⑴求甲獲勝的概率；

(2)求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)X的分布列.

題型三：兩點型分布列

1.（2021高二?全國?期中）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布.

2.（2223高二?全國?期中）袋中有除顏色外都相同的紅球10個，白球5個，從中摸出2個球，如果

只關(guān)心摸出兩個紅球的情形，問如何定義隨機(jī)變量X,才能使X滿足兩點分布，并求分布列.

3.（2122高二.湖南.期中）一個袋中有除顏色外其余完全相同的3個白球和4個紅球.

題型四：二項分布型求分布列

況（單位:萬元）

（1）求直方圖中x,y的值；

（2）①用樣本估計總體，比較學(xué)院畢業(yè)生與同類型合作辦學(xué)高校畢業(yè)生薪資水平，如果至少77%的畢

業(yè)生年薪高于同類型合作辦學(xué)高校畢業(yè)生平均薪資水平，則說明同類型合作辦學(xué)高校畢業(yè)生平均年

薪最高為多少；

2.（2223高二下?湖南邵陽?期中）某食品生產(chǎn)廠生產(chǎn)某種市場需求量很大的食品，這種食品有A、B

兩類關(guān)鍵元素含量指標(biāo)需要檢測，設(shè)兩元素含量指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響.若A元素指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率

QQ

為二，B元素指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為八，按質(zhì)量檢驗規(guī)定：兩元素含量指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的食品才為合格品.

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（1）一個食品經(jīng)過檢測，AB兩類元素至少一類元素含量指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率；

（2）若甲、乙兩位員工都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問：他們都選擇哪種方案投籃，得分之

和的均值較大？

4.（2324高二?江蘇南通期中）袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現(xiàn)在無放回地每次取一球檢

驗.

（1）若直到取到新球為止，求抽取次數(shù)X的概率分布及其均值；

（2）若將題設(shè)中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數(shù)X的均值.

題型五：超幾何分布型分布列

1.（2223高二?江蘇南京?期中）為弘揚(yáng)中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國共

產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動.競賽共有A和8兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道A類試題

得10分；每答對1道8類試題得20分，答錯都不得分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽

出3道題回答(每道題抽后不放回).已知某同學(xué)A類試題中有7道題能答對，而他答對各道B類

試題的概率均為:.

(1)若該同學(xué)只抽取3道A類試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期

望；

(2)若該同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率.

2.(2023?湖北武漢?期中)“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到

2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從

武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動.

(1)若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，J表示選取的人中

來自該中學(xué)的人數(shù)，求自的分布列和數(shù)學(xué)期望；

3.(2223高二下?天津濱海新?期中)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中

蛋黃粽4個，豆沙粽2個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.

(1)求選取的3個中至少有1個豆沙粽的概率；

4.(2122高二下.北京?期中)某業(yè)余俱樂部由10名乒乓球隊員和5名羽毛球隊員組成，其中乒乓球

隊員中有4名女隊員；羽毛球隊員中有2名女隊員，現(xiàn)采用分層抽樣方法(按乒乓球隊和羽毛球隊

分層，在每一層內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣)從這15人中共抽取3名隊員參加一項比賽.

(1)求所抽取的3名隊員中乒乓球隊員、羽毛球隊員的人數(shù)；

(2)求從乒乓球隊抽取的隊員中至少有1名女隊員的概率；

(3)記片為抽取的3名隊員中男隊員人數(shù)，求自的分布列及數(shù)學(xué)期望.

題型六：正態(tài)分布型分布列

②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.

(1)本次調(diào)查對產(chǎn)品功能非常滿意和對產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？(結(jié)果四舍五入取整數(shù))

4.(2022高二下.江蘇?期中)2023年，全國政協(xié)十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂

開幕，3月11日下午閉幕，會期7天半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午

閉幕，會期8天半.為調(diào)查居民對兩會相關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將

該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.

（2）中國移動為支持本次活動提供了大力支持，制定了如下獎勵方案：參與本次活動得分低于〃的居

民獲得一次抽獎機(jī)會，參與本次活動得分不低于〃的居民獲得兩次抽獎機(jī)會，每位居民每次有;的

機(jī)會抽中一張10元的話費(fèi)充值卡，有g(shù)的機(jī)會抽中一張20元的話費(fèi)充值卡，假設(shè)每次抽獎相互獨

立，假設(shè)該小區(qū)居民王先生參與本次活動，求王先生獲得的話費(fèi)充值卡的總金額Y（單位：元）的

概率分布列，并估計本次活動中國移動需要準(zhǔn)備的話費(fèi)充值卡的總金額（單位：元）

題型七：比賽模型

1.（2223高二?山東淄博?期中）第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘

揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識，某學(xué)校舉辦一場羽毛球比賽.已知羽毛球比賽的單打

規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，

且成為下一回合發(fā)球方.現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，，乙得

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分的概率為不；若乙發(fā)球，乙得分的概率為二，甲得分的概率為g.每回合比賽的結(jié)果相互獨立.經(jīng)

抽簽決定，第一回合由甲發(fā)球.

（1）求第三回合甲發(fā)球的概率；

（2）設(shè)前三個回合中，甲的總得分為X,求X的分布列及期望.

2.（2122高二.江西南昌?期中）為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采

取5局3勝制，即某隊先贏得3局比賽，則比賽結(jié)束且該隊獲勝，每局都是單打模式，每隊有5名

隊員，比賽中每個隊員至多上場一次目上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，

最終甲乙兩隊進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊明星隊員M對乙隊的每名隊員的勝

率均為甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為：.（注：比賽結(jié)果沒有平局）

（1）若求甲隊明星隊員M在前三局比賽中出場，記前三局比賽中，甲隊獲勝局?jǐn)?shù)為X,求隨機(jī)變量X

的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑵若已知甲乙兩隊比賽3局，甲隊以3:0獲得最終勝利，求甲隊明星隊員M上場的概率.

3.（2223高二湖南常德?期中）甲、乙準(zhǔn)備進(jìn)行一局羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方

作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為1,若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為:，

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每回合比賽的結(jié)果相互獨立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.

（1）求第3回合由乙發(fā)球的概率；

（2）求前3個回合中甲贏的回合數(shù)不低于乙的概率.

4.(2223高二云南昆明?期中)甲、乙兩人玩一種游戲，游戲規(guī)則如下：放置一張紙片在地面指定

位置，其中一人在固定位置投籃，若籃球被籃板反彈后擊中紙片，則本次游戲成功，此人繼續(xù)投籃，

否則游戲失敗，換為對方投籃.已知第一次投籃的人是甲、乙的概率分別為2:和1;，甲、乙兩人每

次游戲成功的概率分別為由7和(4.

(1)求第2次投籃的人是甲的概率；

(2)記第n次投籃的人是甲的概率為P?,

①用A表示Pn+\；

②求玲

題型八：射擊模型

1.(2223高二?江蘇南通?期中)2023年9月25日，在富陽銀湖體育中心舉行的杭州亞運(yùn)會射擊項

目男子25米手槍速射團(tuán)體決賽中，中國隊以1765環(huán)的總成績擊敗韓國隊奪得冠軍，并打破世界記

錄.現(xiàn)已知男子25米手槍速射決賽規(guī)則如下：取資格賽前6名選手進(jìn)入決賽，5發(fā)子彈為一組，每

發(fā)子彈9.7環(huán)以上得1分,否則得0分.若進(jìn)入決賽的每位選手每組能得5分與4分概率分別為0.6,

0.4.

(1)求某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為14分的概率；

(2)設(shè)某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為隨機(jī)變量算求隨機(jī)變量4的分布列與期望.

2.(2023山西臨汾?期中)現(xiàn)有5個紅色氣球和4個黃色氣球，紅色氣球內(nèi)分別裝有編號為1,3,5,

7,9的號簽，黃色氣球內(nèi)分別裝有編號為2,4,6,8的號簽.參加游戲者，先對紅色氣球隨機(jī)射擊

一次，記所得編號為。，然后對黃色氣球隨機(jī)射擊一次，若所得編號為2a,則游戲結(jié)束；否則再對

黃色氣球隨機(jī)射擊一次，將從黃色氣球中所得編號相加，若和為2“，則游戲結(jié)束；否則繼續(xù)對剩余

的黃色氣球進(jìn)行射擊，直到和為2a為止，或者到黃色氣球打完為止，游戲結(jié)束.

(1)求某人只射擊兩次的概率；

(1)在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；

(2)若獨立進(jìn)行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)

期望.

4.(2223高二?遼寧期中)某種項目的射擊比賽規(guī)則是開始時在距離目標(biāo)60米處射擊，如果命中記

4分，同時停止射擊；若第一次射擊未命中目標(biāo)，可以進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在90米遠(yuǎn)處，這

時命中記3分，同時停止射擊；若第二次射擊仍未命中目標(biāo)，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時目標(biāo)已

在120米遠(yuǎn)處，這時命中記2分，同時停止射擊；若三次都未命中，則記1分.已知甲射手在60

米處擊中目標(biāo)的概率為他命中目標(biāo)的概率與距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的.

(1)求射手甲分別在90米和120米處命中的概率；

⑵求射手甲進(jìn)行射擊比賽中命中目標(biāo)的概率；

題型九：取球模型

1.(2021高二遼寧沈陽?期中)某公司在聯(lián)歡活動中設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有3個

紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同.游戲參與者可以選擇有放回或者不放回的方式從中依

次隨機(jī)摸出3個球，規(guī)定至少摸到兩個紅球為中獎.現(xiàn)有一位員工參加此摸獎游戲.

(1)如果該員工選擇有放回的方式(即每摸出一球記錄后將球放回袋中再摸下一個)摸球，求他能

中獎的概率；

(2)如果該員工選擇不放回的方式摸球，設(shè)在他摸出的3個球中紅球的個數(shù)為X,求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望；

(3)該員工選擇哪種方式摸球中獎的可能性更大？請說明理由.

2.(2021高二下.江蘇連云港?期中)已知袋中裝有5個白球，2個黑球，3個紅球，現(xiàn)從中任取3個

球.

(1)求恰有一個白球的方法種數(shù)；

(2)求至少有一個紅球的方法種數(shù)；

(3)設(shè)隨機(jī)變量X為取出3球中黑球的個數(shù)，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

3.(2223高二下?上海期中)袋中有大小和質(zhì)地均相同的10個球，其中4個黃球，6個白球，從中隨

機(jī)地摸出3個球，用X表示其中黃球的個數(shù).

⑴采用不放回摸球，求X的分布；

(2)采用有放回摸球，求X的分布、期望和方差.

4.(2122高二下?山東?期中)盒中有大小顏色相同的6個乒乓球，其中4個未使用過(稱之為新球)，

2個使用過(稱之為舊球).每局比賽從盒中隨機(jī)取2個球作為比賽用球，比賽結(jié)束后放回盒中.使用

過的球即成為舊球.

(1)求一局比賽后盒中恰有3個新球的概率；

(2)設(shè)兩局比賽后盒中新球的個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

題型十：答題模型

1.(2024?云南昆明?期中)某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A,B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測試方案

如下：A,B兩名學(xué)生各自從給定的4個問題中隨機(jī)抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A

3

能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率都是:，A,B兩名同學(xué)作答問題相互獨立.

(1)求A,B兩名同學(xué)恰好共答對2個問題的概率；

(2)若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生，簡要說明理由.

2.(2122高二上?四川綿陽?期中)某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎問答比賽》活動.某場比賽中，甲、

乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是=,甲、

丙兩個家庭都回答錯誤的概率是1，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是J.若各家庭回答是否正

確互不影響.

(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；

(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于1個家庭回答正確這道題的概率.

3.(2122高二?江西贛州?期中)現(xiàn)有一種趣味答題比賽，其比賽規(guī)則如下：①每位參賽者最多參加

5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機(jī)抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯

或放棄均積。分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章一枚；④結(jié)束

所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應(yīng)的禮品.據(jù)主辦方透露：這10道題中有7道題

是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的.

(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；

(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩(wěn)定且每輪是否獲得勛章相互獨立.問：某參賽選手在5輪參賽

中，獲得多少枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大？

4.(20224高二北京西城?期中)某校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的實驗考查方案；考生從6道備選題中一

次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規(guī)定：至少正確完成其中2題便可通過.

已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是:，

且每題正確完成與否互不影響，求：

(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算數(shù)學(xué)期望；

(2)試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生的實驗操作能力.

題型十一：過關(guān)模型

1.(2122高二?重慶開州期中)某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)比賽，

每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對10道題中的6

道題.

(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分X的分布列和期望；

(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪

是否闖關(guān)成功相互獨立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值

最大？

2.(2021高二?河南南陽?期中)2023年12月4日是我國第十個國家憲法日.為加強(qiáng)憲法學(xué)習(xí)宣傳，

弘揚(yáng)憲法精神，某省總工會舉辦憲法闖關(guān)網(wǎng)絡(luò)知識競答活動.每輪共分兩關(guān)，每關(guān)設(shè)有兩題，闖每關(guān)

時兩題都要作答，只有第一關(guān)的兩題均答對，才能闖第二關(guān)，否則本輪闖關(guān)失敗.已知甲第一關(guān)每道

題答對的概率均為第二關(guān)每道題答對的概率均為［,兩關(guān)至少答對3題才可獲得一次抽獎機(jī)會.

43

(1)求甲在一輪闖關(guān)中闖關(guān)失敗的概率；

⑵記甲在一輪闖關(guān)中答對的題目數(shù)為X,請寫出X的分布列，并求EX;

(3)若每人可參加多輪問關(guān)，且各輪之間相互獨立，甲進(jìn)行5輪闖關(guān)，求他恰好獲得3次抽獎機(jī)會的

概率.

3.(2023?江西景德鎮(zhèn)?期中)某娛樂節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，

三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎金分別為1000元、2000元、3000元.獎金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選

手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同

前面所得獎金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的

概率分別為4:，43,工2第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率3為第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的

5435

9

概率為二，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.

(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎金為零的概率；

(2)設(shè)小劉所得獎金為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

4.(2122高二?北京期中)某闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功，其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文

史常識題”“生活常識題”“影視藝術(shù)常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：

方案一：答題3道，至少有2道答對

方案二：在這3道題目中，隨機(jī)選取2道，這2道都答對.

方案一和方案二中只要完成一個，就能通過第一關(guān)，假設(shè)甲選擇方案一、且答對每一道題的概率是g,

乙選擇方案二，且3道題中只能答對其中兩道題.

(1)求甲答對題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為求自的分布列；

(1)求小張能參與翻牌闖關(guān)環(huán)節(jié)的概率；

(2)記小張本次答題闖關(guān)和翻牌闖關(guān)通過的環(huán)節(jié)總數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

題型十二：傳球模型

1.(2324高二上?云南期中)運(yùn)動會期間，某班組織了一個傳球游戲，甲、乙、丙三名同學(xué)參與游戲，

規(guī)則如下：持球者每次將球傳給另一個同學(xué).已知，若甲持球，則他等可能的將球傳給乙和丙；若乙

持球，則他有g(shù)的概率傳給甲；若丙持球，則他有g(shù)的概率傳給甲，游戲開始時，由甲持球.記經(jīng)過

n次傳球后甲持球的概率為P?.

(1)若三次傳球為一輪游戲，并且每輪游戲開始都由甲持球，規(guī)定：在一輪游戲中，若在第3次傳球

后，持球者是甲，為甲勝利.記隨機(jī)變量X為3輪游戲后甲勝利的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵求P”.

2.(2223高二上?山東青島?期中)某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁

四名隊員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三人

中的任何一人.〃次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為匕.

⑴求A；

3.(2223高二下?湖南?期中)從甲、乙、丙等10人中隨機(jī)地抽取三個人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確

定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次

必須將球傳出.

(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列；

(2)若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，求〃次傳球后球在甲手中的

概率.

4.(2021高二下?四川宜賓?期中)某大學(xué)組織學(xué)生觀看電影《奪冠》后，受到幾代女排人“無私奉獻(xiàn)，

團(tuán)結(jié)協(xié)作、艱苦創(chuàng)業(yè)，自強(qiáng)不息”精神的感召，開展了“學(xué)習(xí)女排精神，做新時代的奮斗者”的主題活

動，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情不斷提高，將該大學(xué)開展此活動5周來圖書館每周科技類書籍借閱人次進(jìn)行統(tǒng)

計，得到如下表格：

第X周周次X12345

借閱人次y280350420480560

(2)該大學(xué)學(xué)生在這個活動中也掀起了排球熱，甲、乙、丙三位同學(xué)在一次排球傳接球訓(xùn)練中，若

任意一人控制球時，只能將球傳給另外兩人，另外兩人接球的概率都是現(xiàn)球恰由甲控制，經(jīng)過

3次傳球和3次接球后(不考慮傳接球失誤)，設(shè)其中丙接球的次數(shù)為求4的分布列和期望.

優(yōu)選提升題

1.(2024?河北石家莊期中)某商場周年慶進(jìn)行大型促銷活動，為吸引消費(fèi)者，特別推出