廣東省惠州市202與2025學年高一下學期期末質量檢測

數學試題

一、單選題

1.已知復數2=空，則2=（）

1-1

A.2-2iB.l-3iC.l+3iD.2+3i

2.已知a=0,2）,5=（九3）,若益_L（B-萬），則實數機=（）

A.-2B.2C.-1D.1

3.某班有男生36人，女生20人，現在要用性別比例分配的分層隨機抽樣方法從該班中抽取14人參加跳繩

比賽，則男生被抽取的人數為（）

A.7B.8C.9D.10

4.已知圓錐的底面半徑為1,側面展開圖是一個圓心角為60。的扇形，則該圓錐的側面積為（）

A.6兀B.12兀C.3兀D.2兀

5.位于燈塔A處正西方相距30海里的8處有一艘甲船，需要海上加油，位于燈塔A處北偏東45。方向有一

與燈塔A相距10a海里的C處有一艘乙船，則乙船前往支援3處甲船需要航行的最短距離是（）

A.10石海里B.10J萬海里C.8舊海里D.30海里

6.如圖，某幾何體可看成是3個幾何體的組合體，上面的幾何體I是直棱柱，中間的幾何體n是棱臺，下

面的幾何體III也是棱臺，幾何體III的下底面與幾何體I的底面是全等的六邊形，幾何體III的上底面面積是

下底面面積的4倍，若幾何體I、n、in的高之比分別為2:3:5,則幾何體I、II、m的體積之比為（）

A.2:6:15B.9:15:25

C.6:21:35D.9:21:56

7.如圖，在AABC中，定=2而過點P的直線分別交直線A8,AC于不同的兩點N,設

_______,.21

AB=="A/V,其中機，n>0,貝!]—1■一的最小值為（）

mn

A

N

M

A.1B.2C.3D.4

8.十七世紀法國數學家、被譽為業(yè)余數學家之王的皮埃爾?德?費馬提出一個著名的幾何問題：己知一個三

角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小.在費馬提到的這個問題中所求的點被稱為

費馬點，其答案如下：當三角形的三個角均小于120。時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角

形三個頂點的連線兩兩成120。角；當三角形有一內角大于或等于120。時，所求的點為三角形最大內角的頂點.

已知。、b、。分別是VA3C的內角A、B、C所對的邊，且"一修_C）2=8,bsin=asin2,若P為

VA2C的費馬點，則麗?麗+麗?正+AX?定=（）

A.-4B.-3C.-6D.--

2

二、多選題

9.若復數z滿足i.z=l+3i（i是虛數單位），則下列說法正確的是（）

A.z=3-iB.之的模為4

C.z在復平面內對應的點位于第四象限D.z-2z=-3-3i

10.下列說法中正確的是（）

A.數據2、2、3、5、6、7、7、8、10、11的下四分位數為3

B.若A、3為互斥事件，則A的對立事件與8的對立事件一定互斥

C.設樣本數據4、尤2、演、L、無9、羽的平均數和方差分別為2和8,若y=2%+1（7=1,2,3,…,10）,

則%、%、％、L、%、%的平均數和方差分別為5和32

D.己知P（A）=0.5,P（B）=0.4,且BaA,則尸（㈣=0.2

11.如圖，在棱長為4的正方體ABCZ）-A瓦GR中，P為棱B片的中點，點。滿足

電=2四+〃束則下列說法中正確的是（）

A.AC1，平面片尸。

B.若R?！ㄆ矫?PD,則動點。的軌跡長度為20

C.若2+〃=；,則四面體。PQ4的體積為定值

D.平面4尸。截正方體的截面面積為18

三、填空題

12.在正方體ABCD-ArB,仁中，異面直線AC與48所成角的大小為.

13.已知向量Z與5的夾角為30。，I團=463=（亞，后），則。在方方向上的投影向量1的坐標

為.

14.已知正四面體的棱長為4A/6,現截去四個全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個八面體能放

進半徑為2#的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長最小值為.

四、解答題

15.為了解某小區(qū)居民的體育鍛煉時間，隨機在該小區(qū)選取了100名住戶，將他們上周體育鍛煉的時間（單

位：時）按照［0,2）、［2,4）、［4,6）、［6,8）、［8,10］分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)根據頻率分布直方圖估計樣本數據的第80百分位數；

(3)根據頻率分布直方圖，用每組數據區(qū)間中點值作代表，估計這100名住戶上周體育鍛煉時間的平均值.

16.在AASC中，已知a,b,c分別是AASC的內角A,B,C所對的邊，記m=(2c,l),為=(2a—6,cosB),

且mlIn.

⑴求角C;

⑵若c=/求26-a的取值范圍.

17.DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發(fā)的人工智能模型，在金融、醫(yī)療健康、智能制造、教育等

多個領域都有廣泛的應用場景.為提高DeepSeek的應用能力，某公司組織A、8兩部門的員工參加DeepSeek

培訓.

(1)已知該公司A、B部門分別有3名領導，此次DeepSeek培訓需要從這6名部門領導中隨機選取2人負責，

假設每人被抽到的可能性都相同，求全部來自A部門領導的概率；

221

(2)此次DeepSeek培訓分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優(yōu)秀”的概率分別為每輪

培訓結果相互獨立，至少兩輪培訓達到“優(yōu)秀”的員工才能合格，求每位員工經過培訓合格的概率.

18.如圖，等腰直角三角形A3C所在平面與半圓弧AB所在平面垂直，。為A8的中點，且AC=8C,M

(1)證明：平面oav

⑵若圓。的半徑為1,設=

（i）當e=30°時，求二面角C—AM—8的平面角的正切值；

COSCC

（ii）當M在弧A3上運動時（不與A、8重合），證明：點。到平面3cM的距離d=%=^=.

VI+cosa

19.將所有平面向量組成的集合記作R2.如果對于向量.]=E，X2）WR2,存在唯一的向量5=（X，%）￡R2與

之對應，其中坐標%、%由毛、％確定，則把這種對應關系記為.]=/（4或者（X，%）=/（%，%2）簡記為九

例如（%，%）=〃和％）=（2%+程4）就是一種對應關系.若在詞=1的條件下同有最大值，則稱此最大值為

對應關系了的模，并把了的模記作用；若存在非零向量建R2及實數4使得/仔）=右，則稱2為7的一

個特征值，

⑴如果/（不多）=（3%,3%），求帆;

⑵如果?。ㄓ?馬）=（2玉+49,玉-馬）,計算/的特征值，并求相應的1；（若符合條件的向量1有多個，寫出

其中一個即可）

⑶若/（占2”（卬玉+^^^玉+%超），要使了有唯一的特征值，實數q、%、4、%應滿足什么條件?試找

出一個對應關系了,同時滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值幾，②憂||=阿，并驗證了滿足這兩個條件.

題號12345678910

答案DCCABCCAACDAC

題號11

答案BCD

1.D

利用復數的除法化簡可得出復數z.

【詳解】z-5=+it(5i+i-)(lf+i)44~+6i=2+31'

故選：D.

2.C

由向量坐標運算及垂直的坐標表示可求加.

【詳解】由題意，向量商=（1,2）1=（九3）,則5-1=（川_1,1）,

因為益勾,可得1x（根—l）+2xl=0,解得m=—1.

故選：C.

3.C

利用分層抽樣可求出男生被抽取的人數.

【詳解】設男生被抽取的人數為〃，則二=空1，解得"=9.

1436+20

故選：C.

4.A

利用圓錐側面展開圖扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長即可求解母線長，最后利用側面積公式即可得到

答案.

【詳解】設圓錐的母線為/,底面半徑為「，側面展開圖扇形的圓心角為

JT

則1=60。=1,

因為圓錐側面展開圖扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，

71

所以a/=271r,即§x/=2兀，所以/=6.

則該圓錐的側面積為7irl=6兀

故選：A.

5.B

根據題設畫出示意圖，利用余弦定理BC2^AB2+AC2-2AB-AC-cos135°可得BC.

【詳解】根據題意，畫出示意圖如下，由題意得AB=30,AC=10^2,

AB2+AC2-2AB-AC-cos135°

所以BC=10ji7,則乙船航行的距離為10jI7海里.

故選：B.

6.C

利用柱體、臺體體積公式可求得結果.

【詳解】設直棱柱I的底面積為S,高為2/7,則棱臺n的上底面面積為S,下底面面積為4S,高為3人

棱臺ni的上底面面積為4S,下底面面積為S,高為5〃，

設幾何體I、II、in的體積分別為匕、匕、％，

貝I］X=S?2/7=2S/Z,匕=+4S+JS.4S)-3h=ISh,

匕=；(4S+S+j4S.S).5〃=^S/i,

35

因此，K：%:%=2:7：々~=6:21:35.

故選：C.

7.C

利用向量基本定理得到無？=半題+；麗，由共線定理的推論得到方程，求出2根+"=3,再利用乘“1”

法即可得到答案.

［詳解［AP=AB+BP=AB+jBC=AB+^(AC-AB^=^AB+^AC,

因為=AC=nAN,所以Q=+；痔，

又M,P,N三點、共線,所以岸+1=1,即2機+〃=3,且私〃〉0,

21

—I—==3,

mn

當且僅當一=—，即m=〃=1時等號成立.

mn

故選：C

8.A

A

利用余弦定理、二倍角的正弦公式化簡得出sin］的值，結合角A的取值范圍可得出角A的值，再利用與余

弦定理求出租的值，利用三角形的面積結合等面積法可求得網?網+網?岡+網?岡的值，再結合平

面向量數量積的定義可求得結果.

【詳解】因為。2-（6-c）~-<?+2Z?c=8,BPb2+c2-a2-2bc=-8,

序2_2

由余弦定理可得cosA=--------------，故從+/一〃=2瓦?cosA,

2bc

BP2bccosA—2bc=—8,BPbecosA—=T,

JT—A

因為力sin=asinB,由正弦定理可得sin^sin—=sinAsinB

AjrA

因為A、BG（0,7i）,貝"0<萬<5，故sin_B>0,cos—>0,

所以cosg=sinA=2sin'cos',化簡得sin~1=g,故'=￡，所以4=方，

所以Z?ccosA—bc=—工人。二一4,可得〃。=8,

2

故=；6csinA=；x8x￥=25

所以S*=SAPAB+SAPAC+SgBc=I（網?|國sin120。+1胡,因sin120。+1畫.附卜in120。）

=；義務（網.網+網MI+網同）=25

故網畫+圖?回+|網困=8,

故麗?麗+麗?定+麗?定=|同'而|cosl20°+|呵J因cosl20°+|而,P^cosl20。

=—x8=—4.

2

故選：A.

9.ACD

利用復數的除法化簡得出復數z,可判斷A選項；利用共輾復數的定義以及復數的模長公式可判斷B選項;

利用復數的幾何意義可判斷C選項；利用復數的運算可判斷D選項.

l+3i3i-i2

【詳解】對于A選項，因為i.z=l+3i=3—i,A對;

11

對于B選項，z=3+i，則口=73==9，B錯；

對于C選項，z在復平面內對應的點的坐標為（3,-1）,位于第四象限，C對；

對于D選項，z—2z=（3—i）—2（3+i）=—3—3i,D對.

故選：ACD.

10.AC

利用百分位數的定義可判斷A選項；利用韋恩圖法可判斷B選項；利用平均數和方差的性質可判斷C選項;

利用事件的關系可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，10x0.25=2.5,故數據2、2、3、5、6、7、7、8、10、11的下四分位數為3,

A對；

對于B選項，若事件A、8互斥且不對立，如下圖所示：

則入。石片0,即A的對立事件與8的對立事件不一定互斥，B錯；

對于C選項，設樣本數據了1、x?、w、L、/、Xi。的平均數和方差分別為2和8,

若y=2為+1[=1,2,3,…,10）,則%、％、%、L、%、％。的平均數為2x2+l=5,方差為2?><8=32,C

對；

對于D選項，若則鉆=8,故P（AB）=P（B）=0.4,D錯.

故選：AC.

11.BCD

對于A,運用反證法思路，假設結論成立，經過推理得到4G，平面A用，與事實矛盾，排除A；對于B,

利用動線構造平面平面QFE與平面A/Z）平行，即可判斷點。的軌跡為線段所，求出其長度可判斷B；對

于C,由彳+〃=；推理得到Q、E、尸三點共線，而成〃平面4尸。，故得四面體DPQA的體積為定值，

可判斷C；對于D,取BC的中點連接尸河、DM,分析出截面為梯形求其面積，可判斷D.

【詳解】對于A,如圖1,假設AC1,平面APD,因APu平面4尸。則AG^AP①;

圖1

因為四邊形4244為正方形，可得AB，A片,

又用G，平面ABBH，A18u平面AB4A，則

又AB[cB[C[=B[,AB]、平面ABG，故AB_L平面A8G，

因AC】u平面ASG,故AB，AQ②，

又ABnAP=A，AB、APu平面AAB百，故由①②可得AG，平面AABB，

顯然該結論不成立，故A錯誤；

對于B,如圖2,分別取用￡、CG中點￡、F,連接2￡、2斤、EF,

圖2

因為5BJ/CC],BBt=CQ,p、產分別為B與、CG的中點,

所以B/〃GF,BF=GF,

故四邊形耳CZ尸為平行四邊形，WPFHB'G，PF=BG，

又因為A2〃BG，A.=BC,所以PF//A2,

即四邊形DA尸尸為平行四邊形，所以。①〃4尸,

因為4Pu平面AP。，口尸0平面吊尸。，故2尸〃平面AP。③,

因為E、F分別為4G、CG的中點，所以EF〃B,C,

因為4D//BC，AD=B。,故四邊形4弟切為平行四邊形，

則故所

因為EFa平面4尸。，ADu平面4尸。，所以￡F〃平面4尸。④，

因為EFc￡＞尸=尸，EF、RFU平面QEF,

由③④可得平面4尸。〃平面D{EF,

而DQ〃平面4尸。，則點Q在平面、EF內，而點。又在平面C.CBB,內,

故點。的軌跡為線段跖，

其長度為EF=JcE+CF=42」+2?=20,B正確；

對于C,C^=2QE,QC=2QF,EF/ZA^D,

因為麗=2飆+〃F(Xe[O[],〃WO,l]),%+〃=；,即22+2〃=1,

所以束=22乎+2〃彳=229+(1-22)鏟，

即電一索=24(甲-QF),即而=24而，故。、E、歹三點共線，

所以點。在跖上，而EF//AQ,且AQu平面A/。，EFa平面4尸。，

所以所〃平面4PD,

所以點。到平面的距離為定值，因為△APD的面積為定值，

所以四面體。PQA的體積為定值，c正確；

對于D,取3c的中點M,連接尸M、DM,如下圖所示：

因為〃、P分別為BC、的中點，故MP〃瓦C,

又因為AD//BC，故

且MP=；BC=gx4及=20,

由勾股定理可得DM=y]CD2+CM2="+2?=2-J5，

PD=個BD2+BP?=J(4用+22=6,

PD、PM?-DM?36+8-20V2

所以cosZDPM=

2PDPM2x6x202

TV

因為OVNDPMVTI,故NOPM=—,

4

故S4DPM=1pr>.FMsin^=1x6x2V2x^=6,

TT

因為尸i^ZAlDP=ZDPM=-,

所以S%%.尸Osin：=；x4忘x6x,=12,

因此，平面4尸。截正方體的截面面積為S梯形4PM0=5^1tfM+S"?。=6+12=18,

D正確.

故選：BCD.

12.-

3

根據正方體的結構特征先確定直線AC與A田所成角，然后根據線段關系確定角度大小.

【詳解】如圖所示,

因為是正方體,

所以AC//AG.

所以直線AC與A}B所成角為直線AG與AB所成角N3AG.

因為3,AG，BG為面對角線，所以網=AG=BG，

所以AA41G為等邊三角形，所以

所以直線AC與4B所成角的大小為三.

故答案為：—■

13.（3夜,3忘）

根據投影向量公式直接求解可得.

【詳解】W=V^I=2,3.&=|5||^cos300=473x2x^=12,

由投影向量公式可得：

°=P,"泌=3（應，近）=卜后研

故答案為：（363拒）.

14.2后-2石

畫出圖形，做出輔助線，求出大正四面體的外接球半徑，這個八面體的外接球半徑為r=2指，則截去的小

正四面體的棱長最小，根據勾股定理列出方程，求出答案，舍去不合要求的解.

【詳解】如圖，正四面體尸-ABC在尸點截去小正四面體尸-EFG,

取8C中點。，連接AO,過點尸作尸“，平面ABC,則H在AD上，且尸“，平面所G,垂足為1,連接

EI,則E/為正A￡FG的中心，

大正四面體的外接球球心在高上，設為0,連接。4,則。4=0尸=R,

因為大正四面體的棱長為4"，故2A〃=性”，解得AH=40，

sin60

由勾股定理得PH=/AP。-AH?=8，

在RtZXAOH中，AO?=O7/2+AH2,即改=（4點『十已一，解得尺=6,

則大正四面體的外接球半徑為6,

p

若這個八面體的外接球半徑為/-2#,則截去的小正四面體的棱長最小，

由對稱性可知，這個八面體的外接球的球心與正四面體的外接球球心重合，連接OE,

則OE=r=2n,

設截去的小正四面體的棱長為。，則2a44",即a<2#，

貝l]2E7==為，故雙=魚，故高產/=卜_(3")2=如”,

sin603\33

所以。/=。尸一尸/=6—如。，

3

在Rb/OE中，EO2=OH2+EI2>即6—^^-a,

解得〃=2斯+2右或2n-26，

a=2屈+2也>2口,不合要求，舍去，a=2#-2百符合要求，

截去的小正四面體的棱長最小值為2#-2g.

故答案為：2瓜-2瓜

15.(l)a=0.125

⑵7.6

(3)5.3小時

(1)在頻率分布直方圖中，所有條形圖的面積之和為1,列式可求得實數”的值；

(2)設樣本數據的第80百分位數為機，則加直6,8),利用百分位數的定義可得出關于機的等式，解之即

可；

(3)將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，再將所得結果全加，即可得出樣本的平均數.

【詳解】(1)在頻率分布直方圖中，所有條形圖的面積之和為1,

可得(0.05+0.075+0.1+0.15+4)x2=1,解得<7=0,125.

(2)前三個矩形的面積之和為(0.05+0.1+0」5)X2=0.6,

前四個矩形的面積之和為0.6+0.125x2=0.85,

設樣本數據的第80百分位數為加,則機?6,8),

由百分位數的定義可得0.6+(m-6)x0.125=0.8,解得%=7.6.

(3)由頻率分布直方圖可知，樣本的平均數為星=1x0.1+3x0.2+5x0.3+7x0.25+9x0.15=5.3.

估計這100名住戶上周體育鍛煉時間的平均值為5.3小時.

⑹嗚

⑵卜"2碼

(1)首先利用向量共線的坐標表示列出等式，然后根據正弦定理和和差的正弦公式化簡從而求得C.

(2)先根據正弦定理將。力分別用sinA,sinB表示出來，然后列出的表達式并化簡，最后根據A的范

圍求出2b-a的范圍即可.

【詳解】(1)因為仇=(2c,l),為=(2〃一"cos8),而//元，

所以網心=2,化簡得2a—z,=2ccos瓦

2c1

利用正弦定理得2sinA-sin3=2sinCcosB,

因為sinA=sin(3+C),所以2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=2sinCeosB,

所以2sin3cosC-sin3=0,因為sinBwO,所以cosC=

2

jr

又0<C<7l,所以。=§.

a_c

(2)根據正弦定理sinAsinCy/3，所以。=2sinA,

~2

同理6=2sin3=2sin(g一二6cosA+sinA.

所以2b-Q=2\/3cosA.

2亢1

因為。<A<,所以一/<cosA<1,所以<2b—a<2^/3.

所以乃-a的取值范圍為卜迅,2班).

17.(1)|:

⑵：

(1)利用組合計數問題求出基本事件數，再利用古典概率列式求解.

(2)記。="每位員工經過培訓合格”，4="每位員工第i輪培訓達到優(yōu)秀”(z=1,2,3),由此可得關系

c=AAAUAAAUA4AUA44，結合概率公式即可求解.

【詳解】(1)記A部門的3名領導為％,電,生，B部門的3名領導為偽也也，

從6名部門領導中隨機選取2人負責，不同結果有：

01a2,,%瓦,a?,。四,％瓦,a2b2,a2b3,%瓦,a3b2,a3b3,b@2,b@3,b力3，共15種，

選取2人全部來自A部門領導的事件，不同結果有：01a2,%%，%%，共3種，

31

所以全部來自A部門領導的概率為西=；

(2)記。="每位員工經過培訓合格”，A="每位員工第i輪培訓達到優(yōu)秀”(，=1，2,3),

21—————

則尸(4)=尸(&)=了尸(4)=5，c=A4AUAA4UAA4UAAA，

依題意，P?=P(A&A)+A)+P(A4A)+P(A44)

=尸(A)尸(A)尸⑷+尸(N)尸(4)尸(A)+p(4)尸區(qū))尸(A)+p(4)P(4*(4)

2211212112212

=-X—x——F—X—X——I——X—X——I——X—X—=—,

3323323323323

所以每位員工經過培訓合格的概率為(2.

18.(1)證明見解析

⑵(i)2；(ii)證明見解析

(1)根據面面垂直的性質定理可得WCO,再根據線面垂直的判定與性質即可證明；

(2)(i)由二面角的定義可知二面角C-AM-B的平面角為NCNO,求出C。、ON的長，即可求出NCNO

的正切值，即為所求；

(ii)過點M在平面內作MGLAB交AB于點G,求出ABOW的面積，結合等體積法可證得結論成立.

TT

【詳解】(1)因為M是半圓弧AB上一點，所以=即

因為0、N分別是AB、A0的中點，所以ONHBM,ON^AM,

因為△ACS是等腰直角三角形，AC=BC,所以OCLM,

因為平面ACB平面ABM,平面AC^n平面AB，COu平面ABC,

所以CO_L平面ABAf,又因為AWu平面ABM,所以AM八CO,

因為OC、ONu平面OCW,ONIOCO,所以AM_L平面OGV.

(2)(i)由(1)可知AM_L平面OCW,且CN、ONu平面OCW,故。V_LAM,ON±AM,

所以，二面角C—40-3的平面角為/。歷，

當夕=30。時，ON=}-OA=}-,

22

JT

因為VABC為等腰直角三角形，且AC=3C,則ZACB=j

因為。為48的中點，所以0c=1A8=1,

2

因為CO_L平面ABM,QVu平面ABM,故CO_LON,

co1

fan/「NO=——o

所以ON一I一，即二面角C—AM—3的平面角的正切值為2；

2

(ii)過點“在平面ABM內作MGJ_AB交AB于點G,如圖所示，

C

因為