單元檢測(cè)卷（四）三角函數(shù)、解三角形

（分值：150分）

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

3

1.[2025?邯鄲模擬]已知tana=z，a為第一象限角，貝Usina的值為（）

34

AA.5B.g

2.[2024.北京順義區(qū)三模]已知函數(shù)於）=（：052^—51若，貝U（）

A<x）為偶函數(shù)且周期為4兀

B於）為奇函數(shù)且在（一彳，金）上有最小值

C人x）為偶函數(shù)且在（0,號(hào)上單調(diào)遞減

D段）為奇函數(shù)且與0）為一個(gè)對(duì)稱中心

3.[2025?九江模擬]在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知2c一

a=2bcosA,則5=（）

A兀C兀

A-6B3

喑D嘏

3o

4.[2024?青島三模]為了得到尸sin2x+cos2x的圖象，只要把y=gos2x的圖

象上所有的點(diǎn)（）

A.向右平行移動(dòng)I個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向左平行移動(dòng)I個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向右平行移動(dòng)I個(gè)單位長(zhǎng)度

JI

D.向左平行移動(dòng)y個(gè)單位長(zhǎng)度

兀4

5.［2025?南通模擬］已知sin（a一夕）=亍tana—tan5=2,則sinasm§=

（）

A-2B|

c?D0

u2

6.［2025?泉州模擬］數(shù)學(xué)家泰勒給出如下公式：

3V5丫7~丫4丫6

sinx=x—Z7-+Ff——T；-?—，cosx=I——，

這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性.

若根據(jù)以上公式估算sin$一0.1）的值，則以下數(shù)值中最精確的是（）

A.0.952B.0.994

C.0.995D.0.996

7.［2025?濟(jì)寧模擬］已知函數(shù)八%）=0\/5$出入+＜：00%）（:（九］—5，若?x）在區(qū)間一不m

上的值域?yàn)橐话?，I,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

匹匹

6,2_

兀7兀

6912_

8.［2025?咸陽(yáng)模擬］為了進(jìn)一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，

2024年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公

園"OPQ中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道OAB,已知扇形的半徑OP=3,圓心

7T

角NPOQ=g,A是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，3是半徑。。上的動(dòng)點(diǎn)，AB//OP,則△043

面積的最大值為（）

Q

B/-~

OP

A」B

a.40.43

C”D3

J55

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.［2025?邵陽(yáng)模擬］下列說(shuō)法正確的有()

A.若角a的終邊過(guò)點(diǎn)P,，書(shū)］,則角a的集合是［aa=W+2far,左

B.若cos(a+5)=］,則sin(a+T='|

C.若tana=2,則sin2a+sinacosa=.

D.若扇形的周長(zhǎng)為8cm,圓心角為2rad,則此扇形的半徑是4cm

10.［2024?衡陽(yáng)模擬］在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知(a+

0)：3+c)：(c+a)=5：6：7,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinA：sinB：sinC=2：3：4

B.△ABC為鈍角三角形

C.若。=6,則△ABC的面積是6代

D.若△ABC外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為「，則/=學(xué)

JT

11J2025?金華模擬］已知函數(shù)?x)=sin2s:cos°+cos2Gxsin磯①>0,0<9</)的部分

圖象如圖所示，貝1()

B.69=2

小十1為偶函數(shù)

兀］

Dm)在區(qū)間［o,］］的最小值為一］

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

JTJT

12.[2024?海淀區(qū)模擬]若點(diǎn)P(cos6,sin⑨與點(diǎn)Q(cos(。+亞sin(e+1))關(guān)于y軸對(duì)

稱，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的。=..

13.[2025?西安模擬]在100m高的樓頂A處，測(cè)得正西方向地面上3,C兩點(diǎn)(3,

C與樓底在同一水平面上)的俯角分別是75。和15°,則3,C兩點(diǎn)之間的距離為

14.[2025?重慶模擬]若W2TI,則關(guān)于x的方程sin的解的個(gè)數(shù)是.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.(13分)[2025?北京西城區(qū)模擬]已知函數(shù)?￥)=sin2x+2sinxcos%—cos2%.

(1)求兀0的最小正周期；

(2)從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知條件，求機(jī)的取值范圍.

◎>)在(0,加)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)；

在(0,m)上單調(diào)遞減；

③Ax)在(0,m)上恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解

答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

16.(15分)[2025?滄州模擬]在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

q2=c(c+0).

(1)求證：B+3C=兀;

(2)若NA3C的角平分線交AC于點(diǎn)。，且。=12,b=7,求3。的長(zhǎng).

—71

17.(15分)[2025?濟(jì)寧模擬]已知函數(shù)Hx)=cos4x—sin%+sin(2x—不).

⑴求函數(shù)火X)在[o,全7T上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)%)的圖象向左平移9(0<9<3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若

函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)百0)成中心對(duì)稱，在卜會(huì)/上的值域?yàn)椴?；?],求a

的取值范圍.

18.(17分)[2024?莆田三模]在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

Z?(cosC+l)=c(2—cosB).

(1)證明：a+b=2c.

9_

(2)若〃=6,cosC=求5c的面積.

19.（17分）［2025?石家莊模擬］若AABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足/必3=NP3C=NPC4=6,

則稱點(diǎn)P為AABC的布洛卡點(diǎn)，e為AABC的布洛卡角.如圖，已知AABC中，

BC=a,AC=b,A3=c，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，。為△ABC的布洛卡角.

PR

（1）若b=c,且滿足瓦=#,求NA3C的大小.

（2）若△ABC為銳角三角形.

①證明:tan6>=tanZBAC+tanZABC+tanZACB,

②若P3平分NA3C,證明：b2=ac.

單元檢測(cè)卷（四）三角函數(shù)、解三角形

3sin03、

1.A［因?yàn)閠ana=z，所以右:又因?yàn)閟i/a+cos2a=1,

16Q

2__2

所以sin?+^sin（z=1,sin2a=石.因?yàn)閍為第一象限角，

3

所以sinQ=g.故選A.］

2.C［因?yàn)閟in］=cosx,所以函數(shù)?x）為偶函數(shù)且周期為2兀，在（0,

令上單調(diào)遞減，所以ABD選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確.故選C」

3.B[因?yàn)?c—q=2bcosA,由正弦定理，2sinC-sinA=2sinBcosA,

VA+B+C=7i,.\2sin(A+B)—2sinBcosA=sinA,整理得2sinAcosB=sinA.Vsin

Ijr

A>0,/.cosB=y又BG(0,兀)，.故選B.]

4.A[y=sin2x+cos2%=#sin(2x+g),

由誘導(dǎo)公式可知：y=y[icos2x=也sin(2x+'=也sin[2(x+：

又尸色sin(2%+：)=啦sin2(%+g),

則卜異發(fā)即只需把圖象向右平移"單位.故選A.]

4ooo

5.B[因?yàn)?<戒<。專所以0<0一4因?yàn)閟in(a—^)=1,

所以COS(Q—.)=^/l—sin2(a—=亍

因?yàn)?=tana—￡=

sinacos/—sin￡cosasin(6一夕)

cosacos0cosotcos0'

、2

所以cosacos4=予

、23

因?yàn)閏os(a一夕)=cosacos￡+sinasin￡=§+sinasin

則sinasin.故選B.]

兀0I20I40I6

6.C[由題意可得：sin(7—0.l)=cos0.1=l—素-+大-—…-0.995.故選C.]

LZl4!OI

]y/31兀

7.D[依題意，函數(shù)_Ax)="5sinxcosx+cos2x—2=2s^n2x+]cos2x=sin(2%+4),

當(dāng)%￡―/,m時(shí)，2x+,￡—y2m+^,

日啟,/兀、兀?兀

顯然sm(—2)=s?in4-y=—1,sm]=1,

TT4TI~\rJi

且正弦函數(shù)y=sinx在2，9上單調(diào)遞減，由人功在區(qū)間一不加上的值域?yàn)?/p>

得為2加+狂野，解得狂咨患，所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是司故選D.]

7T2,71

8.A[設(shè)NPQ4=6,6>G（0,W）,由A3〃0P,得/。43=aZOBA=y,

在△。43中，由正弦定理得照=當(dāng)=2小，即。3=24sin。，

sinT

則△。45的面積S=^OB-OAsinZAOB=S^sinOsinq—。）

1

=3文勺用3s?m0石（祖cos。白―11s?m。）4=3Q勺,3（史才si?n2M。一了-—--C-O-S-2-。）

=殳算sin（20+壽一；，顯然2。+狂信第，因此當(dāng)2。+,=3,即9=點(diǎn)時(shí)，Smax

o\oo/o2o

3^3

一4，

所以△OAB面積的最大值為4a故選A.]

9.ABC[因?yàn)榻莂的終邊過(guò)點(diǎn)P（1,坐），為第一象限角，

所以由三角函數(shù)的定義知tana=小，所以角a的終邊與冷終邊相同，

所以角a的集合是1act=1+2^71,左故A選項(xiàng)正確；

27r7T7T7T3

因?yàn)閟in(a+^-)=sin(ct++2)=cos(a+5)=55所以B選項(xiàng)正確；

,,,°,sin2a+sinacosatan2a+tana4+26“、八丁一

因?yàn)閟in2a+sinctcosa=.;=———,'—=TV7=7>所以C選項(xiàng)正

sina+cosatarra十14+13

確；

設(shè)扇形的半徑為r,圓心角為a,因?yàn)樯刃嗡鶎?duì)的弧長(zhǎng)為/=ar=2r,

所以扇形周長(zhǎng)為/+2r=2r+2r=4廠=8,故廠=2001,所以口選項(xiàng)不正確.故選人8（2.]

10.BD[設(shè)。+6=5/,b+c=6t,c+a=lt,

則a=37,b=2t,c=4f.

對(duì)于A,sinA：sinB：sinC=3：2：4,故A不正確；

對(duì)于B,c最大，所以C最大，

1

次+〃一/-<o

又cosC=4

2ab

所以。為鈍角，故B正確；

對(duì)于C,若〃=6,則1=2,b=4,c=8,

所以cosC=-，sinC=*^,

所以△ABC的面積是S=Jz加inC=3x6X4X乎=3正，故C不正確；

對(duì)于D,由正弦定理得外接圓半徑

___c_____St__8^/15

"2sin。=赤=15"

△ABC的周長(zhǎng)/=%,S=%加inC=上乎凡所以內(nèi)切圓半徑為廠=苧=乎/,所

D]6

以：=歹，故D正確.故選BD.]

11.ACD[由題意得/(x)=sin(20x+0)，由圖象可得y(O)=T=>sin0=1,

又0<夕與所以9=聿,由五點(diǎn)法可得0X普+5=當(dāng)=?=1,所以外)=sin(2x+3).

7T

A.由以上解析可得9=不故A正確；

B.由以上解析可得。=1,故B錯(cuò)誤；

C./(x+^)=sin2(x+事)+g=cos2x,故C正確;

兀??！肛?兀】,，兀「1<

D.當(dāng)xG0,爹=2%+不仁不不時(shí)，sin(2x+g)e-],1,

所以最小值為一看故D正確.故選ACD.]

JT、.JT

12行(答案不唯一)[因?yàn)辄c(diǎn)P(cos0,sinff)與點(diǎn)、Q(cos(8+1),

7T

sin(8+w))關(guān)于y軸對(duì)稱，則

〃兀

cos(。+§)=—cos3,

<

TT

sin(。+,)=sin0,

兀

由cos(e+R=—cos6,

可得cos0cossin&in鼻=—cos0,

貝嶺cos8=*~sin6,所以tan。=小;

jr

由sin(e+§)=sin可得

sin0cosg+cosOsin]=sin仇

則號(hào)-cos0=5sina所以tan0=y[3,

jrjr

因此。=g+E,k^Z,取。=,（答案不唯一）]

?坨*100100tan75°—tan15°

13.200^r3m[由速總二tan15°-tan75°=100Xtanl5°tan75°

tan60°(1+tan15°tan75°)

100X

tan15°tan75°

工……sin15。sin75。sin15。cos15。_

rnjtan15tan75-cos1^50*cosn75eo-cosi1c5o,~si?ni15<o-1,

所以BC=100X2^3=200V3(m).]

2兀

14.3[由y=sincox,知sincox^[—L1],T=—,因?yàn)?<①W2TI,所以1WT<2兀,

在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出y=sincox和y=%的圖象,

由圖象可得y=sincox和y=%共有3個(gè)交點(diǎn)，即方程sincox=x有3個(gè)根.]

15.解(1)因?yàn)?(^)=sin2x+2sinxcos%—cos2x

=2sinxcos%—(cos2%—sin2x)=sin2x—cos2x=讓sin(2x—：),

兀

所以人為的最小正周期為2號(hào)=兀

TTTTTT

(2)因?yàn)閤G(O,m),所以2%—4@(一4，2m—4).

選擇①，因?yàn)樨)在(0,附上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以:<2加一夕爭(zhēng)，

所以是〈機(jī)W半，

OO

故機(jī)的取值范圍是(，7兀，-11f兀.

若選擇②，因?yàn)楫?dāng)2x—*(—?今時(shí)，函數(shù)加)單調(diào)遞增，

所以人x)在(0,附上不可能單調(diào)遞減，所以②不符合題意；

選擇③，因?yàn)?%)在(0,m)上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，所以兀<2加一;W2?r,所以系(機(jī)W爭(zhēng).

故加的取值范圍是(0兀,翁.

16.⑴證明在△A3C中，由余弦定理〃2=/+62-2%0$A及/=c(c+b),

得b2—2cZ?cosA=bc,即b~2ccosA=c,由正弦定理，得sinB—2sinCeosA=sin

C,

即sinC=sin(C+A)—2sinCeosA=sinAcosC—cosAsinC=sin(A—Q,

由0<C<兀，得sin(A-Q=sinC>0,則0<A-C<A<7i,

因此C=A—C,即A=2C,則2c+5+。=兀，所以B+3C=兀.

(2)解由〃2=c(c+/,得122=C(C+7),由C>0,得C=9.

,二?十八、加ABsinZADBsinZBPCBC

AA/t=I=

在ABCD中，由正弦定理，仔ac=~~~zAon~~/VFP

ADsmZABDsmZCBD3

9I?

則亦—77；，解得AO=3,從而。C=4,又COSNAD5+COSNCDB=0,

RD/—AD

A

222222

3+BD—94+BD—12「

由余弦定理，得一”T氏4十一二°，解得3。=4冊(cè),

ZAZA4￡>/y

所以BD的長(zhǎng)為476.

jr

17.解(1)/(x)=cos4%—sin4x+sin(2x—5)

=/cos2x+2sin2x=sin(2x+$.

jr

因?yàn)閄G［O,5」，

匕1i\c?兀兀7兀

所以2x+臚［不yj,

所以當(dāng)2x+|eI，,

TT

即XG［0,，時(shí),函數(shù)於)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)段)在［0,與上的單調(diào)遞增區(qū)間為［o,

JT

(2)由題意可知，g(x)=sin(2x+2(p+g),

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)專，0)成中心對(duì)稱，

TT7T

所以2X5+29+5=?,左GZ,

解得夕=一碧+百兀，左?Z.

TTJT

因?yàn)?<9<不所以左=1，3=五，

JT

所以g(x)=sin(2x+,).

當(dāng)正［一不可時(shí)，

-I兀「兀CI兀

-不2a+1.

兀］「1

因?yàn)間(x)在一不a上的值域?yàn)橐唬?1,

所以畀2a+畀普,

解得盍Wawff，

所以a的取值范圍為［若，言.

18.(1)證明根據(jù)正弦定理知Z?(cosC+l)=c(2—cosB)=>sinBcosC+sinB=2sin

C-sinCeosB,

整理得sinBcosC+sinCeos5+sinB=2sinC=>sin(B+C)+sinB=2sinC,

因?yàn)锳+B+C=7i,所以sinA=sm(B+Q=>sinA+sinB=2sinC,

由正弦定理可得〃+b=2c

(2)解因?yàn)閏os。=得，所以sinC=\j1—cos2C=^^,

由余弦定理可得c2=a2+b2—2abcosC,即c1=36+b1-^b,

則4/=144+4/一27瓦因?yàn)閍=6,所以6+L=2c,所以36+126+〃=402,

貝U144+4/—276=36+126+〃，即/一135+36=0,解得6=4或人=9,

當(dāng)b=4時(shí)，a=6,此時(shí)△ABC的面積S=[〃bsinC=[><4X6X斗g="盧；

22lo4

當(dāng)6=9時(shí)，a=6,此時(shí)△A5C的面積S=[〃bsin。=[*6*9*斗?="臺(tái)。.

22lolo

綜上△的面積為或.

A5C4lo

19.⑴解若b=c,AB=AC,^ZABC=ZACB,點(diǎn)P滿足NB43=NP3C=

ZPCA=3,則NPC3=NPA4,在△PC3和△PA4中，ZPCB=ZPBA,ZPAB

=ZPBC=0,

所以△PC3與相似，且胃=小，所以附=/=小，即。=小。,

12121Z5C

“2+/一人2

由余弦定理得：cosZABC=-------------,且白=50,b=c,

得cosNA3C=25=竽且0<8〈兀，所以NA5C=*

(2)證明①在△ABC內(nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得：

]_____C0SN3AC_b2+.2-〃2_/?2+02一〃2

tanZBACsinXBACIbesmABAC4SMBC'

]_____COSNABC_/+寸一,2_O2+C2—》2

tanNABCsinZABClacsmXABC4s△ABC'

]_____cosNACH_4+層―-2_/+廿一片

tanZACBsinZACSlabsmXACB4SAABC'

111_____。2+1+一

三式相加可得:①