專題03二次函數(shù)的圖像變化五類綜合題型

典例詳解

類型一、二次函數(shù)的旋轉(zhuǎn)

類型二、二次函數(shù)的翻折

類型三、二次函數(shù)的平移

類型四、二次函數(shù)的對(duì)稱

類型五、二次函數(shù)做分母的特殊變化

壓軸專練

尊類型一、二次函數(shù)的旋轉(zhuǎn)

二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)180。的核心規(guī)律

拋物線旋轉(zhuǎn)180。后，形狀不變（二次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值不變），開(kāi)口方向相反（二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)改變），

且對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱。

坐標(biāo)變換本質(zhì)：

若點(diǎn)P（x,y）繞某點(diǎn)O（m,n）旋轉(zhuǎn)180°后得到點(diǎn)P（x;y1）,則O是P和P的中點(diǎn)，

（X+x,

\m=---

2

滿足：｛t

卜=9

即旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)（x'y）與原坐標(biāo)（x,y）的關(guān)系為：x'=2m-x,y'=2n-yo

旋轉(zhuǎn)90。（開(kāi)口方向變?yōu)樗剑┮?guī)律：

原拋物線（開(kāi)口豎直）旋轉(zhuǎn)90”后變?yōu)椤八綊佄锞€”（開(kāi)口向左或向右），不再是y關(guān)于x的二

次函數(shù)，而是x關(guān)于y的二次函數(shù)。

點(diǎn)（x,y）旋轉(zhuǎn)90°后坐標(biāo)變?yōu)椋▂,?x）（順時(shí)針）或（-y,x）（逆時(shí)針）；

表達(dá)式需通過(guò)坐標(biāo)替換推導(dǎo)。

例I.（2024九年級(jí).全國(guó)?期末）如圖，拋物線Gy=。/+6（。<0”>0）交匯軸于點(diǎn)兒B（點(diǎn)4在點(diǎn)8右

側(cè)），交y軸于點(diǎn)C.將拋物線繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。，得到拋物線，2,它與工軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)。，頂點(diǎn)為點(diǎn)工若

四邊形BCDE為矩形，則%b應(yīng)滿足的關(guān)系式為（）.

A.ab=—：B.ab=-1C.ab=—2D.ab=—3

變式1-1.（22-23九年級(jí)上?浙江?周測(cè)）將拋物線y=%2以點(diǎn)。為中心，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到一個(gè)新的

圖象2,如圖,若（小,力）,（&/2）是圖象，上的兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

B.若%>y2，則勺>x2

C.若％1＞工2，則＞/＞為2D.若%＞乃，則竹,以

變式1-2.（24-25九年級(jí)上.遼寧葫蘆島.期中）拋物線y=2--4%+3繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。所得拋物線的函

數(shù)表達(dá)式為.

變式1-3.（24-25九年級(jí)上?湖南常德?階段練習(xí)）如圖，一段拋物線y=-x2+6x（0＜x＜6）,記為拋物線

G，它與X軸交于點(diǎn)O,4：將拋物線G繞點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)180。得拋物線C2,交X軸于另一點(diǎn)42：將拋物線。2繞

點(diǎn)出,旋轉(zhuǎn)180。得拋物線。3；交X軸于另一點(diǎn)&…如此進(jìn)行下去，得到一條“波浪線若點(diǎn)M（2023,m）在

此‘破浪線''上，則，〃的值為

C2

國(guó)類型二、二次函數(shù)的翻折

常見(jiàn)特殊直線的翻折（簡(jiǎn)化計(jì)算）

對(duì)于特殊直線（如水平、垂直、y=x等），對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)可簡(jiǎn)化，無(wú)需套用一般公式：

1.關(guān)于垂直直線x=m翻折（豎直直線）

對(duì)稱原理：點(diǎn)（x,y）關(guān)于x=m的對(duì)稱點(diǎn)為（2m-x,y）（橫坐標(biāo)變?yōu)?m-x,縱坐標(biāo)不變）。

翻折后函數(shù)：將原函數(shù)中的x替換為2m?x,即丫=￡（2皿7）

示例：原函數(shù)y=x?,關(guān)于x=1翻折后為y=（2X1-x）2=（2-x）2o

2.關(guān)于水平直線y=k翻折（水平直線）

對(duì)稱原理：點(diǎn)（x,y）關(guān)于y=k的對(duì)稱點(diǎn)為（x,2k-y）（縱坐標(biāo)變?yōu)?k-y,橫坐標(biāo)不變）。

翻折后函數(shù)：將原函數(shù)中的y替換為2k-y,即2k-y=f（x）-*y=2k-f（x）

示例：原函數(shù)y=x2,關(guān)于y=l翻折后為y=2X1x2=2x2

3.關(guān)于直線y=x翻折（一、三象限角平分線）

對(duì)稱原理：點(diǎn)（x,y）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（y,x）（橫縱坐標(biāo)互換）。

翻折后函數(shù)：將原函數(shù)中的x與y互換，即x=f（y）

示例：原函數(shù)y=x?,關(guān)于y=x翻折后為x=y2。

例2.（2025.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模）已知二次函數(shù)/=一/+41+5及一次函數(shù)、=一工+上將該二次函

數(shù)在％軸上方的圖象沿X軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象（如圖所示），當(dāng)直線y=

一%+匕與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí),，b的取值范圍是（）

）

A.-9</<0B.--4<b<-1C.--4<ft<-1D.-7<b<-1

變式2-1.（24-25九年級(jí)上?青海西寧?期中）如圖，函數(shù)y=+加；+c|（Q>0,力2-4QC〉0）的圖象是

由函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0,b2-4ac>0）的圖象》軸上方部分不變，下方部分沿工軸向上翻折而成，則下

列結(jié)論：①2a+8=0；②將圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)lVmV?時(shí)，

⑴求拋物線的表達(dá)式.

(2)已知點(diǎn)尸(無(wú)1/1),Q(%2/2)是拋物線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)，若滿足31+外>

-2,請(qǐng)比較與力的大小.

(3)將拋物線平移，使得其頂點(diǎn)P落在直線、=%-1上，設(shè)平移后的拋物線與y軸的交點(diǎn)為。，求點(diǎn)。的縱坐

標(biāo)切的取值范圍.

變式3-1.(24-25九年級(jí)下?云南?期中)已知函數(shù)為=。/+故.

(1)若此函數(shù)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,-鄉(xiāng)，求函數(shù)的解析式；

(2)若Q>0,將此拋物線yi向上平移c個(gè)單位(c>0)得到新的拋物線丫2,當(dāng)％=c時(shí)，%=0;當(dāng)0c%Vc時(shí)，

y2>0.試比較ac與I的大小，并說(shuō)明理由.

變式3-2.(24-25九年級(jí)上?重慶秀山?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-1/+8%+。與》軸

交千點(diǎn)人(一2,0),8(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接8C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,P是線段8C上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PEIIy軸交于點(diǎn)E,在。8上取點(diǎn)D,連接CD.

其中2。。=8。，過(guò)點(diǎn)￡作EFh軸交CD于點(diǎn)尸，求PE+EF長(zhǎng)度的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在平面內(nèi)，將拋物線y=-^x2+bx+c沿直線y=x斜向右上平移，當(dāng)平移后的新拋物線經(jīng)過(guò)(0,2)

時(shí)停止平移，此時(shí)得到新拋物線.在平移后的新拋物線上確定一點(diǎn)M,使得480M=45。，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有

符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

，類型四、二次函數(shù)的對(duì)稱

1.關(guān)于x軸對(duì)稱對(duì)稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)--對(duì)稱后頂點(diǎn)(h,-k)；

系數(shù)變化：a變?yōu)?a(開(kāi)口方向相反)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x?h)2+k,對(duì)稱后為：y=-a(x-h)2-k

若原函數(shù)為一般式y(tǒng)=ax?+bx+c,對(duì)稱后為：y=-ax2-bx-c

2.關(guān)于y軸對(duì)稱對(duì)稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)~*對(duì)稱后頂點(diǎn)Gh,k)；

系數(shù)變化：a不變(開(kāi)口方向不變)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,對(duì)稱后為：y=a(x+h)?+k

若原函數(shù)為一般式y(tǒng)=ax?十bx十c,對(duì)稱后為：y=ax?-bx+u

3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(中心對(duì)稱)對(duì)稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)一對(duì)稱后頂點(diǎn)(-h,-k)；

系數(shù)變化：a變?yōu)閈(-a\)(開(kāi)口方向相反)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,對(duì)稱后為：y=-a(x+h)2-k

若原函數(shù)為一般式y(tǒng)=ax?+bx+c,對(duì)稱后為：y=-ax2+bx-c

4.關(guān)于直線x=m對(duì)稱(豎直直線)對(duì)稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)--對(duì)稱后頂點(diǎn)(2m-h,k)(橫坐標(biāo)滿足h'=2m-h,縱坐標(biāo)不變)；

系數(shù)變化：a不變(開(kāi)口方向不變)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-廳+k,對(duì)稱后為：y=a(x+h-2m)2+k

5.關(guān)于直線y=n對(duì)稱(水平直線)對(duì)稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)f對(duì)稱后頂點(diǎn)(h,2n?k)(縱坐標(biāo)滿足\(k，=2n-k\),橫坐標(biāo)不變)；

系數(shù)變化：a變?yōu)?a(開(kāi)口方向相反)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,對(duì)稱后為：y=?a(x?h)2+(2n?k)

例4.(24-25九年級(jí)下.黑龍江大慶?期中)定義：若函數(shù)6和函數(shù)0的圖象關(guān)于直線久=加對(duì)稱，則稱函數(shù)

G和Cz關(guān)于直線％=m互為“和睦函數(shù)”，函數(shù)Q和的圖象交點(diǎn)叫做“和睦點(diǎn)”?

例如：函數(shù)y=--3關(guān)于直線3=1的“和睦函數(shù)”為、=。-2)2-3,“和睦點(diǎn)”為(1,一2).下列說(shuō)法不正

確的序號(hào)為.

①函數(shù)y=x2-2”關(guān)于直線X=-1的“和睦函數(shù)”為y=(%+3產(chǎn)-1=/+6%+8,“和睦點(diǎn)”坐標(biāo)為(一1,3)；

②函數(shù)y=/-4%+1關(guān)于直線x=m的“和睦點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為八，當(dāng)mW4時(shí)，則n的取值范圍是一2W

n<1；

③函數(shù)y=x2-4%關(guān)于直線x=nt的“和I睡點(diǎn)”縱坐標(biāo)d滿足：|d|<3,m的取值范圍是3<m<2+或2-

y/7<m<1

④已知M(l,-2),N(4,—2),函數(shù)G：y=。(無(wú)一1)2-4以。>0)關(guān)于直線％=2的“和睦函數(shù)”為。2,將函數(shù)q

與G的圖象組成的圖形記為7,若7與線段MN只有2個(gè)公共點(diǎn)，則Q的取值范圍是QZ|.

變式41.(24?25八年級(jí)上?廣東年山.期末)定義：若函數(shù)圖像上存在點(diǎn)MGn,%),MTm+l%)，且滿足

九2--1=3則稱t為該函數(shù)的‘'域差值”.例如：函數(shù)y=2x4-3,當(dāng)％=TH時(shí)，％=2m+3；當(dāng)％=7n+1

時(shí)，n2=2m+5,n2-ni=2則函數(shù)y=2x+3的“域差值''為2

(1)點(diǎn)M(m,n])，時(shí)'(6+1,712)在丫=:的圖像上，“域差值'"=一4,求m的值；

(2)已知函數(shù)y=-2X2(X>0),求證該函數(shù)的“域差值”￡>-2；

(3)點(diǎn)4(a,b)為函數(shù)y=一2/圖像上的一點(diǎn)，將函數(shù)y=-2x2(x>a)的圖像記為明，將函數(shù)y=-2x2(x<

Q)的圖像沿直線y=匕翻折后的圖像記為W2當(dāng)叫，勿2兩部分組成的圖像上所有的點(diǎn)都滿足“域差值'工<1時(shí)，

求a的取值范圍.

變式4-2.(2025?遼寧鐵嶺?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，在函數(shù)S的圖象上任找一點(diǎn)P,總能在函數(shù)7的圖

象上找到一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于直線y=m對(duì)稱，我們把函數(shù)S與函數(shù)7稱為關(guān)于直線y=m的對(duì)稱

函數(shù)，點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于直線y=m互為對(duì)稱點(diǎn)，直線y=m稱為函數(shù)S和函數(shù)7的對(duì)稱軸.例如點(diǎn)P(a,2a)在

函數(shù)y=2x的圖象上，點(diǎn)Q(a,—2a)在函數(shù)y=-2x的圖象上，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于％軸(直線y=0)對(duì)稱，函

數(shù)y=2%與函數(shù)y=-2%關(guān)于x軸(直線y=0)互為對(duì)稱函數(shù).

(1)函數(shù)y=：(%<0)關(guān)于直線y=0的對(duì)稱函數(shù)是二

(2)若函數(shù)y=2x與函數(shù)y=-2x-4是關(guān)于直線y=m的對(duì)稱函數(shù)，求這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸y=機(jī)；

(3)若函數(shù)y'是函數(shù)y=[2乂+2,x<-2關(guān)于對(duì)稱軸宜線、二根的對(duì)稱函數(shù).

((%+1)2-3,x>-2

2YIn丫V—7

「-關(guān)于對(duì)稱軸直線y=m的對(duì)稱函數(shù)y'；

{(x+l)2-3,x>-2

②已知點(diǎn)乂(一4,1),點(diǎn)：8(3,1),當(dāng)函數(shù)y'的圖象與線段48有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出〃?的取值范圍.

，類型五、二次函數(shù)做分母的特殊變化

當(dāng)二次函數(shù)作為分母時(shí)的分式函數(shù)，需要考慮幾點(diǎn)

1.分母不為0,需要解相應(yīng)一元二次方程的根

2.函數(shù)的值，由分母的取值范圍反推。

3.圖像特征

漸近線：

垂直漸近線：分母為零的點(diǎn)(即方程ax2+bx+c=0的實(shí)根)；

水平漸近線：當(dāng)x越大時(shí)，分母二次函數(shù)ax2+bx+c函數(shù)值的絕對(duì)值越趨近于無(wú)窮大，即水平漸近線為y

越趨近于0。

單調(diào)性：

需結(jié)合分母的單調(diào)性分析：

若分母在某區(qū)間遞增且為正，則分式在該區(qū)間遞減；

若分母在某區(qū)間遞減且為負(fù)，則分式在該區(qū)間遞增(需注意符號(hào)對(duì)單調(diào)性的影響)。

例5.(2025?湖北宜昌?模擬預(yù)測(cè))為了研究函數(shù)丫=忌豆的性質(zhì)，小妍用描點(diǎn)法畫(huà)它的圖象，列出了如

下表格：

X???-3-2-10123??.

_1111111

1?..

x2-2%+2???17105225

下列五個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)（5,在該函數(shù)圖象上；

②該函數(shù)圖象在工軸上方；

③該函數(shù)圖象有最高點(diǎn)：

④若力（兀,％）和B（—是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則％<丫2；

⑤若將該函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象的函數(shù)解析式是丫=看.

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.??@?C.②③④⑤D.①③@@

變式5-1.（2025?湖北武漢?三模）在學(xué)習(xí)了“利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)”后，為了研究函數(shù)y=*_2\+2

的性質(zhì)，小勤同學(xué)用描點(diǎn)法畫(huà)它的圖象，列出了如下表格：

X???-3-2-10123???

_111111

???11???

x2—2\x\+252225

以下五個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；②函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)第四象限；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線

x=1對(duì)稱；④點(diǎn)4（。,%），8（4y2），若a>b>1,則y1<及；⑤若直線y=Q與函數(shù)y=石的圖象有

2個(gè)公共點(diǎn)，則OVaVa其中正確的結(jié)論是.（填寫(xiě)序號(hào)）

變式5-2.（24-25九年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)y=7T的圖像和性質(zhì)，下列五個(gè)結(jié)論：

,|%2-4X|+1

①點(diǎn)（-1、）在函數(shù)圖像上：

②圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱：

③4（”）在函數(shù)圖像上，若0VXW3,則拉”1；

④若力（%1，%）,8（%2，9）在函數(shù)圖像上，則當(dāng)%1>x2>2時(shí)，力>y2;

⑤若方程?z：「=t有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則t=1或0V￡V"

|X2-4X|+15

其中正確的結(jié)論是（填寫(xiě)序號(hào)）.

壓軸專練

1.(24-25九年級(jí)上?湖北省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))如圖，一段拋物線：y=-x(x-3)(0<x<3),記

為C1，它與％軸交于點(diǎn)。，&；將G繞點(diǎn)兒旋轉(zhuǎn)180。得C2,交工軸于點(diǎn)將繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)180c得。3，交X軸

于點(diǎn)力3；…，如此進(jìn)行下去，直至得C2024,若P(m,—2)在第2024段拋物線C2024上，則m=.

2.(24-25九年級(jí)上?內(nèi)蒙古通遼?期中)將拋物線y=2/一曲十5繞其頂點(diǎn)旋軌180，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線

解析式是.

3.(2015?江蘇鹽城?一模)如圖，二次函數(shù)y=x(x-2)(0<x<2)的圖象，記為G，它與x軸交于0、A\

兩點(diǎn)；將Ci繞點(diǎn)Ai旋轉(zhuǎn)180。得C2,交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180。得C3,交x軸于點(diǎn)A3;…如

此進(jìn)行下去，直至得C2016.若P(4()31,m)在第2016段圖象C2016上，則m=.

4.(24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí))已知拋物線G:y=mx2-2mx-87n(mH0).

(1)當(dāng)y=0時(shí)，求為的值；

(2)求拋物線G的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)當(dāng)m=-1時(shí)，把拋物線G向下平移九5>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線〃，設(shè)拋物線從與％軸的一個(gè)交點(diǎn)的

坐標(biāo)為(無(wú)1,0),且一則n的取值范圍是

5.(2025?山東聊城?三模)已知二次函數(shù)y二7九/-2m%+n(m工0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1,0).

⑴求拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離；

(2)當(dāng)一3三工工2時(shí)，函數(shù)y有最小值一3,求〃?的值；

(3)當(dāng)機(jī)=一1時(shí)，將函數(shù)圖象向下平移a(Q>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，圖象與x軸相交于點(diǎn)4,8(點(diǎn)A在)，軸的

左側(cè))，當(dāng)4。=，。8時(shí)，求。的值.

6.(2025九年級(jí)下?海南?？?專題練習(xí))如圖1,二次函數(shù)y=++c的圖像與％軸交于4、8兩點(diǎn),

與'軸交于點(diǎn)C，直線L丫=一：X+3經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

(2)①當(dāng)一2WxW3時(shí)，函數(shù)的最大值為,最小值為;

②當(dāng)一24%工￡時(shí)，設(shè)函數(shù)的最大值為m,最小值為n,若m-兀=3,求t的值；

(3)如圖2,將二次函數(shù)y=-；x2+bx+c在工軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸的下方，圖象的其余部分不變，

得到一個(gè)“W，形狀的新圖象，再將直線,向下平移幾個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線匕當(dāng)直線r與這個(gè)新圖象有4個(gè)

公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出〃的取值范圍.

7.(23-24九年級(jí)上?安徽淮南?階段練習(xí))如圖，拋物線%=ax2+bx-3(x<m)的對(duì)稱軸為直線％=1,

與x軸交于月(-1,0)和B(m,0),與y軸交于點(diǎn)C,將力沿直線x=m作對(duì)稱，得到拋物線y2.

⑵求拋物線力的解析式(寫(xiě)出自變量的取值