二次函數(shù)與幕函數(shù)

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激活思維

1.已知哥函數(shù)兀0的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,啕，則6）的值等于（B）

A.；B,4

C.8D.|

O

【解析】設(shè)嘉函數(shù)加x）=/，因?yàn)榧魏瘮?shù)八X）的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，乎），所以2。=乎，?=

T所以五x）K；,則6）二田2=4.

2.（人A必一P91練習(xí)T1改）若幕函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2,陋），則它的單調(diào)遞增區(qū)間為

（B）

A.（―0°,0]

B.[0,+8）

C.（―°°,0）U（0,+°0）

D.R

11

【解析】設(shè)薛函數(shù)為尸V,則2。=6，可得a/,所以y=f,則所求的單調(diào)遞增區(qū)

間為[0,+°°）.

11

-

3.（人A必一P100復(fù)習(xí)參考題T4改）若函數(shù)式x）=4f一丘一8在[^-

z4上是減函數(shù),

則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（A）

A.[2,+8）B.[-2,+8）

C.（一8,2]D.（—8,-2]

k11

【解析】函數(shù)八無(wú)）=4/一近一8圖象的對(duì)稱軸為尸旨由于於）在卜了力上是減函數(shù)，

k1

所以0三了=422.

4.已知函數(shù)人/MBX2-2（%+3）尤+根+3的值域?yàn)閇0,+8）,那么實(shí)數(shù)根的取值范圍為

（A）

A.{0,-3}B.[-3,0]

C.{0,3}D.（—8,-3]U[0,+8）

【解析】由題意得/=4（加+3/—4X3X（機(jī)+3）=0,則機(jī)=0或機(jī)=—3,所以實(shí)數(shù)加

的取值范圍是{0,—3}.

5.已知函數(shù)7(工)=，+以-1在區(qū)間［0,3］上有最小值一2,那么實(shí)數(shù)〃=_—2_.

【解析】當(dāng)一即aNO時(shí)，函數(shù)在區(qū)間［0,3］上為增函數(shù)，故大x)min=K0)=—1,

不符合題意，舍去；當(dāng)普3,即。6時(shí)，函數(shù)在區(qū)間［0,3］上為減函數(shù)，故/(x)mm=A3)

=8+3a=—2,解得a=—與，與aW—6矛盾，舍去；當(dāng)0<一?<3,即一6<a<0時(shí)，

/(X)min=(一^)=—2,解得<2=—2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故<2=—2.

聚焦知識(shí)

1,二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：fix)—a^+bx+c(a^O')；

(2)頂點(diǎn)式：f(x)=a(x—zn)2+n(rz#0)；

(3)零點(diǎn)式：/(x)=a(無(wú)一制)(龍一X2)(a=0).

2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=aj^-\-bx-\-cy=ax1+bx-\-c

函數(shù)

(40)(。＜0)

byy

圖象

(拋物線)

7o

定義域R

(4ac-〃

值域+JI'J-

b

對(duì)稱軸x=一丁

~2a~

頂點(diǎn)A_b_4〃c—吟

坐標(biāo)-V—2a—4a

奇偶性當(dāng)6=0時(shí)是_偶_函數(shù)，當(dāng)6W0時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在(一8,一b"~上\單調(diào)遞

在(-8,上單調(diào)遞.減_；在

單調(diào)性V+8)上

—昱，+8)上單調(diào)遞次_增.;在

單調(diào)遞_減—

3.募函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)二口工叫做幕函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

4.五種常見募函數(shù)

231.1

函數(shù)尸Xy=jr尸X

*上生

圖象

定義域RRR{小20}{小W0}

值域R{第20}R{第20}{第#0}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

性在(一8,0］

在(一8,0)

質(zhì)在R上上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)在［0,+8)

單調(diào)性和(0,+°°)

單調(diào)遞增在(0,+8)遞增上單調(diào)遞增

上單調(diào)遞減

上單調(diào)遞增

公共點(diǎn)（1，1）

5.基函數(shù)的性質(zhì)

(1)幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義;

(2)塞函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，嘉函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(0,0)與(1,1),且在(0,+8)上單調(diào).遞增

(4)當(dāng)a<0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都.不過.點(diǎn)(0,0),在(0,+8)上單調(diào).遞減..

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目標(biāo)IH幕函數(shù)

例1已知幕函數(shù)y=/U)的圖象過點(diǎn)(2,唱，則下列關(guān)于加)的說法正確的是(C)

A.7(x)是奇函數(shù)

是偶函數(shù)

C.在(0,+8)上單調(diào)遞減

D.定義域?yàn)椋?,+8)

【解析】設(shè)嘉函數(shù)〉=兀0=/，aGR,由題意得2。=￥，?=—2，故y=/(x)=x—2=

方，定義域?yàn)?0,+8),故D錯(cuò)誤；定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y=/(x)為非奇非偶函數(shù)，故

A,B錯(cuò)誤；由于一］<0,故y=Xx)=/2在(0,+8)上單調(diào)遞減，故C正確.

?總結(jié)遑?zé)挕?/p>

露函數(shù)的圖象與性質(zhì)由于a的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考查：(1)。的

正負(fù)：當(dāng)1>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和（1,1）,在第一?象限的圖象上升；當(dāng)aVO時(shí)，圖象不過原

點(diǎn)，在第一象限的圖象下降.（2）曲線在第一象限的凹凸性：當(dāng)時(shí)，曲線下凹；當(dāng)0V

aVl時(shí)，曲線上凸；當(dāng)4V0時(shí)，曲線下凹.

變式1（2024?廣州沖刺訓(xùn)練（一））若基函數(shù)於）=（病—加一1）0n4在（°,十8）上單調(diào)遞

增，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（A）

A.2B.1

C.-1D.-2

【解析】因?yàn)檎瘮?shù)/（X）=（蘇一機(jī)一I1植在（0,+8）上是增函數(shù)，所以

I解得m=2.

[2m—3>0,

目標(biāo)日二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

視角1二次函數(shù)的圖象

例2-1（2024?綿陽(yáng)一模）函數(shù)式x）=log6（a>0,且aWl）與函數(shù)g（x）=af—2x在同一平

面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（D）

【解析】對(duì)于A,由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知。>1,又函數(shù)8（尤）=加一2x,對(duì)稱軸為尤=：<

22

1,對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為0,由圖知￡<1,從而。>2,故A可能；對(duì)于B,由對(duì)數(shù)函數(shù)圖

12

象可知。>1,又函數(shù)飄入）=加一2%,對(duì)稱軸為％=工<1,對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為0,由圖

2

知從而0V〃V2,故B可能；對(duì)于C,由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知OVaVl,又函數(shù)g（x）=

172

2%,對(duì)稱軸為對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為0,7，由圖知；;>1,從而。<2,故C可

能；對(duì)于D,由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知OVaVl,又函數(shù)g（x）=Q%2—2x,對(duì)稱軸為則

〃<0或故D不可能.

變式2-1（多選）在下列圖形中，二次函數(shù)>=加+法與指數(shù)函數(shù)的圖象可能

是（ABD）

【解析】當(dāng)a>6>0時(shí)，A正確；當(dāng)6>。>0時(shí)，B正確；當(dāng)0>a>6時(shí)，D正確；

當(dāng)0>b>a時(shí)，無(wú)此選項(xiàng).

視角2二次函數(shù)的性質(zhì)

例2-2(1)(多選)若函數(shù)八乃二%2一(4。-l)x+2在［-1,2］上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值

可能是(BC)

A.-1B.0

C.1D.2

4〃—1

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)八X)=/—(4a—l)x+2在［―1,2］上不單調(diào)，所以一1<—^一<2,

所以一2<4a—1<4,所以一

2

X+2OX+5,X<L

(2)(2024?綿陽(yáng)期初)已知函數(shù)八x)=|—〃在R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃

Ee

的取值范圍是」-2,—1］.

，+2〃%+5,x<l,

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)兀v)=｛一〃在R上是減函數(shù)，所以

-----,

Il

—a21,

<一〃>0,解得—2,—1］.

、1+2〃+52—a,

目融同二次函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題

例3已知二次函數(shù)八乃二以2+Z?x+c(〃，b,c￡R)滿足/(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根處，血

(1)若4=1,。=6+京，X1W%2，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

【解答】由已知『+汝+6+3=0有兩個(gè)不等實(shí)根，得/=〃一4,+1)>0,解得

-1或b>5,即實(shí)數(shù)匕的取值范圍為(一8,-1)U(5,+8).

(2)若川)=1,加)=0,記危)在1,1］時(shí)的最小值為g(〃)，求g(〃)的表達(dá)式.

【解答】由#0)=。=1,可知/(XJMQf+fcv+l.又11)=〃+匕+1=0,故b=-a—l,

顯然qWO,所以火—m+l)x+l=〃(x—一("J，.當(dāng)〃>0時(shí)，/(x)的圖象是開口

向上的拋物線，當(dāng)。>1時(shí)，-1〈嚕W1,則g(a)=—當(dāng)0<。<1時(shí)，嚕21，

則g(〃)=/U)=O.當(dāng)a<0時(shí)，火x)的圖象是開口向下的拋物線，當(dāng)一1W〃<。時(shí)，變與0,

則g(a)=f(l)=O；當(dāng)a<—1時(shí)，^y->0,貝>J以〃)=7(—1)=24+2.綜上，g(a)=

〃2。+2,a<—1,

0,—1W〃V1且aWO,

.3—1)2>]

4a'。八

<總結(jié)提煉》

對(duì)二次函數(shù)兀Ouaf+At+cmWO),當(dāng)。>0時(shí)，凡x)在區(qū)間［p,q］上的最大值是最

小值是機(jī)，令xo=p?q:

b

(1)若一五Wp,則m=flp),M=j［q);

(2)若p<_&<xo,則機(jī)=G§，M=f(q);

(3)若xoW一之<4,則機(jī)=/(—§，M=J1p);

b

(4)若一五Nq,則m=￡q),M=fip).

題組Sf

[a2—2a,—2<〃W1,

1.若函數(shù)y=/—2%,工￡[—2,a],則該函數(shù)的最小值g3)=_

〃>1

【解析】因?yàn)閥=f—2x=(%—1)2—1,所以其圖象的對(duì)稱軸為直線x=l.當(dāng)一2V〃W1

時(shí)，函數(shù)在［—2,0上單調(diào)遞減，則當(dāng)X=Q時(shí)，>min=〃一2〃；當(dāng)〃>1時(shí)，函數(shù)在［-2,1］

上單調(diào)遞減，在［1,上單調(diào)遞增，則當(dāng)X=1時(shí)，ymin=—1.綜上，g(a)=

fa2—2a,—2VaWl,

［-1,a>l.

6〃一7,

2.函數(shù)y=一—+2辦+2,—3］的最小值ymin=

1—2。，a>1

【解析】函數(shù)y=一—+2以+2開口向下，對(duì)稱軸為x=〃.因?yàn)?,3］,令y=/(x)

—1+3

=—d+2"+2,當(dāng)aW—2—=1時(shí)，ymin=7(3)=6a—7；當(dāng)a>\時(shí)，ymin=7(—1)=1—2〃.

［6?-7,

所以函數(shù)y=一—+2〃%+2,［―1,3］的最小值ymin={

［l—2a,a>\.

3.已知八%)=——6x+10在區(qū)間［a,〃+1］上的最大值為4,則實(shí)數(shù)a的值為_2+J§或3

二

【解析】令兀回=必一6x+10=(x—3>+1,因?yàn)閥=/(x)在區(qū)間［〃，〃+1］上的最大值為

4,當(dāng)a+、23,即〃2［時(shí)，危)max=(a+li3)2+l=4=>a=2+小;當(dāng)a+^V3,即aV、時(shí),

7(x)max=(〃-3>+1=40〃=3一小.綜上，。=2+小或a=3一5.

目?id二次方程根的分布

例4(1)若關(guān)于x的二次方程"小+(2加―1)%—加+2=0(根>0)的兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)根都

小于1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是一傳也，+s］.

【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的二次方程以/+(2加—1)%一根+2=0(加>0)的兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)根

<m>0,

〃心0,、一3一巾、,3+市

zf=(2m—I)2—4m(—m+2)>0,m<-或m>—1―

都小于1,所以V1—2m即<1

2om<1,相或根VO,

1—m+2>0,

m>-

kz

解得加>注亞.

(2)已知關(guān)于x的二次方程，+23+2小+1=0,若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(一1,

0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一|,一..

【解析】設(shè)/00=/+2??+2相+1,問題轉(zhuǎn)化為拋物線人xluV+ZAtr+Z機(jī)+1與x軸

7(0)=2根+1<0,

A-l)=2>0,51

的交點(diǎn)分別在(一1,0)和(1,2)內(nèi)，則《“，?八解得一大<根<一5.

犬1)=4根+2<0,。2

、-2)=6.+5>0,

(3)已知關(guān)于尤的方程辦2+x+2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0,另一個(gè)大于1,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是一(一3,0).

【解析】顯然aWO,關(guān)于x的方程加+了+2=0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為負(fù)勸=加+工+2(對(duì)

開口方向進(jìn)行討論，分a>0和a<0).①若a>0,即圖象開口向上，加+%+2=0的兩個(gè)實(shí)

根一個(gè)小于0,另一個(gè)大于1,只需犬0)<。且共1)<0,即2<0且a+3c0,則ad。；(若發(fā)

現(xiàn)八0)=2,結(jié)合圖象也可知a>0不可能).②若a<0,即圖象開口向下，aW+x+Zu。的兩

個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0,另一個(gè)大于1,只需犬0)>0且犬1)>0,即2>0且a+3>0,則一3<a

<0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一3,0).

，總結(jié)謾煉》

(1)求解二次方程根的分布問題，最重要的是數(shù)形結(jié)合做到“等價(jià)轉(zhuǎn)化”；

(2)畫圖時(shí)注意二次函數(shù)四大因素----開口方向，對(duì)稱軸，判別式，特殊點(diǎn)(特殊點(diǎn)是指

含參的二次函數(shù)過的一■些定點(diǎn)(比如與x,y軸的交點(diǎn))或某些函數(shù)值的正負(fù)).

隨堂內(nèi)化

1,已知幕函數(shù)兀0=樞/的圖象過點(diǎn)(陋，2吸)，設(shè)。=角"),5=/(〃),0=4112),貝1](B)

A.c〈b〈aB.c〈a〈b

C.b〈c〈aD,a<b<c

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)應(yīng)^)=旋為嘉函數(shù)，故機(jī)=1.又函數(shù)次x)=2的圖象過點(diǎn)(色,2吸)，

所以/)〃=2也，解得〃=3,故?x)=x3,則函數(shù)?x)為增函數(shù).因?yàn)椤ㄋ詄V

a<b.

2.(2024?蘇州期中)滿足｛可〃?口或"｝=｛九=/,znWxW”｝的實(shí)數(shù)對(duì)根,〃構(gòu)成的點(diǎn)(中,

〃)共有(C)

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【解析】由｛RwzWxW刈u(yù)Ulynx2,機(jī)WxW〃｝,又yu%22。，則機(jī)20,所以yn%2在

2

[m,w]上單調(diào)遞增，故值域?yàn)閇??,w],即m，〃是^二苫的兩根，解得制=0,X2=l.當(dāng)m=

〃=0時(shí)，點(diǎn)(機(jī)，〃)為(0,0)；當(dāng)“=〃=1時(shí)，點(diǎn)(機(jī)，〃)為(1,1);當(dāng)機(jī)=0,〃=1時(shí)，點(diǎn)O，

⑶為(0,1).

3.若方程7/一(7W+13)小一相一2=0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)上，另一根在區(qū)間(1,2)上,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(—4,—2).

【解析】設(shè)函數(shù)Z(x)=7f—(m+13)無(wú)一山一2,因?yàn)榉匠?/—(%+13)十一機(jī)一2=0的一

貿(mào)0)=一機(jī)_2>0,m<—2,

個(gè)根在區(qū)間(0,1)上，另一根在區(qū)間(1,2)上，所以1八1)=—2加一8<0,

即<YYl>—4,

次2)=—3機(jī)>0,、機(jī)V0,

所以一4<加<一2.

4.(2024?日照一模)設(shè)/(x)=/+ax+6(a,6GR)滿足：對(duì)任意的/GR,均存在X2GR,

使得五尤1)=黃洶)-2尤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,11.

【解析】令/7(尤)=/0)—2了=/+(々-2m+6.因?yàn)閷?duì)任意的打6]<,均存在X2GR,使得

(Q—2)2

人為)=/(%2)—2X2,所以“X)的值域是人(%)值域的子集，所以〃(%)min《/a)min,即匕一一一Wb

告解得〃W1,即〃的取值范圍是(一8,1].

配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?廣州預(yù)測(cè)）若募函數(shù)人乃=（租2—加一1）"吐3在①，+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的

值為（A）

A.2B.1

C.-1D.-2

【解析】因?yàn)樵绾瘮?shù)—機(jī)一1）/榜在（0,+8）上是增函數(shù)，所以

nr—m—l—l

解得機(jī)=2.

2m—3>0,

2.已知二次函數(shù);（%）滿足式2）=—1,八1—x）=/U）,且#x）的最大值是8,則此二次函數(shù)

的解析式為危）=（A）

A.—4/+4%+78.4/+4冗+7

C.—4X2-4x+7D.—4f+4x—7

【解析】由/（1—%）=危）,得知）的對(duì)稱軸為尸;，設(shè)二次函數(shù)為左：）=〃（%—g+左（20）.

因?yàn)?（X）的最大值是8,所以〃<0,當(dāng)時(shí)，后）=左=8,即二次函數(shù)兀r）=[Q—g+8（4

<0）.由式2）=—1,得式2）=a（2—0+8=—1,解得a=—4,則二次函數(shù)八%）=—4（x—0

+8=-4/+4x+7.

3.若。=?。?b=iogA，0=3-1則°,兒c的大小關(guān)系為（C）

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>b>a

【解析】而a=

<1,所以a,b,c的大小關(guān)系為>>a>c.

4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)人￥）=加+%+1和函數(shù)g（x）=ax+l的圖象不可能是

(C)

AB

CD

【解析】若。=0,貝Iy（x）=%+1,g（x）=l,A可能；若〃V0,則危）的圖象開口向下，

過點(diǎn)（0,1）,對(duì)稱軸為x=一/〉0,g（x）的圖象過點(diǎn)（0,1）和（一!，0）,且一/V—￡B可

能；若則?x）的圖象開口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)（0,1）,對(duì)稱軸為x=一

^＜0,g（x）的圖象過點(diǎn)（0,1）和（T，0）,且一￡＞一《，c不可能；若則於）的圖象

開口向上，與x軸沒有交點(diǎn)，過點(diǎn)（0,1）,對(duì)稱軸為x=—彘＜0,g（x）的圖象過點(diǎn)（0,1）和

（T4且一4＞TD可能?

二、多項(xiàng)選擇題

5.已知函數(shù)於）=?2—2法一1,則下列結(jié)論正確的是（ABD）

A.若加）是偶函數(shù)，則6=0

B.若式x）＜0的解集是（一1,1）,則〃=1

C.若。=1,則；（尤）＞0恒成立

D.VaWO,b＜0,八x）在（-8,0）上單調(diào)遞增

【解析】對(duì)于A,函數(shù)共0的定義域?yàn)镽,若函數(shù)八%）為偶函數(shù)，則八—x）=/（x）,即以2

+2bx—l—ax2—12bx—l,即46%=0對(duì)任意的尤GR恒成立，則b=0,故A正確；對(duì)于B,

若不等式"x）＜0的解集為（一1,1）,則a＞0且一1,1為方程八x）=0的兩根，則

[TXI=T，…

5c,解得，故M=l,故B正確；對(duì)于C,若。=1,則/x）=d-2bx

―1+1=絲，匕=仇

Ia

-1,/=4/+4＞0,故段）＞0不恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)?＜0,所

bh

以在（一8,0）上單調(diào)遞增，當(dāng)。＜0時(shí)，函數(shù)八無(wú)）的對(duì)稱軸為直線x=,，且￡＞。，由二次

函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)式x）在（一8,0）上單調(diào)遞增，因此，V.WO,6c0,式尤）在（一8,0）

上單調(diào)遞增，故D正確.

6.（2024信陽(yáng)模擬）若函數(shù)於）=|%2—（加一2比+皿[—3,I上單調(diào)，則實(shí)數(shù)%的值可以

為（BD）

A.l1B.一；

5

D.3

2

【解析】①當(dāng)/=（加一2）2—4W0,即時(shí)，J（x）=\x1—（m—2）x+l\=x1—（m—2）x

,72—2

+1,所以式尤）的對(duì)稱軸為了=下一，則應(yīng)X）的圖象如圖（1）所示，結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)/（X）

11YYI—21YYL—21

=*—（初-2）x+l|在一5，?上單調(diào)，則一5一或—5—W—5，解得小23或m^l,即

_乙乙」乙乙乙乙

3WnzW4或0W加W1；

（第6題答）

②當(dāng)/=（根-2）2—4＞0,即根V0或加＞4時(shí)，令〃（%）=/一（加一2）x+l,則%（x）的對(duì)稱

772—2

軸為X=—^二，則/?（尤）的圖象如圖（2）所示，結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)人勸=廿一（加一2）x+l|

1<m—2

22

{4>o

fEm—2

—2^-2—，

《解得4＜相.3或一綜上，或一

［代步。，

7.（2024?浙江模擬）二次函數(shù)＞=加十―+以〃，b,c是常數(shù)，且〃W0）的自變量x與函數(shù)

值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

X???-1012???

…

ym22n???

3

且當(dāng)x=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值yVO.下列說法正確的有（BCD）

A.abc＞0

c、100

B.

C.關(guān)于尤的方程ax2+bx+c=0一定有一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且負(fù)實(shí)數(shù)根在一3和0

之間

D.若點(diǎn)尸i?+2,巾)和P2(L2,竺)在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實(shí)數(shù)?時(shí)，ji>j2

[Q+/?+C=2,[b=~a9

【解析】將(0,2),(1,2)代入得解得所以

/,〔c乙,

二次函數(shù)為尸加一"+2.因?yàn)楫?dāng)尤=尚時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y<0,即?〃一|4+2V0,所以

QQ

—所以人=—〃>],所以〃VO,Z?>0,c>0,所以次?cVO,故A錯(cuò)誤；當(dāng)了=—1時(shí)，m

=a+a+2=2a+2,當(dāng)％=2時(shí)，n=4a—2a+2=2a+2,所以加幾=(2"+2)2=4(〃+1)2,因

為〃<一/所以M故B正確；因?yàn)槎魏瘮?shù)》二以2一辦+2過點(diǎn)(0,2),(1,2),

13

所以其對(duì)稱軸為I=],又當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值yVO,根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性知，當(dāng)工

=—3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y<0,而當(dāng)x=0時(shí)，y=2>0,所以二次函數(shù)與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)

橫坐標(biāo)在一；和0之間，所以關(guān)于x的方程加+法+。=0一定有一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

且負(fù)實(shí)數(shù)根在一；和0之間，故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)尸1。+2,>1)和02(/—2,>2)在該二次函數(shù)的

圖象上，所以％=。a+2)2—〃0+2)+2,yi=a(t—2)2—a(t—2)+2,若%>>2,則〃0+2)2—

〃(1+2)+2>〃。-2)2—a(t—2)+2,因?yàn)椤╒0,所以(r+2)2—?+2)V?—2)2—(Z—2),解得/

<1,故D正確.

三、填空題

8.已知幕函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,坐^,則")=/2；若五。+1)</(3—2a),則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是」

【解析】設(shè)八X)=K,將點(diǎn)12,9代入得a=—3,所以人x)=—之其在(0,十8)上單

調(diào)遞減，所以。+1>3—2a>0,可得“eQ,

[x2-6x+4,xN],

9.(2025?湛江期中)若函數(shù)兀i)=.'—'存在最小值，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

[ax-2,x<l

為」一3,0L.

【解析】當(dāng)時(shí)，八刈二^2—6x+4=(x—3)2—52—5,顯然〃W0,故只需〃X1—22

—5,則一3WaW0.

10.已知函數(shù)/(%)=—#+x,若/(%)的定義域?yàn)閇如n](m<l),值域?yàn)棰苙,2n],則m

+n=—2

【解析】因?yàn)槲?=—%+x=—/(%—1>+3，對(duì)稱軸為x=l,當(dāng)小V〃W1時(shí)，危)在

m=2

A)—^m+m=2m,c=

解得《_當(dāng)機(jī)viv〃時(shí)，y(x)在

{加)=—/2+〃=2〃，5=°；

[m,1]上單調(diào)遞增，在[1,汨上單調(diào)遞減，此時(shí)火1)=-^+1=3=2〃=〃=；,與〃>1矛盾，

舍去.綜上，m——2,??—0,—2.

四、解答題

11.求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍，使關(guān)于x的方程V+2(m—l)x+2機(jī)+6=0分別滿足下列條

件.

(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2小；

【解答】設(shè)yu/iXluV+ZQ"—1)X+2MI+6.

(1)依題意有負(fù)2)<0,即4+4(機(jī)-l)+2m+6<0,得加<—1,即實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為

(—8,—1).

(2)有兩個(gè)實(shí)根a,B，且滿足0<a<l<￡<4；

/(0)=2m+6>0,

75

【解答】依題意有j/U)=4機(jī)+5<0,解得一方<根<—本即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

94)=10根+14>0,

-1)?

(3)至少有一個(gè)正根.

【解答】方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：①有兩個(gè)正根，此時(shí)可得

"10'機(jī)W—1或機(jī)25,

<'。)。，gp<m>—3,所以一3<加式一1；②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此

———>0,lm<l,

[2m+6=0,

時(shí)可得/(0)V0，得機(jī)V—3；③有一個(gè)正根，另一根為0,此時(shí)可得彳所以機(jī)

L2(m—1)<0,

=—3.綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(一8,-1].

12.已知二次函數(shù)1工)滿足式x+2)—/(x)=4x+6,且1一1)=0.

(1)求人x)的解析式；

【解答】設(shè)危)=ax2+/?x+c,由於+2)—/(%)=4x+6,得。(x+2)2+/?(x+2)+

[4〃=4,[ci'—1

c~(ax1+bx+c)=4x+6,即4"+4。+2/?=4%+6,因此{(lán),解得彳9/U)=

14〃+2匕=6,[b=l,

V+x+c由八-1)=0,得。=0,所以函數(shù)五%)的解析式是八x)=f+x.

(2)記且⑴可⑴一%2一2%一利，m^R,當(dāng)機(jī)+2]時(shí)，求g(x)的最大值(用機(jī)表示).

_m

3x—m,x<y,

【解答】由(1)知，g(x)=x—\lx—m\=當(dāng)m^O時(shí)，y,g(x)=