考點(diǎn)23空間幾何中的平行

知識(shí)理解

一.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

判定平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，V1//a,aua,lUa,

定理則該直線與此平面平行（線線平行=線面平行）：.l//a

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任

性質(zhì)*.*l//a,lu0,aC\0=b,

一平面與此平面的交線與該直線平行（簡(jiǎn)記為

定理：.l//b

“線面平行今線線平行”）

二.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)

判定a//P，b//P，aua,bua,

平面平行，則這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為

定理：.a///3

“線面平行臺(tái)面面平行”）

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面

?：a"B，aC\y=a,pC\y=b,.\a//b

相交，那么它們的交線平行

性質(zhì)

定理

如果兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面7^7

內(nèi)的一直線平行與另外平面4/

三.線線平行

1.相似比（常用三角形的中位線）

2.構(gòu)造平行四邊形（證明一組對(duì)邊平行且相等）

3.平行的傳遞性

4.線面垂直的性質(zhì)：垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行

5.線面平行的性質(zhì)

6.面面平行的性質(zhì)

7.平面向量

8.空間向量

四.線面平行

證明線面平行有兩種常用方法:

一是線面平行的判定定理；

考向一三角形的中位線證線面平行

【方法總結(jié)】

三角形中位線證明線面平行思路

（1）通過把面外的直線平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線

（2）構(gòu)造三角形中位線

【舉一反三】

1.（2021?廣東湛江節(jié)選）如圖，在直三棱柱/8C—/心G中，D,￡分別為84/C的中點(diǎn)，/斤8a求證：

〃平面DEC,.

【答案】證明見解析.

又因?yàn)橥咂咂矫纨婫,平面龐G,所以4旦〃平面龐G.

【答案】證明見解析.

【答案】證明見解析；

【解析】連接熊交劭于點(diǎn)0,連接

?.?四邊形加功為正方形，所以。為熊中點(diǎn)，又￡為身中點(diǎn),

考向二構(gòu)造平行四邊形證線面平行

【例2】（2020?全國(guó)高三專題練習(xí)節(jié)選）如圖，直四棱柱48切-464〃的底面是菱形，E,M,"分別是6C,

BB、,4。的中點(diǎn).證明：如〃平面G龍；

【答案】證明見解析

【解析】證明：連結(jié)ME.

因?yàn)椤?，E分別為BBi,回的中點(diǎn)，所以頗〃6C且?guī)Z工區(qū)口

2

又因?yàn)閺臑?,的中點(diǎn)，所以初=L4〃由題設(shè)知481%,可得RCUAD微ME11ND,

2一一一

因此四邊形腑定為平行四邊形，MN//ED.又平面砂G,所以腑〃平面61位

Di

【方法總結(jié)】

構(gòu)造平行四邊形證線面平行

(1)通過把面外的直線平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線

(2)構(gòu)造平行四邊形，通過一組對(duì)邊平行且相等證明平行四邊形

(3)利用平行四邊形的性質(zhì)證明線線平行

【舉一反三】

【答案】證明見解析

【解析】取的中點(diǎn)r，連接用，BF.

【答案】證明見解析.

【答案】證明見解析.

考向三三角形相似比證線面平行

【答案】證明見解析

【解析】證明：連結(jié)AC與5。交于點(diǎn)N,連結(jié)跖V

【舉一反三】

【答案】證明見解析

C

s

【答案】證明見解析

【解析】證明：連接A。,

S

考向四面面平行的性質(zhì)證線面平行

【答案】證明見解析

【方法總結(jié)】

面面平行的性質(zhì)證明線面平行

1:把線放在某個(gè)平面或構(gòu)造一個(gè)平面與之平行

2.利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行

【舉一反三】

【答案】證明見解析

【解析】取5。中點(diǎn)N,連接GN,NF,易知N,M，尸三點(diǎn)共線,

x

p

【答案】證明見解析

【解析】法一：連接件交龐于點(diǎn)〃，連接掰見圖1:

即

法二：取戊7中點(diǎn)瓶連接掰GM,見圖2:

p

,：M,尸分別是￡C,充的中點(diǎn)，

法三：在平面力回內(nèi)，以垂直于38的直線為x軸，A6所在的直線為y軸，/戶所在的直線為2軸建立空間

直角坐標(biāo)系，見圖3,

考向五證明線線平行線面垂直的性質(zhì)

4B

【答案】證明見解析

【解析】證明：如圖示：分別取AC,的中點(diǎn)尸，G,連結(jié)跖，DG,FG

【舉一反三】

【答案】見解析

【解析】證明：取CD中點(diǎn)。，連接MO,

A

考向六面面平行

【答案】證明見解析

【舉一反三】

【答案】證明見解析

B

【答案】見解析

B

強(qiáng)化練習(xí)

【答案】證明見解析

【答案】證明見解析

【解析】連接AC交5。于E，連接石則E為AC中點(diǎn),

【答案】證明見解析

【解析】取的中點(diǎn)Q，連結(jié)。N、AQ,

【答案】證明見解析

【答案】證明見解析

【解析】證明：取的中點(diǎn)G,連MAG,如圖所示:

，四邊行//'G為平行四邊形,

【答案】證明見解析

B

【答案】證明見解析

【答案】證明見解析

【解析】證明：取的中點(diǎn)0,連接NQ,FQ,

【答案】證明見解析

【答案】1

【解析】連結(jié)政,

【答案】證明見解析

【解析】證明：取尸C的中點(diǎn)連接）、BF,如圖所示:

【答案】證明見解析

【解析】連結(jié)8G，與耳。交于點(diǎn)。，連結(jié)00,

【答案】證明見解析

14.（2020?全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，在正方體/比346K4中，S是3〃的中點(diǎn)，E,F,G分別是比；DC,

SC的中點(diǎn)，求證：

⑴直線比//平面如

⑵平面EFG!I平面BDDB.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】證明：⑴如圖，連接必，因?yàn)榉碐分別是a；SC的中點(diǎn),

所以6G//M

又因?yàn)镾Bu平面BDD\B\,￡G?平面BDD、B\,

所以直線EGII平面BDD.B,.

⑵連接曲，因?yàn)榉睪分別是，C,SC的中點(diǎn),

所以刀G/