空間向量和立體幾何高考復習專題八

知識點一證明線面垂直，求線面角,面面垂直證線面垂直，線面角的向量求法

典例1、已知，如圖四棱錐P—A8C。中，底面力箭為菱形，Z4BC=60°,AB=PA=2,PAL

平面ABCD,

R也分別是8a49中點，點/是棱/￡上的動點.

(1)證明：AE_L平面PAD；

(2)請確定廠點的位置，使得直線力6與平面陽9所成的角取最大值.

隨堂練習：已知正方體ABCD-A心GA和平面。，直線ACJ/平面，J直線皿)//平面a.

(1)證明：平面aJ■平面4c%；

(2)點。為線段AG上的動點，求直線期與平面a所成角的最大值.

典例2、如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE'為底面直徑，AE=AL）ftABC

是底面的內(nèi)接正三角形，且兇=6,P是線段。。上一點.

（1）若PA_L平面P8C,求P。；

（2）當尸。為何值時，直線EP與平面P8C所成角的正弦值最大?

D

隨堂練習：如圖，在三棱柱ABC-AgG中，的1底面A8C,〃為8C的中點，點尸為棱網(wǎng)

上的動點（不包括端點），AB=AC=45fBC=2,M=2.

（1）求證：AO_L平面ACC崗;

（2）求直線因與平面PAC所成角的正弦值的最大值.

4

A

B

典例3、在四棱錐P-48co中，EA_L平面ABC。，底面ABC。是直角梯形，其中4>〃8C,

AB1AD,

AB=AD=hiC=2fE為棱8c上的點，且BE=；BC.

(1)求證：O￡_Z平面MC；

(2)若二面角4-PC-0的平面角的正切值為，求期的長；

(3)在(2)的條件下，若。為線段PC上一點，求3Q與面PCQ所成角為明求sin。的

最大值.

隨堂練習：如圖，在四棱錐P-A8C力中，底面488是梯形，ADUBC,AD=2BC,PA±PD,

AB=PB=L

(1)證明：P4L平面尸8；

⑵若BC=CD=1,當四棱錐P-ABC。的體積最大時，求直線P3與平面2W所成角

的正弦值

典例5、如圖，在三棱柱ABC-A4G中，M=AC=2,幺人。=60。，ZA8C=90。，點〃，E,

少分別為線段比,M,AG的中點，且8CJ.AQ.

(1)證明：平面ACG4J平面/厲0；(2)若"=1,求三棱錐4-。夕'的體積.

隨堂練習：如圖，三棱柱ABC-A由G中，側(cè)面BCG用為矩形，河8人是邊長為2的菱形，

BC=\,AC=&

(1)證明：平面A/C_L平面A網(wǎng)4；(2)若AC=AC,求三棱柱"C-A&G的體

積.

A小

典例6、如圖，已知在四棱錐P-A8CQ中，PA=AD=PD=2t/ZM/)=NaM=90°,AB=2CDt

CDLPAf

E,，,分別為棱如，必的中點.

(1)求證：平面平面￡7刃C；

(2)若直線用與平面玄〃所成的角為45°,求四棱錐P-/WCZ)的體積.

隨堂練習：如圖，四棱錐戶-A8CO中，側(cè)面PAO為等邊三角形且垂直于底面A5CD,

AB=BC=-AD=2

2t

NBAD=ZABC=9()。,。是AO的中點.

(1)求證：平面PACJL平面P08；

(2)點用在棱夕。上，滿足尸M=4PC(O<2<1)且二棱錐「一47河的體積為無，求義的

3

值.

空間向量和立體幾何高考復習專題八答案

典例1、答案：（1）證明見解析⑵白

IO

解：（1）證明：在正方形48CQ中有AD1DC,??.AP1PM,

AP1PN,又因為PMcPN=P,所以API平面PMJV,而4>u平面APN,

所以平面APN_L平面PMN.

(2)連接拗:由題意可得AM=AN=j2+(；)2=(,PM=PN=；,

22

MNZMCRCN】=與由PM+PN?=MN,所以.PMN為直角三角形，即

C1111

SPMIVf

ZZZo

111111

cccc11

3AMN=?正方形/WCD-JABN一、ADM-dCMN=1一7*【乂不一7X]X7一不X7

設點P到平面AMN的距離為/?,由匕“城=得,

?尸A=：SMWNJ?,即!Xl=("'得

J5x“J

-z1/uu、/1/3111

V?AMUZ=7(SAMN+SMCZ?7=三X(3+3)X不=—

J00^510

即四棱錐P-AMCN的體積為工

1O

隨堂練習：答案：（1）證明見解析(2)謔

3

,c

解：(1)連接8。，因為所以8。=JAB'AO?=3五,

又因為8。=26，CD=瓜,所以3。2+。。2=3。2,即8C_LCQ,

又因為加J_底面/燈力，3Cu底面力反力，所以尸D_LB3

又因為CD,P￡>u平面/Y刀，CDC\PD=D,

所以3c人平面PCD,又因為8Cu平面PBC,勿以平面闈〃_平面PBC.

(2)在直角三角形曲中，sinAABD==l,cos^ABD==2^^

BD3BD3

在直角三角形BCD中，sinZCBD=—=^,cosZCBD=—=

BD3BD3

所以sinZABC=siniZABD+^CBD)=sinZABDcosZCBD+cosZABDsinZCBD

瓜2瓜瓜

------1-------=-----9

993

所以%8c=gA8.8CsinZA8C=4&，所以％一八恥=；xS*“xP。=竿。

典例2、答案：（1）證明見解析（2）［

1O

解：（1）如圖，取“'的中點。，連接如，因為A4=AC=2,NAAC=60。，

所以△A4C為等邊三角形，所以AOJ.AC.

又因為ZA4c=90。，點0,〃分別為線段力。，比、的中點，所以O7）〃A8,所以

0D1BCf

因為8C_LA。，。。4。=。，。。、AOu平面4。。，所以8C1平面AOD,

?.?A0u平面4。。，則8CJ.A0,

又因為ACT8C=C,AC.BCu平面/1%,所以A。，平面/〃C,

又因為AOu平面ACGA,所以平面ACGAJ■平面/宓

（2）如圖，過4作"G_14c于點G,由（1）得平面ACCM，平面4比；

且平面ACCM1平面48c=AC,AGu平面ABC,所以8G_L平面ACC；A,

在直角力回中，AC=2fAB=lfZABC=90°,所以8C=6，由

ABBC=AC-BG^BG=-

2f

又因為點〃為線段比的中點，所以點〃到平面ACGA的距離分為點方到平面

4CGA的距離弦的一半，即/7,8G」x@=立.

2224

因為點反產(chǎn)分別為線段4A,AG的中點，所以AE=A尸=1,

又因為/珞尸=120。，所以△助產(chǎn)的面積為S△珞F=4xlxlx￥=當,

VDFF=%A.FF="XS

AFAFX/?=-XX,

A[-DEF3LJ\{r344[6

所以三棱錐A-DEF的體積為二.

Io

隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）75.

解：（1）因為側(cè)面ACC蜴是矩形，則BC18用，又因為8C=1,AB=2,4c=6,

HPW?C24-A?2=XC2,則3C_LAB,又相？陰B,ABI4u平面人“同，

因此8C/平面AAqA,而BCu平面A/C,所以平面ABC_L平面A8B1A.

（2）由（1）知，8c/平面A網(wǎng)A,而A3u平面A網(wǎng)4,則8C_LA/,

因為AC=AC=&，于是得-8=*'-叱=2,而A34A是邊長為2的菱形,

因此△?1即是正三角形，S^=1AB-A^sin6O=6，

所以三棱柱ABC-的體積力一%=3%布=3%T研=3x|s網(wǎng)x8C=6.

典例3、答案：（1）見解析；（2）2后

解：（1）因為在平面A8CD中，ZfiAP=ZCm=90°,feAB//CD,

因為CDJLPA,故A8_LPA,而A8_LD4,

DAPA=AfDA,尸Au平面PDA,故A8/平面PDA.

因為D"u平面故A4_L力尸.氏I為AD=2￡>=2.AF=PF,故QA_LO〃.

因為尸AQ48=A,尸AABu平面尸胡，故。尸工平面尸胡.

因為E,〃分別為楂PB,幺的中點，故EFHAB,EF,

而DC//A8,OC=；A8,故EF//DC,EF=DC,

故反￡QC四點共面，而。Pu平面EHX?,故平面月%_L平面￡77）C.

（2）取A。的中點為G,連接PG,由（1）可得AB//CD,AB±PA,ABlADf

故CD工PA,CD工AD,而PAcA￡）=APAAOu平面PAD,

故CO_L平面尸AO,故ZCPD為直線PC與平面抬。所成的角，故NCPD=45°,

因為CO_L平面尸4。，H）u平面抬。，故CO_LPD,

故JC。為等腰直角三角形，而尸。=2,故C0=2,故A8=4,

故直角梯形48CQ的面積S=gx（2+4）x2=6.

又CDu平面A8CD,故平面以。_1_平面A8CD,

而為等邊三角形，故PG_LAD,且PG=3~x2=+.

2

因為PGu平面PAO,平面以Oc平面ABC7）=AD,故PGJ?平面48c。，

故四棱錐P-A8CD的體積為:x6xg=2石.

隨堂練習：答案：（1）證明見解析.（2）

4

解：⑴由題意底面ABCD,4B="C=；AO=2,N朋D=Z/WC=90。，則底面A5CQ為

直角梯形，

連接0c,則A0=BC=l,A0〃4C,故四邊形AOCB為矩形，

則OC〃A氏OC=A8=1,所以四邊形八OCB為正方形，所以ACJ_OB,

因為側(cè)面以力為等邊三角形，。是4。的中點，所以POLA。，P0u平面P/W,

因為平面小。J■平面ABCD,平面EAOc平面ABCD=4。，所以尸。工平面ABCD,

因為ACu平面ABCO,所以PO_LAC,因為夕。003=O,P0,0Bu平面P08,

所以4C_L平面尸08,因為ACu平面21c,所以平面PACJ_平面P08.

u

（2）因為底面A6CD中，AB=BC=-AD=2JZ/i4L>=ZA^C=90,

側(cè)面小。為等邊三角形，。是4力的中點，

所以AO=OO=A6=8C=OC=2,PA=AD=PD=4,20=26，0B=AC=26,

因為P0_￡平面A8CZ),。氏OCu平面A8CO,所以PO_L。艮PO_LOC,

fi/fIUPB2=PO2+O52=12+8=20,

因為Ab、RA?=4+]6=20,所以尸產(chǎn)=入爐iP/f,所以NP4K=3，

設點CM到平面小8的距離分別為4,4,

因為%詠=%-PA8，所以3A8c，尸。=；5MB,即

：x；x2x2x2G=；x；x2x4J1,故,

因為三棱錐的體積為由，

3

所以Y所以"2X4&Y，解得乩=￡,

333234

苴11

所以也二3二工二[,^]PM=-PC因為PM=/IPC（O</1<1）,所以2=-.

正一丁一方244

典例4、答案：（1）證明見解析（2）尸為的中點

解：（1）連接力。，???底面/以力為菱形，4AC=60。，，△/必。為正三角形，

丁夕是雨的中點，???AK_L3C,又AD〃BC,AAE±ADt

?.?A4_L平面/比〃ABCD,：.PA±AEf

VPAr\AD=AfPA、ADu平面用〃，I.AE_L平面心〃，

（2）由（1）知，AE、AD,力尸兩兩垂直，故以力反49、4P所在直線分別為x,y,,

軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（0,0.0）,B（V3,-1,O）,C（V3,1,O）,￡>（0,2,0）,P（0,0,2）,例（0,1,1）,E（后0,0）,

APC=(^,1,-2),PD=(O,2,-2),AP=((),(),2).

uiwuiiumu

設P/=2尸。=(&,A,-2A)AF=AP+PF=(V3A,2,2-22).

m-PC=x/3x,+y-2z,=0

設平面PCD的法向量為"?=（不，y，zj,則J

nPD=2yi-2zt=0

令Z1=J5,則為=|,y=J5,；?.

設直線〃'與平面也所成的角為e,

則

AF?tn>/3A+號入+2^/3-2N/3A2>/3

sin0=|cos

h尸-/g)2+工2+(2-22)2Xx/7x2,2(4—+2

2

當2時，sin。最大，此時/為/T的中點.

隨堂練習：答案：(1)證明見解析；(2)最大值為

0

解：(1)證明：連接AG，則3Q_LAG，因為A4,_L平面8Qu平面AgCQ,

所以

又因為叫CA￡=A,所以平面AAG：因為AGu平面A4C,所以

1AC.；

同理BC1AC"因為媯RcBC=81,所以4GJL平面用CR；

因為4G〃平面a,過直線4cl作平面/與平面a相交于直線/，則ACJ〃；

所以/工平面4C。；又/u平面。，所以平面a_L平面4。。"

(2)設正方體的棱長為1,以A為坐標原點，48,AD,AA分別為X,y,Z軸正

方向

建立空間直角坐標系，則A(0,0,0),8(1。0),D(OJO),G(1,1,1),所以4G=(1,1,1),

=(-1,1,0).

設平面。的法向量為〃=(x,y,z),則〃m，即f+[°,取X=1,則

HBD-0xIy=0

=(1,1,-2)；

設=則AP=(r/f),因為剛二(一1,0,0),所以

BP=BA+AP=(t-\J4);

設直線在與平面。所成的角為。，則

sin。=------=廠I

1〃118Pl76V3r-2r+l

聞3層

所以當時，sin。取到最大值為［此時。的最大值為

316

典例5、答案：(1)瓜(2)當PO=卡時，直線律與平面P8C所成角的正弦值

最大.

解：(1)AE=AD^OA=^-AEf所以加=癡匚市'=6，解得人O=AE=46,

由于三角形A8C是等邊三角形，圓。是其外接圓，AE是圓。的直徑，

所以AE垂直平分8C,()A=OB=OC=2退，

在三角形A8C中，由正弦定理得告=4G，A8=6,則AB=AC=3C=6,

sin—

3

由于PA_L平面PBC,所以附_LPC,由于%=也％2+0。70c?+(W=PC，

所以三角形亦是等腰直角三角形，所以叫心6哼=3日所以

加可一(2時=而

(2)由(1)得AEJ.8C,設4EC|BC="，CF=BF=3,OF=#琦-3?=6，

結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標系，

網(wǎng)3,G0),C(-3,G,0)，跳0,2"0),

設P(0,0,/),0</<6,貝I]E尸=(0.—2百,。,PB=(3,A-/).?C=(-6.0.0),

設平面P8C的法向重為〃=(x,y,z),則<a,故可設

[n-BC=-6x=0

〃=(0/6),

設直線褚與平面P8C所成角為e,則

n-EP

“?國川」產(chǎn)+學+15

由于產(chǎn)+*1522，|1+15=27,當且僅當/=*=#時等號成立，所以

V273

即當PO="時，直線律與平面PBC所成角的正弦值最大.

隨堂練習：答案：(1)證明見解析Y(2)嚕.

解：(1)因為AB=AC,30=8,所以4018C.因為明，底面AB。，ADu平面ABC,

所以償_LAO.

又因為例〃四，所以BglAO.

因為AO/3C,ADJL8瓦，,BC,B瓦u平面8C&同，所以4。，平

面RCC畫.

(2)如圖，取4G的中點區(qū)連接。E.由8D=CD,〃IE=GE可得。Ei平面A5C,

又由8C_LAO,可得A。，BC,0E兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由45=的,50=8=1,可得AD=2,所以ZXO.O.O),由1,0,0),C(-1.0.0),由0,2.0),

設點尸的坐標為(1，。力)(0<〃<2),平面PAC的法向量為次=設y,z).

m-CA=x+2y=0

由CA=(l,2,0),CP=(2,0J0，有＜

m-CP=2x+hz=0'

取x=2/z,則)，=-/?,z=-4,可得平面PAC的法向量〃?=(2〃,-4,-4).

又由Bg=(-2.0,2),設直線8G與平面尸AC所成的角為氏

由“3C；=-4"8,|〃?|=V^T^，Bq=2&,有si?4/；8=y

112忘xj5/P+16J5//+16

「6"V2

令〃+2=?2</<4）,h=-2,有‘55（/-2）2+16，5/一20/+36+史

x/2/右_3Vioinc

晨C5丫20一邁一W故當r—時，〃=/sin。的最大值為之竺，

MLR十g35510

故直線垢與平面PAC所成角的正弦值的最大值為嚕.

典例6、答案：（1）證明見解析（2）4（3）當

解：（1）因為尸A_L平面ABCQ,ABJOu面A8CZ）,所以以_LA3,PAA.AD,

因為4?_L4）,所以人民4ZAP兩兩垂直，

如圖以A為原點，分別以人8,ADAP所在的直線為x,y,z軸建立空間直加坐標系,

設AF-a,則A（0,0,0）,Z?（2,0,0）,C（2,4,0）,P（0,2,0）,P（0,0,?）,E（2,l,0）

所以OE=（2,-1,0）,AC=（2,4,0）,AP=（0,0,a）,

因為。EAC=2x2-lx4+0=0,DEAP=Of所以力E_L4C，DELAPy

DEIAC,DELAP,因為AC】AQ=A,所以力E1平面PAC

（2）由（1）知：。石1平面PAC,取平面PAC的法向量力E=（2,-1,0）,

因為PC=（2,4,-a）,CD=（-2,-2,0）,

設平面PC。的一個法向量為〃=（x,y,z）,

PC-n=2.r+4y-az=O?則yrZ=7--,所以T(—To\，

由，,取x=l

CDn=-2x-2y=0

2

設二面角A-PC-。的平面角為。，且。為銳角，則tana=彳，所以cosa=-^

27、

2

F

,所以總的長為4.

（3）由（2）知外的長為4,即a=4,

因為Q為線段尸。上一點，所以PQ//PC,設PQ=MC=（2Z4Z-U）,

所以30=旃+尸。=(々0,4)+(2144-1/1)=(2/1-234,4-4九),

(1

平面產(chǎn)的一個法向量〃=1，T-5

?.___.|BQ.,

則sin夕=gs(BQ,〃)=p―7j—

3V9T-I02+5，

當久=-孤=焉時，的紀-10%十5最小為