CHAPTER3THEDERIVATIVE微積分學的創(chuàng)始人:德國數(shù)學家Leibniz微分學導數(shù)導數(shù)思想最早由法國數(shù)學家Ferma在研究極值問題中提出.英國數(shù)學家Newton2.1 TwoProblemswithOneThemeTangentLines&SecantLinesTheslopeofasecantlinebetween2pointsonacurveisthechangeiny-valuesdividedbythechangeinx-values.Sinceatangentlinetouchesonlyonepointonthecurve,howdowefindtheslopeoftheline?Weconsidertheslopeof2pointsthatareINFINITELYclosetogetheratthepointoftangency…thusalimit!AverageVelocity&InstantaneousVelocitySimilartoslopeofasecantline,tofindaveragevelocity,wefindthechangeindistancedividedbythechangeintimebetween2pointsonatimeinterval.Tofindinstantaneousvelocity,wefindthedifferenceindistanceandtimebetweentwopointsintimethatareINIFINITELYclosetogether…again,alimit!TangentLineSlopeatx=c&InstantaneousVelocityatt=caredefinedtheSAME一、引例1.變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動機動目錄上頁下頁返回結束2.曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線割線MN

的極限位置MT(當時)割線MN

的斜率切線MT的斜率機動目錄上頁下頁返回結束兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題機動目錄上頁下頁返回結束RestofChange:3.2TheDerivativeThederivativeoff(x)isdesignatedasf’(x)orf’ory’.3.2TheDerivative思考與練習1.

函數(shù)在某點處的導數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束二、導數(shù)的定義定義1.

設函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數(shù).機動目錄上頁下頁返回結束運動質點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M

點處的切線斜率機動目錄上頁下頁返回結束若上述極限不存在,在點不可導.若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間

I

內每點都可導,此時導數(shù)值構成的新函數(shù)稱為導函數(shù).記作:就說函數(shù)就稱函數(shù)在

I內可導.的導數(shù)為無窮大.機動目錄上頁下頁返回結束3.6LeibnizNotationDifferentiabilityimpliescontinuity.Ifthegraphofafunctionhasatangentatpointc,thenthereisno“jump”onthegraphatthatpoint,thusiscontinuousthere.函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系定理.證:設在點x

處可導,存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點x連續(xù)未必可導.反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導.即機動目錄上頁下頁返回結束2.

設存在,則3.

已知則4.

若時,恒有問是否在可導?解:由題設由夾逼準則故在可導,且機動目錄上頁下頁返回結束2.3RulesforFindingDerivatives常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束例.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即機動目錄上頁下頁返回結束四則運算求導法則

定理.的和、差、積、商(除分母為0的點外)都在點x

可導,且下面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題.機動目錄上頁下頁返回結束此法則可推廣到任意有限項的情形.證:

設,則故結論成立.機動目錄上頁下頁返回結束例如,(2)證:

設則有故結論成立.推論:機動目錄上頁下頁返回結束(C為常數(shù))(3)證:

設則有故結論成立.推論:機動目錄上頁下頁返回結束(C為常數(shù))例.解:機動目錄上頁下頁返回結束有限次四則運算的求導法則(C為常數(shù))機動目錄上頁下頁返回結束2.4DerivativesofTrigonometricFunctions

Formula

解f’(sinx)=cosx

f’(cosx)=-sinxFindderivativesofothertrig.functionsusingthesederivativesandapplyingproductruleand/orquotientrule例.

求證證:類似可證:機動目錄上頁下頁返回結束Derivativesofsec(x),csc(x)andcot(x)Allarefoundbyapplyingtheproductand/orquotientrulesandusingknownderivativesofsin(x)andcos(x).2.5TheChainRule復合函數(shù)求導法則Foracompositefunction,itsderivativeisfoundbytakingthederivativeoftheouterfunction,withrespecttotheinnerfunction,timesthederivativeoftheinnerfunctionwithrespecttox.Ifthecompositionconsistsof3ormorefunctions,continuetotakethederivativeofthenextinnerfunction,withrespecttothefunctionwithinit,until,finally,thederivativeistakenwithrespecttox.在點x

可導,復合函數(shù)求導法則定理3.在點可導復合函數(shù)且在點x

可導,證:在點

u可導,故（當時)故有機動目錄上頁下頁返回結束求下列函數(shù)的導數(shù)例如,關鍵:

搞清復合函數(shù)結構,由外向內逐層求導.推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.機動目錄上頁下頁返回結束例.求解:例.設解:求機動目錄上頁下頁返回結束例.求解:關鍵:

搞清復合函數(shù)結構由外向內逐層求導機動目錄上頁下頁返回結束例.設求解:機動目錄上頁下頁返回結束Findthederivative(notethisisthecompositionof3functions,thereforetherewillbe3“pieces”tothechain.)3.7Higher-OrderDerivativesf’’=2ndderivative

f’’’=3rdderivative

f’’’’=4thderivative,etc…The2ndderivativeisthederivativeofthe1stderivative.The3rdderivativeisthederivativeofthe2ndderivative,etc.定義.若函數(shù)的導數(shù)可導,或即或類似地,二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),階導數(shù)的導數(shù)稱為n

階導數(shù),或的二階導數(shù)

,記作的導數(shù)為依次類推,分別記作則稱機動目錄上頁下頁返回結束Velocityisthederivativeofdistancewithrespecttotime(1stderivative)andAccelerationisthederivativeofvelocitywithrespecttotime(2ndderivativeofdistancewithrespecttotime)Up(orright)isapositivevelocity.Down(orleft)isanegativevelocity.Whenanobjectreachesitspeak,itsvelocityequalszero.速度即加速度即引例：變速直線運動機動目錄上頁下頁返回結束3.8ImplicitDifferentiation(Anapplicationofthechainrule!)yisnowconsideredasafunctionofx,thereforeweapplythechainruletoyApplyallappropriaterulesandsolvefordy/dx.Findthederivative例.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即機動目錄上頁下頁返回結束例.求的導數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導機動目錄上頁下頁返回結束

1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導法求導:說明:按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式注意:機動目錄上頁下頁返回結束2)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對

x求導機動目錄上頁下頁返回結束又如,

對x

求導兩邊取對數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束設由方程確定,解:方程兩邊對x

求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得求機動目錄上頁下頁返回結束①設求分別用對數(shù)微分法求答案:機動目錄上頁下頁返回結束2.8RelatedRatesAvery,veryimportantapplicationofthederivative!Appliestosituationswheremorethanonevariableischangingwithrespecttotime.Theothervariablesaredefinedwithrespecttotime,andwedifferentiateimplicitlywithrespecttotime.相關變化率為兩可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率機動目錄上頁下頁返回結束相關變化率為兩可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率機動目錄上頁下頁返回結束例.

一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:

設氣球上升t

分后其高度為h,仰角為

,則兩邊對t求導已知

h=500m時,機動目錄上頁下頁返回結束由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若參數(shù)方程可確定一個

y

與

x之間的函數(shù)可導,且則時,有時,有(此時看成x

是

y的