上海市北初級中學初一數(shù)學上冊期末壓軸題匯編一、七年級上冊數(shù)學壓軸題1．如圖，O為直線AB上的一點，過點O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角板（∠M=30°），的直角頂點放在O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方，將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．（1）幾秒后ON與OC重合？（2）如圖2，經(jīng)過t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此時t的值．（3）若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間OC平分∠MOB？請畫出圖并說明理由．答案：（1）10秒；（2）5秒；（3）秒．【分析】（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動速度即可得；（2）根據(jù)∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，進而可知旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時間t；解析：（1）10秒；（2）5秒；（3）秒．【分析】（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動速度即可得；（2）根據(jù)∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，進而可知旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時間t；（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動速度關(guān)系和OC平分∠MOB畫圖即可．【詳解】（1）∵30÷3＝10，∴10秒后ON與OC重合；（2）∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝2∠COM＝150°，∴∠COM＝75°，∴∠CON＝15°，∴∠AON＝∠AOC?∠CON＝30°?15°＝15°，解得：t＝15°÷3°＝5秒；（3）如圖∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，∵三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON為3t，∠AOC為30°＋6t，∴∠COM為（90°?3t），∵∠BOM＋∠AON＝90°，可得：180°?（30°＋6t）＝（90°?3t），解得：t＝秒．【點睛】此題考查了角的計算，關(guān)鍵是應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（閱讀理解）若為數(shù)軸上三點，若點到的距離是點到的距離的2倍，我們就稱點是()的優(yōu)點．例如，如圖1，點表示的數(shù)為-1，點表示的數(shù)為2，表示1的點到點的距離是2，到點的距離是1，那么點是()的優(yōu)點：又如，表示0的點到點的距離是1，到點的距離是2，那么點就不是()的優(yōu)點，但點是()的優(yōu)點．（知識運用）如圖2，為數(shù)軸上兩點，點所表示的數(shù)為-2，點所表示的數(shù)為4．（1）數(shù)所表示的點是()的優(yōu)點：（2）如圖3，為數(shù)軸上兩點，點所表示的數(shù)為-20，點所表示的數(shù)為40.現(xiàn)有一只電子螞蟻從點出發(fā)，以3個單位每秒的速度向左運動，到達點停止．當為何值時，和中恰有一個點為其余兩點的優(yōu)點？(請直接與出答案)答案：（1）x＝2或x＝10；（2）或或10．【分析】（1）設(shè)所求數(shù)為x，根據(jù)優(yōu)點的定義列出方程x?（?2）＝2(4?x）或x?（?2）＝2（x?4），解方程即可；（2）根據(jù)題意點P在線段AB上，由解析：（1）x＝2或x＝10；（2）或或10．【分析】（1）設(shè)所求數(shù)為x，根據(jù)優(yōu)點的定義列出方程x?（?2）＝2(4?x）或x?（?2）＝2（x?4），解方程即可；（2）根據(jù)題意點P在線段AB上，由優(yōu)點的定義可分4種情況：①P為(A，B)的優(yōu)點；②A為(B，P)的優(yōu)點；③P為(B，A)的優(yōu)點；④B為(A，P)的優(yōu)點，設(shè)點P表示的數(shù)為y，根據(jù)優(yōu)點的定義列出方程，進而得出t的值．【詳解】解：（1）設(shè)所求數(shù)為x，由題意得x?（?2）＝2（4?x）或x?（?2）＝2（x?4），

解得：x＝2或x＝10；

（2）設(shè)點P表示的數(shù)為y，分四種情況：

①P為(A，B)的優(yōu)點．

由題意，得y?（?20）＝2（40?y），

解得y＝20，

t＝（40?20）÷3＝（秒）；②A為(B，P)的優(yōu)點．

由題意，得40?（?20）＝2[y?（?20）]，

解得y＝10，

t＝（40?10）÷3＝10（秒）；

③P為(B，A)的優(yōu)點．

由題意，得40?y＝2[y?（?20）]，

解得y＝0，

t＝（40?0）÷3＝（秒）；④B為(A，P)的優(yōu)點40-(-20)=2(40-x)，解得：x=10t=(40-10)÷3=10（秒）．

綜上可知，當t為10秒、秒或秒時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的優(yōu)點．故答案為：或或10．【點睛】本題考查了數(shù)軸及一元一次方程的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，理解優(yōu)點的定義，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．3．已知：b是最小的正整數(shù)，且、b、c滿足，請回答問題．(1)請直接寫出、b、c的值．(2)、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數(shù)為，點P在0到2之間運動時(即0≤x≤2時)，請化簡式子：(請寫出化簡過程)．(3)在(1)(2)的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，假設(shè)t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BCAB的值是否隨著時間t的變化而改變?若變化，請說明理由；若不變，請求其值．答案：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不變，理由見解析【分析】（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)，即可確定b的值，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)的和是0，則每個數(shù)是0，即可求得a，b解析：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不變，理由見解析【分析】（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)，即可確定b的值，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)的和是0，則每個數(shù)是0，即可求得a，b，c的值；（2）根據(jù)x的范圍，確定x+1，x-3，5-x的符號，然后根據(jù)絕對值的意義即可化簡；

（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，從而得出BC-AB=2．【詳解】解：（1）∵b是最小的正整數(shù)，∴b=1．根據(jù)題意得：c-5=0且a+b=0，

∴a=-1，b=1，c=5．

故答案是：-1；1；5；

（2）當0≤x≤1時，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，

則：|x+1|-|x-1|+2|x+5|

=x+1-（1-x）+2（x+5）

=x+1-1+x+2x+10

=4x+10；

當1＜x≤2時，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．

∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）

=x+1-x+1+2x+10

=2x+12；

（3）不變．理由如下：

t秒時，點A對應的數(shù)為-1-t，點B對應的數(shù)為2t+1，點C對應的數(shù)為5t+5．

∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，

∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，

即BC-AB值的不隨著時間t的變化而改變．【點睛】本題考查了數(shù)軸與絕對值，通過數(shù)軸把數(shù)和點對應起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學習中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．4．在數(shù)軸上，點A向右移動1個單位得到點B，點B向右移動（n為正整數(shù)）個單位得到點C，點A，B，C分別表示有理數(shù)a，b，c；（1）當時，①點A，B，C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，a，b，c三個數(shù)的乘積為正數(shù)，數(shù)軸上原點的位置可能（）A．在點A左側(cè)或在A，B兩點之間B．在點C右側(cè)或在A，B兩點之間C．在點A左側(cè)或在B，C兩點之間D．在點C右側(cè)或在B，C兩點之間②若這三個數(shù)的和與其中的一個數(shù)相等，求a的值；（2）將點C向右移動個單位得到點D，點D表示有理數(shù)d，若a、b、c、d四個數(shù)的積為正數(shù)，這四個數(shù)的和與其中的兩個數(shù)的和相等，且a為整數(shù)，請寫出n與a的關(guān)系式．答案：（1）①C；②-2或或；（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，【分析】（1）把代入即可得出，，再根據(jù)、、三個數(shù)的乘積為正數(shù)即可選擇出答案；（2）分兩種情況討論：當為奇數(shù)時；當為偶數(shù)時；用含的代數(shù)式表解析：（1）①C；②-2或或；（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，【分析】（1）把代入即可得出，，再根據(jù)、、三個數(shù)的乘積為正數(shù)即可選擇出答案；（2）分兩種情況討論：當為奇數(shù)時；當為偶數(shù)時；用含的代數(shù)式表示即可．【詳解】解：（1）①把代入即可得出，，、、三個數(shù)的乘積為正數(shù)，從而可得出在點左側(cè)或在、兩點之間．故選；②，，當時，，當時，，當時，；（2）依據(jù)題意得，，，．、、、四個數(shù)的積為正數(shù)，且這四個數(shù)的和與其中的兩個數(shù)的和相等，或．或；為整數(shù)，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，．【點睛】本題考查了數(shù)軸，我們把數(shù)和點對應起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學習中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．5．如圖，已知點A距離數(shù)軸原點2個單位長度，且位于原點左側(cè)，將點A先向右平移10個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到點B，點P是數(shù)軸上的一個動點．（1）在數(shù)軸上標出A、B的位置，并求出A、B之間的距離；（2）當點P在數(shù)軸上移動，滿足時，求P點表示的數(shù)；（3）動點P從數(shù)軸上某一點出發(fā)，第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度，……①若在原點處，按以上規(guī)律移動，則點P第n次移動后表示的數(shù)為__________；②若按以上規(guī)律移動了次時，點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)恰是，則動點P的初始位置K點所表示的數(shù)是___________．答案：（1）數(shù)軸見解析，A、B之間的距離為6；（2）2或10；（3）①（-1）n?n；②4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的定義得到點A和點B表示的數(shù)，從而得到A、B之間的距離；（2）設(shè)點P表示的數(shù)為x，表示解析：（1）數(shù)軸見解析，A、B之間的距離為6；（2）2或10；（3）①（-1）n?n；②4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的定義得到點A和點B表示的數(shù)，從而得到A、B之間的距離；（2）設(shè)點P表示的數(shù)為x，表示出PA和PB，令PA=2PB，得到方程，解之即可；（3）①根據(jù)點P前幾次表示的數(shù)找出規(guī)律即可得出結(jié)論；②設(shè)動點P的初始位置K點所表示的數(shù)是m，根據(jù)①中所得規(guī)律，列出方程即可求出m值．【詳解】解：（1）∵點A距離數(shù)軸原點2個單位長度，且位于原點左側(cè)，∴點A表示的數(shù)為-2，將點A先向右平移10個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到點B，∴點B表示的數(shù)為：-2+10-4=4，數(shù)軸如下：A、B之間的距離為：4-（-2）=6；（2）設(shè)點P表示的數(shù)為x，∴PA=，PB=，∵PA=2PB，∴，若點P在點A左側(cè)，，解得：x=10，不符合；若點P在A、B之間，，解得：x=2；若點P在點B右側(cè)，，解得：x=10，綜上：點P表示的數(shù)為2或10；（3）①∵在原點處，第一次移動后點P表示的數(shù)為0-1=-1，第二次移動后點P表示的數(shù)為0-1+3=2，第三次移動后點P表示的數(shù)為0-1+3-5=-3，第四次移動后點P表示的數(shù)為0-1+3-5+7=4，...∴第n次移動后點P表示的數(shù)為：（-1）n?n；②設(shè)動點P的初始位置K點所表示的數(shù)是m，由①可得：第n次移動后點P表示的數(shù)為：m+（-1）n?n，∵移動了2n+1次時，點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)恰是3-2n，∴m+（-1）2n+1?（2n+1）=3-2n，即m-（2n+1）=3-2n，解得：m=4，即點P的初始位置K點所表示的數(shù)是4．【點睛】本題考查了數(shù)軸，兩點之間的距離，數(shù)字型規(guī)律，一元一次方程，解題的關(guān)鍵是注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的運用，同時要善于總結(jié)規(guī)律．6．如圖，一個電子跳蚤從數(shù)軸上的表示數(shù)a的點出發(fā)，我們把“向右運動兩個單位或向左運動一個單位”作為一次操作，如：當時，則一次操作后跳蚤可能的位置有兩個，所表示的數(shù)分別是2和5．（1）若，則兩次操作后跳蚤所在的位置表示的數(shù)可能是多少？（2）若，且跳蚤向右運動了20次，向左運動了n次．①它最后的位置所表示的數(shù)是多少？（用含n的代數(shù)式表示）②若它最后的位置所表示的數(shù)為10，求n的值．（3）若，跳蚤共進行了若干次操作，其中有50次是向左運動，且最后的位置所表示的數(shù)為260，求操作的次數(shù)．答案：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次【分析】（1）先得出一次操作后所可能表示的數(shù)，再得出第二次操作后的數(shù)；（2）①根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；②令①中代數(shù)式的值為10，求解析：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次【分析】（1）先得出一次操作后所可能表示的數(shù)，再得出第二次操作后的數(shù)；（2）①根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；②令①中代數(shù)式的值為10，求出n值即可；（3）設(shè)跳蚤向右運動了m次，根據(jù)題意列出方程，解出m值，再加上50即可．【詳解】解：（1）∵a=0，則一次操作后表示的數(shù)為-1或2，則兩次操作后表示的數(shù)為-2或1或4；（2）①由題意可得：a=3時，向右運動了20次，向左運動了n次，∴最后表示的數(shù)為：3+20×2-n=43-n；②令43-n=10，則n=33；（3）設(shè)跳蚤向右運動了m次，根據(jù)題意可得：-10-50+2m=260，則m=160，∴操作次數(shù)為50+160=210．【點睛】本題考查了數(shù)軸，一元一次方程，解題的關(guān)鍵是要理解“一次操作”的意義．7．如圖，數(shù)軸上有三個點、、，表示的數(shù)分別是、、，請回答：（1）若使、兩點的距離與、兩點的距離相等，則需將點向左移動______個單位．（2）若移動、、三點中的兩個點，使三個點表示的數(shù)相同，移動方法有種，其中移動所走的距離和最小的是_______個單位；（3）若在表示的點處有一只小青蛙，一步跳個單位長．小青蛙第次先向左跳步，第次再向右跳步，然后第次再向左跳步，第次再向右跳步按此規(guī)律繼續(xù)跳下去，那么跳第次時，應跳_______步，落腳點表示的數(shù)是_______．（4）數(shù)軸上有個動點表示的數(shù)是，則的最小值是_______．答案：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）設(shè)需將點C向左移動x個單位，再根據(jù)數(shù)軸的定義建立方程，解方程即可得；（2）分為三種：移動點B、C；移動點A、C；移動點A、B，再解析：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）設(shè)需將點C向左移動x個單位，再根據(jù)數(shù)軸的定義建立方程，解方程即可得；（2）分為三種：移動點B、C；移動點A、C；移動點A、B，再利用數(shù)軸的定義分別求出移動所走的距離和即可得；（3）先根據(jù)前4次歸納類推出一般規(guī)律，再列出運算式子，計算有理數(shù)的加減法即可得；（4）分，，和數(shù)四種情況，再分別結(jié)合數(shù)軸的定義、化簡絕對值即可得．【詳解】（1）設(shè)需將點C向左移動x個單位，由題意得：，解得，即需將點C向左移動3個單位，故答案為：3；（2），，，由題意，分以下三種情況：①移動點B、C，把點B向左移動2個單位，點C向左移動7個單位，此時移動所走的距離和為；②移動點A、C，把點A向右移動2個單位，點C向左移動5個單位，此時移動所走的距離和為；③移動點A、B，把點A向右移動7個單位，點B向右移動5個單位，此時移動所走的距離和為；綜上，移動方法有3種，其中移動所走的距離和最小的是7個單位，故答案為：3，7；（3）第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，歸納類推得：第n次跳的步數(shù)為，其中n為正整數(shù)，則第99次跳的步數(shù)為，落腳點表示的數(shù)為，，，，故答案為：197，；（4）由題意，分以下四種情況：①當時，則；②當時，則，，；③當時，則，，；④當時，則；綜上，，則的最小值是9，故答案為：9．【點睛】本題考查了數(shù)軸、化簡絕對值、一元一次方程的應用等知識點，熟練掌握數(shù)軸的定義是解題關(guān)鍵．8．（背景知識）數(shù)軸是數(shù)學中的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了一些重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A，B兩點之間的距離，線段的中點表示的數(shù)為．（問題情境）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為8，點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右勻速運動．設(shè)運動時間為．（綜合運用）（1）填空：①A，B兩點間的距離______，線段的中點表示的數(shù)為________．②用含t的代數(shù)式表示：后，點P表示的數(shù)為_______，點Q表示的數(shù)為_______．（2）求當t為何值時，P，Q兩點相遇，并寫出相遇點表示的數(shù)．（3）求當t為何值時，．（4）若M為的中點，N為的中點，點P在運動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，請求出線段的長．答案：（1）①10，3；②?2＋4t，8+t；（2）t＝，相遇點表示的數(shù)為；（3）t＝5或；（4）線段的長不發(fā)生變化，MN=5【分析】（1）①根據(jù)A，B兩點之間的距離，線段的中點表示的數(shù)為，即可得到答解析：（1）①10，3；②?2＋4t，8+t；（2）t＝，相遇點表示的數(shù)為；（3）t＝5或；（4）線段的長不發(fā)生變化，MN=5【分析】（1）①根據(jù)A，B兩點之間的距離，線段的中點表示的數(shù)為，即可得到答案；②根據(jù)題意直接表示出P，Q所對應的數(shù)，即可；（2）當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數(shù)相等列方程，得到t的值，進而得到P、Q相遇的點所對應的數(shù)；（3）由t秒后，點P表示的數(shù)?2＋4t，點Q表示的數(shù)為8+t，于是得到PQ的表達式，結(jié)合，列方程即可得到結(jié)論；（4）由點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①A、B兩點間的距離AB＝|?2?8|＝10，線段AB的中點表示的數(shù)為：，故答案是：10，3；②由題意可得，后，點P表示的數(shù)為：?2＋4t，點Q表示的數(shù)為：8+t，故答是：?2＋4t，8+t；（2）∵當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數(shù)相等∴?2＋4t＝8+t，解得：t＝，∴當t＝時，P、Q相遇，此時，8+t＝8＋，∴相遇點表示的數(shù)為；（3）∵t秒后，PQ＝|（?2＋4t）?（8+t）|＝|3t?10|，∵＝×10＝5，∴|3t?10|＝5，解得：t＝5或，∴當t＝5或，；（4）∵M為的中點，N為的中點，∴點M表示的數(shù)為

，點N表示的數(shù)為

，∴MN＝，即：線段的長不發(fā)生變化，MN=5．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握點的移動與點所表示的數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵

．9．已知，一個點從數(shù)軸上的原點開始．先向左移動6cm到達A點，再從A點向右移動10cm到達B點，點C是線段AB的中點．（1）點C表示的數(shù)是；（2）若點A以每秒2cm的速度向左移動，同時C、B兩點分別以每秒1cm、4cm的速度向右移動，設(shè)移動時間為t秒，①運動t秒時，點C表示的數(shù)是（用含有t的代數(shù)式表示）；②當t＝2秒時，CB?AC的值為．③試探索：點A、B、C在運動的過程中，線段CB與AC總有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．答案：（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③線段CB與AC相等，理由詳見解析．【分析】（1）依據(jù)條件即可得到點A表示﹣6，點B表示﹣6+10＝4，再根據(jù)點C是線段AB的中點，即可得出點C表示的數(shù)；解析：（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③線段CB與AC相等，理由詳見解析．【分析】（1）依據(jù)條件即可得到點A表示﹣6，點B表示﹣6+10＝4，再根據(jù)點C是線段AB的中點，即可得出點C表示的數(shù)；（2）依據(jù)點C表示的數(shù)為﹣1，點以每秒1cm的速度向右移動，即可得到運動t秒時，點C表示的數(shù)是﹣1+t；②依據(jù)點A表示的數(shù)為﹣6﹣2×2＝﹣10，點B表示的數(shù)為4+4×2＝12，點C表示的數(shù)是﹣1+2＝1，即可得到CB?AC的值；③依據(jù)點A表示的數(shù)為﹣6﹣2t，點B表示的數(shù)為4+4t，點C表示的數(shù)是﹣1+t，即可得到點A、B、C在運動的過程中，線段CB與AC相等．【詳解】解：（1）∵一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動6cm到達A點，再從A點向右移動10cm到達B點，∴點A表示﹣6，點B表示﹣6+10＝4，又∵點C是線段AB的中點，∴點C表示的數(shù)為＝﹣1，故答案為：﹣1．（2）①∵點C表示的數(shù)為﹣1，點以每秒1cm的速度向右移動，∴運動t秒時，點C表示的數(shù)是﹣1+t，故答案為：﹣1+t；②由題可得，當t＝2秒時，點A表示的數(shù)為﹣6﹣2×2＝﹣10，點B表示的數(shù)為4+4×2＝12，點C表示的數(shù)是﹣1+2＝1，∴當t＝2秒時，AC＝11，BC＝11，∴CB?AC＝121，故答案為：121；③點A、B、C在運動的過程中，線段CB與AC相等．理由：由題可得，點A表示的數(shù)為﹣6﹣2t，點B表示的數(shù)為4+4t，點C表示的數(shù)是﹣1+t，∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，∴點A、B、C在運動的過程中，線段CB與AC相等．【點睛】本題考查數(shù)軸上動點問題，整式的加減,與線段有關(guān)的動點問題．（1）理解數(shù)軸上線段的中點表示的數(shù)是兩個端點所表示的數(shù)的和除以2；（2）掌握數(shù)軸上兩點之間的距離求解方法是解決問題的關(guān)鍵，數(shù)軸上兩點之間對應的距離等于它們所表示的數(shù)差的絕對值．10．已知直線AB過點O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分線．（1）操作發(fā)現(xiàn)：①如圖1，若∠AOC＝40°，則∠DOE＝②如圖1，若∠AOC＝α，則∠DOE＝（用含α的代數(shù)式表示）（2）操作探究：將圖1中的∠COD繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其他條件不變，②中的結(jié)論是否成立？試說明理由．（3）拓展應用：將圖2中的∠COD繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，若∠AOC＝α，求∠DOE的度數(shù)，（用含α的代數(shù)式表示）答案：（1）20°，；（2）成立，理由見詳解；（3）180°－．【分析】（1）如圖1，根據(jù)平角的定義和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，從而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分線，可得解析：（1）20°，；（2）成立，理由見詳解；（3）180°－．【分析】（1）如圖1，根據(jù)平角的定義和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，從而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分線，可得∠BOE＝70°，由角的和差得∠DOE＝20°；同理可得：∠DOE＝α；（2）如圖2，根據(jù)平角的定義得：∠BOC＝180°－α，由角平分線定義得：∠EOC＝∠BOC＝90°－α，根據(jù)角的差可得（1）中的結(jié)論還成立；（3）同理可得：∠DOE＝∠COD＋∠COE＝180°－α．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝50°，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝70°，∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，②如圖1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣α，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，（2）（1）中的結(jié)論還成立，理由是：如圖2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；（3）如圖3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣α）＝180°﹣α．【點睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義及角的和與差，能根據(jù)圖形確定所求角和已知各角的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．11．如圖，已知，是等邊三角形（三條邊都相等、三個角都等于的三角形），平分．（1）如圖1，當時，_________；（2）如圖2，當時，________；（3）如圖3，當時，求的度數(shù)，請借助圖3填空．解：因為，，所以，因為平分，所以_________________（用表示），因為為等邊三角形，所以，所以_______（用表示）．（4）由（1）（2）（3）問可知，當時，直接寫出的度數(shù)（用來表示，無需說明理由）答案：解：（1）；（2）；（3），，；（4）．【分析】(1)根據(jù)，，得到，再根據(jù)OM平分，即可求解；(2)求得，，再求出即可；(3)表示出，，，為等邊三角形，即可求解；(4))當時，，最后得出解析：解：（1）；（2）；（3），，；（4）．【分析】(1)根據(jù)，，得到，再根據(jù)OM平分，即可求解；(2)求得，，再求出即可；(3)表示出，，，為等邊三角形，即可求解；(4))當時，，最后得出結(jié)論．【詳解】(1)∵，，∴，，又∵OM平分，∴，∴，(2)∵，，∴，又∵OM平分，∴，又∵，，∴，∴，(3)∵，，∴，∵OM平分，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，(4)當時，，綜合(1)(2)(3)可得．【點睛】本題考查了角平分線的相關(guān)計算，正確讀懂題意是解題的關(guān)鍵．12．已知，O為直線AB上一點，射線OC將分成兩部分，若時，（1）如圖1，若OD平分，OE平分，求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，將以每秒的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線OC以每秒的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動時間為．①t為何值時，射線OC平分？②t為何值時，射線OC平分？答案：（1）90°；（2）①s；②12s【分析】（1）由角平分線的定義結(jié)合平角的定義可直接求解；（2）①結(jié)合角平分線的定義，平角的定義列方程，解方程結(jié)可求解；②結(jié)合角平分線的定義，平角的定義列方程解析：（1）90°；（2）①s；②12s【分析】（1）由角平分線的定義結(jié)合平角的定義可直接求解；（2）①結(jié)合角平分線的定義，平角的定義列方程，解方程結(jié)可求解；②結(jié)合角平分線的定義，平角的定義列方程，解方程結(jié)可求解．【詳解】解：（1）∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；（2）①由題意得：∵∠DOE=90°，∴當OC平分∠DOE時，∠C′OD′=∠C′OE′=45°，45°+60°-3t+9t+60°=180°，解得t=，故t為s時，射線OC平分∠DOE；②由題意得：∵∠BOE=60°，∴當OC平分∠BOE時，∠C′OE=∠C′OB=30°，30+3t+90°+2（120-9t）=180°，解得t=12，故t為12s時，射線OC平分∠BOE．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，角平分線的定義，角的計算等知識的綜合運用，列方程求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)（1）試說明∠DPC=90°；（2）如圖②，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如圖③．在圖①基礎(chǔ)上，若三角板PAC開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為5°/秒，同時三角板PBD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/秒，（當PA轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動），在旋轉(zhuǎn)過程中，PC、PB、PD三條射線中，當其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉(zhuǎn)的時間．答案：（1）見解析；（2）；（3）旋轉(zhuǎn)時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【分析】（1）結(jié)合題意利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明．（2）結(jié)合題意根據(jù)角平分線的解析：（1）見解析；（2）；（3）旋轉(zhuǎn)時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【分析】（1）結(jié)合題意利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明．（2）結(jié)合題意根據(jù)角平分線的定義，利用各角之間的等量關(guān)系即可求解．（3）設(shè)t秒時，其中一條射線平分另兩條射線的夾角．根據(jù)題意求出t的取值范圍，再根據(jù)情況討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想列一元一次方程，求解即可．【詳解】（1）∵兩個三角板形狀、大小完全相同，∴，又∵，∴，∴．（2）根據(jù)題意可知，∵，，∴，又∵，∴．（3）設(shè)t秒時，其中一條射線平分另兩條射線的夾角，∵當PA轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，∴秒．分三種情況討論：當PD平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=15秒<36秒，符合題意．當PC平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=秒<36秒，符合題意．當PB平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=秒>36秒，不符合題意舍去．所以旋轉(zhuǎn)時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，圖形的旋轉(zhuǎn)．掌握圖形旋轉(zhuǎn)的特征，找出其等量關(guān)系來列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．14．已知是關(guān)于x的二次二項式，A，B是數(shù)軸上兩點，且A，B對應的數(shù)分別為a，b．（1）求線段AB的中點C所對應的數(shù)；（2）如圖，在數(shù)軸上方從點C出發(fā)引出射線CD，CE，CF，CG，且CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，試猜想∠DCE與∠FCG之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，已知∠DCE=20°，∠ACE=30°，當∠DCE繞著點C以2°/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)t秒()時，∠ACF和∠BCG中的一個角的度數(shù)恰好是另一個角度數(shù)的兩倍，求t的值答案：（1）7；（2）；（3）或．【分析】（1）根據(jù)是關(guān)于x的二次二項式可知，，求出a、b的值即為A、B對應的數(shù)，即可求出C點對應的數(shù)．（2）根據(jù)角平分線可知，．即可求出．再根據(jù)題意可知，，代入整理解析：（1）7；（2）；（3）或．【分析】（1）根據(jù)是關(guān)于x的二次二項式可知，，求出a、b的值即為A、B對應的數(shù)，即可求出C點對應的數(shù)．（2）根據(jù)角平分線可知，．即可求出．再根據(jù)題意可知，，代入整理即可得到（3）根據(jù)題意可用t表示出和．再分類討論當時和當時，列出的關(guān)于t的一元一次方程，解出t即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得出，解得，即A、B對應的數(shù)分別為16、-2，∴C對應的數(shù)為．（2）∵CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，∴，．∵，∴，即．∵，，∴，即．故存在數(shù)量關(guān)系，為：．（3）∵，，∴，即．∴．∵，∴．∴．當時，即，解得：且小于65，當時，即，解得：且小于65．綜上可知或時符合題意．【點睛】本題考查多項式的性質(zhì)，角平分線的定義，一元一次方程的應用，結(jié)合分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．15．如圖1，平面內(nèi)一定點A在直線EF的上方，點O為直線EF上一動點，作射線OA、OP、OA'，當點O在直線EF上運動時，始終保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，將射線OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到射線OB．（1）如圖1，當點O運動到使點A在射線OP的左側(cè)，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度數(shù)；（2）當點O運動到使點A在射線OP的左側(cè)，且∠AOE＝3∠A'OB時，求的值；（3）當點O運動到某一時刻時，∠A'OB＝130°，請直接寫出∠BOP＝_______度．答案：（1）50°；（2）或6；（3）95或145．【分析】（1）根據(jù)OA′平分∠POB,設(shè)∠POA′＝∠A′OB＝x，根據(jù)題意列方程即可求解；（2）分射線OB在∠POA′內(nèi)部和射線OB在∠POA解析：（1）50°；（2）或6；（3）95或145．【分析】（1）根據(jù)OA′平分∠POB,設(shè)∠POA′＝∠A′OB＝x，根據(jù)題意列方程即可求解；（2）分射線OB在∠POA′內(nèi)部和射線OB在∠POA′外部兩種情況分類討論，分別設(shè)∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，分別求出x的值，即可求值；（3）根據(jù)題意分類討論，根據(jù)周角定義分別求出∠A'OA，再根據(jù)∠AOP＝∠A'OP，結(jié)合已知即可求解．【詳解】解：(1)∵OA′平分∠POB，∴設(shè)∠POA′＝∠A′OB＝x，∵∠AOP＝∠A′OP=x，∵∠AOB＝60°，∴x＋2x＝60°，∴x＝20°，∴∠BOF＝90°－2x＝50°；(2)①當點O運動到使點A在射線OP的左側(cè)，射線OB在∠POA′內(nèi)部時，∵∠AOE＝3∠A′OB，∴設(shè)∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∵OP⊥EF，∴∠AOF＝180°－3x，∠AOP＝90°－3x，∴，∵∠AOP＝∠A′OP，∴∠AOP＝∠A′OP＝，∴OP⊥EF，∴＋3x＝90°，∴x＝，∴；②當點O運動到使A在射線OP的左側(cè)，但是射線OB在∠POA′外部時，∵∠AOE＝3∠A′OB，設(shè)∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∴∠AOP＝∠A′OP＝，∴OP⊥EF，∴3x＋＝90°，∴x＝24°，∴；綜上所述：的值是或6；(3)∠BOP＝95°或145°；①如圖3，當∠A'OB＝130°時，由圖可得：∠A'OA＝∠A'OB－∠AOB＝130°－60°＝70°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝35°，∴∠BOP＝60°＋35°＝95°；②如圖4，當∠A'OB＝130°時，由圖可得∠A'OA＝360°－130°－60°＝170°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝85°，∴∠BOP＝60°＋85°＝145°；綜上所述：∠BOP的度數(shù)為95°或145°．【點睛】本題考查了角平分線的的定義和角的和差計算，根據(jù)題意正確畫出圖形進行分類討論是解題關(guān)鍵．16．如圖1，在平面內(nèi)，已知點O在直線上，射線、均在直線的上方，（），，平分，與互余．（1）若，則________°；（2）當在內(nèi)部時①若，請在圖2中補全圖形，求的度數(shù)；②判斷射線是否平分，并說明理由；（3）若，請直接寫出的值．答案：（1）；（2）①補全圖形見解析；；②OF平分，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根據(jù)∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；解析：（1）；（2）①補全圖形見解析；；②OF平分，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根據(jù)∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；（2）①根據(jù)題意即可補全圖形；根據(jù)∠DOF與∠AOC互余，可求出∠DOF，又因為OD平分∠COE，可求得∠DOE，根據(jù)∠EOF=∠DOF-∠DOE即可求解；②根據(jù)∠DOF=-∠AOC，∠BOF=，即可求證；（3）分兩種情況進行計算：①OF在∠BOC內(nèi)部，根據(jù)∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，可得∠DOE=∠COD=，繼而可得∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，根據(jù)∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出的值；②OF在∠BOC外部，根據(jù)∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF，可得到∠AOF=，又因為∠DOF與∠AOC互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，繼而可求出的值．【詳解】解：（1）∵AB為直線，∴∠AOE+∠BOE=180°，又∵∠AOE：∠BOE=1：5，∴∠AOE=，∵∠AOC=，∠COE=，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=+==30°，解得：；（2）①補全的圖形見下圖：∵∠DOF與∠AOC互余，∴∠DOF=-∠AOC=70°，∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE==20°，∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=；②OF平分∠BOD，理由如下：由題意得：∠DOF=-∠AOC=-，∠BOF===，∴∠DOF=∠BOF，∴OF平分∠BOD；（3）分兩種情況：①當OF在∠BOC內(nèi)部時，如下圖所示：∵∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，∴∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°，即，解得：；②當OF在∠BOC外部時，如下圖所示：∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∵∠EOF=4∠AOC=，∴∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF=++∠AOF=，∴∠AOF=，∵∠DOF與∠AOC互余，∴∠DOF+∠AOC=90°，即∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，∴+++=90°，解得：綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查角平分線、余角補角、尺規(guī)作圖等知識，綜合運用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．17．如圖，一副三角板中各有一個頂點在直線的點處重合，三角板的邊落在直線上，三角板繞著頂點任意旋轉(zhuǎn)．兩塊三角板都在直線的上方，作的平分線，且，．（1）當點在射線上時（如圖1），的度數(shù)是_______．（2）現(xiàn)將三角板繞著頂點旋轉(zhuǎn)一個角度（即），請就下列兩種情形，分別求出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）①當為銳角時（如圖2）；②當為鈍角時（如圖3）；答案：（1）37.5°；（2）①當0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度解析：（1）37.5°；（2）①當0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度數(shù)；（2）根據(jù)圖形和第一問中的推導可以解答本題；（3）通過圖形可以發(fā)現(xiàn)∠BOD是∠AOB與∠COD的和與∠MOC的差，從而可以解答本題．【詳解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，點C在射線ON上，∴∠BOD＝180°?45°?60°＝75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝37.5°．故答案為：37.5°；（2）①當∠CON為銳角時，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠BOD＝180°?45°?60°?x°＝75°?x°．∵OP平分∠BOD，∴當0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②當∠CON為鈍角時，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠MOC＝180°?x°．∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD?∠MOC＝45°＋60°?（180°?x°）＝x°?75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝．【點睛】本題考查角的計算，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以根據(jù)圖形找出所求問題需要的條件．18．（閱讀理解）射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線．例如，如圖1，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線；若∠BOD＝∠COD，則稱射線OD是射線OB關(guān)于∠BOC的伴隨線．（知識運用）如圖2，∠AOB＝120°．（1）射線OM是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線．則∠AOM＝_________°（2）射線ON是射線OB關(guān)于∠AOB的伴隨線，射線OQ是∠AOB的平分線，則∠NOQ的度數(shù)是_________°．（3）射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．②當t為多少秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．答案：（1）；（2）；（3）①當t=20秒或28秒時，∠COD的度數(shù)是20°；②當t為或或或秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【分析】（1）根據(jù)伴隨線定義解析：（1）；（2）；（3）①當t=20秒或28秒時，∠COD的度數(shù)是20°；②當t為或或或秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【分析】（1）根據(jù)伴隨線定義即可求解；（2）根據(jù)伴隨線定義結(jié)合角平分線的定義即可求解；（3）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后進行列式計算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后四個圖形進行計算即可．【詳解】（1）根據(jù)伴隨線定義得，∴；故答案為：；（2）如圖，根據(jù)伴隨線定義得，即，∵射線OQ是∠AOB的平分線，∴，∴；故答案為：；（2）射線OD與OA重合時，（秒），①當∠COD的度數(shù)是20°時，有兩種可能：若在相遇之前，則120-3t-2t=20，∴t=20；若在相遇之后，則3t+2t-120=20，∴t=28；所以，綜上所述，當t=20秒或28秒時，∠COD的度數(shù)是20°；②相遇之前，射線OC是射線OA關(guān)于∠AOD的伴隨線，則∠AOC=∠COD，即，解得：（秒）；相遇之前，射線OC是射線OD關(guān)于∠AOD的伴隨線，則∠COD=∠AOC，即，解得：（秒）；相遇之后，射線OD是射線OA關(guān)于∠AOC的伴隨線，則∠AOD=∠COD，即，解得：（秒）；相遇之后，射線OD是射線OC關(guān)于∠AOC的伴隨線，則∠COD=∠AOD，即，解得：（秒）；綜上，當t為或或或秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一