§4.10解三角形應(yīng)用舉例分值：80分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在點(diǎn)A所在河岸邊選一定點(diǎn)C，測量AC的距離為50m，∠ACB=30°，∠CAB=105°，則A，B兩點(diǎn)間的距離是()A.252m B.502m C.253m D.503m2.(2024·吉林模擬)如圖，位于某海域A處的甲船獲悉，在其北偏東60°方向C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15°，且與甲船相距2nmile的B處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為()A.2nmile B.2nmileC.22nmile D.32nmile3.如圖，在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為()A.4003m B.400C.20033m D.4.(2025·貴陽模擬)如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū)，是該市的標(biāo)志性建筑之一.某研究小組將測量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度，選取了與該樓底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得∠BCD=23°，∠CDB=30°，CD=11.2m，在C點(diǎn)測得甲秀樓頂端A的仰角為72.4°，則甲秀樓的高度約為(參考數(shù)據(jù)：tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.80)()A.18m B.20m C.22m D.24m二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·蘭州模擬)某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，學(xué)生需通過建立模型、實(shí)地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動(dòng).在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有()A.在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)A，B，分別測量旗桿頂端的仰角α，β，再測量A，B兩點(diǎn)間距離B.在旗桿對面找到某建筑物(低于旗桿)，測得建筑物的高度為h，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角α和βC.在地面上任意尋找一點(diǎn)A，測量旗桿頂端的仰角α，再測量A到旗桿底部的距離D.在旗桿的正前方A處測得旗桿頂端的仰角α，正對旗桿前行5m到達(dá)B處，再次測量旗桿頂端的仰角β6.(2024·重慶模擬)如圖，在海面上有兩個(gè)觀測點(diǎn)B，D，B在D的正北方向，距離為2km，在某天10：00觀察到某航船在C處，此時(shí)測得∠CBD=45°，5分鐘后該船行駛至A處，此時(shí)測得∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，則()A.觀測點(diǎn)B位于A處的北偏東75°方向B.當(dāng)天10：00時(shí)，該船到觀測點(diǎn)B的距離為6kmC.當(dāng)船行駛至A處時(shí)，該船到觀測點(diǎn)B的距離為6kmD.該船在由C行駛至A的這5min內(nèi)行駛了2km三、填空題(每小題5分，共10分)7.如圖，海岸線上有相距5nmile的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向.海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°方向，與A相距32nmile的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5nmile的C處.則兩艘輪船之間的距離為nmile.

8.如圖，小明同學(xué)為了估算某教堂的高度CD，在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為(15315)m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測得樓頂A、教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得教堂頂C的仰角為30°，則小明估算教堂的高度為.

四、解答題(共28分)9.(13分)已知某測量小組為測量一座山的高度，建立了如圖所示的數(shù)學(xué)模型三棱錐COAB，OC垂直水平面OAB，點(diǎn)C代表該山的上頂點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)代表山腳地面上的兩個(gè)觀測點(diǎn)，同學(xué)甲在A處測得仰角為45°，同學(xué)乙在B處測得仰角為30°，同學(xué)丙測得兩個(gè)觀測點(diǎn)之間的距離AB為90米.(1)求sin∠CABsin∠CBA；((2)同學(xué)甲測出∠CAB為鈍角，同學(xué)乙測算出cos∠CBA=34，求山高OC.(7分10.(15分)如圖，在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，A處的一艘紅方偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向相距12nmile的水面上B處，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值.每小題5分，共10分11.已知甲船在島B的正南方A處，AB=10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北勻速航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向勻速航行，當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是()A.514小時(shí) B.57小時(shí) C.145小時(shí)12.臺風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東方向40千米處，則城市B處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為小時(shí).

答案精析1.A2.B3.A4.C[由題意可知，∠BCD=23°，∠CDB=30°，所以∠CBD=127°，又因?yàn)镃D=11.2m，由正弦定理CDsin∠CBD可得11.2sin127°=解得CB≈7m，又因?yàn)椤螦CB=72.4°，所以AB=CBtan∠ACB≈7×3.15=22.05≈22(m).]5.BCD[對于A，當(dāng)A，B兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線上時(shí)，就不能測量出旗桿的高度，故A不正確；對于B，如圖1，在△ABD中，由正弦定理求AD，則旗桿的高CD=h+ADsinβ，故B正確；對于C，如圖2，在Rt△ADC中，直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高DC=ACtanα，故C正確；對于D，如圖3，在△ABD中，由正弦定理求AD，則旗桿的高CD=ADsinα，故D正確.]6.ACD[對于A，∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+45°=75°，因?yàn)锽在D的正北方向，所以觀測點(diǎn)B位于A的北偏東75°方向，故A正確；對于B，在△BCD中，∠CBD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠BCD=45°，則BD=CD=2，則BC=22，故B對于C，在△ABD中，∠ABD=75°，∠ADB=60°，則∠BAD=45°，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，即AB=BD對于D，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BCcos∠ABC=6+82×6×22×32=2，即AC=2km，故D正確.7.13解析如圖所示，連接AC，由題可知，∠ABC=60°，AB=BC=5nmile，所以△ABC為正三角形，在△ACD中，AD=32nmile，∠DAC=180°60°75°=45°，所以CD2=(32)2+522×32×5×cos45°=13，即CD=13nmile.8.303m解析由題意知，∠CAM=45°，∠AMC=105°，所以∠ACM=30°.在Rt△ABM中，AM=ABsin∠AMB在△ACM中，由正弦定理得AMsin30°=所以CM=AM·sin45°sin30°在Rt△DCM中，CD=CM·sin60°=AB·=(153-15)×22×9.解(1)在Rt△AOC中，由∠OAC=45°得AC=2OC，在Rt△BOC中，由∠OBC=30°得BC=2OC，在△ABC中，利用正弦定理得BCsin∠CAB所以sin∠CABsin∠CBA=BC(2)在△ABC中，利用余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BCcos∠CBA，即2OC2=8100+4OC22×90×2OC×3化簡為OC2135OC+4050=0，解得OC=90或OC=45，當(dāng)OC=45時(shí)，BC=90=AB，與∠CAB為鈍角矛盾，經(jīng)驗(yàn)證OC=90符合條件，所以山高OC為90米.10.解如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC=14x，BC=10x，∠ABC=120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2240xcos120°，解得x=2(負(fù)值舍去).故AC=28，BC=20.根據(jù)正弦定理得BCsinα所以sinα=20sin120°28=5所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為5311.A[假設(shè)經(jīng)過x小時(shí)兩船相距最近，甲、乙分別行至C處，D處，如圖所示，可知BC=104x，BD=6x，∠CBD=120°，由余弦定理可得CD2=BC2+BD22BC·BD·cos∠CBD=(104x)2+36x2+2×(104x)×6x×12=28x220x+100所以當(dāng)x=514時(shí)，兩船相距最近.12.1解析