數(shù)學(xué)學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：課時(shí)數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：授課類型T（函數(shù)單調(diào)性與最值基礎(chǔ)復(fù)習(xí)）C（基礎(chǔ)練習(xí)）T（理解本質(zhì)）授課日期及時(shí)段教學(xué)內(nèi)容1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值【知識(shí)拓展】函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)對(duì)?x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)在D上是增函數(shù)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?f(x)在D上是減函數(shù)．(2)對(duì)勾函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，減區(qū)間為[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]．(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(－1)<f(3)，則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．()(3)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值．()(5)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．()(6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到．()1下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的是()A．y＝eq\f(1,1－x) B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x2．若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a的值為()A．－2B．2C．－6D．63．函數(shù)y＝x2＋2x－3(x>0)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______．4．(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______________________________________________________________________．5．(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______．題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)命題點(diǎn)1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)(2)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______．命題點(diǎn)2解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a>0)，用定義法判斷函數(shù)f(x)在(－1,1)上的單調(diào)性．引申探究如何用導(dǎo)數(shù)法求解例2?思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接．(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－2x－3)，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(－∞，1] B．[3，＋∞)C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋mx2(m∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．題型二函數(shù)的最值例3(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值為_(kāi)_______．(2)已知f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)，且a≤1.①當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；②若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．思維升華求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值．(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．(1)函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)的最小值為_(kāi)_______．(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋8,x－1)(x>1)的最小值為_(kāi)_______．題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較大小例4已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f(－eq\f(1,2))，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c命題點(diǎn)2解函數(shù)不等式命題點(diǎn)3求參數(shù)范圍例6(1)如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)>－eq\f(1,4) B．a(chǎn)≥－eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)≤a<0 D．－eq\f(1,4)≤a≤0(2)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x<1，,ax，x≥1))滿足對(duì)任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，那么a的取值范圍是________．思維升華函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)比較大小．比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)．①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．(1)已知函數(shù)f(x)＝x(ex－eq\f(1,ex))，若f(x1)<f(x2)，則()A．x1>x2 B．x1＋x2＝0C．x1<x2 D．xeq\o\al(2,1)<xeq\o\al(2,2)(2)要使函數(shù)y＝eq\f(2x＋k,x－2)與y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．1．解抽象函數(shù)不等式典例(12分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0時(shí)，恒有f(x)>1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思維點(diǎn)撥(1)對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義．應(yīng)該構(gòu)造出f(x2)－f(x1)并與0比較大?。?2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”是本題的切入點(diǎn)．要構(gòu)造出f(M)<f(N)的形式．規(guī)范解答解函數(shù)不等式問(wèn)題的一般步驟：第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；第五步：(反思)反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)的是()A．y＝－x＋1 B．y＝eq\f(1,1－x)C．y＝－(x－1)2 D．y＝31－x2．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A．[1,2] B．[－1,0]C．(0,2] D．[2，＋∞)3．已知函數(shù)y＝log2(ax－1)在(1,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,1] B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，,4－\f(a,2)x＋2，x≤1))是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．[4,8)C．(4,8) D．(1,8)*5.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①f(0)＝0；②f(eq\f(x,3))＝eq\f(1,2)f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．則f(eq\f(1,3))＋f(eq\f(1,8))等于()A.eq\f(1,2)B.eqB.\f(3,4)D.eq1D.eq\f(2,3)6．定義新運(yùn)算：當(dāng)a≥b時(shí)，ab＝a；當(dāng)a<b時(shí)，ab＝b2，則函數(shù)f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．127．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為_(kāi)_______．8．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是________．9．若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a＝________.*10.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a>0，