幻燈片1：封面課程名稱：第25章

概率初步

章末復(fù)習(xí)授課人：[您的姓名]授課班級：[具體班級]日期：[具體日期]幻燈片2：復(fù)習(xí)目標(biāo)理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念，能準確判斷事件類型。掌握概率的定義及基本性質(zhì)，明確概率的取值范圍。熟練運用直接列舉法、列表法、樹狀圖法計算隨機事件的概率。理解用頻率估計概率的原理，能運用頻率估計實際問題中的概率。能運用概率知識解決生活中的實際問題，提升數(shù)據(jù)分析和決策能力?；脽羝?：知識框架事件的分類：必然事件、不可能事件、隨機事件。概率的定義：刻畫隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值。概率的計算方法：直接列舉法：適用于結(jié)果較少的試驗。列表法：適用于兩步操作或兩個因素的試驗。樹狀圖法：適用于三步及以上操作或多個因素的試驗。頻率與概率的關(guān)系：大量重復(fù)試驗中，頻率可估計概率。概率的應(yīng)用：用概率分析實際問題，進行簡單決策?；脽羝?：事件的分類及定義必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件，其概率為1。示例：太陽從東方升起。不可能事件：在一定條件下，必然不會發(fā)生的事件，其概率為0。示例：三角形內(nèi)角和為360°。隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，其概率在0到1之間。示例：擲一枚硬幣，正面朝上。判斷練習(xí)：下列事件中，屬于隨機事件的是（

）A.水加熱到100℃會沸騰B.射擊運動員射擊一次，命中靶心C.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是360°答案：B幻燈片5：概率的定義及基本性質(zhì)定義：一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記作P(A)?；拘再|(zhì)：必然事件的概率：P(必然事件)=1。不可能事件的概率：P(不可能事件)=0。隨機事件的概率：0<P(隨機事件)<1。對于任意事件A，0≤P(A)≤1。等可能事件概率公式：如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包括其中的m種結(jié)果，那么P(A)=m/n?；脽羝?：直接列舉法求概率適用場景：試驗結(jié)果較少，且能直接列舉所有可能結(jié)果。步驟：列舉出所有可能的結(jié)果，確定n的值。找出事件A包含的結(jié)果數(shù)，確定m的值。代入公式P(A)=m/n計算。例題：從1,2,3三個數(shù)字中隨機抽取一個數(shù)字，求抽到奇數(shù)的概率。解：所有可能結(jié)果為1,2,3，共3種（n=3）。事件“抽到奇數(shù)”包含1,3，共2種（m=2），所以P(抽到奇數(shù))=2/3。幻燈片7：列表法求概率適用場景：試驗涉及兩步操作或兩個因素，且可能結(jié)果較多。步驟：確定兩個因素，分別作為表格的行和列。列出所有可能的結(jié)果，形成表格，確定n的值。找出事件A包含的結(jié)果數(shù)，確定m的值。計算概率P(A)=m/n。例題：同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求兩枚骰子點數(shù)之和為7的概率。解：列表如下（部分）：第一枚\第二枚12345612345672345678.....................總結(jié)果數(shù)n=36，點數(shù)之和為7的結(jié)果有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種（m=6），所以P(和為7)=6/36=1/6?；脽羝?：樹狀圖法求概率適用場景：試驗涉及三步及以上操作或多個因素，結(jié)果復(fù)雜。步驟：按試驗步驟繪制樹狀圖，每一步驟的結(jié)果作為分支。數(shù)出所有可能的結(jié)果數(shù)n。找出事件A包含的結(jié)果數(shù)m。計算概率P(A)=m/n。例題：一個不透明袋子中有1紅1白兩個球，依次不放回摸兩次，求兩次摸到不同顏色球的概率。解：樹狀圖如下：第一次：紅

→

第二次：白第一次：白

→

第二次：紅總結(jié)果數(shù)n=2，事件“不同顏色”包含2種結(jié)果（m=2），所以P(不同顏色)=2/2=1?；脽羝?：用頻率估計概率原理：在大量重復(fù)試驗中，隨機事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，這個常數(shù)可作為P(A)的估計值。公式：P(A)≈頻率=事件A發(fā)生的次數(shù)/試驗總次數(shù)。適用場景：試驗結(jié)果無限或無法確定所有可能結(jié)果。各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等。例題：某批產(chǎn)品共1000件，隨機抽取50件檢驗，發(fā)現(xiàn)2件不合格，估計這批產(chǎn)品的合格率。解：合格率頻率=（50-2）/50=48/50=0.96，所以估計合格率為0.96（即96%）?；脽羝?0：概率的實際應(yīng)用游戲公平性判斷：比較雙方獲勝的概率，概率相等則公平，否則不公平。決策分析：根據(jù)概率大小選擇更有利的方案。例題：一個游戲規(guī)則為：擲一枚骰子，若點數(shù)大于3則甲勝，否則乙勝。這個游戲是否公平？解：點數(shù)大于3的有4,5,6（3種），P(甲勝)=3/6=1/2；點數(shù)不大于3的有1,2,3（3種），P(乙勝)=3/6=1/2。因為P(甲勝)=P(乙勝)，所以游戲公平。幻燈片11：典型例題1-列表法與概率計算一個不透明盒子中有2個紅球（紅1,紅2）和1個白球，從中隨機摸出1個球后放回，再摸出1個球。用列表法求兩次摸到紅球的概率。解：列表如下：第一次\第二次紅1紅2白紅1(紅1,紅1)(紅1,紅2)(紅1,白)紅2(紅2,紅1)(紅2,紅2)(紅2,白)白(白，紅1)(白，紅2)(白，白)總結(jié)果數(shù)n=9，兩次摸到紅球的結(jié)果有4種（m=4），所以P(兩次紅球)=4/9。幻燈片12：典型例題2-樹狀圖法與概率計算有A,B兩個不透明口袋，A袋有1個紅球和2個白球，B袋有2個紅球和1個白球。從A,B兩袋中各隨機摸出1個球，用樹狀圖法求摸到兩個紅球的概率。解：樹狀圖如下：A袋：紅

→B袋：紅1→(紅，紅1)B袋：紅2→(紅，紅2)B袋：白

→(紅，白)A袋：白1→B袋：紅1→(白1,紅1)B袋：紅2→(白1,紅2)B袋：白

→(白1,白)A袋：白2→B袋：紅1→(白2,紅1)B袋：紅2→(白2,紅2)B袋：白

→(白2,白)總結(jié)果數(shù)n=9，摸到兩個紅球的結(jié)果有2種（m=2），所以P(兩個紅球)=2/9?；脽羝?3：典型例題3-頻率估計概率應(yīng)用某射擊運動員在訓(xùn)練中射擊500次，命中靶心400次。求該運動員射擊一次命中靶心的頻率。解：頻率=400/500=0.8。估計該運動員射擊一次命中靶心的概率。解：估計概率為0.8。若該運動員射擊100次，估計命中靶心的次數(shù)。解：估計命中次數(shù)=100×0.8=80次。幻燈片14：易混概念辨析頻率與概率的區(qū)別：頻率是試驗后的數(shù)據(jù)，隨試驗次數(shù)變化而變化。概率是理論值，是頻率的穩(wěn)定值，不隨試驗次數(shù)變化。列表法與樹狀圖法的選擇：兩步試驗優(yōu)先用列表法，清晰直觀。三步及以上試驗必用樹狀圖法，避免結(jié)果遺漏?！胺呕亍迸c“不放回”的區(qū)別：放回試驗：前后結(jié)果互不影響，總結(jié)果數(shù)不變。不放回試驗：后一次結(jié)果受前一次影響，總結(jié)果數(shù)減少?；脽羝?5：課堂小結(jié)知識梳理：事件分類、概率定義與性質(zhì)、三種概率計算方法（直接列舉法、列表法、樹狀圖法）、頻率估計概率、概率應(yīng)用。解題要點：準確判斷事件類型，明確概率取值范圍。選擇合適的計算方法，確保不重復(fù)、不遺漏列出所有結(jié)果。理解頻率與概率的關(guān)系，能用頻率估計實際問題中的概率。運用概率知識分析游戲公平性和進行決策。幻燈片16：作業(yè)布置教材對應(yīng)復(fù)習(xí)題，涵蓋事件判斷、概率計算、頻率估計概率及實際應(yīng)用題型。拓展題：一個不透明袋子中有若干個紅球和白球，這些球除顏色外無其他差別。每次摸出1個球，記錄顏色后放回，重復(fù)試驗100次，其中摸到紅球30次。估計摸到紅球的概率。若袋子中共有50個球，估計紅球的個數(shù)。實踐作業(yè)：設(shè)計一個簡單的概率游戲，并用所學(xué)知識說明游戲是否公平。2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊授課教師：

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時間：

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章末復(fù)習(xí)第25章

概率初步aiTujmiaNg概率事件確定性事件必然事件P(A)=1不可能事件P(A)=0隨機事件0＜P(A)＜1概率求法列舉法面積法頻率估計概率直接列舉法列表法畫樹狀圖法1.事件的概念（1）在一定條件下，___________________的事件，叫做隨機事件.（2）確定事件包括＿＿＿事件和＿_＿＿事件.可能發(fā)生也可能不發(fā)生必然不可能（1）一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝

.2.概率的意義（2）事件A發(fā)生的概率的取值范圍是___≤P(A)≤

___，當(dāng)A為必然事件時，P(A)=___；當(dāng)A為不可能事件時，P(A)=___.01103.（1）求隨機事件概率的兩種方法

_______法；_________法；（2）列表法和畫樹狀圖法的選用：①當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素(或兩個步驟)，且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，可用“列表法”；②當(dāng)一次試驗要涉及三個或更多的因素(或步驟)時，應(yīng)采用“畫樹狀圖法”.列表畫樹狀圖知識梳理4.用頻率估計概率一般地，在大量重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于____________，那么事件A發(fā)生的頻率P(A)=____.某個常數(shù)PP考點一：生活中的事件1.白居易在《賦得古原草送別》中寫道“離離原上草，一歲一枯榮”，從數(shù)學(xué)的觀點看，詩句中描述的事件為（A）A.

必然事件B.不可能事件C.隨機事件D.不屬于上述任何一種A2.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件中，屬于隨機事件的為（）A.點數(shù)的和為1B.點數(shù)的和為6C.點數(shù)的和大于12D.點數(shù)的和小于13B考點二：概率的意義3.從-1，0，

，-0.3，π，

中任意抽取一個數(shù)，下列事件中，發(fā)生的概率最大的是（

）A.抽取正數(shù)B.抽取非負數(shù)C.抽取無理數(shù)D.抽取分數(shù)B4.（貴州黔西南州中考）在一個不透明的盒子中裝有12個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同.若從中隨機摸出一個球是白球的概率是，則黃球的個數(shù)為（）

A.18 B.20 C.24 D.28解析：設(shè)黃球的個數(shù)為x個，據(jù)題意有,再求解并檢驗即可.C5.“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形，如圖，是一“趙爽弦圖”飛鏢板，其直角三角形兩直角邊分別是2和4，小明同學(xué)距飛鏢板一定距離向飛鏢板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域（含邊線）的概率是（）C考點三：與面積相關(guān)的概率的計算6.如圖，在網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每個小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形AOB的圓心及弧的兩端均為格點.假設(shè)飛鏢擊中每個小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形AOB（涂色部分）的概率是（）A.B.C.D.A方法歸納：幾何概率的一般求法：一般用涂色區(qū)域表示所求事件A，然后計算涂色區(qū)域的面積與總面積的比值，這個比值即為事件A發(fā)生的概率.考點四：用列表法或畫樹狀圖法求概率7.有四張僅正面分別標(biāo)有1，2，3，4的不透明紙片，除所標(biāo)數(shù)字不同外，其余都完全相同，將四張紙片洗勻后背面向上放在桌上，現(xiàn)一次性從中隨機抽取兩張，用畫樹狀圖法或列表法，求所抽取數(shù)字之和為5的概率.12341（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）解：列表法∴共有4中可能，抽取數(shù)字之和為5的概率是.解：畫樹狀圖法∴共有4中可能，抽取數(shù)字之和為5的概率是.1234213431244123考點四：用列表法或畫樹狀圖法求概率7.有四張僅正面分別標(biāo)有1，2，3，4的不透明紙片，除所標(biāo)數(shù)字不同外，其余都完全相同，將四張紙片洗勻后背面向上放在桌上，現(xiàn)一次性從中隨機抽取兩張，用畫樹狀圖法或列表法，求所抽取數(shù)字之和為5的概率.8.（陜西中考）小英與她的父親、母親計劃外出旅游，初步選擇了延安、西安、漢中、安康四個城市，由于時間倉促，他們只能去其中一個城市，到底去哪一個城市三個人意見不統(tǒng)一，在這種情況下，小英父親建議用小英學(xué)過的摸球游戲來決定.規(guī)則如下：①在一個不透明的袋子中裝一個紅球（延安）、一個白球（西安）、一個黃球（漢中）和一個黑球（安康），這四個球除顏色不同外，其余完全相同；②小英父親先將袋中球搖勻，讓小英從袋中隨機摸出一球，父親記錄下其顏色，并將這個球放回袋中搖勻，然后讓小英母親從袋中隨機摸出一球，父親記錄下它的顏色；③若兩人所摸出球的顏色相同，則去該球所表示的城市旅游，否則，前面的記錄作廢，按規(guī)則②重新摸球，直到兩人所摸出球的顏色相同為止.按照上面的規(guī)則，請你解答下列問題：（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母親隨機各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？延安西安漢中安康解:(1)畫樹狀圖得共有16種等可能的結(jié)果,均摸出白球的只有一種可能，其概率為.延安西安漢中安康（2）已知小英母親的理想旅游城市是漢中，小英和母親隨機各摸球一次，至少有一人摸出黃球的概率是多少？解:(2)由樹狀圖得共有16種等可能的結(jié)果,至少有一人摸出黃球的有7種可能，其概率為.考點五：用頻率估計概率9.九年級同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，并繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗可能是（）A.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率B.擲一顆正方體骰子，出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的概率C.將一副新的撲克牌（54張）洗勻后，隨機抽一張，抽出牌上的數(shù)字為“9”的概率D.從裝有3個紅球和1個白球（4個球除顏色外均相同）的不透明口袋中，任取1個球恰好是白球的概率B10.（重慶中考）從3，0，-1，-2，-3這五個數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)，作為函數(shù)y=(5-m2)x和關(guān)于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且方程有實數(shù)根的概率為

.考點六：函數(shù)和一元二次方程中概率的計算解析：函數(shù)y=(5-m2)x的圖象經(jīng)過第一、三象限需要5-m2>0，即m2<5.而關(guān)于x的方程(m+1)x2+mx+1=0有實數(shù)根的條件要分兩種情況：①當(dāng)m+1=0即m=-1時，方程為-x+1=0，x=1，有實數(shù)根；②當(dāng)m+1≠0即m≠-1時，Δ=m2-4(m+1)≥0，

解得.

綜合這兩個范圍，可知符合題意的m值為-1，-2，而從3，0，-1，-2，-3這五個數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)，有5種等可能的結(jié)果，其中只有-1和-2兩種結(jié)果滿足要求，故所求概率為.隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.下列事件中，不是隨機事件的是()A.籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中B.經(jīng)過某一有交通信號燈路口，遇到了紅燈C.小偉擲兩次硬幣，每次向上的都是正面D.測量一下三角形的三個內(nèi)角，其和為360°D2.從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這十個數(shù)中隨機取出一個數(shù)，取出的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是()D3.如圖，點A，B在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點（小正方形的頂點）上，在網(wǎng)格格點上除點A，B外任取一點C，則使△ABC的面積為1的概率是

_____?.解析：網(wǎng)格格點除A，B外共有18個，使△ABC的面積為1的格點有4個.4.在一個不透明的袋中裝有5個白色小球，n個紅色小球，小球除顏色外其他完全相同.若從中隨機摸出一個小球，恰為紅色小球的概率是

，則n＝

______.205.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求點數(shù)和小于5的概率.解:同時投擲兩枚骰子,點數(shù)和的所有可能的結(jié)果列表如右：共有36種可能性相等的結(jié)果,其中點數(shù)和小于5的結(jié)果有6種.所以P(點數(shù)和小于5)綜合應(yīng)用6.隨機拋擲圖中均勻的正四面體(正四面體的各面依次標(biāo)有1，2，3，4四個數(shù)字)，并且自由轉(zhuǎn)動圖中的轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的五個扇形區(qū)域，如果指針恰好指在分格線上，取分格線右邊的數(shù)字).(1)求正四面體著地的數(shù)字與轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字之積為4的概率；(2)設(shè)正四面體著地的數(shù)字為a，轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為b，求關(guān)于x的方程ax2+3x+=0有實數(shù)根的概率.解：(1)用樹狀圖表示二者的數(shù)字之積為4的結(jié)果如下：

由上圖可知，共有20種可能性相等的結(jié)果，其中數(shù)字之積為4(記為事件A)的結(jié)果有3種，所以P(A)=.(2)若方程ax2+3x+=0有實數(shù)根(記為事件B)，則9-ab≥0，即ab≤9，由(1)可知滿足ab≤9的結(jié)果有14種，核心考點鞏固考點1

事件類型的判定1.［2024保定競秀區(qū)期末］事件①：射擊運動員射擊一次，命中靶心；事件②：隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是奇數(shù).則下列表述正確的是(

)CA.事件①是必然事件，事件②是隨機事件B.事件①是隨機事件，事件②是必然事件C.事件①和②都是隨機事件D.事件①和②都是必然事件返回考點2

用公式直接求概率2.［2024湖北中考］小亮了解了祖沖之、劉徽、趙爽、楊輝、秦九韶這5位著名數(shù)學(xué)家的生平簡介，知曉他們?nèi)〉玫膫ゴ蟪删蛯ξ覈酥潦澜鐢?shù)學(xué)發(fā)展起到的巨大推進作用，準備在數(shù)學(xué)課上隨機選取其中一位的成就進行分享，選到數(shù)學(xué)家趙爽的概率是__.

返回3.［2024蘇州中考］如圖，正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個面積相等的三角形，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在陰影部分的概率是__.

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