高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省黃山市八校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，向量，且，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，且，所以，所?故選：A.2.若直線與直線垂直，則的值為（）A.2 B. C. D.0【答案】C【解析】由直線與直線垂直，得.故選：C.3.已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且是直線的一個(gè)方向向量，若角的終邊落在直線上，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且平行于向量，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，所以若角的終邊落在直線上，則，所以.故選：A.4.如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D.5.已知圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，圓，則兩圓的公共弦所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，可知圓，即圓，圓心為，半徑，令，則有：，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可求：，所以，故圓的半徑，故圓，又因?yàn)閳A，設(shè)AB為兩圓的公共弦所在的直線，則有作差變形可得：；即直線AB的方程為.故選：C.6.如圖，在平行六面體中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)榱骟w是平行六面體，所以，因?yàn)?，代入?jì)算可得：，故有：，所以，所以，因?yàn)椋?故選：B.7.點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，記，，，中，由余弦定理得，又，，.故選：B.8.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問(wèn)題.若曲線，且點(diǎn)M，N分別在曲線和圓：上，則M，N兩點(diǎn)間的最大距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋钥梢赞D(zhuǎn)化為到的距離，同理，可以轉(zhuǎn)化為到的距離，因?yàn)?，所以到兩定點(diǎn)和的距離之和為，所以在以點(diǎn)和為焦點(diǎn)橢圓上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，即，又，所以，所以曲線，即橢圓的方程為：，又因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，則M，N兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓的半徑，點(diǎn)在，故，所以圓心到橢圓上點(diǎn)的距離，因?yàn)殚_口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，則，所以M，N兩點(diǎn)間的最大距離是．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于空間向量，下列說(shuō)法正確的是（）A.若共線，則B.已知，若，則C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D.若向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則也能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】BCD【解析】若同向且，此時(shí)，即不成立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，即，得，故B正確；因?yàn)?，且，所以P，B，A，C四點(diǎn)共面，故C正確；假設(shè)，則方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)x，y使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故D正確．故選：BCD.10.若，直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.直線一定經(jīng)過(guò)第一象限C.點(diǎn)到直線的距離的最大值為D.的充要條件是【答案】ABD【解析】由，即為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，則的斜率存在且不為零，在軸上的截距，所以一定經(jīng)過(guò)第一象限，故B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，最大值為，故C錯(cuò)誤；若，則，因?yàn)椋视?，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，所以的充要條件是，故D正確．故選：ABD.11.已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓離心率為B.存在點(diǎn)，使得C.若，則外接圓的面積為D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因?yàn)榉匠探M無(wú)解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，若，即，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓：的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】由題可知.13.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年—公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作有中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯圓的半徑為______.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)椋?jiǎn)得到圓，是以為圓心，為半徑的圓．14.在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不在端點(diǎn)處），當(dāng)時(shí)，的面積為______.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，設(shè)，則，則因?yàn)?，解得，故此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線DE與平面的距離.（1）證明：因?yàn)闉橹比庵?，所以，又，分別為AB，的中點(diǎn)，所以，所以，又平面平面，所以平面；（2）解：因?yàn)闉橹比庵?，且，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因，則，則，因?yàn)椋瑒t，即，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，又，即，所以點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)椋謩e為AB，的中點(diǎn)，故有直線平面，所以直線DE與平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，故直線DE與平面的距離為.16.已知橢圓，其左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值.解：（1）Rt中，，，，，，又，，聯(lián)立，解得或，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2），橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的方程為，即，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，令得或，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線與橢圓的公共點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)直線的方程為．距離的最大值為.17.已知四棱錐中，底面四邊形ABCD是正方形，底面，是線段的中點(diǎn)，在線段上，且滿足與所成的角為.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)榈酌?，且底面，所以，又因?yàn)闉檎叫?，可得，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋礊?，且是線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?）解：根據(jù)題意可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，可得，可得，則，因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，則，因?yàn)榕c所成的角為，可得，解得，所以，所以，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，可得故平面與平面夾角的余弦值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C為過(guò)點(diǎn)的圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于M，N兩點(diǎn)，求弦MN中點(diǎn)的軌跡方程；（3）從點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射后的光線與圓相切，求所在直線的方程.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故有：所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)弦MN中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，由垂徑定理知，點(diǎn)的軌跡是以CG為直徑的圓．由，得，，整理得：；（3）因?yàn)閳A關(guān)于軸的對(duì)稱圓的方程：，設(shè)方程為，即，由于對(duì)稱圓心到的距離為圓的半徑，則，從而可得或．當(dāng)時(shí)，反射光線所在直線與圓相切，反射光線不與圓相切，故，故光線所在直線的方程是.19.若橢圓：上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱M，N為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)M，N互為共軛點(diǎn).顯然，對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)，總有兩個(gè)共軛點(diǎn).已知橢圓，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)共軛點(diǎn)分別記為.（1）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，記其斜率分別為，其中，求的最小值；（3）證明：的面積為定值.（1）解：的共軛點(diǎn)分別記為，，直線的方程為，聯(lián)立得，，；（2）解：點(diǎn)Ax0,y，即，由（1）知，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，代入，得，即，，，當(dāng)時(shí)，易知，對(duì)應(yīng)共軛點(diǎn)為，此時(shí)，故也成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（3）證明：由（2）知，對(duì)任意點(diǎn)Ax0,，點(diǎn)Ax0,y0的面積，故的面積為定值.安徽省黃山市八校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，向量，且，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，且，所以，所?故選：A.2.若直線與直線垂直，則的值為（）A.2 B. C. D.0【答案】C【解析】由直線與直線垂直，得.故選：C.3.已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且是直線的一個(gè)方向向量，若角的終邊落在直線上，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且平行于向量，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，所以若角的終邊落在直線上，則，所以.故選：A.4.如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D.5.已知圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，圓，則兩圓的公共弦所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，可知圓，即圓，圓心為，半徑，令，則有：，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可求：，所以，故圓的半徑，故圓，又因?yàn)閳A，設(shè)AB為兩圓的公共弦所在的直線，則有作差變形可得：；即直線AB的方程為.故選：C.6.如圖，在平行六面體中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)榱骟w是平行六面體，所以，因?yàn)?，代入?jì)算可得：，故有：，所以，所以，因?yàn)椋?故選：B.7.點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，記，，，中，由余弦定理得，又，，.故選：B.8.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問(wèn)題.若曲線，且點(diǎn)M，N分別在曲線和圓：上，則M，N兩點(diǎn)間的最大距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋钥梢赞D(zhuǎn)化為到的距離，同理，可以轉(zhuǎn)化為到的距離，因?yàn)?，所以到兩定點(diǎn)和的距離之和為，所以在以點(diǎn)和為焦點(diǎn)橢圓上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，即，又，所以，所以曲線，即橢圓的方程為：，又因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，則M，N兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓的半徑，點(diǎn)在，故，所以圓心到橢圓上點(diǎn)的距離，因?yàn)殚_口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，則，所以M，N兩點(diǎn)間的最大距離是．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于空間向量，下列說(shuō)法正確的是（）A.若共線，則B.已知，若，則C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D.若向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則也能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】BCD【解析】若同向且，此時(shí)，即不成立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，即，得，故B正確；因?yàn)?，且，所以P，B，A，C四點(diǎn)共面，故C正確；假設(shè)，則方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)x，y使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故D正確．故選：BCD.10.若，直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.直線一定經(jīng)過(guò)第一象限C.點(diǎn)到直線的距離的最大值為D.的充要條件是【答案】ABD【解析】由，即為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，則的斜率存在且不為零，在軸上的截距，所以一定經(jīng)過(guò)第一象限，故B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，最大值為，故C錯(cuò)誤；若，則，因?yàn)?，故有，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，所以的充要條件是，故D正確．故選：ABD.11.已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓離心率為B.存在點(diǎn)，使得C.若，則外接圓的面積為D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因?yàn)榉匠探M無(wú)解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，若，即，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓：的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】由題可知.13.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年—公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作有中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯圓的半徑為______.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)椋?jiǎn)得到圓，是以為圓心，為半徑的圓．14.在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不在端點(diǎn)處），當(dāng)時(shí)，的面積為______.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，設(shè)，則，則因?yàn)?，解得，故此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線DE與平面的距離.（1）證明：因?yàn)闉橹比庵?，所以，又，分別為AB，的中點(diǎn)，所以，所以，又平面平面，所以平面；（2）解：因?yàn)闉橹比庵?，且，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因，則，則，因?yàn)?，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，又，即，所以點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?，分別為AB，的中點(diǎn)，故有直線平面，所以直線DE與平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，故直線DE與平面的距離為.16.已知橢圓，其左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值.解：（1）Rt中，，，，，，又，，聯(lián)立，解得或，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2），橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的方程為，即，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，令得或，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線與橢圓的公共點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)直線的方程為．距離的最大值為.17.已知四棱錐中，底面四邊形ABCD是正方形，底面，是線段的中點(diǎn)，在線段上，且滿足與所成的角為.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)榈酌?，且底面，所以，又因?yàn)闉檎叫?，可得，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，即為，且是線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）解：根據(jù)題意可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸