高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，則直線斜率為，故傾斜角為.故選：B.2.若直線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得?當(dāng)時(shí)，重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.故選：C.3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量為．故選：A.4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中能作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，由，可知共面，故不能作為基底，即A錯(cuò)誤；對于B，由，可知共面，故B錯(cuò)誤；對于C，由，可知共面，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椴淮嬖?，使得，所以不共面，即可以作為基底，故D正確.故選：D.5.空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋缘囊粋€(gè)單位方向向量為.因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：A.6.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則由橢圓的定義知，所以.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以的最小值為.故選：C.7.如圖，在棱長為3的正四面體中，為的中心，為PA的中點(diǎn)，，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】連接AO，AE，PE．因?yàn)?，，所以．故選：B.8.如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若存在.，則半橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】（解法1）設(shè)，因?yàn)?，所?，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，解?（解法2）設(shè)，因?yàn)?，所以，所?因，所以.因?yàn)榇嬖?，所以在上有解.因?yàn)?，且，所以在上有解，即在上有?因?yàn)?，所以，即解?故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是雙曲線，其漸近線方程為C.若，則是橢圓，其離心率為D.若，則雙曲線，其離心率為【答案】ACD【解析】若，則的方程可整理成，其表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以A正確；若，則的方程可整理成，其表示雙曲線，漸近線方程為，所以B不正確；若，則的方程可整理成，其表示橢圓，離心率為，所以C正確；若，則的方程可整理成，其表示雙曲線，離心率為，所以D正確.故選：ACD10.已知球的半徑為，則（）A.球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球表面積為B.球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球體積為C.球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為D.球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為【答案】BC【解析】對于A，B，設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為，球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球的半徑為，則球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球半徑，球的半徑，所以，所以表面積，體積，故A不正確，B正確；對于C，D，設(shè)球的內(nèi)接正四面體的棱長為，球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為，如圖，可知，，，由可得，解得，因?yàn)榍虻膬?nèi)接正四面體的體積，球的內(nèi)接正四面體的表面積，又因?yàn)椋郧虻膬?nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑，故C正確，D不正確．故選：BC.11.如圖，正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為B.存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角為C.點(diǎn)到平面的距離的最小值為D.點(diǎn)到平面的距離的最大值為【答案】ACD【解析】因?yàn)闉榈酌鎯?nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓落在底面內(nèi)的部分，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為，故A正確.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所?因?yàn)闊o解，所以不存在滿足條件的點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，因?yàn)?，所以令，?因，所以點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)時(shí)，，所以C確.當(dāng)或時(shí)，，所以D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在平行六面體中，設(shè)，則________.（用表示）【答案】【解析】.13.若點(diǎn)在圓的外部，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可得，解得，故正實(shí)數(shù)的取值范圍是.14.已知圓，直線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與圓相離，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，由對稱性可知，，,因?yàn)闉閳A上一點(diǎn)，則，所以.當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，上述兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，故的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知直線，圓.（1）證明：直線與圓相交.（2）記直線與圓的交點(diǎn)為，求AB的最小值.（1）證明：直線：，令，解得，則直線過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，而，因此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交.（2）解：由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，弦長最短，所以AB最小值為.16.已知橢圓的焦距為12，長半軸長為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.解：（1）由題意可知?jiǎng)t，所以橢圓的方程為.（2）由題意直線l的斜率存在，如圖，設(shè)Ax1兩式相減得，整理可得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.17.如圖，在體積為的三棱柱中，平面平面，，.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.由為正三角形，得.因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥冢云矫?，即為該三棱柱的?因?yàn)槿庵捏w積，且，所以.因?yàn)?，所以，?由平面平面且交于，平面，可得平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?在菱形中，.又因，平面，平面，所以平面.（2）解：如圖，過作直線平行于交于，以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?所以令，得.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以令，?因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，是棱的中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn).（1）若，證明：平面；（2）是否存在，使平面平面？若存在，求此時(shí)與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.（1）證明：因?yàn)槠矫?，如圖，以為原點(diǎn)，以、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)，則，則，解得，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，?因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以，平?（2）解：設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，?設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，可得，假設(shè)平面平面，則.由，解得，所以.設(shè)與平面所成的角為，則，所以存在，使平面平面，此時(shí)與平面所成角的正弦值為.19.已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，Px0,y0為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)Px0,y0作橢圓的切線.分別與直線和相交于兩點(diǎn)，四邊形的對角線相交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）證明：橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.（2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（3）過點(diǎn)作斜率不為的直線與相交于點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，判斷點(diǎn)是否在定直線上.（1）證明：聯(lián)立方程組，消去整理得，又，即，整理得，解得，所以直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Px0,即切線方程為.（2）解：由（1）中切線方程，令，得，令，得，因?yàn)?，所以直線，①因?yàn)?，所以直線，②由①②得.因?yàn)?，得，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為）.（3）解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，則，所以.因?yàn)橹本€的方程為，直線的方程為，所以，所以，所以，整理得所以，即點(diǎn)在定直線上.吉林省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，則直線斜率為，故傾斜角為.故選：B.2.若直線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得?當(dāng)時(shí)，重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.故選：C.3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量為．故選：A.4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中能作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，由，可知共面，故不能作為基底，即A錯(cuò)誤；對于B，由，可知共面，故B錯(cuò)誤；對于C，由，可知共面，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椴淮嬖?，使得，所以不共面，即可以作為基底，故D正確.故選：D.5.空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以的一個(gè)單位方向向量為.因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：A.6.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則由橢圓的定義知，所以.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以的最小值為.故選：C.7.如圖，在棱長為3的正四面體中，為的中心，為PA的中點(diǎn)，，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】連接AO，AE，PE．因?yàn)?，，所以．故選：B.8.如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若存在.，則半橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】（解法1）設(shè)，因?yàn)椋?，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，解?（解法2）設(shè)，因?yàn)?，所以，所?因，所以.因?yàn)榇嬖?，所以在上有解.因?yàn)?，且，所以在上有解，即在上有?因?yàn)?，所以，即解?故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是雙曲線，其漸近線方程為C.若，則是橢圓，其離心率為D.若，則雙曲線，其離心率為【答案】ACD【解析】若，則的方程可整理成，其表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以A正確；若，則的方程可整理成，其表示雙曲線，漸近線方程為，所以B不正確；若，則的方程可整理成，其表示橢圓，離心率為，所以C正確；若，則的方程可整理成，其表示雙曲線，離心率為，所以D正確.故選：ACD10.已知球的半徑為，則（）A.球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球表面積為B.球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球體積為C.球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為D.球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為【答案】BC【解析】對于A，B，設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為，球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球的半徑為，則球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球半徑，球的半徑，所以，所以表面積，體積，故A不正確，B正確；對于C，D，設(shè)球的內(nèi)接正四面體的棱長為，球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為，如圖，可知，，，由可得，解得，因?yàn)榍虻膬?nèi)接正四面體的體積，球的內(nèi)接正四面體的表面積，又因?yàn)?，所以球的?nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑，故C正確，D不正確．故選：BC.11.如圖，正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為B.存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角為C.點(diǎn)到平面的距離的最小值為D.點(diǎn)到平面的距離的最大值為【答案】ACD【解析】因?yàn)闉榈酌鎯?nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓落在底面內(nèi)的部分，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為，故A正確.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所?因?yàn)闊o解，所以不存在滿足條件的點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，因?yàn)?，所以令，?因，所以點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)時(shí)，，所以C確.當(dāng)或時(shí)，，所以D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在平行六面體中，設(shè)，則________.（用表示）【答案】【解析】.13.若點(diǎn)在圓的外部，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可得，解得，故正實(shí)數(shù)的取值范圍是.14.已知圓，直線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與圓相離，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，由對稱性可知，，,因?yàn)闉閳A上一點(diǎn)，則，所以.當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，上述兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，故的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知直線，圓.（1）證明：直線與圓相交.（2）記直線與圓的交點(diǎn)為，求AB的最小值.（1）證明：直線：，令，解得，則直線過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，而，因此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交.（2）解：由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，弦長最短，所以AB最小值為.16.已知橢圓的焦距為12，長半軸長為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.解：（1）由題意可知?jiǎng)t，所以橢圓的方程為.（2）由題意直線l的斜率存在，如圖，設(shè)Ax1兩式相減得，整理可得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.17.如圖，在體積為的三棱柱中，平面平面，，.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.由為正三角形，得.因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥冢云矫?，即為該三棱柱的?因?yàn)槿庵捏w積，且，所以.因?yàn)?，所以，?由平面平面且交于，平面，可得平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?在菱形中，.又因，平面，平面，所以平面.（2）解：如圖，過作直線平行于交于，以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?所以令，得.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?/p>