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第22章一元二次方程22.2

解一元二次方程22.2.1第2課時因式分解法

我們經(jīng)?？吹酱髮W畢業(yè)的學生，穿著學士服，將學士帽高高拋起的樣子，那么拋起的學士帽什么時候落下，什么時候抬頭接才不會被砸到呢？一起看看吧！情境引入導入新課因式分解法解一元二次方程引例：根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一個物體從地面以

10

m/s

的速度豎直上拋，那么物體經(jīng)過

xs

離地面的高度(單位：m)為

10x

-

4.9x2.

根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過多少秒落回地面(結果保留小數(shù)點后兩位)?分析：設物體經(jīng)過xs

落回地面，這時它離地面的高度為

0m，即10x-4.9x2=0.①

新課講授解：解：a=4.9，b=-10，c=

0.∴

Δ

=b2－4ac

=(-10)2

-

4×4.9×0

=

100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程

10x-

4.9x2=0.4.9x2

-

10x=0.因式分解如果

a·

b=0，那么a=0

或b=0.兩個因式乘積為

0，說明什么？或

10

-4.9x=0降次，化為兩個一次方程解兩個一次方程，得出原方程的根這種解法是不是很簡單？10x-

4.9x2=

0①

x(10

-

4.9x)=0②

x=0，

思考2

解方程①時，二次方程是如何降為一次的？思考1

除上述方法以外，有更簡單的方法解方程①嗎？

使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.要點歸納因式分解法的概念因式分解法的基本步驟一移——使方程的右邊為

0；二分——將方程的左邊因式分解；三化——將方程化為兩個一元一次方程；四解——寫出方程的兩個解.簡記歌訣：右化零，左分解；兩因式，各求解.試一試：下列各方程的根分別是多少？(1)x(x-2)=0；

解：(1)x1=0，x2=2.(2)(y+2)(y

-

3)=0；

(2)y1=

-2，y2=3.(3)(3x+6)(2x

-

4)=0；

(3)x1=-2，x2=2.(4)x2=x.(4)x1=0，x2=1.例1

解下列方程：解：(1)因式分解，得∴x

-

2

=

0，或

x＋1

=

0.

解得

x1

=

2，x2

=

-1.(2)

移項、合并同類項，得因式分解，得

(2x＋1)(2x

-

1)

=

0.解得∴

2x＋1

=

0，或

2x

-

1

=

0.(x

-

2)(x＋1)

=

0.典例精析練一練

解下列方程：(1)(x

+

1)2

=

5x

+

5；即

x1

=

?1，x2

=

4．(2)x2

?

6x

+

9

=(5

?

2x)2．解：∵

(x

+

1)2

=

5(x

+

1)，∴

(x

+

1)2

-

5(x

+

1)=

0.則(x

+

1)(x

?

4)=

0.∴

x

+

1

=

0，或

x

?

4

=

0，解：方程整理得

(x

?

3)2

?

(5

?

2x)2

=

0，則[(x?3)+(5?2x)][(x?3)?(5?2x)]=0，∴

2

?

x

=

0，或

3x

?

8

=

0，即

x1

=

2，x2

=.即(2?

x)(3x

?8)=

0.十字相乘法拓展提升(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a，b均為常數(shù))兩個一次二項式相乘的積一個二次三項式整式的乘法反過來，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一個二次三項式兩個一次二項式相乘的積因式分解如果二次三項式

x2+px+q中的常數(shù)項

q能分解成兩個因數(shù)a、b的積，而且一次項系數(shù)

p又恰好是

a+b，那么

x2+px+q就可以用如上的方法進行因式分解.步驟：①豎分二次項與常數(shù)項②交叉相乘，積相加③檢驗確定，橫寫因式簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中.試一試

解方程：x2+6x-7=0.解：因式分解得(x+7)(x?

1)=0.∴x+7=0，

或

x?

1=0.∴x1=?7，x2=1.·×練一練

解下列方程：(1)x2

?5x

+6=

0；解：分解因式，得(x

?

2)(x

?

3)=

0，(2)x2

+

4x

?

5

=

0；解：分解因式，得(x

+

5)(x

?

1)=

0，解得

x1

=

2，x2

=

3.解得

x1

=

?5，x2

=

1．·×·×(3)(x

+

3)(x

?

1)=

5；解：整理得

x2

+

2x

?

8

=

0，(4)2x2

?

7x

+

3

=

0.解：分解因式，得(2x

?

1)(x

?

3)=

0，解得

x1

=

?4，x2

=2.分解因式，得(x

+

4)(x

?

2)=

0，解得

x1

=，x2

=3.例2

用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)3x(x+5)=5(x+5)；

(2)(5x+1)2=1；分析：該式左右兩邊含公因式，所以用因式分解法解答較快.解：變形得(3x

-

5)(x+5)=0.

即3x

-

5=

0，或x+5

=0.

解得分析：方程一邊以平方形式出現(xiàn)，另一邊是常數(shù)，可用直接開平方法.解：開平方，得

5x+1=±1.

解得

x1=

0，x2=

靈活選用適當?shù)姆椒ń夥匠?3)x2

-12x=4；(4)3x2=4x+1.分析：二次項系數(shù)為1，可用配方法解較快.解：配方，得

x2-

12x+62=4+62，

即(x-6)2=40.開平方，得

解得

x1=，

x2=分析：二次項系數(shù)不為1，且不能直接開平方，也不能直接分解因式，可用公式法.解：整理成一般形式，得

3x2-4x

-

1=0.

∵Δ=b2-4ac=

28>0，要點歸納一元二次方程的解法選擇基本思路1.一般地，當一次項系數(shù)為

0

時(ax2

+

c

=

0)，應選用直接開平方法；2.若常數(shù)項為

0(ax2

+

bx

=

0)，應選用因式分解法；3.化為一般式

(ax2

+

bx

+

c

=

0)后，若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為

0，先看左邊是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，否則就選用公式法或配方法：此時若二次項系數(shù)為

1，且一次項系數(shù)為偶數(shù)，則可選用配方法；否則可選公式法.系數(shù)含根式時也可選公式法.填一填：一元二次方程的各種解法及適用類型.拓展提升一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0(p2-4q≥0)(ax+m)2

=n(a≠0，n≥0)ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)(ax+m)(bx+n)

=0(ab≠0)1.填空：①x2

-

3x

+

1

=

0；

②3x2

-

1

=

0；

③

-3t2

+

t

=

0；④x2

-

4x

=

2；

⑤2x2

=

x；

⑥5(m

+

2)2

=

8；⑦3y2

-

y

-

1

=

0；

⑧2x2

+

4x

=

1；

⑨(x

-

2)2

=

2(x

-

2).最適合運用直接開平方法：

；最適合運用因式分解法：

；最適合運用公式法：

；最適合運用配方法：

.⑥①③⑤⑦⑧⑨②④當堂練習2.解方程：x2

-3x-10=18.下面的解法正確嗎？如果不正確，錯誤在哪？并請改正過來.解：原方程化為

(x-5)(x+2)

=

18.①由

x

-

5=3，得

x=8；②由

x+2=6，得

x=4.③∴原方程的解為

x1=8或

x2=4.④3.解方程

x(x+1)=2時，要先把方程化為

；再選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼?，解?/p>

x1=

，x2=

.x2+x-

2=0-21解：原方程化為x2

-3x

-28=0，

(x

-

7)(x+4)=0，

x1

=7，x2

=

-4.解：化為一般式為因式分解，得x2

-

2x

+

1=0.(x

-

1)2=0.∴x

-

1=0.解得

x1

=

x2

=

1.解：因式分解，得(2x+11)(2x

-

11)=0.∴2x+11=0或

2x

-

11

=0.4.解方程：解得

(4)x2

+

4x

?

2

=

2x

+

3；(3)2x2

?

5x

+1

=

0；解：a

=

2，b

=

?5，c

=

1.∴

Δ=

(?5)2?4×2×1=17.解：整理，得

x2

+

2x

=

5，∴

x2

+

2x

+

1

=

5

+

1，即

(x

+

1)2

=

6.(5)(3m

+

2)2

?

7(3m

+

2)+

10

=

0．解法一：解：方程整理得m2-

m=0.分解因式，得m(m

-

1)=0.解得

m1=

0，m2=

1.解法二：解：分解因式，得(3m

+

2

-

2)(3m

+

2

-

5)=

0.∴

3m

+

2

-

2

=

0，

或

3m

+

2

-

5

=

0，解得

m1=

0，m2=

1.將(3m+2)看作一個整體，進行因式分解5.把小圓形場地的半徑增