2/30重難點04利用導數(shù)研究不等式恒（能）成立問題（舉一反三專項訓練）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】 3【題型2利用導數(shù)研究能成立問題】 3【題型3分離參數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】 4【題型4分類討論法解決不等式恒（能）成立問題】 5【題型5構造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】 6【題型6與不等式恒（能）成立有關的證明問題】 6【題型7洛必達法則】 7【題型8導數(shù)中雙變量恒（能）成立問題】 7【題型9導數(shù)中雙函數(shù)恒（能）成立問題】 101、利用導數(shù)研究不等式恒（能）成立問題導數(shù)中的不等式恒(能)成立問題是高考的?？伎键c，是高考的熱點問題，從近幾年的高考情況來看，不等式的恒(能)成立問題經(jīng)常與導數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度較大，解題時要學會靈活求解.知識點1不等式恒（能）成立問題的解題策略1．不等式恒（能）成立問題的求解方法解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題①分離變量：根據(jù)不等式的性質將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題，進而解決問題．②恒成立；恒成立；能成立；能成立.(2)分類討論法解決恒（能）成立問題分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數(shù)進行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內的函數(shù)值不滿足題意即可.知識點2雙變量的恒（能）成立問題的解題策略1．雙變量的恒（能）成立問題的求解方法“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價變換有：對于某一區(qū)間I，(1).(2).(3).知識點3洛必達法則“洛必達法則”是高等數(shù)學中的一個重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時，經(jīng)常需要求在區(qū)間端點處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)型或型可以考慮使用洛必達法則.1．洛必達法則法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；(3)，那么.法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；(3)，那么.2．用洛必達法則處理型函數(shù)的步驟：(1)分離變量；(2)出現(xiàn)型式子；(3)運用洛必達法則求值.3．用洛必達法則處理型函數(shù)的步驟：(1)分離變量；(2)出現(xiàn)型式子；(3)運用洛必達法則求值.【注意】：1．將上面公式中的換成，洛必達法則也成立.2．洛必達法則可處理型求極限問題.3．在著手求極限前，首先要檢查是否滿足型定式，否則濫用洛必達法則會出錯，當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限.4．若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.【題型1利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】【例1】（2025·海南·模擬預測）已知當x>0時，exlnx?2xlnA．?∞,1 B．?∞,2?2ln2C．?∞,2ln2 D．?∞,2+2ln2【變式1-1】（2025·甘肅金昌·三模）若關于x的不等式elnaxlnax≤2xeA．0,e B．0,2e C．0,e D．【變式1-2】（2025·廣東廣州·三模）若不等式ex≥kx（e=2.71828...為自然對數(shù)的底數(shù)）對任意實數(shù)xA．0 B．1 C．e D．e【變式1-3】（2025·江西新余·模擬預測）若關于x的不等式aex+lnx2≥x2A．e,+∞ B．0,e C．1e,+∞ 【題型2利用導數(shù)研究能成立問題】【例2】（2025高三·全國·專題練習）函數(shù)fx=lnx?mx+1，若存在x∈A．?∞,1 B．?∞,2 C．1,+∞ D．2,+∞【變式2-1】（2025·遼寧大連·三模）已知fx=xeax?lnx?axA．?∞,1e B．?1e,+∞ 【變式2-2】（2025·河北張家口·一模）已知f(x)=ln(1)若a=2，求曲線f(x(2)若?x0∈(0,2]，使f【變式2-3】（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知函數(shù)fx=mx?2e(1)求m的值及fx(2)若存在x∈R，使得fx≤2e【題型3分離參數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】【例3】（2025·陜西·二模）?x∈1,2，有l(wèi)nx+A．e,+∞ B．1,+∞ C．e2,+∞ 【變式3-1】（2025·四川成都·三模）若x∈0,+∞，x2+axA．e B．2 C．e?1 D．【變式3-2】（2025·遼寧盤錦·三模）已知函數(shù)f((1)當0<λ<9(2)若?x∈2,4，f【變式3-3】（2025·江西·三模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若fx≥1?【題型4分類討論法解決不等式恒（能）成立問題】【例4】（2025·海南·模擬預測）若不等式e2x+2t2x≥A．e2 B．e C．e22【變式4-1】（2025·遼寧·一模）已知函數(shù)fx=e2x?e?2xA．?∞,2 B．?∞,4 C．2,+∞ D．4,+∞【變式4-2】（2025·新疆喀什·二模）已知函數(shù)f(1)當m=?1時，求f(2)若存在x∈?2,0，使得fx【變式4-3】（2025·吉林延邊·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=2時，求f(2)若a≥0，f(x)≥?e【題型5構造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】【例5】（2025·黑龍江佳木斯·三模）已知不等式xex?x≥lnx+A．m≤?12 B．m≥?12【變式5-1】（2025·陜西商洛·模擬預測）已知函數(shù)fx=2xlnx?ax2，若對任意的xA．12e,+∞ B．1,+∞ C．1e【變式5-2】（2025·吉林長春·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=1時，求f(2)若fx≤x2在【變式5-3】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數(shù)f(1)討論fx(2)若對于?x>0，不等式fx【題型6與不等式恒（能）成立有關的證明問題】【例6】（2025·安徽合肥·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx在區(qū)間1,+∞上單調遞增，求實數(shù)m(2)當m=13【變式6-1】（2025·安徽·三模）已知函數(shù)fx(1)若m=2，求曲線y=f(2)當m∈0,1時，求證：關于x的不等式mx?【變式6-2】（2025·河南南陽·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=2時，求f(2)當a=0時，求證：對任意的x∈0,+∞【變式6-3】（2025·河北·模擬預測）已知fx=e(1)求a的值；(2)若gx=fx+bx(3)證明：對于任意的x1>0,x【題型7洛必達法則】【例7】（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在x=12處取得極值，且曲線y=f(x)(1)求實數(shù)a,b的值；(2)若?x∈[1?,?+∞)，不等式【變式7-1】（24-25高二下·全國·期末）若不等式sinx>x?ax3對于x∈(0,【變式7-2】（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有結論：若函數(shù)fx，gx的導函數(shù)分別為f′x，limx→a②設a>0，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)fx滿足：對任意x∈0,a，均有fx≥fxk成立，且limx→0結合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷fx=x(2)計算：limx→0(3)證明：sinxx?π【變式7-3】（23-24高二下·廣東珠?！て谀┰谘芯亢瘮?shù)問題時，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)在某個區(qū)間上值域的問題，但函數(shù)在區(qū)間端點又恰好沒有意義的情況，此時我們就可以用函數(shù)在這點處的極限來刻畫該點附近數(shù)的走勢，從而得到數(shù)在區(qū)間上的值域.求極限我們有多種方法，其中有一種十分簡單且好用的方法——洛必達法則該法則表述為：“設函數(shù)f(x)，g(x)滿足下列條件：①limx→af(x)=0，②在點a處函數(shù)f(x)和g(x)的圖像是連續(xù)且光滑的，即函數(shù)f(x)和g(x)在點a處存在導數(shù)；③limx→af′(x)g′(x)則limx→a那么，假設有函數(shù)f(x)=ex，(1)若f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；(2)證明：ex【題型8導數(shù)中雙變量恒（能）成立問題】【例8】（24-25高三上·貴州·階段練習）已知函數(shù)fx=12x2?ax+lnx,A．?32,+∞ B．32,+∞ 【變式8-1】（2025·福建莆田·三模）已知函數(shù)fx=ex，gx=?x2?mx，若對區(qū)間A．?1,2?2ln2 B．?C．?1,e?2 D．?1,1【變式8-2】（2025·廣西·三模）已知函數(shù)fx(1)當a>0時，求函數(shù)f(2)對任意的x1,x2∈0,1，當【變式8-3】（2025·江蘇鹽城·三模）已知函數(shù)f(x)=(1)求函數(shù)gx在x(2)討論函數(shù)fx(3)當m>0時，若對于任意x1>0，總存在x2∈[?2,?1]【題型9導數(shù)中雙函數(shù)恒（能）成立問題】【例9】（2025·山東泰安·二模）已知函數(shù)fx=xe?x，gx=lnx?xA．?∞,e?1+1 B．?∞,e?1+1【變式9-1】（2025·重慶·模擬預測）已知函數(shù)fx=lnxx,gx=A．?∞,?2 B．?2,?1 C．?1,+∞ D．0,+∞【變式9-2】（2025·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若fx≤g【變式9-3】（2025·青海海東·三模）已知函數(shù)f(x)=(1)求f((2)當a≠0時，討論g(3)若?x∈(1,+∞)，f(一、單選題1．（2025·山東煙臺·三模）若不等式xex?x?lnA．0,1 B．0,e?1 C．?∞,1 D．?∞,e?12．（2025·河南·二模）已知函數(shù)fx=x+e?x，若存在實數(shù)xA．?∞,1?e B．1,+∞C．1?e,1 D．?∞,1?e3．（2025·海南·模擬預測）已知當x∈(0,+∞)時，函數(shù)f(x)=axA．?1e,+∞C．2e,+∞ 4．（2025·湖北·模擬預測）已知函數(shù)fx=axex+lnax,A．0,1 B．?∞,0∪0,1 C．0,15．（2025·廣西·模擬預測）若對任意的x∈(?1,+∞)，不等式ex?a[ln(A．?1 B．0 C．1 D．26．（2025·河北秦皇島·一模）若存在正實數(shù)t，使得?x∈0,+∞，關于x的不等式t?mA．?∞,1e2+1 B．1e27．（2025·四川成都·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex?12x2+1，g(x)=sinxA．(?∞,0] B．0,12 C．128．（2025·天津紅橋·二模）已知向量a,b是夾角為60°的單位向量，若對任意的x1,x2∈m,+∞A．e2,+∞ B．12,+∞ C．二、多選題9．（2025·江西新余·模擬預測）已知不等式k2x?1exA．2 B．0 C．1 D．110．（2025·安徽馬鞍山·一模）已知函數(shù)fx=etx?lnx+A．1e B．12e C．1e11．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）已知fx=x3?ax2+A．函數(shù)fxB．函數(shù)fx的對稱中心是C．當x∈m,+∞時fxD．當x∈0,+∞三、填空題12．（2025·湖北·模擬預測）已知關于x的不等式xx2>ax2ln13．（2025·湖南益陽·三模）設實數(shù)f(x)=2xlnx，g(x)=14．（2025·河南南陽·三模）已知函數(shù)f(x)=2axe2x四、解答題15．（2025·河北·模擬預測）