2/30專題2.7函數(shù)與方程（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】 2【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】 4【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】 6【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的分布范圍求參數(shù)】 9【題型5求零點(diǎn)的和】 11【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題】 14【題型7用二分法求方程的近似解】 17【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題】 191、函數(shù)與方程考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系

(2)理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(3)了解用二分法求方程的近似解2023年新課標(biāo)I卷：第15題，5分2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分2025年天津卷：第7題，5分2025年上海卷：第21題，18分函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考?？嫉闹攸c(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來看，一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的分布、個(gè)數(shù)等，題目難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置.知識(shí)點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法1．確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參問題1．函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法：(1)直接法：直接求零點(diǎn)，令f(x)=0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)圖象法：畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).2．已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的方法(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的一般方法①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；③分離參數(shù)法：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來求解.(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的方法已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.知識(shí)點(diǎn)3嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題1．嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題的解題策略函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”,設(shè)中間函數(shù)為t，通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】【例1】（2025·天津·高考真題）函數(shù)f(x)=0.3x?x的零點(diǎn)所在區(qū)間是（A．(0,0.3) B．(0.3,0.5) C．(0.5,1) D．(1,2)【答案】B【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.【解答過程】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知：y=0.3x在R上單調(diào)遞減，y=x所以fx顯然f0所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知fx的零點(diǎn)位于0.3,0.5故選：B.【變式1-1】（2025·河北滄州·二模）函數(shù)fx=2A．0,12 B．12,1 C．【答案】B【解題思路】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【解答過程】因?yàn)閥=2x與所以fx=2又f1∵2?1<1∴f1又∵f1∴函數(shù)fx的零點(diǎn)所在區(qū)間是1故選：B．【變式1-2】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x14A．0,14 B．14,13【答案】B【解題思路】由題可得fx=x【解答過程】注意到函數(shù)fx圖象在0,+∞上連續(xù)不間斷，因?yàn)閥=x14,y=?1對(duì)于A，f0=014?130=0?1<0.因函數(shù)對(duì)于B，因?yàn)閥=13x在0,+∞上單調(diào)遞減，則f13=13對(duì)于CD，由于fx在0,+∞上單調(diào)遞增，故選：B.【變式1-3】（24-25高二下·云南·期中）函數(shù)f(x)=x+4A．(0,12) B．(12,1)【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷得解.【解答過程】函數(shù)y=x?6,y=4x在[0,+∞而f(1)=1+4所以f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,3故選：C.【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】【例2】（2025·山東青島·二模）函數(shù)fx=aA．0 B．1 C．1,0 D．a(chǎn)【答案】B【解題思路】令fx=a【解答過程】因?yàn)閒x令fx=a即函數(shù)的零點(diǎn)為1.故選：B.【變式2-1】（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=lnx?xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解題思路】當(dāng)x>0時(shí)，將函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=x2?2x，在x∈【解答過程】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=0?ln則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=x作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖可知，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有兩個(gè)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x2?2x?3=0，可得x=?1即當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有一個(gè)；綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有三個(gè).故選：C.【變式2-2】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=lnx，則函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)為（A．1 B．0 C．e D．e【答案】C【解題思路】先根據(jù)函數(shù)解析式，求出y=f(f(x))的解析式，再由函數(shù)的零點(diǎn)定義，解對(duì)數(shù)方程即得.【解答過程】由f(x)=lnx可得由f(f(x))=0可得，lnx=1，解得x=故選：C.【變式2-3】（24-25高一下·甘肅平?jīng)觥ら_學(xué)考試）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)fx=x?12,x≤0lnA．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解題思路】先求解方程f2【解答過程】方程的f2x?3fx+2=0解為f故選：C.【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】【例3】（2025·陜西西安·一模）已知函數(shù)f(x)=10x,x<0lgx,x>0，g(x)=f(x)+2x?m，若g(x)A．(?∞,1] B．(?∞,1) C．【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，利用零點(diǎn)的意義將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖象與直線交點(diǎn)，再利用數(shù)形結(jié)合求出范圍.【解答過程】由g(x)=0，得f(x)=?2x+m，因此g(x)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=?2x+m有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為(0,1)，在在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=?2x+m的圖象，觀察圖象知，當(dāng)m<1時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=?2x+m有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=?2x+m有1個(gè)交點(diǎn)，所以m的取值范圍是[1,+∞故選：C.【變式3-1】（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2x?1，g(x)=[f(x)]2?tf(x)(t∈R)，若關(guān)于x的方程A．(?2,2) B．(3,2) C．(?2,?3【答案】B【解題思路】令m=f(x)，作出函數(shù)函數(shù)f(x)的大致的圖象，結(jié)合圖象得出關(guān)于x的方程根的情況，再根據(jù)一元二次方程根的分布情況分類討論即可得解.【解答過程】由題意，作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖．令m=f(x)，由圖可知，當(dāng)m∈(0,1)時(shí)，關(guān)于x的方程m=f(x)有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m∈(?∞,0)時(shí)，關(guān)于x的方程當(dāng)m=0或m∈[1,+∞)時(shí)，關(guān)于x的方程因?yàn)殛P(guān)于x的方程g(x)=3?t所以關(guān)于m的方程m2?tm+t另一個(gè)根在[1,+∞)內(nèi)，或一個(gè)根為0，另一個(gè)根在當(dāng)m=0為方程m2?tm+t2?3=0當(dāng)t=3時(shí)，方程的另一個(gè)根為m=當(dāng)t=?3時(shí)，方程的另一個(gè)根為m=?當(dāng)m=1為方程m2?tm+t2?3=0的根時(shí)，有t當(dāng)t=?1時(shí)，方程的另一個(gè)根為m=?2，不符合題意；當(dāng)t=2時(shí)，方程的另一個(gè)根為m=1，不符合題意．所以關(guān)于m的方程m2?tm+t2?3=0令?(m)=m則Δ>0,?(0)>0,?1<0,綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍是(3故選：B.【變式3-2】（2025·湖南·二模）若函數(shù)fx=log2x,0<x<41A．1,2 B．1,2 C．1,2 D．1,2【答案】D【解題思路】畫出函數(shù)fx【解答過程】畫出fx由圖象可知a的范圍是1,2.故選：D.【變式3-3】（24-25高二下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）已知函數(shù)f(x)=f(x?2),x>1|x|?1,?1≤x≤1若函數(shù)g(x)=f(x)?loga(x+1)A．[15,13) B．(【答案】B【解題思路】利用函數(shù)零點(diǎn)的意義，將問題轉(zhuǎn)化為曲線y=f(x)與曲線y=log【解答過程】令g(x)=f(x)?loga(x+1)=0依題意，曲線y=f(x)與曲線y=log當(dāng)a>1時(shí)，曲線y=f(x)與曲線y=log當(dāng)0<a<1時(shí)，若使得曲線y=f(x)與曲線y=log則loga3>?1loga5<?10<a<1，解得故選：B.【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的分布范圍求參數(shù)】【例4】（2025·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=kx?4+xlog2x在區(qū)間1,4A．?4,1 B．?4,1 C．?1,4 D．?1,4【答案】D【解題思路】令gx=k+log2x?4x，分析可知函數(shù)gx=k+【解答過程】當(dāng)x∈1,4時(shí)，由fx=kx?4+x令gx因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x、y=k?故函數(shù)gx=k+log因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間1,4內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)gx在區(qū)間所以，g1=k?4≤0g因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是?1,4.故選：D.【變式4-1】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=lgx+t在1,10上有零點(diǎn)，則A．?10,0 B．?110,0 C．0,1【答案】D【解題思路】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列式計(jì)算即可.【解答過程】因?yàn)閒x在1,10所以f1f10解得?1<t<0．故選：D.【變式4-2】（24-25高一上·河南開封·期末）已知x0是函數(shù)fx=lnx?2x的零點(diǎn)，且xA．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解題思路】分析函數(shù)fx【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx、y=?2x在0,+∞因?yàn)閒1=?2<0，f2=ln由零點(diǎn)存在定理可得x0∈2,3，又因?yàn)閤0∈故選：B.【變式4-3】（2025·四川巴中·一模）若函數(shù)fx=2ax2+3x?1在區(qū)間?1,1A．a(chǎn)|?1<a<2 B．{a|a=?98或C．{a|?1≤a≤2} D．{a|a=?98或【答案】D【解題思路】根據(jù)題意，分a=0和a≠0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及零點(diǎn)存在性定理，列出不等式，即可求解.由函數(shù)fx【解答過程】由函數(shù)fx若a=0，可得fx=3x?1，令fx=0，即若a≠0，令fx=0，即2ax當(dāng)Δ=0時(shí)，即9+8a=0，解得a=?98，此時(shí)f當(dāng)Δ>0時(shí)，即a>?98且a≠0解得?1≤a≤2且a≠0，若a=?1，可得fx=?2x2+3x?1解得x=1或x=12，其中若a=2，可得fx=4x2+3x?1解得x=?1或x=14，其中綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a=?98或故選：D.【題型5求零點(diǎn)的和】【例5】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=eA．0 B．-1 C．3 D．2【答案】A【解題思路】令fx=0，即exx?1?x?1=0，構(gòu)造函數(shù)y=ex與函數(shù)y=x+1【解答過程】由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程fx=0的實(shí)數(shù)根，令則exx?1?x?1=0，顯然x≠1構(gòu)造函數(shù)y=ex與函數(shù)y=x+1可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)fx設(shè)為x1,x2，所以即fx另外發(fā)現(xiàn)，將?x1代入，可得所以?x1也是函數(shù)fx的零點(diǎn)，說明x故選:A.【變式5-1】（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,?(x)=x3+x的零點(diǎn)分別為aA．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為y=?x與y=2x、y=log【解答過程】由題設(shè)，2a=?a，log2所以問題可轉(zhuǎn)化為y=?x與y=2x、y=log因?yàn)閥=2x與y=log2x關(guān)于y=x所以a+b=0，c=0，則a+b+c=0.故選：A.【變式5-2】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=ex與函數(shù)A．?ln2 B．ln2 C．0【答案】C【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移變換可知：函數(shù)fx=ex與函數(shù)gx=x+1x?1的圖象共有兩個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1，x2是方程ex【解答過程】∵gx∴函數(shù)gx的圖象由y=根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知gx在?∞,1和1,+∞上單調(diào)遞減，又故在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)fx=e由圖可知：函數(shù)fx=e不妨設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1，x若x1是方程ex=又?x1+1?x∴x2=?x故選：C.【變式5-3】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ex,x≤0,lnx,x>0,gx=x?3,A．0 B．3 C．6 D．9【答案】B【解題思路】方程fgx=?3?gx有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)y=fgx與【解答過程】由題意得：gx=x?3為R當(dāng)x≤3時(shí)，gx≤0，當(dāng)x>3時(shí)，gx>0，方程fgx=?3?gx=?x作出函數(shù)fgx與由圖可知y=ex?3與y=ln則A,B兩點(diǎn)關(guān)于y=x?3對(duì)稱，中點(diǎn)C在y=x?3圖象上，由y=?xy=x?3，解得：C所以x1故選：B.【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題】【例6】（2025·山東臨沂·三模）已知函數(shù)fx=lnx,x>0?x2A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)<0 C．?1<a<0 D．a(chǎn)<?1【答案】D【解題思路】根據(jù)題意對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行討論，分a≥0，a<0，再利用函數(shù)零點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分析求解.【解答過程】⑴當(dāng)a≥0，x≤0時(shí)，fx=?x所以fx在?令fx=t，y=ffx=f即fx=t=0或fx=t=1，根據(jù)圖象所以此時(shí)y=ff當(dāng)a<0，x≤0時(shí)，fx=?x所以fx在?∞,a令fx=t，y=ffx=ft=0根據(jù)圖象fx=t=2a<0有2個(gè)解，又y=ffx有8個(gè)零點(diǎn)，所以即a<0fa=故選：D.【變式6-1】（2025·貴州畢節(jié)·一模）已知函數(shù)f(x)=?x2?2x+3,x≤0lnA．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解題思路】由[f(x)]2?5f(x)+6=0可得f(x)=2或【解答過程】由題意，令[f(x)]2?5f(x)+6=0，解得f(x)=2或作出y=f(x)的圖象，如圖，

由圖可知，直線y=2與y=f(x)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，直線y=3與y=f(x)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有7個(gè)解，即函數(shù)y=[f(x)]故選：C.【變式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知函數(shù)fx=ex+2,x≤0x+1A．2,3 B．2,3 C．3,+∞ D．【答案】B【解題思路】先求解方程f2(x)?(a+2)f(x)+2a=0，得到f(x)的表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象，分析f(x)取不同值時(shí)方程根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定【解答過程】令t=f(x)，則方程f2(x)?(a+2)f(x)+2a=0可轉(zhuǎn)化為對(duì)t2?(a+2)t+2a=0進(jìn)行因式分解可得(t?2)(t?a)=0，則t1所以f(x)=2或f(x)=a.當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=ex+2，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ex在(?∞,0]當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+1x，對(duì)其求導(dǎo)，令f′(x)=0，即(x+1)(x?1)x2=0當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在x=1處取得極小值，也是最小值，f(1)=1+1對(duì)于f(x)=2：當(dāng)x>0時(shí)，x+1x=2，即x2?2x+1=0，(x?1)因?yàn)閒2(x)?(a+2)f(x)+2a=0有4個(gè)互不相同的根，f(x)=2已經(jīng)有1個(gè)根，所以f(x)=a需要有結(jié)合f(x)的圖象可知，當(dāng)2<a≤3時(shí)，y=f(x)與y=a有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即f(x)=a有3個(gè)不同的根.a的取值范圍為(2,3].故選：B.【變式6-3】（24-25高一上·河北邯鄲·期末）fx為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=2sinπ2x,0≤x<1A．?1,0 B．0,2 C．?1,2 D．1,2【答案】B【解題思路】畫出函數(shù)fx，gx的圖象，數(shù)形結(jié)合對(duì)【解答過程】畫出函數(shù)fx，gx的圖象，F(xiàn)x=fgx?a（1）當(dāng)a≤?1時(shí)，ft=a無實(shí)數(shù)根，則（2）當(dāng)?1<a<0時(shí)，ft=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根t1,t2，其中t1<?1，（3）當(dāng)a=0時(shí)，ft=a有三個(gè)實(shí)數(shù)根t1，t2，t3，其中t1<?1，t2=0，t（4）當(dāng)0<a<2時(shí)，ft=a有四個(gè)實(shí)數(shù)根t1，t2，t3，t4，其中t1<?1，?1<t2<0，0<t3（5）當(dāng)a=2時(shí)，ft=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根t1，t2，其中t1=?1，t2（6）當(dāng)a>2時(shí)，ft=a無實(shí)數(shù)根，則gx=t無實(shí)數(shù)根；綜上所述，實(shí)數(shù)故選：B．【題型7用二分法求方程的近似解】【例7】（2025·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）用二分法求函數(shù)fx=lnx+2x?6在2,3內(nèi)的零點(diǎn)近似值，若精確度要求為A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解題思路】二分法每次取區(qū)間中點(diǎn)，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，由題可得區(qū)間初始長(zhǎng)度為1，則第一次使用二分法后區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?.5，第二次使用二分法后區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?.25，第三次使用二分法后區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?.125，以此類推，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于精確度時(shí)即可停止.【解答過程】解：原始區(qū)間長(zhǎng)度為3?2=1，第一次，區(qū)間長(zhǎng)度減半，為0.5>0.1，第二次，區(qū)間長(zhǎng)度減半，為0.25>0.1，第三次，區(qū)間長(zhǎng)度減半，為0.125>0.1，第四次，區(qū)間長(zhǎng)度減半，為0.0625<0.1，故至少需要重復(fù)四次.故選：B.【變式7-1】（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,4]上零點(diǎn)的近似解，經(jīng)驗(yàn)證有f(2)?f(4)<0．若給定精確度ε=0.01，取區(qū)間的中點(diǎn)x1=2+42=3，計(jì)算得f(2)?fA．(2,3) B．(1,2) C．(0,1) D．(3,4)【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，用二分法進(jìn)行求解即可.【解答過程】由題意可知，對(duì)于函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,4]上，有f(2)?f(4)<0，所以函數(shù)在(2,4)上有零點(diǎn)．取區(qū)間的中點(diǎn)x1因?yàn)橛?jì)算得f(2)?fx1<0，所以函數(shù)在(2,3)故選：A.【變式7-2】（2025高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解題思路】結(jié)合結(jié)論二分法只能求變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合圖象確定正確選項(xiàng).【解答過程】根據(jù)二分法的概念可知二分法只能求變號(hào)零點(diǎn)，觀察選項(xiàng)A中的函數(shù)圖象可知該函數(shù)沒有變號(hào)零點(diǎn)，觀察選項(xiàng)BCD中的函數(shù)圖象可知對(duì)應(yīng)的函數(shù)都存在變號(hào)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)A中函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)．故選：A.【變式7-3】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）用二分法求方程ln2x+6+2=3x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918-0.3604-0.9989則由表中的數(shù)據(jù)，可得方程ln2x+6+2=3A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【答案】B【解題思路】由圖表知f1.25?f1.375【解答過程】因?yàn)閒1.25?f1.375<0，故根據(jù)二分法的思想，知函數(shù)但區(qū)間(1.25,1.375)的長(zhǎng)度為0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中點(diǎn)1.3125，兩個(gè)區(qū)間(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一個(gè)滿足區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相異，又區(qū)間的長(zhǎng)度為0.0625<0.1，因此1.3125是一個(gè)近似解．故選：B.【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題】【例8】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·二模）設(shè)函數(shù)y=x2+2x?10,y=2x+2x?10,y=log2x+2x?10A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b【答案】A【解題思路】分析可知y=10?2x與y=x2,y=2x,y=log【解答過程】令y=x可得x2可知y=10?2x與y=x2,y=2x,y=log在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=10?2x，y=x根據(jù)圖象可知：y=10?2x與y=x2有2個(gè)交點(diǎn)，但均有所以a<b<c.故選：A.【變式8-1】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1,x≤0|lnx|,x>0，若方程fx=a有四個(gè)根A．x1+xC．x1x2【答案】C【解題思路】分析函數(shù)f(x)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，再逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】函數(shù)y=x2+2x+1當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x2+2x+1在(?∞,?1]上遞減，函數(shù)值集合為[0,+當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=|lnx|在(0,1]上遞減，函數(shù)值集合為[0,+∞)，在方程f(x)=a的根是直線y=a與函數(shù)y=f(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)=a有四個(gè)根x1,x2,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=a與函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖，觀察圖象知，x1+x顯然|lnx3|=|lnx4|，而x3顯然?1<x2≤0故選：C.【變式8-2】（24-25高一上·廣東佛山·期末）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若fx有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2【答案】(1)答案見解析(2)e【解題思路】（1）由函數(shù)y=fx的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程lnx+1?m+2=0（2）先根據(jù)fx有兩個(gè)零點(diǎn)和gx有兩個(gè)零點(diǎn)，得到m>2，然后由lnx1=?m+1,【解答過程】（1）解：函數(shù)y=fx的零點(diǎn)即方程ln設(shè)?x則函數(shù)y=fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程m=??x=顯然?x在0,1e故?x所以，當(dāng)m<2時(shí)，y=fx當(dāng)m=2時(shí)，y=fx當(dāng)m>2時(shí)，y=fx（2）由（1）知fx有兩個(gè)零點(diǎn)，則m>2gx有兩個(gè)零點(diǎn)，則m+1令rx=ln如圖所示：則m>?1，綜合可得m>2.結(jié)合（1）即x1<x2，可知同理可求得lnx所以lnx=2m+1當(dāng)且僅當(dāng)2m+1=32m+1即因此x2x4【變式8-3】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)若m=1，判斷并證明fx(2)當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，若函數(shù)fx（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）證明：x1【答案】(1)fx在R(2)（?。〆2【解題思路】（1）若m=1時(shí)，fx=ex?x2，對(duì)其求導(dǎo)得f（2）（?。┊?dāng)x∈0,+∞時(shí)，fx=0可化為m=exx（ⅱ）要證明x1+x2>4，即證x2>4?x1【解答過程】（1）若m=1時(shí)，fx=e設(shè)gx=f令g′x=當(dāng)x<ln2時(shí)，g′x<0當(dāng)x>ln2時(shí)，g′x>0所以f′x在x=ln因?yàn)閘n2<1，所以2?2即f′x>0在R上恒成立，所以f（2）（ⅰ）當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，令?x=e令?′x=0，因?yàn)閤∈0,當(dāng)x∈0,2時(shí)，?′x<0當(dāng)x∈2,+∞時(shí)，?′x>0所以?x的最小值為?當(dāng)x→0+時(shí)，?x=e函數(shù)fx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，即y=m與y=?x在0所以m的取值范圍是e2（ⅱ）由（?。┛芍?<x1<2<x2因?yàn)??x1=2+2?x1所以只需要證?x2>?所以只需要證?x1>?即證ex14?x1化簡(jiǎn)為e2x1所以只需證ex1令Hx求導(dǎo)得H'令tx求導(dǎo)得t'x=e所以tx在0,2tx即H'x<0在0,2上恒成立，所以H所以Hx即Hx=ex?2即?x1>?一、單選題1．（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)=x+lnx?4的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】C【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【解答過程】函數(shù)f(x)=x+lnx?4的定義域?yàn)?0,+∞)，因?yàn)榍襢(2)=?2+ln2<0,f(3)=?1+ln由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f(x)=x+lnx?4的零點(diǎn)所在的區(qū)間是故選：C.2．（2025·北京昌平·二模）已知函數(shù)fx=xx?2a?a恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．(?∞,?1] B．?∞,?1∪1,+∞【答案】B【解題思路】將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)，分a=0、a>0和a<0三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出特殊點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到不等式組，從而確定a的取值范圍.【解答過程】因?yàn)閒x若a=0時(shí)，fx=x2,x≥0若a>02a>a，當(dāng)x≥2a時(shí)，fx則fx在2a,+∞上單調(diào)遞增，且當(dāng)x<2a時(shí)，fx所以fx在?∞,a上單調(diào)遞增，在a,2a要使fx恰有三個(gè)零點(diǎn)，則?a<0<a2若a<02a<a，當(dāng)x≥2a時(shí)，fx則fx在a,+∞上單調(diào)遞增，在2a,a上單調(diào)遞減，且當(dāng)x<2a時(shí)，fx所以fx在?∞,2a要使fx恰有三個(gè)零點(diǎn)，則?a2綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞故選：B.3．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）用二分法求方程的近似解，求得fxx121.51.6251.751.8751.8125f（x）－63－2.625－1.459－0.141.34180.5793則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程x3+2x?9=0的近似解可取為（A．1.6 B．1.7C．1.8 D．1.9【答案】C【解題思路】根據(jù)二分法求方程的的近似解以及零點(diǎn)存在定理得出零點(diǎn)存在區(qū)間即可.【解答過程】由表格可得，函數(shù)fx=x結(jié)合選項(xiàng)可知，方程x3故選：C.4．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=x2+2x?3,x≤0?2+lnx,x>0，若方程A．k≤?4 B．?4<k<?3 C．k=?4或k>?3 D．k=?4或k≥?3【答案】C【解題思路】分析函數(shù)的性質(zhì)并作出其圖象，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解答過程】當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+2x?3在(?在[?1,0]上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為[?4,?3]；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=?2+lnx在在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=fx的圖象與直線y=k

由圖象知，當(dāng)k=?4或k>?3時(shí)，直線y=k與函數(shù)y=fx即方程fx故選：C.5．（2025·浙江·二模）定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f1x=?fx,f2x=?f2xA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解題思路】由題設(shè)條件可得fx=f4x，從而可先分析y=fx+【解答過程】因?yàn)閒2x=?f2x，故即fx而當(dāng)x∈1,2時(shí)，f故當(dāng)x∈2,4時(shí)，4x∈故fx當(dāng)x∈1,2時(shí)，f而fx在1,32故fx=?14在當(dāng)x∈2,4時(shí)，f而4x∈1,2，故fx∈故當(dāng)x∈4k,4k+1結(jié)合1,4上fx的性質(zhì)可得fx=?且該實(shí)數(shù)解為x=3?4k?1而43<100<4故fx=?14在1,100上的實(shí)數(shù)解為x=3x=3故fx故選：B.6．（2025·云南曲靖·一模）已知x1是函數(shù)fx=xlnx?2025的零點(diǎn)，x2是函數(shù)A．2025e B．e2025 C．2025【答案】D【解題思路】根據(jù)題意可得x2+lnx2【解答過程】由題可得x1lnx因?yàn)楹瘮?shù)y=x+lnx在所以x2=ln故選：D.7．（2025·北京門頭溝·一模）已知函數(shù)fx=ax2?x+xa∈R，其中x表示不超過A．不存在a，使得fx有無數(shù)個(gè)零點(diǎn) B．fxC．存在a，使得fx有4個(gè)零點(diǎn) D．存在a，使得f【答案】D【解題思路】由題意知，x=0是函數(shù)fx的一個(gè)零點(diǎn)，x≠0時(shí)，ax2?x+x【解答過程】由題意知，x=0是函數(shù)fxx≠0時(shí)，ax2?x+令g(x)=x?當(dāng)x>0時(shí)x?[x]=x,x∈[0,1)；x?[x]=x?1,x∈[1,2)；x?[x]=x?2,x∈[2,3)；x?[x]=x?3,x∈[3,4)?當(dāng)x<0時(shí)x?[x]=x+1,x∈[?1,0)；x?[x]=x+2,x∈[?2,?1)；x?[x]=x+3,x∈[?3,?2)；x?[x]=x+4,x∈[?4,?3)?由函數(shù)圖象可知g(x)的值域?yàn)閇0,+∞)，注意到對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a=0時(shí)，fx對(duì)于選項(xiàng)B，fx有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件是a∈對(duì)于選項(xiàng)C，不存在a，fx對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)a∈[19,故選：D.8．（2025·陜西西安·二模）已知函數(shù)f(x)=x2+2x?1,x≤0?2+lnx,x>0，若函數(shù)g(x)=f(x)?mA．(?2,+∞) B．(?2,1] C．?2,e【答案】D【解題思路】條件可轉(zhuǎn)化為以函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)y=m的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)y=fx的圖象，觀察圖象可得x1+x【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)?m有四個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)?m=0有四個(gè)根，所以方程fx所以函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)y=m作函數(shù)f(x)=x觀察圖象可得?2<m≤?1，x1<x所以?2+lnx3所以lnx3x令?2+lnx3=?1可得，所以1e所以x3因?yàn)楹瘮?shù)y=x+1x在所以2<x3+又x1所以0<x所以x1+x故選：D.二、多選題9．（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)log2a,log3bA．c<a<b B．b<c<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c【答案】ACD【解題思路】首先由條件轉(zhuǎn)化為log2【解答過程】由題意可得，clog2a=clog3根據(jù)圖象可知，c<0時(shí)，0<b<a<1，c>0時(shí)，1<a<b，有c<a<b或a<b<c，故B錯(cuò)誤；若0<c<1，則1c>1，所以若c>3，則0<1c<當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，fx=xx單調(diào)遞增，因?yàn)?1<2,2故選：ACD.10．（2025·新疆省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=|2x+1A．f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 B．當(dāng)a=0時(shí)，g(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)C．當(dāng)a<0時(shí)，g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn) D．a(chǎn)>0是g(x)有1個(gè)零點(diǎn)的充要條件【答案】BC【解題思路】求出零點(diǎn)判斷AB；令f(x)=t，利用韋達(dá)定理確定方程根的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象判斷CD.【解答過程】對(duì)于A，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+1x?1≥2當(dāng)x≤0時(shí)，由f(x)=0，|2x+1?1|=1，解得x=0對(duì)于B，當(dāng)a=0時(shí)，由g(x)=0，得f(x)=1或f(x)=?1，當(dāng)x≤0時(shí)，y=2x+1?1在(?∞,0]?1≤|2x+1?1|?1≤0，則由f(x)=1，得x=1；由f(x)=?1，得x=?1對(duì)于C，令f(x)=t，由g(x)=0，得t2+at?1=0，當(dāng)a<0時(shí)，方程t2+at?1=0有兩個(gè)不等實(shí)根t1t2>?t1>0，t直線y=t1與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程直線y=t2與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程因此g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)a>0時(shí)，由選項(xiàng)C知，方程t2+at?1=0有兩個(gè)不等實(shí)根則t1+t2=?a<0,t1觀察圖象知，直線y=t1、y=t2與故選：BC.11．（2025·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=log21?x，若函數(shù)gA．a(chǎn)=0 B．a(chǎn)+b=?1C．b=?1 D．6個(gè)零點(diǎn)之和是6【答案】BD【解題思路】根據(jù)題意，利用函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，令t=fx，得到關(guān)于t的方程【解答過程】由函數(shù)fx=log2x再向右平移1個(gè)單位，可得fx最終經(jīng)過x軸翻折變換，可得fx則函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，令t=f因?yàn)楹瘮?shù)gx=f2x故當(dāng)fx=1時(shí)，方程所以要使函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為x=?1，則fx=0或由fx=0，可得x1設(shè)fx=1的四個(gè)根從小到大依次為由函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，可得x所以gx關(guān)于t的方程t2+at+2b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為0和由韋達(dá)定理，得a=?1,b=0,a+b=?1，所以B正確，A，C錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題12．（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=lg【答案】5【解題思路】令fx=0，得【解答過程】令fx=0，得lgxx?3=lg10故答案為：5.13．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2+x,x≤0,【答案】2【解題思路】由函數(shù)奇偶性求得a,b，再結(jié)合一元二次方程求解即可.【解答過程】因?yàn)閒x所以f1聯(lián)立解得：a=?1b=1所以fx=x令gx當(dāng)x≤0時(shí)，得：x2+x+1當(dāng)x>0時(shí)，得：?x2+x+所以函數(shù)gx故答案為：2.14．（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)fx=xx+1,x≤1ex?1【答案】0,1【解題思路】分離變量，轉(zhuǎn)化成y=fxx與y=m【解答過程】易知x=0為gx的零點(diǎn)，當(dāng)x≠0時(shí)，令gx=f令?x=fxx如下圖，依題意，只需y=m與y=?x由圖可得m∈0,1故答案為：0,1∪

四、解答題15．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)fx(1)當(dāng)t=1時(shí)，求不等式2fx(2)若函數(shù)?x=afx【答案】(1)答案見解析(2)?【解題思路】（1）化簡(jiǎn)不等式2fx≤gx為2loga（2）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為1t=?x2+2x+1有解，設(shè)【解答過程】（1）當(dāng)t=1時(shí)，不等式2fx≤gx若0<a<1，則x?1>02x+1>0x?12所以不等式2fx≤gx若a>1，則x?1>02x+1>0x?12所以不等式2fx≤gx綜上所述，當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式2fx≤gx當(dāng)a>1時(shí)，不等式2fx≤gx（2）由題意可知?x令tx2+x+2t+1=0，即tx2所以t≠0,x2+2≠0設(shè)m=x+1∈2,4，則1因?yàn)楹瘮?shù)y=?m+3m所以?114≤16．（24-25高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)f(x)=x+1(1)判斷函數(shù)fx在區(qū)間1,+(2)用二分法求方程fx=0在區(qū)間【答案】(1)y=fx在1,+(2)2.6（2.5625,2.625內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都是對(duì)應(yīng)方程符合精確度要求的一個(gè)近似解）【解題思路】（1）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；（2）根據(jù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可知fx在1,+∞內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【解答過程】（1）y=fx在1,+任取x1,x2∈因?yàn)?<x1<x2，則x可得f(x2)?f(所以y=fx在1,+（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+1x?3可知其在區(qū)間1,+∞上的零點(diǎn)即為方程fx=0且f2<0，f3>0，可得fx在區(qū)間1,+∞區(qū)間中點(diǎn)x中點(diǎn)函數(shù)值f區(qū)間長(zhǎng)度2,35f1511f1521f1541f1此時(shí)解在區(qū)間4116,218，此區(qū)間長(zhǎng)度為116即2.5625,2.625內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都是對(duì)應(yīng)方程符合精確度要求的一個(gè)近似解，比如2.6是方程fx=0在17．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知a>1，函