2/30專題4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1終邊相同的角】 4【題型2象限角及其判定】 5【題型3弧度制】 6【題型4扇形的弧長與面積的計(jì)算】 8【題型5扇形中的最值問題】 10【題型6任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】 12【題型7三角函數(shù)值符號的判定】 141、任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解任意角的概念和弧度制

(2)能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性

(3)借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義2023年北京卷：第13題，5分2024年北京卷：第12題，5分2025年北京卷：第13題，5分任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察任意角的概念、三角函數(shù)的概念，一般以選擇題、填空題的形式考查，試題比較簡單.知識點(diǎn)1三角函數(shù)的基本概念1．任意角(1)角的概念角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)角的表示如圖：

①始邊：射線的起始位置OA；

②終邊：射線的終止位置OB；

③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；

④記法：圖中的角可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”.2．象限角與終邊相同的角(1)終邊相同的角若角α,β終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角α的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針或順時(shí)針)k(k∈Z)周即得角β.

一般地，我們有：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.(2)象限角、軸線角①象限角、軸線角的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱這個(gè)角為軸線角.

②象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度為單位來進(jìn)行度量，1度的角等于周角的.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.(2)弧度制的相關(guān)概念①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.4．任意角的三角函數(shù)(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y).

①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作，即y=；

②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作，即x=；

③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做α的正切，記作，即=(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)(2)用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.則=，=，=.知識點(diǎn)2任意角和弧度制的解題策略1．終邊相同的角的集合利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.2．確定，(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定或的終邊所在的位置.3．應(yīng)用弧度制解決問題的幾大要點(diǎn)應(yīng)用弧度制解決問題時(shí)應(yīng)注意：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.知識點(diǎn)3三角函數(shù)的定義及應(yīng)用的解題策略1．三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2．判定三角函數(shù)值的符號的解題策略要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.【題型1終邊相同的角】【例1】（24-25高一下·廣西欽州·期末）下列與20°角終邊相同的角為（

）A．320° B．380° C．400°【答案】B【解題思路】根據(jù)終邊相同的角的集合即可求解.【解答過程】與20°角終邊相同的角的集合為α取k=1，α=380°故選：B.【變式1-1】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍是（

）A．α∣30°≤α<75°或210°≤α<285°B．α∣?75°<α≤30°或105°<α≤210°C．α∣k?360°+30°≤α<k?360°+105°,k∈ZD．α∣k?180°+30°≤α<k?180°+105°,k∈Z【答案】D【解題思路】根據(jù)終邊相同的角的集合，即可求解.【解答過程】終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1終邊在180°?75°=105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍是α∣30°+k?180°≤α<105°+k?180°,k∈Z．故選：D.【變式1-2】（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）在0到2π范圍內(nèi)，與角?4π【答案】2【解題思路】根據(jù)終邊相同的角的表示方法得解.【解答過程】與角?4π3終邊相同的角為?當(dāng)k=1時(shí)，得2π故答案為：2π【變式1-3】（2025·北京·高考真題）已知α,β∈[0,2π]，且sin(α+β)=sin(α?β)，cos(α+β)≠cos(α?β).寫出滿足條件的一組α,β【答案】π2；π【解題思路】根據(jù)角的三角函數(shù)的關(guān)系可得角的等量關(guān)系，從而可得滿足條件的一組解.【解答過程】因?yàn)閟inα+β=sin所以α+β,α?β的終邊關(guān)于y軸對稱，且不與y軸重合，故α+β+α?β=π+2即α=π故取α=π故答案為：π2；π6【題型2象限角及其判定】【例2】（24-25高一下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知α為第二象限角，則α2所在的象限是（

A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【解題思路】由象限角的定義可得出90°+k?360°<α<180°【解答過程】因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，則90°所以，45°①當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n+1n∈Z，則45即225°+n?360②當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k=2nn∈Z，則45此時(shí)α2綜上所述，α2故選：D.【變式2-1】（24-25高一上·重慶渝北·階段練習(xí)）已知角α=1234°，則角α的終邊落在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解題思路】求出α與154°的角終邊相同，從而得到得到答案.【解答過程】1234°=360°×3+154°，故α與154°的角終邊相同，其中154°在第二象限，故角α的終邊落在第四象限.故選：B.【變式2-2】（24-25高一下·陜西漢中·階段練習(xí)）若α是第二象限角，則90°?α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【解題思路】根據(jù)象限角的定義及其范圍，進(jìn)行計(jì)算即可.【解答過程】因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以k?360°+90°<α<k?360°+180°,k∈Z所以?k?360°?180°<?α<?k?360°?90°,k∈從而?k?360°?90°<90°?α<?k?360°,k∈Z所以90°?α是第四象限角．故選：D.【變式2-3】（24-25高一下·上?！るA段練習(xí)）已知α為第三象限角，則a2所在的象限是（

）A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【答案】C【解題思路】用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性質(zhì)求出滿足a2的不等式，從而確定a【解答過程】由α為第三象限角，得2kπ+π<α<2kπ+3π則kπ+π當(dāng)k=2n,2nπ+π2<當(dāng)k=2n+1,2nπ+3π2<故a2故選：C.【題型3弧度制】【例3】（24-25高一下·陜西·期中）將?315°化為弧度制，正確的是（A．?5π3 B．?5π4【答案】C【解題思路】利用角度與弧度的換算關(guān)系可得結(jié)果.【解答過程】?315故選：C.【變式3-1】（24-25高一上·重慶萬州·階段練習(xí)）將鐘表的分針撥快20分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為（

）A．π18 B．?π18 C．π【答案】B【解題思路】根據(jù)任意角的概念即可求解.【解答過程】將鐘表的分針撥快20分鐘，時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2π所以時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為?π故選：B.【變式3-2】（24-25高一上·湖北武漢·期末）已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動的角度（弧度）是（

）A．12π5 B．24π5 C．【答案】B【解題思路】通過相互嚙合的兩個(gè)齒輪轉(zhuǎn)動的齒數(shù)相同，得到大輪轉(zhuǎn)動一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動的周數(shù)，即可求小輪轉(zhuǎn)動的角度.【解答過程】因?yàn)橄嗷Ш系膬蓚€(gè)齒輪，大輪48齒，小輪20齒，所以當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動一周時(shí)時(shí)，大輪轉(zhuǎn)動了48個(gè)齒，所以小輪此時(shí)轉(zhuǎn)動4820即小輪轉(zhuǎn)動的角度為125故選：B.【變式3-3】（24-25高一下·山東威?！るA段練習(xí)）時(shí)間經(jīng)過1小時(shí)40分鐘，時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（

）A．?π9 B．?π6 C．【答案】D【解題思路】利用弧度制定義計(jì)算即可得.【解答過程】2π故時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為?5故選：D.【題型4扇形的弧長與面積的計(jì)算】【例4】（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（

）A．π B．2π3 C．π3【答案】A【解題思路】根據(jù)圖形分析，利用扇形的圓心角α、半徑r、弧長l的關(guān)系，即可求解.【解答過程】由已知∠BAC=π3，得AB=則萊洛三角形的周長是π故選：A．【變式4-1】（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm，若sin37°≈35，πA．6.8cm2 B．9.8cm2 C．【答案】C【解題思路】根據(jù)給定圖形求出圓心角∠AOB，再利用扇形面積公式計(jì)算即得.【解答過程】顯然△AOB為等腰三角形，OA=OB=5,AB=8，則cos∠OAB=12即∠OAB≈37°，于是所以璜身的面積近似為12故選：C.【變式4-2】（2024·海南·模擬預(yù)測）中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記AB的長為l，CD的長為m，若l:m:AD=9:3:2，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（

）

A．3 B．2 C．2π3 D．【答案】A【解題思路】設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為O，圓心角為α，根據(jù)l:m:AD=9:3:2，得到ADOA=2【解答過程】如圖，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為O，圓心角為α，則OD×αOA×α所以O(shè)A=3OD=3OA?AD，得ADOA=23

故選：A.【變式4-3】（2025·甘肅白銀·二模）已知動點(diǎn)P的軌跡所構(gòu)成的圖形為圖中陰影區(qū)域，其外邊界為一個(gè)邊長為4的正方形，內(nèi)邊界由四個(gè)直徑相同且均與正方形一邊相切的圓的四段圓弧組成，如圖所示，則該陰影區(qū)域的面積為（

）

A．16?4π B．4+π C．4+2π【答案】D【解題思路】將圖分為八部分，通過切割的思想即可得結(jié)果.【解答過程】如圖，作出輔助線，根據(jù)圖形的對稱性，可知陰影區(qū)域的面積為8×2×2故選：D.【題型5\t"/gzsx/zj145222/_blank"\o"扇形中的最值問題"扇形中的最值問題】【例5】（24-25高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知扇形的周長是6cm，則扇形面積最大時(shí)，扇形的中心角的弧度數(shù)是（

A．2 B．1 C．12 【答案】A【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【解答過程】設(shè)扇形的圓心角為α，弧長為l，半徑為r，則周長l+2r=6，面積S=1所以當(dāng)r=?3?2=此時(shí)l=6?2r=6?2×32=3故選：A.【變式5-1】（24-25高一上·江蘇·階段練習(xí)）體育老師為了方便學(xué)生練習(xí)擲鉛球，在操場上畫了一塊扇環(huán)形區(qū)域（圖中陰影部分），其中AD和BC均以O(shè)為圓心，∠AOD=θ0<θ<π．若OA=15，OB=x0<x<15，且AB+CD+lAD

A．75 B．90 C．100 D．120【答案】C【解題思路】結(jié)合扇形的弧長公式可得θ=10+2x【解答過程】由扇形弧長公式可得AB+CD+l即θ=10+2x又S=1所以S=12?15=?x所以當(dāng)x=5時(shí)，S最大為100，故選：C.【變式5-2】（24-25高一下·遼寧沈陽·期中）已知扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為r．(1)若α=150°,r=10，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？求出最大面積．【答案】(1)25(2)α=2,【解題思路】（1）由扇形弧長公式計(jì)算；（2）由扇形面積公式及二次函數(shù)求最值即可.【解答過程】（1）設(shè)扇形的弧長為l．因?yàn)棣?150°，即α=5所以l=αr=5（2）由題設(shè)條件，知l+2r=24，則l=24?2r(0<r<12)，所以扇形的面積S=1當(dāng)r=6時(shí)，S有最大值36，此時(shí)l=24?2r=12,α=l所以當(dāng)α=2時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是36．【變式5-3】（24-25高一下·山東·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)．(1)若∠ACB=π6，AB=4cm，求扇形AOB(2)若扇形AOB的面積為10cm2，求扇形AOB周長的最小值，并求出此時(shí)【答案】(1)面積為8π3cm2(2)410，【解題思路】（1）根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.（2）根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解.【解答過程】（1）由題意知，設(shè)α=∠AOB，所以α=根據(jù)扇形弧長l=αR=4扇形面積S=1（2）由S=lR2=10扇形的周長為2R+l=2R+20R≥2所以由l=αR=20R知：【題型6任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】【例6】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)sin5π6,cosA．?3 B．3 C．?33【答案】A【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算．【解答過程】sin5π6所以tanα=故選：A．【變式6-1】（2025·安徽馬鞍山·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以x軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于直線y=?x對稱．若sinα=35，則cosA．35 B．?35 C．4【答案】B【解題思路】由三角函數(shù)的定義分角α的終邊在第一象限和第二象限討論即可.【解答過程】若角α的終邊在第一象限，設(shè)終邊上一點(diǎn)Px,y，則P關(guān)于y=?x對稱點(diǎn)P′?y,?x此時(shí)cosβ=若角α的終邊在第二象限，設(shè)終邊上一點(diǎn)Qx,y，則P關(guān)于y=?x對稱點(diǎn)Q′?y,?x此時(shí)cosβ=故選：B.【變式6-2】（2024·江西·二模）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，則cosα=A．63 B．33 C．2 【答案】A【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.【解答過程】根據(jù)題意r=OM由三角函數(shù)的定義得cosα=故選：A.【變式6-3】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)Psinπ3,cosπA．0 B．12 C．22 【答案】B【解題思路】由三角函數(shù)的定義即可求得α，從而得到結(jié)果.【解答過程】由題意可得P32,12所以cosα+故選：B.【題型7三角函數(shù)值符號的判定】【例7】（24-25高三下·四川德陽·階段練習(xí)）若π<θ<3π2，則點(diǎn)A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解題思路】根據(jù)象限角判斷三角函數(shù)值的符號，即可得結(jié)果.【解答過程】因?yàn)棣?lt;θ<3π所以點(diǎn)Mcos故選：B.【變式7-1】（24-25高一下·湖北·開學(xué)考試）如果(12)tanθ>1，A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解題思路】由(12)tanθ>1，(1【解答過程】因?yàn)?12)所以tanθ<0，sin故角θ的終邊所在的象限是第二象限.故選：B.【變式7-2】（24-25高一下·山東·期中）若sinθ<0且tanθ<0，則角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解題思路】根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號特征判斷即可.【解答過程】若sinθ<0，則角θ在第三或第四象限，也可能與y若tanθ<0，則角θ所以當(dāng)sinθ<0且tanθ<0時(shí)，角故選：D．【變式7-3】（24-25高一上·四川內(nèi)江·期末）已知sinα>0，cosα<0，則α3A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【解題思路】先通過條件確定α的范圍，再求出α3【解答過程】因?yàn)閟inα>0，cos所以α為第二象限角，即π2所以π6則α3的終邊所在象限為π即α3故選：D.一、單選題1．（2025·浙江溫州·二模）扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于（

）A．1 B．32 C．3 【答案】C【解題思路】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算求解.【解答過程】設(shè)圓心角為α，所以S=12α?故選：C.2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）20240128°所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解題思路】將20240128°=56222×360°+208°，與208°的終邊相同．【解答過程】∵20240128°=56222×360°+208°，又∵208°終邊在第三象限，∴20240128°所在的象限為第三象限，故選：C．3．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）已知點(diǎn)P35,?45是角αA．?1 B．1 C．?25 【答案】D【解題思路】由任意角的三角函數(shù)的定義，可得正弦值與余弦值，可得答案.【解答過程】由題意可得sinα=?則sinα故選：D.4．（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知a=54,b=A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a(chǎn)<b<c【答案】C【解題思路】利用不等式sinx<x<【解答過程】如圖，角x∈0,π2的終邊與單位圓圓O交于點(diǎn)B，單位圓與x過A作AD⊥x軸，交角x的終邊于點(diǎn)D，則Bcosx,sin則S△OAB=12×1×sinx=由三者的大小關(guān)系可知，sinx2<因0<54<π2故選：C.5．（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與直線y=12x位于第三象限的圖象重合，則sinA．?255 B．55 C．【答案】D【解題思路】在終邊上取一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(?2,?1)，利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合勾股定理求出斜邊OP的長度，進(jìn)而得到sinθ【解答過程】由于終邊在第三象限且在直線y=1取x=?2，則y=12×(?2)=?1,因此，終邊上一點(diǎn)P設(shè)OP=r，根據(jù)勾股定理，r=則由三角函數(shù)的定義可得sinθ=故選：D.6．（2025·福建福州·模擬預(yù)測）如圖所示，兩動點(diǎn)P,Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓上從點(diǎn)A1,0處同時(shí)出發(fā)做勻速圓周運(yùn)動．已知點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)α弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)β弧度(0<α<β<π)，且P,Q兩點(diǎn)在第2秒末第一次相遇于點(diǎn)?12A．π3 B．2π3 C．4【答案】C【解題思路】計(jì)算相遇時(shí)間，再確定轉(zhuǎn)過的角度，再利用弧長公式可求點(diǎn)P走過的總路程.【解答過程】根據(jù)題意，設(shè)經(jīng)過t秒，第二次相遇.點(diǎn)?12,32則α=π則由π3×t+2所以第二次相遇時(shí)，P走過的總路程為4×π故選：C.7．（2025·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P?1,3，則（A．cosα=12C．sinα=?32【答案】D【解題思路】由三角函數(shù)的定義求解即可.【解答過程】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P?1,3，可得由三角函數(shù)的定義，可得sinα=故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.8．（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）如圖所示的“月牙形”陰影部分的邊緣是兩條不同曲線構(gòu)成，其中一個(gè)是△ABC的外接圓的圓弧，另一個(gè)是以AB為直徑的圓的一部分圓弧，已知∠ACB=2π3，AC=BC=1A．34+π24 B．34?【答案】A【解題思路】根據(jù)圓和扇形面積的計(jì)算方法，分別求出弓形的面積和半圓的面積，作差可得月牙形面積.【解答過程】如圖所示，根據(jù)已知和圖形知AB=A設(shè)以△ACB為外接圓的圓心為O，直徑2r由正弦定理得2r=ABsin2π在圓O中，根據(jù)圓心角和圓周角的關(guān)系，可知∠AOB=2由扇形面積公式可得S弓形易知以AB直徑的半圓的半徑為R=32，即S半圓故選：A.二、多選題9．（24-25高一下·湖南長沙·期末）與405°角終邊相同的角是（

）A．?45°+k?36C．45°+k?36【答案】BC【解題思路】根據(jù)終邊相同的角定義判斷.【解答過程】由于405故與405°終邊相同的角應(yīng)為405°+k?360故選：BC.10．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sin2x，設(shè)θ的始邊是x軸非負(fù)半軸且θ∈0,2π，若關(guān)于x的方程fx+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ABD【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式，寫出方程sin2x+θ=sin2x+θ，解出方程，根據(jù)角x的取值范圍，得到角【解答過程】由fx=sin∴∴2x+θ=2x+2θ+2kπ或2x+θ=當(dāng)2x+θ=2x+2θ+2kπ,k∈Z又因?yàn)棣取?,2π，所以當(dāng)2x+θ=π?2x+2θ∵x∈0,∴θ∈2kπ∴k=0時(shí)，θ∈π6,k=1時(shí)θ∈5π6,k=2時(shí)θ∈3π2所以θ的終邊可能位于第一二四象限.故選：ABD.11．（2025·吉林·二模）如圖，A，B是在單位圓上運(yùn)動的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn).初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A在（1，0）處，質(zhì)點(diǎn)B在第一象限，且∠AOB=π6.質(zhì)點(diǎn)A以π6rad/s的角速度按順時(shí)針方向運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)A．經(jīng)過1s后，扇形AOB的面積為5B．經(jīng)過2s后，劣弧AB的長為2C．經(jīng)過6s后，質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為?D．經(jīng)過223s后，質(zhì)點(diǎn)A，【答案】BD【解題思路】根據(jù)任意角的概念和題意逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解.【解答過程】對于A，由題意可知：經(jīng)過1s后，∠AOB=π所以此時(shí)扇形AOB的面積為12α?r對于B，經(jīng)過2s后，∠AOB=π所以此時(shí)劣弧AB的長為αr=2π3對于C，經(jīng)過6s后，質(zhì)點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度為6×π12=π2，結(jié)合題意，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)B為角π6+對于D，經(jīng)過223s后，質(zhì)點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度為223×π12=11π18，質(zhì)點(diǎn)A轉(zhuǎn)過的角度為223×(?故選：BD.三、填空題12．（2025·上海崇明·三模）設(shè)α∈0,π4,sin2α=【答案】3【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)值求2α，以及α，再求余弦值.【解答過程】2α∈0,π2,sin2α=3故答案為：3213．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)3,?6，則sina+cosα=【答案】?【解題思路】利用三角函數(shù)的定義求解即可.【解答過程】已知角α的終邊過點(diǎn)3,?6，則x=3，y=?6.計(jì)算半徑r=x利用三角函數(shù)定義：sinα=因此，sinα+故答案為：?14．（2025·山西·三模）如圖所示，被動輪和主動輪的兩個(gè)齒輪相互嚙合，被動輪隨主動輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)．主動輪有20齒，被動輪有48齒，主動輪的轉(zhuǎn)速為240r/min（轉(zhuǎn)/分），被動輪的半徑為24?cm，則被動輪周上一點(diǎn)每1【答案】80【解題思路】把分鐘轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)換成秒轉(zhuǎn)速問題，然后借助比例來求出被動輪的轉(zhuǎn)速，最后利用弧長公式求解即可.【解答過程】由題意知，主動輪的轉(zhuǎn)速為4r/s，則被動輪1所以弧長為24×故答案為：80π四、解答題15．（2025高三·全國·專題練習(xí)）將下列各弧度化成角度．(1)?π(2)3π(3)7π【答案】(1)?15(2)135°；(3)210°．【解題思路】根