第十四章全等三角形

03講角的平分線

?

【題型1.尺規(guī)作圖-作角平分線】

【題型2.角平分線的性質】

【題型3.角平分線的判定】

【題型4.角平分線性質的實際應用】

【題型5.角平分線的性質與判定綜合】

【鞏固練習】

Z-----------A

知識點1_尺規(guī)作圖（作已知角的平分線）

已知：ZAOB；求作：乙403的平分線.

作法：

（1）如圖（1）,以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交。4于點C,交OB于點、D；

（2）如圖（2）,分別以點C,。為圓心，大于:CQ的長為半徑畫弧，兩弧在408的內(nèi)部

相交于點尸；

（3）如圖（3）,畫射線OP射線OP即為所求.

證明：如圖，連結CP,DP

試卷第1頁，共20頁

B

由步驟（1）作法可知，OC=OD；由步驟（2）作法可知，CP=DP

在△OCP和△ODP中,

OC=OD

CP=DP

OP=OP

；.4OCP短4ODP(SSS)

???UOP=LBOP,即OP平分乙405

EB

知識點2.角平分線的性質

1.內(nèi)容：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

2.數(shù)學語言：

???0C是N4O2的平分線，點P在。C上，PD10A,PELOB,垂足分別為。，E

PD=PE

3.【提示】

（1）這里的距離指的是點到角的兩邊垂線段的長；

（2）該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形；

（3）使用該結論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直；

（4）運用角的平分線時常添加的輔助線：由角的平分線上的已知點向兩邊作垂線段，利用

其相等來推導其他結論.

EB

知識點3一角平分線的判定

試卷第2頁，共20頁

1.內(nèi)容：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

2.數(shù)學語言:

???PD],AO,PELOB,>PD=PE

OP是的平分線

3.擴展：如圖，448C的角平分線3M,CN相交于點P

結論：①點尸到三邊AB,BC,C4的距離相等；②443C的三條角平分線交于一點.

________________________________________________________________________________________

■■?'==

題型i.一尺規(guī)作圖-作角平分線

【例a

（2025?北京朝陽?二模）

1.圖中可以看出小明用尺規(guī)作N40B的平分線OC的作圖痕跡，已知小明的作圖是正確的,

下列推斷不一定成立的是（）

A

B.CM=CN

C.OM=CM

D.若連接CM,CN,則NOCA/=NOCN

【例2】

（2025?陜西西安?模擬預測）

2.如圖，在ZUBC中，用圓規(guī)和無刻度直尺在上方作=（保留作圖痕跡,

不要求寫作圖過程）

試卷第3頁，共20頁

A

（24-25九年級下?貴州畢節(jié)?階段練習）

3.如圖，在4ABC中，NC=90。,44=50。，以點8為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交/及2C

于點￡,F,再分別以點￡,尸為圓心，大于g斯的長為半徑畫弧，兩弧交于點G,連接2G

并延長，交/C于點D,則/AD8的度數(shù)是（）

【變式2】

（2025?陜西榆林?模擬預測）

4.如圖，已知四邊形NBC。，AB=AD,利用尺規(guī)作圖法在CD邊上求作一點E,連接

AE、BE,使得A/BE/AADE.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【變式3】

（24-25七年級下?山東青島?階段練習）

5.尺規(guī)作圖

（1）作圖題：已知：線段。、c和4夕（如圖），利用直尺和圓規(guī)作△4BC,使

BC=a,AB=c,=/4.（不寫作法，保留作圖痕跡）.

試卷第4頁，共20頁

（2）己知：如圖，四邊形48CD.

求作：點P,使點尸在四邊形內(nèi)部，PA=PB,并且點尸到/BCD兩邊的距離相等.

【例1】

（24-25八年級下?遼寧丹東?期中）

6.如圖，點。是△48C的三個內(nèi)角平分線的交點，若△/2C面積為27cm2,點。到邊NC

的距離是3cm,則△/BC的周長為（）

【例2】

（24-25七年級上?四川自貢?期中）

7.如圖，在△N8C中，40為2氏4c的平分線，DEJ.AB于E,DFJ.AC于F,△ABC面

積是56cm°,AB=20cm,AC=8cm,求DE的長.

【變式1】

（24-25八年級下?廣東揭陽?期中）

試卷第5頁，共20頁

8.如圖，點。是△ABC內(nèi)一點，B0平分/ABC,8c于點。，連接04,若

OD=4,AB=20,則的面積是()

【變式2】

（24-25八年級下,陜西西安,期中）

9.如圖，4c平分/BAD,CE上AB于點、E,CP_L4D于點凡S.BC=CD.

（2）若NE=3.求/B+/O的值.

【變式3】

（2024八年級上?江蘇?專題練習）

10.如圖，在△/8C中，2D是△4BC的角平分線，DEJ.AB于點、E,DE=2,AB=6,

BC=4,求△42C的面積.

題型3.—角平分線的判定

【例1】

（24-25八年級上?上海浦東新?階段練習）

11.已知，點P是△42C邊2C上一點，且到N3、NC的距離相等，則線段/P一定是（）

試卷第6頁，共20頁

A.ZUBC的角平分線

B.ZUBC的中線

C./\ABC的I^J

D./P所在直線是8c的中垂線

【例2】

（22-23八年級上?江蘇宿遷?期中）

12.小明同學在數(shù)學探究活動中發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的

平分線.他的做法是：如圖，用一把直尺壓住射線用另一把直尺壓住射線。4并且與

第一把直尺交于點P,小明說：“射線OP就是480/的角平分線.”問：小明的說法對嗎？

讀你利用所給的示意圖，給予證明.

【變式1】

（24-25八年級下?江西九江?期中）

13.如圖，DALAC,DE1.BC,若ZO=5cm,DE=5cm,ZACB=58°,則ZDCE=

A.26°B.29°C.58°D.32°

【變式2】

（22-23八年級上?山東聊城?階段練習）

14.如圖，在ANBC中，。是BC的中點，DEVAB,DFLAC,垂足分別是E,F,

試卷第7頁，共20頁

4EDB=ZFDC.試說明：4D是A/8C的角平分線.

題型4.—角平分線性質的實際應用

【例1】

（24-25七年級下?陜西西安?階段練習）

15.如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的

距離相等，則可供選擇的地址有（）

h

【變式1]

（24-25八年級上?重慶大足?期中）

16.如圖，是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息.若要使涼亭到草坪三

條邊的距離都相等，則涼亭應建在三角形草坪（）

C.三條高線的交點處D.以上都不對

【變式2】

（23-24八年級上?北京?期中）

17.為進一步美化校園，我校計劃在校園綠化區(qū)增設3條綠化帶,如圖所示,綠化帶兒加〃PQ,

綠化帶交綠化帶于A,交綠化帶尸。于8.若要建一噴灌處到三條綠化帶的距離相等,

試卷第8頁，共20頁

則可供選擇的噴灌處修建點有（）

C.2處D.1處

【變式3】

（21-22八年級上?安徽阜陽?階段練習）

18.太和中學校園內(nèi)有一塊直角三角形（RS/3?？盏?，如圖所示，園藝師傅以角平分線

為界，在其兩側分別種上了不同的花草，在區(qū)域內(nèi)種植了月季花，在△/CD區(qū)域內(nèi)

種植了牡丹花，并量得兩直角邊/8=10m,AC=6m,分別求月季花與牡丹花兩種花草的種

題型5._角平分線的性質與判定綜合

【例1】

（24-25八年級下?湖南懷化?期中）

90。，〃是8c中點，DWr平分NNOC,求證：ZDMA=9Q°.

（23-24八年級上?江蘇南京?階段練習）

20.如圖，在△4BC中，NACB、/C8/的角平分線相交于點￡.

試卷第9頁，共20頁

A

（1）求證：點E在//的平分線上；

（2）過點E作EDLBC于點。，ED=4,△NBC的面積為36,則A/BC的周長為

【變式2】

⑵-22八年級上?山東日照?期末）

21.如圖，在四邊形N2CD中，/B〃CO,點石是2C的中點，DE平分/ADC.求證：AE

是ZZM8的平分線.

一、單選題

（24-25八年級上?新疆阿克蘇?期中）

22.如圖，要在A/BC內(nèi)找一點尸，使它到二邊的距離相等，則「是（）

A.邊AB,8c上的高的交點B.邊AB,/C的中線的交點

C.N/8C與N/C8的平分線的交點D.邊月瓦"C的垂直平分線的交點

（24-25八年級上?云南昆明?期中）

23.如圖，要在學校的一塊三角形草坪上建一個文化牌，若要使文化牌到草坪三條邊的距離

相等，則這個文化牌的位置應選在（）

試卷第10頁，共20頁

A

A.三角形三條中線的交點

B.三角形三邊的垂直平分線的交點

C.三角形三條高所在直線的交點

D.三角形三條角平分線的交點

（24-25八年級上?江蘇常州?期中）

24.如圖，在4ABC,ZC=90°,按以下步驟作圖：①以點/為圓心，小于NC的長為半

徑畫弧，分別交NB,NC于點￡、F；②分別以點E,尸為圓心，大于;跖的長為半徑畫

弧，兩弧相交于點G；③作射線/G交8C邊于點。，若8=6,AB=15,則的面

積為（）

（24-25八年級上?廣東廣州?階段練習）

25.如圖，8c于點2,于點。，若CB=CD,且Zl=30。，則NC4D的度

數(shù)是（）

A.90°B.60°C.30°D.1

（24-25八年級上?江蘇無錫?期中）

26.如圖，在△/BC中，AB=7,AD平分NBAC,DE工AC,DE=2,則△48。的面積為

（）

試卷第11頁，共20頁

A

（2024?四川綿陽?模擬預測）

27.如圖，在RtZ\/3C中，ZC=90°,/R4c的平分線/￡交8c于點E,ED工AB于點、D,

若ZUBC的周長為12,則△ADE的周長為4,則工。為（）

A.3B.4C.6D.8

（2024八年級上?全國?專題練習）

28.如圖，△4BC的角平分線中線BE相交于點。.有下列兩個結論：①40是△ABE

的角平分線；②2。是△48。的中線.其中（）

A.只有①正確B.只有②正確C.①和②都正確D.①和②都不正確

（23-24七年級下?吉林長春?期末）

29.如圖，△4BC中，AB=AC,以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交BC于點M,交48

于點N.分別以點為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧在//8C的內(nèi)部相交于

點P.射線8尸與/C相交于點￡）.若N/=40。，則/RDC的度數(shù)是（）

試卷第12頁，共20頁

A

A.90°B.80°C.75°D.70°

（24-25八年級上?江蘇無錫?期中）

30.如圖，在△48。中，和N/8C的平分線NE,比7相交于點。，AE交BCT點、E,

BF交4c于點F,過點。作3c于。，下列三個結論：?ZAOB=90°+^ZC；②

若OD=a,AB+BC+CA=2b,則除蛇=仍；③當/C=60。時，AF+BE=AB.其中正確的是

（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

（24-25八年級上?江蘇無錫?期中）

31.如圖，在△NBC中，N4BC和的平分線相交于點O,過點。作環(huán)〃8C交

于點￡,交AC于點尸,過點。作ODL/C于點。，下列四個結論：①BE=EF-CF；②

點。到△N2C各邊的距離相等；③ZD=g（/3+/C-BC）；④設。。=機，AE+AF=2n,

則5人跖=機"-正確的結論有（）

C.3個D.4個

二、填空題

（24-25八年級上?江蘇揚州?期中）

試卷第13頁，共20頁

32.如圖，射線0c是N/08的角平分線，點。為射線。C上一點，DP工0A于點、P,

PD=4,若點。是射線08上一點，。。=5,則A。。。的面積為.

（24-25八年級上?內(nèi)蒙古興安盟?期中）

33.如圖△NBC的三個內(nèi)角的平分線相交于一點。，AB=6,AC=\l,BC=l,的面積

為9,則△48C的面積為.

（24-25八年級上?廣西南寧?期中）

2

34.如圖，在△/8C中，ZC=90°,是△48C的角平分線，若BC=6,CD=^BC,則

點D到AB邊的距離為.

（24-25八年級上?云南昆明?期中）

35.如圖，在RM/8C中，NC=90。,用尺規(guī)作圖法作出射線交BC于點D.若

8Z）=2C￡>.點。到邊N2的距離為6,則8c的長是

（24-25八年級上?新疆伊犁?期中）

試卷第14頁，共20頁

36.已知點。是A48C內(nèi)一點，且點。到三邊42、BC、C/的距離相等，連接08、0C,

若44=50。，貝！|/50C=.

（24-25八年級上?重慶巴南?期中）

37.如圖，在△NBC中，平分/A4C,ZC=90°,于點E,點尸在NC上，

且尸.若/8=12,AF=8,則CF的長為.

（24-25八年級上?北京?期中）

38.已知，如圖，AD平分NBAC,DE1AC,DB=DC,DE=3,AB=4,/BDC=a,

則的面積為：,NBAC=.

（24-25八年級上?江蘇鹽城?階段練習）

39.如圖，ZUBC中，點。在2C邊上，N/5。的平分線交NC于點E,過點E作

EFVAB,垂足為尸，連接DE,DE平分NADC.若48=7,4）=4,CD=8,

S.ACD=10,則“BE的面積為.

（24-25八年級上?浙江金華?階段練習）

40.如圖，在△48。中，//8C和//C8的平分線相交于點G,過點G作所〃8C交

于E,交/C于尸，過點G作GDL/C于。，下列四個結論：①EF=BE+CF；（2）

ZBGC=90°-^ZA；③點G到△4BC各邊的距離相等；④設6。=加，AE+AF=n,則

試卷第15頁，共20頁

S.AEF=）〃.其中正確的結論是

（22-23八年級上?江蘇連云港?期中）

41.如圖，在△NBC中，按以下步驟作圖:

①以點8為圓心，任意長為半徑作弧，分別交/及8。于點D,E；

②分別以點。E為圓心，大于;DE的長為半徑作弧，兩弧在//8C的內(nèi)部交于點尸;

③作射線8尸，交NC于點G.

如果4B=6,BC=8,AABG的面積為9,則44BC的面積為.

三、解答題

（24-25八年級上?北京?期中）

42.已知：如圖，4ABC.

求作：點P,使得點尸在△ABC內(nèi)，且到三邊BC,C4的距離相等.

（24-25八年級上?北京大興?期中）

43.如圖，在△NBC中，作N8NC的平分線4P,交BC于點、P.在射線/C上，截取線段

AD,使

試卷第16頁，共20頁

c

（1）用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）連接尸。，求證：PB=PD.

（24-25八年級上?廣東惠州?期中）

44.在△4BC中，已知/C=90。，ND是△4BC的角平分線，DE1AB,垂足為點E,

AE=BE.

（2）如果/C=4cm,CD=3cm,求△/BC的面積.

（23-24七年級下?陜西西安?期末）

45.如圖，在△NBC中，2。是△4BC的角平分線，DEJ.AB于點、E,DE=2,AB=6,

BC=4,求△NBC的面積.

（23-24八年級上?廣西賀州?期末）

46.如圖，己知/￡=/尸=90。，點5、C分別在/E、/尸上，AB=AC,BD=CD.

試卷第17頁，共20頁

F

C

D

E

⑴求證："BD沿AACD；

⑵求證：BE=CF.

(23-24八年級上?河北廊坊?階段練習)

47.如圖，△42C的外角/CBM,NBCN的平分線交于點。，過點。作

DF1AN,垂足分別為E,F.

(1)若NN=60。，ZABC=50°,求/BCD及28DC的度數(shù)；

(2)連接判斷AD是否平分28/C?并說明理由.

(24-25八年級上?江蘇無錫?階段練習)

48.如圖所示，在△48C中，AB=8,/C=4,點G為8c的中點，。6_13。交/8/(3的

平分線于點。，DEJ.AB干點、E,。尸1/C交NC的延長線于點尸.

⑴求證：BE=CF；

(2)求NE的長.

(24-25八年級上?四川自貢?階段練習)

49.如圖，在△NBC中，AD平分NBAC,DE1AB,DF1AC,求證:

試卷第18頁，共20頁

SAADB：SAADC=AB：AC.

（24-25八年級上?江蘇蘇州?期中）

50.如圖，已知040c分別是△4BC的外角4c和N/CE的平分線，連接。3,

⑴求證：平分1/8C；

（2）若/C=6,且與△/BC的面積分別是12和18,求△NBC的周長.

（24-25八年級上?河北石家莊?階段練習）

51.人教版初中數(shù)學教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作己知角的平分線的方法：

已知：/AOB.

求作：08的平分線.

作法：①以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交。4于點交于點N.

②分別以點M,N為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點

C.

③畫射線0C,射線OC即為所求（如圖）.

請你根據(jù)提供的材料完成下面問題：

（1）這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是（填序號）.

①SSS；@SAS；③AAS；④ASA.

（2）請你完成下面證明過程（將正確答案填在相應的空上）：

證明：由作圖可知，

試卷第19頁，共20頁

A

在A0MC和AONC中,

。河二①

＜跣=②

OC=?_______

：.AOMCg(4).

ZMOC=⑤.

.:OC為N/O2的角平分線.

試卷第20頁，共20頁

1.c

【分析】本題考查了作角平分線，三角形全等的判定和性質，熟練掌握基本作圖是解題的關

鍵.根據(jù)基本作圖可知（W=CW,CM=CN,根據(jù)SSS證明A。。/會AOCN,即可得出

NOCM=NOCN,從而判斷A、B、D不符合題意，C符合題意.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得＜W=ON,CM=CN,故A,B不符合題意；

OM=ON,CM=CN,OC=OC,

:?△OCMmOCN,

/OCM=4OCN,故D不符合題意；

而（W=CW不一定成立，故c符合題意.

2.見解析

【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖以及作一個角等于已知角，先作/8C4的角平分線,

得出=再結合作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖過程，得NPBN=NBCN,故

NPB4=g/BCA,即可作答.

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一角平分線，直角三角形的兩個銳角互余，三角形的外角定理,

熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵.根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得到

NN8C=40。，再根據(jù)角平分線以及三角形的外角性質得到=+即可求解.

【詳解】解：?.?"=90。,4=50。,

.??N/BC=90°—//=40°,

由作圖可得8。平分/4BC,

答案第1頁，共32頁

.-.ZDBC=-ZABC=2Q°,

2

NADB=/C+NDBC=90°+20。=110。，

故選：B.

4.圖見解析

【分析】本題考查了作圖——角平分線，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是

解題的關鍵.作/34D的角平分線，交CD于點于點￡,則點E即為所求.

【詳解】解：如圖，點E即為所求.

方法：作ZB4D的角平分線，交CD于點于點連接BE,AE.

證明：:NE是二胡。的角平分線，

???ZBAE=ZDAE,

■■■AB=AD,ZBAE=ZDAE,AE=AE,

AABE會小ADE.

5.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作三角形，尺規(guī)作線段的垂直平分線，尺規(guī)作角平分線，

對于(1),先作射線截取BC=a,再作Z8=/D,然后截取A4=c,連接NC,則zX/BC

即為所求作的三角形；

對于(2),作線段48的垂直平分線，再作/2CD的平分線，可知尸/=尸2,點P到/8CD

的兩邊的距離相等，則點尸就是所求作的點.

【詳解】(1)解：如圖所示，△NBC即為所求作的三角形；

答案第2頁，共32頁

【分析】本題考查的知識點是角平分線的性質，解題關鍵是掌握角的平分線上的點到角的兩

邊的距離相等.

作DFVAC,DGVBC,根據(jù)角平分線的性質得到。E=。尸=OG,再根據(jù)三

角形的面積公式計算，即可得解.

【詳解】解：作。DFVAC,DG1BC,

???點。是△NBC的三個內(nèi)角平分線的交點,

DE=DF=DG,

:點。到邊NC的距離是3cm,

DF=3cm

^ABC面積為27cm2，

答案第3頁，共32頁

即|ABDE+gNCDF+1BCDG=27,

:.^DF{AB+AC+BC）=21,

AB+AC+BC=^^=\^,

3

即△N3C的周長為18c加.

故選：A.

7.4cm

【分析】根據(jù)角的平分線的性質定理，三角形面積公式，解答即可.

本題考查了角的平分線的性質定理，三角形面積公式，熟練掌握角的平分線的性質定理是解

題的關鍵.

【詳解】解：40為/A4c的平分線，DEJ.AB于E,DFlAC^F,

???DE=DF,

???△Z3C面積是56cm2,AB=20cm,AC=Scm,,

A-AB?DE+-AC^DF=56,

22

—x20xDE+—x8xDE=56,

22

:.DE=4（cm）.

8.C

【分析】本題主要考查了角平分線的性質定理，過。作OE_L/8于點￡,根據(jù)角平分線的

性質求出最后用三角形的面積公式即可解答.

【詳解】解：過。作0EL48于點￡,

OE=OD=4,

.?.△/08的面積=；4B.OE=；X20X4=40,

故選：C.

答案第4頁，共32頁

9.（1）見解析

（2）AB+AD=6

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定定理與性質、角平分線的性質等知識點，熟練掌

握直角三角形全等的判定方法是解題關鍵.

（1）先根據(jù)角平分線的性質可得CE=CF,再根據(jù)直角三角形全等的判定定理即可得證；

（2）先根據(jù)全等三角形的性質可得BEb，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質可

得4F=4E=3,然后根據(jù)線段的和差即可得.

【詳解】（1）證明：???NC平分/B/D,CE1AB,CF1AD,

CE=CF.

在RM8CE和RLDCF中,

■.■CE=CE,BC=CD

RSBCE多RtAOCF（HL）.

（2）解：由（1）,得RtABCE當RtADC尸，

BE=DF.

■：CELAB,CFYAD,

AAEC=ZAFC=90°.

在RtAyiCF和Rt^ACE中，

■.■AC=AC,CF=CE

Rt"C7名RtA/CE（HL）,

AF=AE=3,

AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=3+3=6,

AB+AD=6.

10.10

【分析】本題考查了角平分線的性質.熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵.

如圖，作。尸，8C于尸，貝|。尸=?！?2,根據(jù)$.0=$4?。+$盤8，求解作答即可.

【詳解】解：如圖，作上1BC于F,

答案第5頁，共32頁

A

?:BD平分NABC,DE1AB,DF1.BC,

DF=DE=2,

???AB=6,BC=4,

■■S.ABC^S.ABD+S.BCD=1^5xDf+SCxZ)F=1x6x2+x4x2=10,

.?.△4BC的面積為10.

11.A

【分析】本題主要考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.根據(jù)

角平分線的性質作答.

【詳解】解：；點P是△/BC邊8c上一點，且到/8、NC的距離相等，，

；?線段AP一定是NBAC的平分線，即線段AP一定是的角平分線.

故選：A.

12.小明的說法是對的，見解析

【分析】過兩把尺子的交點尸作尸E，。/于點E,PFLOB于點、F,根據(jù)角平分線的判定

定理即可求證.

【詳解】解：小明的說法是對的

理由如下：過兩把尺子的交點P作尸￡JL。/于點K,PFLOB于點、F,

答案第6頁，共32頁

A

???兩把完全相同的長方形直尺，

???PE=PF,

■：PEVOA,PF±OB.

：.OP平分/AOB（角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分上）.

【點睛】本題主要考查了角平分線的判定，解題的關鍵是掌握角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等

的點在這個角的平分上.

13.B

【分析】本題考查了角平分線的判定定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點在這個

角的平分線上.也考查了角平分線的定義，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.根據(jù)角平分

線的判定定理，得到CD平分//C5,然后根據(jù)角平分線的定義求解.

【詳解】VDAIAC,DE1BC,AD^DE=5cm,

平分//C5,

ZDCE=-ZACB=-x58°=29°.

22

故選：B.

14.見解析

【分析】根據(jù)。是BC的中點得瓦”C。，根據(jù)。ELDFrC得

Z.BED=ZDFC=90°,利用AAS可證明4BDE也△CDF,即可得DE=DF,

根據(jù)。ElDFLAC,￡>￡=￡>尸即可得.

【詳解】解：???。是3c的中點，

BD=CD,

■■DEVAB,DFLAC,

答案第7頁，共32頁

/BED=NDFC=90°,

在和△CO尸中,

/BED=/DFC

■NEDB=NFDC

BD=CD

.,?△BDE沿ACDF(AAS),

???DE=DF,

vDEVAB,DF±AC,DE=DF

.?.40是的角平分線.

【點睛】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解題意掌

握角平分線的判定，全等三角形的判定與性質.

15.D

【分析】本題考查了角平分線的性質定理，掌握其概念，作圖分析是關鍵.

根據(jù)角平分線上點到角兩邊的距離相等，作圖分析即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

根據(jù)角平分線的性質定理'角平分線上點到角兩邊的距離相等”得到點里巴，用，月到三條公

里的距離相等，

二可供選擇的地址有4個，

故選：D.

16.A

【分析】本題主要考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是

解題的關鍵.

【詳解】解：因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等，

答案第8頁，共32頁

所以涼亭的位置應為三角形的三條角平分線的交點.

故選：A.

17.C

【分析】由角平分線的交點到角邊的距離相等，兩同旁內(nèi)角平分線的交點滿足條件；這樣的

點有2個，可得可供選擇的地址有2個.

【詳解】解：???NA4N和442。的平分線的交點到/8、MN、尸。距離相等，

???這兩個角的平分線的交點滿足條件；

和Z4BP的平分線的交點到48、MN、尸。距離相等，

???這兩個角的平分線的交點滿足條件；

，滿足這條件的點有2個；

故選：C.

【點睛】此題考查了角平分線的性質.注意掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，注意

數(shù)形結合思想的應用，小心漏解.

18.”,當

44

【分析】過點。分別作民。尸，/C,昆尸是垂足，根據(jù)角平分線的性質可得

DE=DF,進而根據(jù)SMBC=SMDB+SMDC求得DE,DF,進而根據(jù)三角形面積公式求解可.

【詳解】解：過點。分別作。EJLN8,。尸_LNC,爪尸是垂足.

由S/WBc=+'能。，W1AB-AC=-^AB-DE+^AC-DF,:A0x6=10xDE+6xDF,

?.?4D是/A4c的平分線，

DE=DF=—.

4

答案第9頁，共32頁

。11575o1,1545

S^ABD=5義1°義了=彳；％℃=-x6x—=—.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，理解角平分線的性質是解題的關鍵.

19.見解析

【分析】先利用角平分線的性質證明=根據(jù)角平分線的意義，得出

2ADAM=ABAD,再利用中點的意義結合已知證明=MC=ME,從而可判定平分

根據(jù)角平分線的意義，得出=再證明根據(jù)平行線的

性質得出/B4D+//DM=180。，從而可得乙10用+40/河=90。，再利用三角形內(nèi)角和定理

得出/DM4=90。.

【詳解】證明：過〃作于E,

???DM平分//DC,ZC=90°,MEVAD,

.-.MC=ME,2ZADM=ZADC,

???M為8c的中點，

：.BM=MC=ME,

■,-zB=90°,MEAD,

.??/〃平分/。48,

：.2NDAM=NDAB.

■：NB=NC=90°,

AB//CD,

:.ZBAD+ZADC=1SO°,

：.2ZDAM+2.ZADM=180°,

ZDAM+ZADM=90°,

ZDMA=180°-(ADAM+ZADM)=90°.

即ZDMA=90°.

【點睛】本題考查了角平分線的判定，角平分線的意義，直角三角形的判定，平行線的性質,

答案第10頁，共32頁

三角形內(nèi)角和定理，解題關鍵是掌握上述知識點，并能熟練運用求解.

20.⑴見解析

⑵18

【分析】本題主要考查了角平分線的性質和判定，

對于(1),先作輔助線，根據(jù)角平分線的性質得EO=EF=EG,再根據(jù)角平分線的判定定

理得出答案；

對于(2),結合(1)圖，根據(jù)大三角形的面積等于3個小三角形的面積列出算式，可得答

案.

【詳解】(1)證明：過￡作￡O_L8C于。，EFF,EG1ACTG,

ED=EF=EG,

.??點E在//的平分線上；

(2)解：?.■乙4。8、/CA4的角平分線相交于點￡,點E在NN的平分線上，

EDLBC于D,EF工4B于F,EG_L/C于G,

ED=EF=EG.

;ED=4,ZUBC的面積為36,

S=BC=S*+SABEC+S*=.EF+；BC.ED+；AC.EG=；(AB+BC+AC).ED

=^(AB+BC+AC)x4=36,

AB+BC+AC=18.

故答案為：18.

21.見解析

【分析】過點E作EH工AB于點H,反向延長EH交DC的延長線于點G,過點E作EF上AD

于點F,證明ACGE咨AB/加，可得GE=E”，根據(jù)角平分線的性質定理可得GE=訪，從

而得到跖=①/,再由角平分線的性質的逆定理，即可求解.

答案第11頁，共32頁

【詳解】證明：過點￡作成/，/5于點，，反向延長跖■交DC的延長線于點G,過點E

作斯工于點尸，

■:AB//CD,EHVAB,

■.EG1DC,ZGCE=ZB,

???點E是8C的中點，

???CE=BE,

在ACGE與ABHE■中，

ZGCE=NB

<CE=EB,

NCEG=ZBEH

&CGE為BHE,

GE=EH,

平分N/OC,EG±DC,EFLDA,

：.GE=EF,

EF=EH,

又EFLAD,EHYAB,

：.AE是ZDAB的平分線.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質，熟練

掌握角平分線的性質定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

22.C

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角的角平分線的性質，根據(jù)三角形的三個內(nèi)角的角平分線

交于一點，這一點到三邊的距離相等，即可進行解答.

【詳解】解：ZUBC內(nèi)確定一點到三邊的距離相等，則這一點是兩個內(nèi)角平分線的交點.

故選：C.

23.D

答案第12頁，共32頁

【分析】本題主要考查的是角的平分線的性質在實際生活中的應用；由于文化牌到草坪三條

邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點到邊的距離相等，可知是三條角平分線的交

點.由此即可確定文化牌位置.

【詳解】解：??,文化牌到草坪三條邊的距離相等，

??.這個文化牌的位置應選在三角形三條角平分線的交點，

故選：D.

24.C

【分析】本題考查了角平分線的性質定理，作DHL4B于H,由作圖可得NG平分/C42,

由角平分線的性質定理可得?！?CD=6,再由面積公式計算即可得解.

【詳解】解：如圖，作?！╛L48于H

由作圖可得：/G平分/C/8,

ZC=90°,DHLAB,

DH=CD=6,

二△AB。的面積=L/5?07/=15x6=45,

22

故選：C.

25.C

【分析】本題考查了角平分線的判定定理，根據(jù)AD1DC,CB=CD可得4C

是N24D的角平分線，從而求解.

【詳解】ABVBC,ADIDC,CB=CD

NC是N24D的角平分線

Z1=30°

ACAD=Z1=30°

故選：C.

26.A

【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形面積公式，掌握相關知識是解題的關鍵.由角

答案第13頁，共32頁

平分線的性質得到。尸=DE=2,再根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】解：過點。作。尸，Z8于點尸，如圖：

DF=DE=29

?：AB=7,

.-.S△AA,B?D=-2AB-DF=-2xlx2=l,

故選：A.

27.B

【分析】本題考查角平分線的性質、全等三角形的性質與判定，根據(jù)角平分線的性質可得

DE=EC,ZADE=ZACE=90。,證得RM4DE&RM/CE(HL),可得ND=“C,再根據(jù)三

角形周長可得4+2/C=12,即可求解.

【詳解】解：,:AE平分/BAC,EDLAB,EC±AC,

DE=EC,ZADE=ZACE=90°,

又???AE=AE,

.—DE義RtAZCE(HL),

AD=AC,

"LBDE的周長為4,LABC的周長為12,

.-.BD+DE+BE=BD+EC+BE=BD+BC=4,

AB+AC+BC=AD+BD+AC+BC=BD+BC+2AC^n,

.-.4+2AC=12,

AC=4,

故選：B.

28.A

【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形的中線，解本題的關鍵在熟練掌握相關性質、

定義根據(jù)題意得到是/A4c的角平分線，即可判斷①；根據(jù)三角形中線的性質得到E

答案第14頁，共32頁

是NC是中點，而。不一定是4D的中點，即可得到②.

【詳解】解：??./￡)是△/8C的角平分線，

則AD是NBAC的角平分線，

，40是的角平分線，故①正確；

3E是三角形ZUBC的中線，

則E是NC是中點，而。不一定是4D的中點，故②錯誤.

故選：A.

29.C

【分析】本題考查了作角平分線，三角形內(nèi)角和定理的應用，等腰三角形的性質.利用等腰

三角形底角相等求得4BC=70。，由作法得8。平分//2C,再根據(jù)三角形的外角性質即

可求解.

【詳解】解：-.AB=AC,ZA=40°,

.-.乙4BC=ZC=1x(180°-40°)=70°,

由作法得BD平分ZABC,

ZABD=ZDBC=-ZABC=35°,

2

ZBDC=ZA+ZABD=400+35°=75°.

故選：C.

30.D

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形全等的判定與性質以，角平分線的性質與判

定等知識，由角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理得與NC的關系，判定①正確;

過。作ON，/C于點N,(W，48于點M,由三角形的面積證得②正確;在AB上取一點H,

使BH=BE,證AHBO會AEBO,得ZBOH=ZBOE=60°,再證△HAO/AFAO,得

AF=AH,判定③正確，即可得出結論，正確作出輔助線證得冬△EBO是解題的關鍵.

【詳解】解：①???/A4c和//2C的平分線相交于點。，

AOBA=-NCBA,ZOAB=-NCAB,

22

ZAOB=180°-AOBA-NOAB=180°--ZCBA--NCAB=180o--(180o-ZC)=90°+-ZC,

222V72

故①符合題意；

答案第15頁，共32頁

②過。作ONL/C于點N,。m，48于點〃\如圖:

VABAC和ZABC的平分線相交于點O,

.??點。在/C的平分線上，

/.ON=OM=OD=a,

???AB+AC+BC=2b

:.S=^xABxOM+^xACxON+^xBCxOD=^AB+AC+BC)-a

AABC=ab,故②符合題

忌..At.；

③???/CuGO。，

ABAC+ZABC=120°,

???AE,BF分別是NB4c與ZABC的平分線，

ZOAB+/OBA=g(/B4C+ZABC)=60°,

AAOB=120°,

???44。尸=60。，

："BOE=60°,

如圖，在45上取一點〃，使BH=BE,連接的，

vBF是ZABC的角平分線,

??.ZHBO=ZEBO,

在△7/BO和△防。中，

"BH=BE

</HBO=/EBO,

BO=BO

答案第16頁，共32頁

.?.A/ffiO絳EBO(SAS),

/BOH=NBOE=60°,

ZAOH=180°-60°-60°=60°,

AAOH=ZAOF,

在A〃4O和AE4。中，

ZHAO=ZFAO

<AO=AO,

ZAOH=NAOF

AHAO^AFAO(ASA),

???AF=AH,

：.AB=BH+AH=BE+AF,故③符合題意；

故選：D.

31.D

【分析】此題考查了角平分線的定義及性質，平行線的性質，三角形的面積.①先由角平

分線的定義得NOBC=ZOBE,再由E尸〃8c得ZOBC=ZEOB,由此得ZEOB=ZOBE,

進而得=CF=OF,據(jù)此可對結論①進行判斷；②過點。作。于作

ON1BC千N,連接04,根據(jù)角平分線的性質得<W=ON,